El documento presenta las discusiones de una clase de tercer grado sobre cómo resolver un problema de división. La maestra propone el problema y observa diferentes procedimientos de cuatro estudiantes - Alma, Laura, Lautaro y Agustín. Luego guía una discusión donde los estudiantes comparten y analizan sus métodos. Al día siguiente, la maestra repasa los procedimientos y conduce una conversación para que los estudiantes comprendan las similitudes y diferencias entre los enfoques.

1. SAN ISIDRO DE LULES TUCUMÁN 29 DE JULIO DE 2011 ÁREA MATEMÁTICA

2. Capacitadores: Prof. Graciela Alicata Prof. Augusto Burgos Prof. Natalio Chávez Prof. Mónica García Prof. Claudia Racedo Prof. Noemí Robles Prof. Patricia Poderoso Prof. Rossana Puntano Coord. General: Lic. Inés Sancha

3. SEGUIMOS AVANZANDO… APRENDIENDO ACEPTANDO EL DESAFIO ESTUDIANDO CREANDO Y RECREANDO

5. LA CALCULADORA QUÉ SENTIMIENTOS NOS PROVOCA?

6. Rechazo

7. Interés

8. Desasosiego

9. Miedo

10. Dudas... Dudas…

11. ¡Muchas dudas!

12. Sentimientos que nos llevan a posicionarnos…

13. Defensores

14. Escépticos

15. Ajenos

16. Disciplinados

17. Contrarios

18. MIEDO PRINCIPAL: La calculadora provoca un menor dominio del cálculo mental o escrito por parte de los niños

19. Dos posiciones: Quedarnos con miedo esperando que los alumnos aprendan por sí solos…..

20. O pensar: ¿QUÉ USOS DARLE A LA CALCULADORA EN EL AULA PARA QUE LOS NIÑOS NO APRENDAN “MENOS”? ¿EN QUÉ SITUACIONES SU USO FAVORECE LA ADQUISICIÓN DE “MÁS” CONOCIMIENTO?

21. Pero no sabemos cómo…

22. No sabemos por qué…

23. No sabemos para qué…

24. ¡No sabemos …!

25. EN LA SOCIEDAD ACTUAL Viven un número mayor de estrategias de cálculo que las cuatro operaciones básicas que enseña la escuela

26. Usamos más el cálculo mental, el estimativo y el cálculo con calculadora que el algorítmico convencional aprendido en la escuela.

27. Entonces…. ¿por qué no enseñarles a los alumnos toda esa variedad de estrategias y recursos de uso social y actual? Así las “cuentas” se enriquecen con más herramientas….

28. Serán los propios docentes y niños los que deban establecer los límites de utilización de cada estrategia, técnica o instrumento…. Todo depende del contexto, las circunstancias, el tamaño de los números, la pericia del sujeto:  del problema!!!

29. Presentaremos diversas clases de problemas para ser resueltos con la calculadora. I- Problemas para conocer cómo funciona la calculadora y los límites de la misma (Primero, segundo y tercer ciclo de EGB) II- La calculadora para aprender más sobre las propiedades de las operaciones (Primero y segundo ciclo de EGB) III- La calculadora para ampliar los sentidos de las operaciones (Primero, segundo y tercer ciclo de EGB) IV- La calculadora para aprender más sobre los números naturales (Primer y segundo ciclo de EGB).

31. Problemas 1) Un camión que reparte gaseosas baja en el primer local 35 bolsas en las que vienen 6 botellas en cada una; en el segundo local 56 cajones con 12 botellas cada una y por último 17 cajones con 24 gaseosas cada una. Si en el camión había 1500 gaseosas ¿alcanza para bajar ahora 144 botellas más en otro negocio? 2) ¿Cuántos caramelos quedan si se reparten en partes iguales 467 en 7 niños? 3) En una calculadora se tecleó 35 × 100, pero se cometió un error ya que se quería multiplicar por 50. ¿Cómo corregirlo sin borrar lo que ya está? 4) Intenten realizar en la calculadora el siguiente cálculo: 3 × 124 + 7 × 124 sin oprimir la tecla de +

32. 5) ¿Por qué el siguiente cálculo da diferentes resultados con la calculadora científica y con la común? 25 × 7 + 27 : 3 = 6) Resolver usando la calculadora: 34 × ….. = 748 120 : …..= 6 7) Gabriel quería hacer 3636 :12 y anotó 3636 : 2, ¿cómo puede seguir sin borrar? Alicia, en cambio, para el mismo cálculo puso 3636 : 3 ¿puede seguir sin borrar? Carlos quiso hacer la misma cuenta, pero escribió 3636 : 10. Dice que si ahora divide por 2 le da lo mismo, ¿tiene razón?. 8) Escribir un número de dos cifras en la calculadora. Restarle 3 todas las veces que se pueda. Se gana si en algún momento aparece en el visor el número 0.

