1. SEMINAR MATEMATIKA
Penerapan Sifat Kelinearan Sigma untuk Menentukan
Rumus Jumlah Bilangan Asli Berpangkat m
Oleh
Nama : JULIA SUSVIANA
NIM : 09221032
Pembimbing : M.Win Afgani , S.Si, M.Pd
FAKULTAS TARBIYAH JURUSAN TADRIS MATEMATIKA
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) RADEN FATAH
PALEMBANG
2009

2. Penerapan Sifat Kelinearan Sigma untuk Menentukan
Rumus Jumlah Bilangan Asli Berpangkat m
Abstrak
Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang bukan nol, yaitu unsur
himpunan {1, 2, 3, 4, ...} . Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg
paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti
oleh manusia. Notasi sigma yang dilambangkan dengan ”Σ” adalah sebuah huruf
Yunani yang artinya penjumlahan. Notasi ini digunakan untuk meringkas penulisan
penjumlahan bentuk panjang dari jumlah suku-suku yang merupakan variabel
berindeks atau suku-suku suatu deret. S1ifat kelinearan sigma dapat digunakan untuk
menentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m.
Kata Kunci : Notasi Sigma, Bilangan Asli, Induksi Matematis
1
Fakultas Tarbiyah Jurusan Tadris Matematika

3. A. PENDAHULUAN
1. Latar Belakang Masalah
Matematika adalah ilmu dasar dari semua ilmu pengetahuan. Matematika juga
adalah ilmu yang universal, tidak akan habis pembahasan tentang ilmu matematika.
Banyak hal yang dapat dipelajari lalu dikembangkan dalam matematika sehingga
bermanfaat bagi kehidupan manusia.
Notasi Sigma digunakan untuk meringkas penulisan penjumlahan bentuk
panjang dari jumlah suku-suku yang merupakan Notasi sigma yang dilambangkan
dengan ”Σ” adalah sebuah huruf Yunani yang artinya penjumlahan variabel berindeks
n
atau suku-suku suatu deret. Misalnya penjumlahan i 1 2 3  n
i 1
Kelinearan Sigma merupakan salah satu contoh Penggunaan Notasi Sigma
yang dapat membantu dalam melakukan pembuktian sekaligus menentukan rumus
jumlah.
Dengan Kelinearan Notasi Sigma, dapat ditentukan rumus jumlah dari suatu
bilangan, contohnya bilangan asli berpangkat m, rumus yang telah ada dapat
dibuktikan dengan induksi matematis.
Dalam makalah ini penulis akan menerapkan Kelinearan Sigma dalam
Menentukan Rumus Jumlah Bilangan Asli Berpangkat m, m € .
2. Rumusan Masalah
Bagaimana menerapkan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m dengan
menggunakan kelinearan Sigma.
3. Tujuan
Untuk mengetahui penerapan rumus jumlah bilangan asli berpangkat dengan
menggunakan kelinearan Sigma.

4. B. Notasi Sigma
Notasi sigma dilambangkan dengan (dibaca : sigma)
Secara umum notasi sigma dapat didefinisikan sebagai berikut:
n
u1 + u2 + u3+ … + un = ui
i 1
atau
n
ci = c + c + c + c +…+ c = nc
i 1
C.Sifat Kelinearan Sigma
sifat-sifat .dipikirkan sebagai suatu opertaor, beroperasi pada
barisan dan memang melakukan itu secara linear.
Teorema A
(Kelinearan Andaikan {ai} dan {bi} menyatakan dua barisan dan c suatu
konstanta. Maka:
n n
ca i c ai
i 1 i 1
n n n
( ai bi ) ai bi
i 1 i 1 i 1
n n n
( ai bi ) ai bi
i 1 i 1 i 1
Bukti:
n
ca i
i 1
n
c ai
i 1

