El método de Newton-Raphson es ampliamente utilizado para localizar raíces de funciones. Calcula una aproximación mejorada de la raíz basada en el punto donde la tangente a la función cruza el eje X. Iterativamente, calcula un nuevo punto utilizando la fórmula xi+1 = xi - f(xi)/f'(xi) hasta alcanzar la precisión deseada. Proporciona resultados precisos pero puede converger lentamente para algunas funciones como cuando f'(x) es cero.

1. Método de Newton-
Raphson

2.  Este método para localizar raíces es la mas ampliamente
utilizada.
 Punto (𝑥𝑖, 𝑓 𝑥𝑖 ) es el punto donde la tangente cruza en el eje
X, representando una aproximación mejorada de la raíz.
𝑓(𝑥)
0
NOTA:
Se define como
derivada de una
función en un punto
dado,
como la pendiente de
la recta tangente de
dicho punto.
Por lo tanto:
𝑚 = 𝑓´(𝑥)

3. 𝑚 =
𝑓 𝑥2 − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
=
𝑓 𝑥𝑖+1 − 𝑓(𝑥𝑖)
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
Veamos que:
𝑓 𝑥𝑖+1 = 0
Podemos sustituir:
𝑚 =
0 − 𝑓(𝑥𝑖)
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
Y despejamos:
𝑚(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖) = −𝑓(𝑥𝑖)
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 =
−𝑓(𝑥𝑖)
𝑚
Deducimos la formula a utilizar a partir de la pendiente
de la recta.
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑚
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓´(𝑥𝑖)

4. Ejemplo
 Dado 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 − 2 aproximar la raíz de la ecuación 𝑓 𝑥 = 0 , con tres iteraciones,
comenzando con 𝑥0 = 1.5
𝑓′ 𝑥 = (1 + 𝑥)𝑒 𝑥 u=x v=𝑒 𝑥 u’v+v’u 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 ∙ 𝑥
1era Iteración
𝑥1 = 1.5 −
𝑓(1.5)
𝑓′(1.5)
𝑥1 = 1.5 −
1.5 𝑒1.5−2
2.5 𝑒1.5 = 𝟏. 𝟎𝟕𝟖
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑥𝑒 𝑥 − 2
(1 + 𝑥)𝑒 𝑥
Iteración Aprox Error
0 1.5 100%
1 1.078 39.14%
2
3

5. 2da Iteración
𝑥2 = 1.078 −
𝑓(1.078)
𝑓′(1.078)
𝑥1 = 1.078 −
1.078 𝑒1.078−2
2.078 𝑒1.078 = 𝟎. 𝟖𝟖𝟕 Iteración Aprox Error
0 1.5 100%
1 1.078 39.14%
2 0.887 21.53%
3
3ra Iteración
𝑥2 = 0.887 −
𝑓(0.887)
𝑓′(0.887)
𝑥1 = 0.887 −
0.887 𝑒0.887−2
1.887 𝑒0.887 = 𝟎. 𝟖𝟓𝟒
Iteración Aprox Error
0 1.5 100%
1 1.078 39.14%
2 0.887 21.53%
3 0.854 3.86%

6. Ejemplo 2
 Calcule la raíz de 𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥
− 𝑥 empleando como valor inicial 𝑥0 = 0 , con 6
cifras significativas
𝜺 𝜶 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓%
 Encontrando la primera derivada 𝑓′
𝑥 = −𝑒−𝑥
− 1
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑒−𝑥 𝑖 − 𝑥𝑖
−𝑒−𝑥 𝑖 − 1
Empezando con el valor inicial 𝑥0= 0, se
hacen las iteraciones correspondientes.
Iteracion Xi 𝜺 𝜶
0 0 100%
1 0.50000 11.8%
2 0.566311 0.147%
3 0.567143165 0.0000220%
4 0.567143290 10−8
%
𝑥0 = 0 −
𝑒−0
− 0
−𝑒−0 − 1
= 0

7. Ventajas
 No es necesario graficar.
 No trabaja con intervalos, solo es necesario conocer la derivada de la
función.
 El método converge con una rapidez impresionante
 Proporciona una muy buena precisión en los resultados

8. Desventajas
 Aunque en general el método Newton-Raphson es muy eficiente, hay
situaciones, donde se comporta de manera deficiente.
Por ejemplo:
 En el caso de raíces múltiples
 Raíces simples.
Determine la raíz positiva de 𝑓 𝑥 = 𝑥10 − 1 usando el método de Newton-Raphson y un valor
inicial x=0.5
Respuesta->
La formula en este caso es:
𝑥𝑖+1= 𝑥𝑖 −
𝑥𝑖
10 − 1
10𝑥𝑖
9
Se utiliza para calcular:

9. Iteración X
0 0.5
1 51.65
2 46.485
3 41.8365
4 37.65285
5 33.887565
. …
. …
. …
 1.0000000
De esta forma después de la primera predicción deficiente, la técnica
converge a la raíz verdadera 1, pero muy lentamente.
𝑥𝑖+1= 𝑥𝑖 −
𝑥𝑖
10
− 1
10𝑥𝑖
9

10. Puede dares convergencia lenta debido a
la naturaleza de la función.
La tendencia de las aproximaciones
oscilan entre el mínimo o máximo local.
Valor inicial esta cercano a una raíz salta
a una posición mas lejos.
𝑓′ 𝑥 = 0, pendiente cero. Causa una
división entre cero.
La solución se dispara horizontalmente y
jamás toca el eje x.

11.  No hay un criterio general de convergencia; su convergencia depende
de la naturaleza de la función y de la exactitud del valor inicial.
 Necesario saber derivar funciones.