35. “Una panadería fabrica 180 tortas por día y las entrega a cada una de sus 15 sucursales de modo que todas reciban la misma cantidad de tortas. ¿Cuántas tortas llegan a cada sucursal?”

36. La maestra presenta el problema e indica a los niños que lo lean solos unos instantes. Luego, pregunta si hay algo que no hayan entendido, aclarando que no dirían nada en ese momento acerca de cómo resolverlo o del resultado, que eso lo pensarían solos y después lo conversarían entre todos. Se aclara en particular el significado del término “sucursal”. Este instante sólo se dedica a aclarar cuestiones del enunciado, de ninguna manera implica un inicio de resolución conjunta con toda la clase. Mientras los alumnos resuelven, observa los procedimientos que están siendo utilizados y selecciona los que luego se someterán a discusión ( puesta en común). En este caso elige los de: Alma, Laura, Lautaro y Agustín.

37. Actividad: I – En grupo de tres o cuatro leer y analizar una de las resoluciones propuestas por los niños antes citados. A -¿Cuál es el propósito de las intervenciones del docente en la situación que leyeron? B -¿Qué tipo de procedimientos exponen los alumnos? C -¿Cómo van variando las intervenciones docentes a medida que los procedimientos de los niños van siendo expuestos? D -¿Cómo se trabajó el cierre de la clase?

38. A continuación, transcribimos la discusión que, por su extensión, debió interrumpirse y continuarse al día siguiente. M.: A ver, Alma, yo voy a hacer en el pizarrón lo que vos hiciste en tu hoja. Mientras yo lo hago vos explicáselo a los chicos. (Transcribe en el pizarrón la distribución gráfica de Alma.) Alma: Yo iba haciendo una torta para cada negocio. Después, los conté así (cuenta una columna de marquitas) y eran doce. M.: ¿ Todos entienden cómo lo pensó Alma? Alumnos: Sí. M.: Bueno, cuando pasé por los bancos vi que Alma estaba muy cansada de tanto hacer palitos y le dije si no habría alguna manera de hacerlo, usando los números, que no le llevara tanto tiempo, y ella hizo esto. ¿Querés hacerlo, Alma?

39. Alma copia en el pizarrón:

40. M.: ¿ Qué les parece esto que hizo Alma? ¿ Servirá para pensar este problema? A.: Sí, es más rápido que hacer todos los palitos. M.: Pero yo no entiendo algo, acá (señala la suma), ¿cómo me doy cuenta de la respuesta al problema? Alma: Acá, ¿ves?, son doce: uno, dos, ..., ..., doce. (Cuenta la cantidad de sumandos.) M.: ¿Doce de qué cosa A.: Tortas. A.: Negocios. M.: ¿Tortas o negocios? Algunos alumnos dicen tortas y otros, negocios.

41. M.: Estos ciento ochenta que da el resultado de la suma, ¿qué son? A.: Tortas, todas las tortas. M.: ¿Y estos quince? (Señala uno de los sumandos.) A.: Tortas. A.: ¡No! Leé el problema, son quince negocios. M.: Ah, ¿y por qué será que Alma contó las veces que había sumado quince para saber cuántas tortas le tocaban a cada negocio? Alma: Este quince es esto (señala una fila de las marcas distribuidas), son doce de éstas. Agustín: Cada quince quiere decir que le dio rica torta a cada negocio, ¿ves? (Se para y señala sobre la fila señalada por Alma.) M.: Y eso, ¿tendrá algo que ver con lo que yo había preguntado? Fede: No me acuerdo qué habías preguntado.

42. M.: ¿Porqué Alma había buscado la cantidad de tortas que le tocaban a cada negocio contando la cantidad de veces que sumaba quince? Agustín: (Enojado.) ¡Claro! ¿No te digo que en cada quince hay "una " para cada negocio, si hay doce veces quince, hay doce para cada negocio? M.: ¿Entienden lo que está diciendo Agustín? A.: No. M.: Él dice que cada uno de estos quince que Alma puso acá, quiere decir una torta para cada negocio, entonces una, dos, tres... doce tortas para cada negocio. (Señala cada uno de los "15" escritos en el pizarrón.) Algunos alumnos siguen con expresión de no comprender.