5. n
(ai bi ) ( + ) + ( + ) + ( + ) +…+ ( + ) Hukum
i 1
Komutatif
=( Hukum Assosiatif
n n
ai bi
i 1 i 1
n
(ai bi ) ( - ) + ( - ) + ( - ) +…+ ( - ) Hukum
i 1
Komutatif
Hukum
Assosiatif
n n
ai bi
i 1 i 1 .
D. Induksi Matematis
Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian yang absah dalam
matematika. Pembuktian dengan induksi matematika berkenaan pada pembuktian
untuk proporsi-proporsi yang keberlakuannya untuk setiap bilangan bulat atau lebih
khusus untuk setiap bilangan asli.
Misalkan akan dibuktikan proporsi p(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n
dengan menggunakan induksi matematik. Langkah-langkah pembuktiannya sebagai
berikut:
Langkah (1) : ditunjukkan bahwa p(1) benar
Langkah (2) : diasumsikan bahwa p(1) benar untuk suatu bilangan asli n > 1 dan
ditunjukkan bahwa p(n+1) benar
Selanjutnya disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n. langkah
(1) disebut basis (dasar) induksi dan langkah (2) disebut langkah induksi.
E. Penerapan Kelinearan Sigma

6. Rumus-rumus jumlah khusus untuk bilangan asli baik yang berpangkat satu, dua,
tiga dan seterusnya.
n
1
i 1 2 3  n n n 1
i 1 2
n
2 2 2 2 2 1
i 1 2 3  n n n 1 2n 1
i 1 6
n 2
3 3 3 3 3 1
i 1 2 3  n n n 1
i 1 2
n 3 2
4 4 4 4 4 n n 1 6n 9n n 1
i 1 2 3  n
i 1 30
Rumus-rumus jumlah diatas biasa dibuktikan dengan menggunakan Induksi
Matematika, salah satunya pada pembuktian berikut ini;
n
1
i 1 2 3  n n n 1
i 1 2
Misalkan p(n) menyatakan;
1
1 2 3  n n n 1 ,
2
1
1) p(1) adalah 1 .1 1 1 , jelas benar.
2
1
2) Diasumsikan bahwa p(n) benar, yaitu 1 2 3  n n n 1 adalah
2
benar. Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa p(n + 1) benar yaitu ;
1
1 2 3  n n 1 n 1 n 2
2
Hal ini ditunjukkan sebagai berikut ;
1 2 3  n n 1 1 2 3  n (n 1)

7. 1
n n 1 n 1
2
1
n 1 2
n 1
1
= n 1 n 2
2
1
Jadi, 1 2 3  n n 1 n 1 n 2 yaitu p(n + 1) benar. Dari (1) dan (2)
2
dapat disimpulkan bahwa p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.
Selanjutnya, disini akan diberikan pembuktian alternatif yang memiliki
kelebihan dalam menunjukkan dari mana rumus-rumus tersebut berasal.
Pada penggunaan kelinearan Sigma didapat suatu bentuk jumlah berjatuhan,
di bawah ini:
( Jumlah Berjatuhan )
n
2 2 2
i 1 i n 1 1
i 1
Bentuk ini digunakan untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat satu,
yang dimulai dengan identitas;
2 2
i 1 i 2i 1, dimana pada kedua ruas digunakan kelinearan Sigma, yaitu;
2 2
i 1 i 2i 1
n n
2 2
i 1 i 2i 1
i 1 i 1
n n
2 2
n 1 1 2 i 1
i 1 i 1
n
2
n 2n 2 i n
i 1
2 n
n n
i
2 i 1
Jadi, terbukti bahwa:
n
1
i 1 2 3  n n n 1
i 1 2

