Bab 3 dari Materi Kuliah Statistik Industri

1. 11/5/2014
1
TEORI PROBABILITAS
Dr Auditya Purwandini Sutarto
TOPIK
• Definisi
• Macam-macam Himpunan
• Operasi dalam Himpunan
• Aturan dalam Himpunan
HIMPUNAN
• Permutasi
• Kombinasi
PERMUTASI &
KOMBINASI
• Definisi
• Kejadian & Ruang Sampel
• Probabilitas Gabungan
• Probabilitas Bersyarat
• Teorema Bayes
PROBABILITAS

2. 11/5/2014
2
HIMPUNAN
DEFINISI
George Cantor ( 1845 – 1918)
 Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau
obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas.
 Setiap benda atau obyek yang termasuk dalam
suatu himpunan disebut anggota atau elemen.
Anggota himpunan ditulis dengan lambang ,
bukan anggota himpunan dengan lambang 
 Dalam Statistik, himpunan dikenal sebagai
populasi.
 Himpunan dilambangkan dengan pasangan kurung
kurawal { }, dan dinyatakan dengan huruf besar:
A, B,...

3. 11/5/2014
3
Contoh Himpunan
 Yang merupakan himpunan adalah:
 Himpunan warna lampu lalu lintas
 Kumpulan bilangan prima kurang dari 10
 I = { X: x < 10, x bilangan cacah }
 H = { 1, 3, 5, 6 }
 Yang bukan merupakan himpunan adalah:
 Kumpulan warna yang menarik
 Kumpulan lukisan yang indah
 Kumpulan siswa yang pintar
 Kumpulan rumah bagus
Penulisan Himpunan
 Cara Pendaftaran.
Unsur himpunan ditulis satu persatu/didaftar
Contoh : A={a,i,u,e,o}, B={1,2,3,4,5}
 Cara Pencirian.
Unsur himpunan ditulis dengan menyebutkan sifat-sifat
/ ciri-ciri himpunan tsb.
Contoh : A={ X : x huruf hidup }
B={ X : 1  x  5 }

4. 11/5/2014
4
MACAM-MACAM HIMPUNAN
a.Himpunan Semesta
 Himpunan yang memuat seluruh objek yang
dibicarakan atau menjadi objek pembicaraan.
 Dilambangkan S atau U.
 Dalam statistik, himpunan semesta ini disebut juga
sebagai ruang sampel
 Contoh : S=U={a,b,c,…..}
S=U={ X : x bilangan asli}
b.Himpunan Kosong.
 Himpunan yang tidak memiliki anggota.
 Dilambangkan { } atau .
c.Himpunan Bagian.
 Himpunan yang menjadi bagian dari himpunan lain.
 Dilambangkan .
 Dalam statistik, himpunan bagian merupakan
sampel.

5. 11/5/2014
5
Contoh :
 Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika
setiap unsur A merupakan unsur B, atau A termuat
dalam B, atau B memuat A.
 Dilambangkan : A  B.
 Banyaknya himpunan bagian dari sebuah n unsur
adalah 2n
Contoh Soal


6. 11/5/2014
6
d. Himpunan Komplemen.
 Himpunan komplemen adalah himpunan semua unsur
yang tidak termasuk dalam himpunan yang
diberikan.
 Jika himpunannya A maka himpunan komplemennya
dilambangkan A’ atau A
A A
John Venn (1834 – 1923)
Diagram Venn
Contoh Soal

S
B

7. 11/5/2014
7
OPERASI HIMPUNAN
A. Operasi Irisan (interseksi)
 Irisan himpunan A dan B adalah suatu
himpunan yang anggotanya merupakan
anggota himpunan A dan sekaligus merupakan
anggota himpunan B.
Contoh Irisan Himpunan
 Diketahui
 S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , 12 }
P = { 1, 2, 4, 6, 9 }
Q = { 4, 5, 9, 10, 12 }
P Q = {4,9}
Diagram Venn