43. M.: Bueno, ahora Laura nos va a mostrar cómo lo pensó ella. Pero Laura, ¿te animás a hacerlo en el mismo orden en que lo fuiste haciendo en tu hoja para que los chicos vean bien cómo lo fuiste pensando? Laura: (Dibuja los 15 círculos y luego va anotando dentro de cada uno primero un 5; luego otro 5; luego un 1; y, finalmente, otro 1.) Primero probé con cinco a cada y era muy poquito, después probé cinco más, eran diez para cada negocio: diez, veinte, treinta (mientras va señalando sobre cada círculo)... ciento cincuenta. Me faltaba, uno más a cada uno eran ciento cincuenta y uno, ciento cincuenta y dos,.... ciento sesenta cinco. Uno más a cada uno: ciento sesenta y seis, ciento sesenta y siete,..., ciento ochenta. Entonces, para cada negocio, cinco, diez, once, doce tortas.

45. M.: ¿Entendieron todos cómo lo hizo Laura? A.: Sí. M.: ¿Dónde dice la cantidad de tortas que le tocan a cada sucursal? Marisol: Adentro de cada globito: cinco, diez, doce. M.: ¿Y dónde están acá las quince sucursales? Marisol: Los quince globitos. Leo: ¿Pero no era más rápido si hacía doce más doce, más doce... ? M.: ¿Y por qué creen que no habrá hecho de entrada doce más doce... ? ¿ Cuántas veces tendría que haber sumado doce? Andrés: (Cuenta sobre el pizarrón la cantidad de círculos.) Quince. M.: ¿Y por qué creen que de entrada no sumó quince veces doce?

46. Laura: (Enojada.) ¡Yo no sabía que eran doce! M.: Laura dice que ella, antes de resolver el problema, no sabía que eran doce las tortas para cada sucursal. ¿Alguien lo sabía? Laura: (Sigue enojada.) ¡No! ¡Si es lo que pregunta! M.: Laura dice que nadie lo sabía porque justamente es lo que nos piden que averigüemos en el problema. ¿Están todos de acuerdo? Los alumnos asienten. M.: Bueno, por hoy vamos a dejar aquí y mañana vanos a continuar conversando sobre cómo resolvimos este problema.

47. Al día siguiente, antes de iniciar la clase, la maestra copia en el pizarrón los procedimientos que se habían discutido en la clase anterior. M.: Bueno, ayer resolvimos este problema (lee el enunciado) y empezamos a conversar sobre diferentes materas de resolverlo. Habíamos llegado a ver estas dos. ¿Alguien nos cuenta cómo eran? Los chicos relatan los dos procedimientos. M.: Ahora vamos a ver cómo lo resolvió Lautaro. Lauti, vení y copiá cómo lo hiciste. Lautaro copia.

49. Lautaro: Primero probé con trece para cada sucursal, me pasé; después con once, eran pocas, entonces tenía que ser doce, y medio. M.: ¿Todos entienden lo que hizo Lauti? A.: Sí M.: Se acuerdan de que ayer ustedes se preguntaban por qué acá no se había hecho directamente quince veces doce? (Señala el procedimiento de Laura) Bueno, acá (señala el procedimiento de Lautaro) sí se hizo quince veces doce, ¿eso quiere decir que él ya sabía que eran doce? Leo.: No, porque él fue viendo, trece no era, once tampoco y ahí se avivó de que era doce. M.: Y en esto que hizo aquí Lauti (señala la suma reiterada de “12” en el pizarrón), ¿cómo me doy cuenta de que eran quince sucursales? Lautaro.: Y, porque yo probaba siempre quince veces, doce cada sucursal

50. M : Miren, Lauti acá sumó doce quince veces, ¿ no? ¿Qué tiene de parecido y qué tiene de diferente con lo que hizo Laura? A.: Que Laura no puso directamente doce, probó cinco, después cinco más, diez; después dos más, doce. Y ahí sí le quedó doce. M.: Doce, ¿qué? A.: Tortas para cada negocio. M.: Ah, ¿y tienen algo de parecido? A.: Sí, los dos hicieron con doce, pero llegaron distinto. Laura probó cinco más cinco más uno más uno y Lautaro probó con trece, once y después doce.

51. M.: Bueno, ahora vamos a ver cómo lo hizo Agustín. Agustín: (Pasa al pizarrón.) Yo ya sabía que quince por diez era ciento cincuenta, entonces tenía que ser un poquito más, hice once por quince y me dio ciento sesenta y cinco, entonces era un poquito más, doce. M.: Hacelo en el pizarrón. Agustín escribe:

52. Agustín: Era doce, porque doce por quince es ciento ochenta. M.: ¿Cómo hiciste para saber cuánto era once por quince o doce por quince? Agustín: Porque once eran quince más que ciento cincuenta; y doce, quince más. M.: Agustín dice que él ya sabía que diez por quince era ciento cincuenta (anota 150 en el pizarrón), entonces once por quince eran quince más (anota en el pizarrón 150 + 15 = 165 y 165 + 15 = 180). ¿Entienden cómo hizo Agustín estas cuentas? A.: Sí.