8. Sekarang terlebih dahulu akan dibuktikan apakah bentuk ini;
n
2 2 2
i 1 i n 1 1, berlaku untuk pangkat 3, 4,5,6, ...,m.
i 1
n
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
i 1 i 1 1 1 2 1 2 3 1 3  n 1 n
i 1
2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 3 2 4 3  n 1 n
2 2
n 1 1
n
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
i 1 i 1 1 1 2 1 2 3 1 3  n 1 n
i 1
3 3 3 3 3 3 3 3
2 1 3 2 4 3  n 1 n
3 3
n 1 1
n
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
i 1 i 1 1 1 2 1 2 3 1 3  n 1 n
i 1
4 4 4 4 4 4 4 4
2 1 3 2 4 3  n 1 n
4 4
n 1 1
n
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
i 1 i 1 1 1 2 1 2 3 1 3  n 1 n
i 1
5 5 5 5 5 5 5 5
2 1 3 2 4 3  n 1 n
5 5
n 1 1
n
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
i 1 i 1 1 1 2 1 2 3 1 3  n 1 n
i 1
6 6 6 6 6 6 6 6
2 1 3 2 4 3  n 1 n
6 6
n 1 1
Sehingga dari pembuktian-pembuktian diatas, untuk yang berpangkat m diperoleh;
n
m m m m m m m m m m
i 1 i 1 1 1 2 1 2 3 1 3  n 1 n
i 1
m m m m m m m m m m
2 1 3 2 4 3  n 1 n n 1 1

9. Dari uraian diatas, didapatkan bahwa untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli
berpangkat m, kita mulai dengan identitas;
m 1 m 1 m m m
i 1 i i i 1 i i 1
Maka, untuk yang berpangkat 2 dimulai dengan identitas;
2 1 2 1 2 2 2
i 1 i i i 1 i i 1 ,
Seperti metode diatas penjumlahan kedua ruas menggunakan kelinearan;
3 3 2 2 2
i 1 i i i 1 i i 1
3 3 2 2 2
i 1 i i i 2i 1 i i 2i 1
3 3 2 2
i 1 i 2i i i 2i 1
3 3 2
i 1 i 3i 3i 1
n n
3 3 2
i 1 i 3i 3i 1
i 1 i 1
n n n
3 3 2
n 1 1 3 i 3 i 1
i 1 i 1 i 1
n
3 2 2 n n 1
n 3n 3n 3 i 3. n
i 1 2
n
3 2 2 2
2n 6n 6n 6 i 3n 3n 2n
i 1
3 2 n
2n 3n n 2
i
6 i 1
n
n n 1 2n 1 2
i
6 i 1
Jadi, terbukti bahwa;
n
2 2 2 2 2 1
i 1 2 3  n n n 1 2n 1
i 1 6

10. Dari uraian diatas, rumus jumlah bilangan asli berpangkat m adalah;
m 1 m 1 m m m
i 1 i i i 1 i i 1
m 1 m 1 m m 1 m m 2 m m m 1 m m 2
i 1 i i C1 i C2 i  1 i C1 i C2 i  1
m 1 m 1 m m m m 1 m m m 1 m m 2
i 1 i C1 i C2 i  i i C1 i C2 i  1
m 1 m 1 m m m m m 1 m m m 2
i 1 i C1 1i C2 C1 i C3 C2 i  i 1
n n n n n n
m 1 m 1 m m m m m 1 m m m 2
i 1 i C1 1 i C2 C1 i C3 C2 i  i 1
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
n n n n n
m 1 m 1 m m m m m 1 m m m 2
n 1 i C 1
1 i C 2
C 1
i C 3
C 2
i  i 1
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
n n n n n
m 1 m m m m m 1 m m m 2
n 1 1 C1 1 i C2 C1 i C3 C2 i  i 1
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
n n
m 1 m 1 m 1 m 1 m 2 m 1 m m m m m 1
n C1 n C2 n  Cm 1n C1 1 i C2 C1 i
i 1 i 1
n n n
m m m 2
C3 C2 i  i 1
i 1 i 1 i 1
n
m m m 1 m 1 m 1 m 1 m 2 m 1
C 1
1 i n C1 n C2 n  Cm 1
n
i 1
n n n n
m m m 1 m m m 2
C2 C1 i C3 C2 i  i 1
i 1 i 1 i 1 i 1
Contoh Soal:
1. Tentukan rumus jumlah dari;
3 3 3 3
1 2 3  n
Untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m, di mulai dengan
identitas;
3 1 3 1 3 3 3
i 1 i i i 1 i i 1 ,

