3. Huiswerk §5.3 opdracht 15
Bijy=x²hoorthetbrandpuntF(0,¼)enrichtlijnr:y=-¼.Laatziendatde
punten(1,1)en(2,4)voldoenaand(P,F)=d(P,r).
d((1,1), (0,¼)) = √((1-0)² + (1-¼)²) =1¼
d((1,1), y = -¼)) = 1 + ¼ =1¼
d((2,4), (0,¼)) = √((2-0)² + (4-¼)²) =4¼
d((2,4), y = -¼)) = 4 + ¼ =4¼
Stel dat je voor alle punten P op y = x² hebt bewezen dat geldt d(P, F) =
d(P, r). Waarom is dan y = x² nog niet zeker een parabool volgens deze
definitie?
Het gaat hier om een meetkundige plaats en dus moeten we het ook nog
andersom bewijzen. We moeten nog bewijzen dat als geldt voor een punt
P(x,y) dat d(P, F) = d(P, r), dan ligt het punt op y = x².
5. Een ellips is de verzameling punten P bij een tweetal brandpunten F₁
en F₂ waarvoor geldt dat de som van de afstand van een punt P tot de
brandpunten constant is, ofwel d(F₁, P) + d(F₂, P) = k.
De afstand tussen de brandpunten noemen we de brandpuntsafstand.
Een ellips heeft twee symmetrieassen. De delen die binnen de Ellips
liggen noemen we de korte as en de lange as.
De vier toppen van de ellips zijn de snijpunten van de ellips met de
symmetrieassen.
Definitie ellips
6. Gegeven zijn de punten F₁ en F₂. Teken om deze punten een ellips door
eerst 8 punten P te vinden waarvoor geldt dat d(F₁, P) + d(F₂, P) = 8.
Voorbeeld 1
7. Het tekenen van een ellips is echter niet zo makkelijk.
Echter is de ellips ook de conflictlijn van een cirkel en een punt P
binnen de cirkel.
Dus als we een cirkel c(M, r) hebben en een punt F binnen de cirkel,
dan geldt dat de punten P waarvoor geldt d(P,F) = d(P,c) op een ellips
liggen met brandpunt M en F.
De cirkel noemen we ook wel de richtcirkel.
Met dit gegeven kunnen we de constructie eenvoudiger maken.
De conflictlijn ellips
8. 1. Kies een punt op de richtcirkel.
2. Teken de straal vanuit het punt op de richtcirkel.
3. Teken de middelloodlijn van het punt op de richtcirkel en het punt
binnen de cirkel.
4. Het snijpunt van de getekende straal en de middelloodlijn is een
punt op de ellips.
Het tekenen van een ellips
9. Gegeven is de cirkel met middelpunt F₁. Binnen de cirkel ligt het punt
F₂. Teken de conflictlijn tussen dit punt en de cirkel. Voer minimaal 5
keer de constructie uit.
Voorbeeld 2
11. Een hyperbool is de verzameling punten P bij een tweetal
brandpunten F₁ en F₂ waarvoor geldt dat het verschil van de afstand
van een punt P tot de brandpunten constant is,
ofwel: |d(F₁, P) - d(F₂, P)| = k.
Een hyperbool heeft twee symmetrieassen en twee hyperbooltakken.
De twee toppen van de hyperbool zijn de snijpunten van de hyperbool
met de symmetrieas die door de brandpunten heen gaat.
Het tekenen van een hyperbool is echter niet zo gemakkelijk…
Definitie hyperbool
12. Gelukkig is de hyperbool (per tak) ook de conflictlijn van een cirkel en
een punt P buiten de cirkel.
Dus als we een cirkel c(M, r) hebben en een punt F buiten de cirkel, dan
geldt dat de punten P waarvoor geldt d(P,F) = d(P,c) op een hyperbool
liggen met brandpunt M en F.
De cirkel noemen we ook wel de richtcirkel.
De richtcirkel van de andere hyperbooltak is de cirkel (F, r).
Met dit gegeven kunnen we de constructie eenvoudiger maken.
De conflictlijn hyperbool
13. 1. Kies een punt op de richtcirkel.
2. Teken de straal vanuit dit punt op de richtcirkel door tot buiten de
cirkel.
3. Teken de middelloodlijn van het punt op de richtcirkel en het punt
buiten de cirkel.
4. Het snijpunt van de getekende straal en de middelloodlijn is een
punt op de hyperbool.
Het tekenen van een hyperbool
14. Gegeven is de cirkel met middelpunt F₁. Buiten de cirkel ligt het punt
F₂. Teken de conflictlijn tussen dit punt en de cirkel door gebruik te
maken van de getekende punten P.
Voorbeeld 3
17. Een cirkel is voor conflictlijnen niet anders dan een “opgeblazen” punt.
We weten dat de conflictlijn tussen ene punt en een lijn een parabool is.
Als we het punt “opblazen” tot een cirkel en we vragen de conflictlijn
tussen de cirkel en de lijn. Dan blijft dit een parabool.
Twee cirkels, die niet even groot zijn, kunnen op vier manieren ten
opzichte van elkaar liggen:
• concentrisch: de cirkels hebben hetzelfde middelpunt,
• niet-concentrisch: de cirkels hebben niet hetzelfde middelpunt, maar
de kleine cirkel ligt wel volledig in de grote cirkel,
• snijdend of
• geen overlap.
conflictlijnen bij twee cirkels
18. In deze vier gevallen is de conflictlijn te vinden door terug te kijken naar
een bekend geval.
Uiteindelijk zijn er vijf verschillende conflictlijnen bij cirkels:
Conflictlijnen bij twee cirkels
19. Uiteindelijk staan in het onderstaande schema alle conflictlijnen:
Om de conflictlijn te vinden van een samengesteld gebied, deel je het op
in kleinere delen en benoem de conflictlijn eerst voor jezelf.
Samenvatting
punt lijn cirkel
punt middelloodlijn
lijn parabool
bissectrice
(snijdende lijnen)
middenparallel
(evenwijdige lijnen)
cirkel
ellips
(punt binnen cirkel)
hyperbool
(punt buiten cirkel)
parabool
cirkel (concentrisch)
ellips (niet-concentrisch)
hyperbool (overige gevallen)
middelloodlijn (gelijke cirkels)
20. Voorbeeld 4
Door een expeditie van Rusland, Nederland en Amerika zijn er in de
Stille oceaan drie stukjes nieuw land gevonden. Al snel waren ze er uit
wie welk land zou krijgen, zie de figuur op je werkblad
Rusland, Nederland en Amerika willen nu de twee watergebieden gaan
verdelen.
Verdeel de watergebieden volgens het recht van nabijheid. De bogen
zijn allemaal (delen van) cirkel.
Let op: Teken (en dat is dus niet construeren) minimaal 5 punten van
een ellips, hyperbool, cirkel of parabool alvorens je deze tekent.