53. M.: Ahora, yo me pregunto, ¿qué tienen de parecido y qué tienen de diferente lo que hicieron Agustín y Lautaro? Agustina: Uno hizo de por y otro de más. M.: Agustina dice que uno hizo una multiplicación y el otro una suma. Ustedes, ¿qué piensan? A.: Que sí. M.: Ah, ¿y encuentran algo de parecido?

54. A.: No. A.: Que en los dos está el doce, y el once. (Se refiere a los resultados posibles que fueron tanteando.) A.: Pero no está el trece. Agustín: Porque estábamos probando. Yo no probé con el trece. M.: Ah, y en la suma de Lauti no aparece el quince. Laura: No, porque está en las quince veces que puso el doce. M.: Laura dice que el número quince no aparece, pero está en las quince veces que aparece acá el doce. ¿Están todos de acuerdo? Varios alumnos: Sí. M.: Y, ¿por qué será que el doce acá aparece una sola vez (señala la multiplicación) y acá tantas (señala la suma reiterada)? Laura: Porque el quince en la cuenta de por quiere decir que se repite quince veces. En la suma el número está quince veces.

55. M.: Laura dice que en la multiplicación basta poner una sola vez el número porque el otro número me dice cuántas veces se repite. ¿Es así? Varios alumnos dicen que sí. M.: Y acá (señala la suma), ¿me puedo dar cuenta de un vistazo, así rápido, cuántas veces se repite el número doce? Leo: No, tenés que contarlos. M.: Claro, Leo dice que hay que contarlos. Y acá, en la multiplicación, ¿me puedo dar cuenta rápido, de un vistazo, cuántas veces se repite el número doce? Leo: Quince.

56. Johnny: ¡Qué viva! Ahí tenés el quince. M.: Y estas sumas que están acá (señala el procedimiento de Lautaro), ¿podría haberlas pensado con otra operación que fuera más corta? Laura: Y sí, como ésa. (Señala el procedimiento de Agustín.) Trece por quince, once por quince, doce por quince. M.: Laura dice que estas sumas yo las podría haber hecho con una multiplicación, ¿ están de acuerdo? Muchos alumnos responden afirmativamente. M: Bueno, chicos, vimos todas estas diferentes maneras de resolver este problema Y también que la multiplicación a veces nos sirve para resolver de una manera más corta algunas sumas. ¿Cuándo?19 A: Cuando los números que sumás son los mismos. M.: Bueno, vamos a anotar todo esto que aprendimos en las carpetas.

57. II – Exposición y comparación de los diferentes procedimientos y de las conclusiones grupales. III – Reflexión colectiva sobre la propia práctica: A -¿Consideran que es posible llevar a sus aulas una gestión de este tipo?, ¿qué obstáculos podrían presentarse?, ¿cómo intervendrían frente a ellos?, por ejemplo, ¿qué intervención realizarían frente a un alumno que está bloqueado o detenido en la resolución? B -¿Cómo les parece que se podría presentar el algoritmo de la división en un grupo que maneja estos procedimientos?, ¿cómo los vincularían para que puedan establecer relaciones entre sus formas espontáneas de resolver y los cálculos involucrados en el algoritmo?

58. TERCERA PARTE: “El juego de los mensajes.” Para trabajar en grupos de cuatro: Finalidad: elaborar un mensaje que permita a otro grupo, siguiendo instrucciones, reproducir la figura descripta.

59. Secuencia: 1° etapa: Se entrega las figuras a cada grupo y se les solicita que en 10 minutos escriban un mensaje para otro grupo para que cuando lo reciba, siguiendo sus instrucciones, puedan hacer una figura igual a la recibida. Dichos mensajes no pueden incluir esquemas ni dibujos.

60. 2° etapa: Se intercambian los mensajes. Se aclara que los grupos pueden formular preguntas por escrito al grupo que escribió el mensaje. Pueden escribir tres preguntas en una hoja y el otro grupo las contestará por escrito. Una vez respondidas, si aún falta información, se puede una sola vez más volver a formular otras tres preguntas. Las preguntas no pueden incluir dibujos. Son para aclarar dudas o completar datos que faltan en las instrucciones (ejemplos: ¿cuánto mide la base del triángulo? ¿el círculo va a la derecha o a la izquierda?) Los grupos con las instrucciones y las respuestas recibidas confeccionan la figura.

61. 3° etapa: A medida que los grupos terminan se comparar las figuras producidas con las originales. Discutir la causa de las diferencias. 4° etapa: se realiza una puesta en común. Explican y exponen lo sucedido. Analizan las causas de los errores más comunes.

66. Muchas Gracias!!! Preguntas ÁREA MATEMÁTICA