8. 11/5/2014
8
 Dalam suatu kelas yang terdiri dari 40 siswa ternyata 24 siswa
gemar basket saja, 30 siswa gemar tenis, dan 2 siswa tidak gemar
kedua jenis olah raga tersebut. Berapakah siswa yang gemar
basket dan tenis?
 Jawab: Misalkan S = { siswa }
B = { siswa gemar basket }
T = { siswa gemar tenis }
Banyak siswa yang gemar basket dan tenis = x orang,
siswa yang gemar basket saja ada (24 – x) orang, dan yang
gemar tenis saja ada (30 – x) orang, maka :
(24 – x) + x + (30 – x) + 2 = 40
24 – x + x + 30 – x + 2 = 40
54 – x + 2 = 40
56 – x = 40
- x = 40 – 56
- x = - 16
x = 16
 Jadi ada 16 siswa yang gemar basket dan tenis
B.Operasi Gabungan (Union).
 Gabungan himpunan A dan B adalah suatu
himpunan yang anggota-anggotanya merupakan
anggota A saja, anggota B saja, dan anggota
persekutuan A dan B.
 Gabungan dari himpunan A dan himpunan B
dilambangkan A  B.

9. 11/5/2014
9
Contoh
 Diketahui S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { 0, 2, 4, 6, 8 }
B = { 4, 5, 6, 9 }
A  B = {0,2,4,5,6,8,9}
C. Operasi Selisih
 Selisih himpunan A dan B adalah semua unsur
A yang tidak termasuk di dalam B.
 Selisih himpunan A dan himpunan B
dilambangkan A – B atau A  B’

10. 11/5/2014
10
Contoh Soal Selisih
 S
P-G
BEBERAPA ATURAN DALAM HIMPUNAN


11. 11/5/2014
11



12. 11/5/2014
12
Contoh Soal
 Suatu kelas jumlah mahasiswanya 90 orang, 50
orang diantaranya senang matematika, 30 senang
statistik dan 20 orang senang matematika dan
statistik.
 A) berapa orang yang tidak senang statistik dan
matematika?
 B) gambarkan diagram Venn nya!
 A = penyuka Matematika = 50
 B = penyuka statistik = 30
 A  B = 30
S
A B
50 20 30

13. 11/5/2014
13
PERMUTASI & KOMBINASI
PERMUTASI
 Seringkali kita tertarik pada himpunan atau ruang
sampel (dalam statistik) yang berisikan semua
kemungkinan pengaturan atau susunan suatu grup
atau obyek. Contohnya, kita ingin mengetahui
berapa kemungkinan pengaturan duduk 6 orang
mengelingi suatu meja. Pengaturan yang berbeda
ini disebut PERMUTASI
 Permutasi adalah pengaturan semua atau sebagian
obyek ke dalam suatu urutan tertentu
Banyaknya Permutasi untuk n obyek adalah n!

14. 11/5/2014
14
Contoh 1
 3 Objek ABC, pengaturan objek tersebut adalah
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA yang disebut
permutasi. Jadi permutasi 3 objek menghasilkan 6
pengaturan dengan cara yang berbeda.
 Seorang pengusaha ingin dari Jakarta ke Makasar
melalui Surabaya. Jika Jakarta-Surabaya dapat
dilalui dengan tiga maskapai penerbangan dan
Surabaya-Makasar dapat dilalui dengan 2
maskapai penerbangan, ada berapa cara
pengusaha tersebut dapat tiba di Makasar melalui
surabaya?
Soal
 Pada Suatu Tempat terdapat 4 buku matematika yang
berbeda, 3 buku statistik yang berbeda dan 2 buku
akuntansi. Semua buku akan disusun pada sebuah rak
buku. Berapa cara susunan yang mungkin dari kejadian
berikut ini?
1. buku-buku matematika dapat disusun?
2. buku-buku statistik dapat disusun?
3. buku-buku akuntansi dapat disusun?
4. ketiga kelompok buku dapat disusun?
5. Masing-masing kelompok buku (subjek) disusun bersama
(dijadikan satu)?

15. 11/5/2014
15
Permutasi r dari n elemen
Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan
urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen,
dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap
kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama
P n n r
!
n r
n 
r )


(
( )!
Contoh 2.
 Kode buku di sebuah perpustakaan panjangnya 7
karakter (digit) yang terdiri dari 4 huruf berbeda
dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula.
Berapakah banyaknya kode buku yang dapat
disusun?
 Jawab:
26 ,4 10 ,3 26 !
   
(10 3)!
258 .336 .000
10 !
(26 4)!




