Determinan matriks dapat diperoleh dengan mendekomposisikan matriks menjadi matriks segitiga bawah dan atas. Metode Doolittle adalah salah satu cara untuk melakukan dekomposisi tersebut dengan elemen diagonal matriks atas bernilai 1. Determinan diperoleh dari perkalian elemen diagonal matriks hasil dekomposisi. Makalah ini membahas cara menentukan determinan matriks dengan menggunakan metode Doolittle.

1. DETERMINAN MATRIKS HASIL DEKOMPOSISI
CARA DOOLITLE
Disusun Oleh
Nama : Kurnia Dewi
NIM : 09221033
Dosen Pembimbing :
Agustiany Dumeva Puteri, SSi. MSi.
PROGRAM STUDI TADRIS MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI RADEN FATAH
PALEMBANG
2012

2. DETERMINAN MATRIKS HASIL DEKOMPOSISI
CARA DOOLITLE
Kurnia Dewi 1
ABSTRAK
Determinan matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi
elemen matriks bujur sangkar. Jika subkrip permutasi elemen matriks adalah genap
(inverse genap) diberi tanda positif (+) sebaliknya jika subkrip permutasi adalah
ganjil (inverse ganjil) diberi tanda negatuf (-). Inversi terjadi jika bilangan yang lebih
besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan subkrip permutasi elemen
matriks. Untuk mencari determinan matriks dapat dilakukan dengan beberapa
metode (cara). Salah satu cara untuk mencari determinan matriks yaitu metode
dekomposisi lower upper (LU). Dekomposisi lower upper (LU) adalah suatu metode
penyelesaiaan dalam mencari determinan suatu matiks ordo tinggi secara efektif,
efisien, dan dengan hasil yang sangat mendekati nilai eksaknya. Dengan
menggunakan metode ini, determinan matriks dapat diperoleh dengan cara terlebih
dahulu mendekomposisi matriks tersebut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan
matriks segitiga atas (U). Determinan tersebut diperoleh dari hasil perkalian elemen-
elemen diagonal utama matriks lower (L) dan upper (U). Salah satu metode untuk
menyelesaikan dekomposisi LU, yaitu metode Doolittle. Untuk matriks yang berordo
lebih dari sepuluh sampai ordo tak hingga sebaiknya menggunakan algoritma
matematika.
Kata kunci: determinan matriks, metode doolitle.
1
Mahasiswa tadris matematika 1 angkatan 2009 IAIN Raden Fatah Palembang

3. PENDAHULUAN
A . Latar Belakang
adalah ilmu pasti yang hingga kini sesuai dengan perkembangannya telah
mengalami perkembangan yang sangat pesat, yaitu dengan dikembangkannya oleh
para ilmuwan di seluruh dunia yang mempunyai persepsi yang cukup berbeda.
Matematika adalah Sumber dari segala sumber ilmu. Apabila seseorang tidak
memahami matematika maka dia akan sulit untuk memahami ilmu-ilmu yang lain.
Dalam menyelesaiakan suatu permasalahan suatu permasalahan dalam matematika
juga dapat menggunakan beberapa cara (metode) Mungkin ketika di SMU, kita
hanya diajarkan materi dengan beberapa kasus serta cara penyelesaian yang belum
terlalu kompleks, sehingga ketika bertemu dengan kasus yang sangat kompleks maka
tidaklah efektif jika diselesaikan dengan cara yang sederhana. Oleh karena itu di
dalam perkuliahan kita diajarkan cara penyelesaian yang mungkin dapat efektif dan
efisien ketika kita ingin menyelesaikan suatu permasalahan yang sangat kompleks.
Dalam hal ini, peranan para ilmuwan sangatlah penting. Seiring dengan
kemajuan jaman yang semakin canggih kemampuan berfikir dan rasa ingin tahu serta
kemampuan mengembangkan suatu teori beserta cara penyelesaian dari beberapa
kasus yang kompleks dapat diselesaikan dengan lebih efektif dan efisien daripada
dengan cara yang sederhana yang memerlukan banyak waktu, tenaga, dan pikiran.
Pada kasus mencari determinan matiks terdapat beberpa cara (metode) dalam
menyelesaikannya. Akan tetapai terkadang terdapat metode yang kurang cocok atau
kurang efektif dalam menentukan determinan matriks. Hal ini mungkin dikarenakan
metode yang digunakan terlalu susah sehingga tingkat kesalahan siswa dalam
menjawab soal atau menentukan determinan matriks menjadi cukup tinggi. Selain itu
ada beberapa metode yang hanya bisa mencari determinan matiks terbatas ordonya
sehingga tidak dapat digunakan pada matriks dengan ordo tinggi.
Dekomposisi lower upper (LU) adalah suatu metode penyelesaiaan dalam
mencari determinan suatu matiks ordo tinggi secara efektif, efisien, dan dengan hasil
yang sangat mendekati nilai eksaknya. Dengan menggunakan metode ini, determinan
matriks dapat diperoleh dengan cara terlebih dahulu mendekomposisi matriks
tersebut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan matriks segitiga atas (U).
Determinan tersebut diperoleh dari hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama

4. matriks lower (L) dan upper (U). Ada 2 metode untuk menyelesaikan dekomposisi
LU, yaitu metode Doolittle dan metode Crout . Dalam makalah ini penulis akan
membahas mencari determinan matriks hasil dekomposisi dengan cara doolitle.
B. Permasalahan
Bagaimana menentukan determinan matriks hasil dekomposisi dengan
menggunanakan metode doolitle?
C. Batasan Masalah
Menentukan determinan matriks pada ordo n x n (matriks bujur sangkar).
D. Tujuan
Untuk mengetahui determinan matriks hasil dekomposisi matriks metode
doolitle.
KAJIAN PUSTAKA
A. Pengertian-Pengertian
1. Pengertian Matriks
Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara khusus
dalam bentuk baris dan kolom sehingga berbentuk empat persegi panjang. Suatu
matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom dapat dituliskan sebagai Am.n atau
A (m x n). Beberapa Jenis Matriks Berdasarkan Susunan Elemennya
(1) Matriks Bujur Sangkar
Adalah suatu matriks dengan banyaknya baris = banyaknya kolom= n disebut
berordo n
Contoh :
1 3
A= adalah matriks bujur sangkar ordo 2
2 4
(2) Matriks Nol
adalah matriks yang semua elemennya nol ( 0)

5. (3) Matriks Diagonal
adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama
adalah nol
Contoh :
1 0 0
0 2 0
0 0 3
(4) Matriks Identity ( Satuan )
adalah matriks diagonal yang elemen –elemen diagonal utamanya semua
sama dengan 1
1 0 0
Contoh : 0 1 0
0 0 1
(5) Matriks Skalar
adalah matriks diagonal utamanya sama dengan k Matriks Identitas adalah
bentuk khusus dari matriks skalar dengan k = 1
Contoh :
2 0 0
0 2 0
0 0 2
(6) Matriks Segitiga Bawah ( Lower Triangular )
adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di atas diagonal utama sama
dengan nol.
Contoh :
2 0 0
1 3 0
4 0 2
(7) Matriks Segitiga Atas ( Upper Triangular )
adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama
sama dengan nol.

6. Contoh :
2 1 0
0 3 5
0 0 2
(8) Matriks Simetris
adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri, Dengan
perkataan lain A = AT dan matriks simetris merupakan matriks bujur sangkar.
Contoh :
1 2 0 1 2 0
T
A= 2 3 1 dan A = 2 3 1
0 1 1 0 1 1
(9) Matriks Antisimetris
adalah matriks yang transposenya adalah negatifnya, Dengan perkataan lain
AT = - A
Contoh :
0 1 1 2 0 1 1 2
1 0 3 4 1 0 3 4
A= , AT =
1 3 0 1 1 3 0 1
2 4 1 0 2 4 1 0
(10) Matriks Hermitian
adalah matriks dengan transpose hermitiannya = dirinya sendiri. Dengan
perkataan lain AH = - A
Contoh
3 2 i 3 2 i
A= dan AH =
2 i 4 2 i 4
(11) Matriks Invers ( Kebalikan ) :
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar ordo n dan berlaku AB = BA +
I maka dikatakan B invers dari A dan ditulis B = A-1 sebaliknya A adalah
invers dari B dan ditulis A = B-1