11. sehingga dengan menggunakan kelinearan;
3 1 3 1 3 3 3
i 1 i i i 1 i i 1
4 4 3 2 3 3 2
i 1 i i i 3i 3i 1 i i 3i 3i 1
4 4 3 2 3 2
i 1 i 3i 3i i i 3i 3i 1
4 4 3 2
i 1 i 4i 6i 4i 1
n n
4 4 3 2
i 1 i 4i 6i 4i 1
i 1 i 1
n n n n
4 4 3 2
n 1 1 4 i 6 i 4 i 1
i 1 i 1 i 1 i 1
n
4 3 2 3 n n 1 2n 1 n n 1
n 4n 6n 4n 4 i 6. 4. n
i 1 6 2
n
4 3 2 3 3 2
n 4n 6n 4n 4 i 2n 5n 4n
i 1
n
4 3 2 3
n 2n n 4 i
i 1
4 3 2 n
n 2n n 3
i
4 i 1
2 n
1 3
n n 1 i
2 i 1
Jadi, terbukti bahwa;
n 2
3 3 3 3 3 1
i 1 2 3  n n n 1
i 1 2
2. Tentukan rumus jumlah dari;
4 4 4 4
1 2 3  n
Solusi:
Untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m, di mulai dengan
identitas;
m 1 m 1 m m m
i 1 i i i 1 i i 1 ,

12. Sehingga untuk menentukan rumus jumlah bilangan asli yang berpangkat 4, kita
mulai dengan identitas;
4 1 4 1 4 4 4
i 1 i i i 1 i i 1
5 5 4 4 4
i 1 i i i 1 i i 1
5 5 4 3 2
i 1 i 5i 10 i 10 i 5i 1
Sehingga dengan menggunakan kelinearan sigma diperoleh;
n n
5 5 4 3 2
i 1 i 5i 10 i 10 i 5i 1
i 1 i 1
n n n n n
5 5 4 3 2
n 1 1 5 i 10 i 10 i 5 i 1
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
2 2
5 4 3 2
n
4 n n 1 n n 1 2n 1 n n 1
n 5n 10 n 10 n 5n 5 i 10 . 10 . 5. n
i 1 4 6 2
Kemudian diperoleh;
n 5 4 3
4 n n n n
i
i 1 5 2 3 30
n 5 4 3
4 6n 15 n 10 n n
i
i 1 30
n 3 2
4 n n 1 (6 n 9n n 1
i
i 1 30
Jadi,
3 2
4 4 4 4 n n 1 6n 9n n 1
1 2 3  n
30

13. F. PENUTUP
 Sifat Kelinearan Sigma yaitu pada jumlah berjatuhan dapat digunakan untuk
menentukan rumus jumlah bilangan asli berpangkat m.
 Rumus Jumlah berjatuhan yang digunakan adalah :
n
2 2 2
i 1 i n 1 1
i 1
Dengan menggunakan dengan identitas
m 1 m 1 m m m
i 1 i i i 1 i i 1

14. DAFTAR PUSTAKA
Purcell,Edwin J dan Dale Varberg.2000. Kalkkulus dan Geometri Analitis Jilid
1.Jakarta:Erlangga.
Djumanta, Wahyudin dan Dwi Susanti.2008. Belajar Matematika Aktif
dan Menyenangkan untuk SMP/MTs Kelas XI. Jakarta: Pusat Perbukuan
Depdiknas.
Seputro,T.M.H.T. 1994. Pengantar Dasar Matematika. Surabaya:Erlangga.
Wirodikromo,Sartono. 2003. Matematika untuk SMA Jilid 2 Kelas 1
Semester 2.Jakarta:Erlangga.