7. (12) Matriks Komutatif.
adalah Jika A dan B matriks yang bujur sangkar dan berlaku AB = BA.
dan
Anti Komutatif
Jika AB = -BA
(13) Matriks Idempoten, Periodik, Nilpoten
Matriks Idempoten
Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AA = A2 = A
Matriks Periodik
Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku AAA…A = Ap = A
dikatakan periodik dengan periode p-1
Matriks Nilpoten
Jika A Matriks Bujur Sangkar dan berlaku Ar = 0, dikatakan Nilpoten
dengan indeks r dan r bilangan bulat positip. 0 adalah matriks Nol.
2. Pengertian Determinan Matriks
Determinan matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua
permutasi elemen matriks bujur sangkar. Jika subkrip permutasi elemen matriks
adalah genap (inverse genap) diberi tanda positif (+) sebaliknya jika subkrip
permutasi adalah ganjil (inverse ganjil) diberi tanda negatuf (-). Inversi terjadi jika
bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan
subkrip permutasi elemen matriks.
Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujur sangkar (matriks
kuadrat). Notasi determinan matriks A:
Jika diketahui matriks A:

8. Maka determinan dari matriks A:
Sifat Determinan Matriks
1. Determinan transpose suatu matriks sama dengan determinan matriks itu
sendiri ; det At = det A
2. Matriks persegi yang salah satu vektor barisnya (kolomnya) unsur-unsurnya
nol, maka nilai determinannya sama dengan 0 (nol).
3. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) - nya
dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k ïAï
4. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan
baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah
menjadi negatip determinan semula.
5. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom)
yang sama adalah sama dengan 0 (nol).
6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya)
merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan 0
(nol).
B. Metode untuk Menentukan Determinan Matriks
Salah satu metode untuk menentukan determinan matriks yaitu metode
dekomposisi matriks. Determinan suatu matriks dapat diperoleh dengan cara terlebih
dahulu mendekomposisi matriks tersebut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan
matriks segitiga atas (U). Determinan tersebut diperoleh dari hasil perkalian elemen-
elemen diagonal utama matriks L dan U.

9. A = LU
Determinan matriks A:
i = indek baris
PEMBAHASAN
Determinan Matriks Hasil Dekomposisi Cara Doolitle
Menentukan determinan suatu matriks dengan cara tersebut terlebih dahulu
didekomposisikan menggunakan metode doolitle (elemen diagonal matriks U adalah
1)
Contoh:
1.Tentukan determinan matriks berikut ini:
Solusi:
Tahap1:

10. Tahap 2:
Tahap:3
Tahap 4:
=
Tahap 5:
2.Tentukan determinan matriks berikut:
Solusi:

11. Tahap 1:
Tahap 2:
Tahap 3:
—
—
Tahap 4:
Tahap 5:

12. PENUTUP
Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan, dapat disimpulkan bahwa mencari
determinan matriks dengan menggunakan hasil dekomposisi matriks cara doolitle
lebih efektif dan efisien dibandingkan dengan metode (cara) yang lainnya. Cara
doolitle dapat digunakan pada matriks berordo tinggi dan khusunya pada matriks n x
n (matriks bujur sangkar).
Saran
Dari hasil pembahasan maka penulis menyarankan kepada pembaca untuk
menggunakan cara doolitle dalam mencari determinan matriks untuk ordo tingkat
tinggi.Akan tetapi, apabila ordo matriksnya lebih dari 10 sampai dengan tak hingga
maka sebaiknya menggunakan algoritma matematika karena metode doolitle tersebut
memiliki kelemahan dalam mencari determinan matriks untuk ordo tinggi yaitu
caranya sangat kompleks.

13. DAFTAR PUSTAKA
Bismo, Setijo, “Kumpulan Bahan Kuliah Metode Numerik”,Jurusan TGP-FTUI,
1999.
Pantur dan Susila Nyoman. 1991.Aljabar Elementer. Erlangga:J akarta.
Ruminta. 2009.Matriks Persamaan Linnier dan Pemograman Linier. Rekayasa
Sains: Bandung
Setijo Bismo,DEA.http://www.chemeng.ui.ac.id/~bismo/S2/mtks2/modul-2.pdf,Modul
Sistem Persamaan Aljabar Linier. Diakses 21 April 2012