P  P 

16. 11/5/2014
16
Contoh 3.
 Dalam satu tahun, 3 penghargaan (riset, pengajaran, &
pengabdian) diberikan pada 25 mahasiswa pasca sarjana
suatu jurusan statistik. Jika setiap mahasiswa hanya dapat
menerima paling banyak 1 penghargaan, berapa banyaknya
kemungkinan?
 Karena penghargaan tersebut dapat dibedakan dengan jelas,
maka ini merupakan masalah permutasi. Banyaknya titik
sampel adalah
25!
25!
  25 (24 )( 23) 13 .800
25 3   
22!
25 
3 !
P 
Permutasi dari n obyek dengan pengembalian
 Permutasi dari n objek dengan pengembalian
dirumuskan :
r
n r P  n
 Catatan: Pada dasarnya masalah ini tidak dapat dipecahkan dengan
permutasi. Rumus di atas merupakan kaidah perkalian biasa

17. 11/5/2014
17
Contoh 4.
 Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5
angka berikut: 1, 2, 3, 4 , 5, jika:
a) Tidak boleh ada pengulangan angka
b) Boleh ada pengulangan angka.
 Jawab :
a) Tidak boleh ada pengulangan
 Dengan kaidah perkalian: (5)(4)(3) = 60 buah
 Dengan rumus permutasi P(5, 3) = 5!/(5 – 3)! = 60
b) Boleh ada pengulangan angka
 Dengan kaidah perkalian: (5)(5)(5) = 53= 125.
Permutasi dari n obyek yang disusun
melingkar
n  1 !
 Dalam suatu permainan bridge terdapat 4 orang
pemain yang duduk melingkar. Jika 1 orang duduk
dalam posisi tetap, maka ada 3! Atau 6 cara kita
bisa melalukan pengaturan duduk yang berbeda

18. 11/5/2014
18
Permutasi dari n obyek yang terdiri dari
sekumpulan sel.
 Banyaknya cara untuk membagi sekumpulan n obyek
kedalam sel sebanyak r dengan n1 adalah elemen
dalam sel 1, n2 adalah elemen dalam sel kedua, dan
seterusnya adalah
!
n


nPn n n n   
r n n n
! !... !
, ,...,
, ,...,
1 2 1 2
1 2
r r
n n n

 
 Dengan n1+n2+ … + nr = n
Contoh 5.
 Dalam berapa cara 7 orang mahasiswa pasca
sarjana yang sedang menghadiri konferensi dapat
ditempatkan di kamar hotel yang terdiri atas 1
kamar triple dan 2 double?
210
7 !
3 !2 !2 !
7
3, 2 ,2

  

 

19. 11/5/2014
19
Contoh 6.
 Berapakah banyaknya pengaturan huruf yang
dapat disusun dari huruf-huruf dalam kata
STATISTICS
 Disini kita memiliki 10 huruf, dengan dua huruf yaitu
S & T muncul 3 kali, huruf I muncul 2 kali, dan A & C
masing-masing 1 kali
50400
10 !
3 !2 !2 !1 !1 !
10
3, 3,2 , 1, 1

   

 
KOMBINASI
 Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa
objek tanpa memperhatikan urutan objek
tersebut .
!
C n n
 Dimana : n  r
r 
! !
r (n r)

20. 11/5/2014
20
Contoh 7
 Seorang ibu meminta anaknya memilih 3 baju dari
10 baju di suatu department store. Berapakah
banyaknya cara memilih 3 dari 10 baju tersebut?
120
10 !
3! (10 30 )!
10
3



  

 
2. Hubungan permutasi dengan
kombinasi.
 Hubungan permutasi dan kombinasi
dinyatakan sebagai berikut :
P r!C C P
n
n
r  atau 
n r
r
r!
n
r

21. 11/5/2014
21
Petunjuk Dalam Penghitungan
 Kapan harus menggunakan aturan penjumlahan,
aturan perkalian, permutasi atau kombinasi ?
 Baca pertanyaan dengan teliti. Perhatikan apakah
masalah tersebut mengandung 2 macam aturan yang
berbeda. Jika demikian, pikirkan aturan manakah yang
yang dipakai untuk menggabungkan bagian-bagian
tersebut (aturan penjumlahan atau aturan perkalian).
Apabila bagian-bagian tersebut merupakan suatu proses
berurutan, maka aturan perkalian digunakan untuk
menggabungkannya. Akan tetapi jika bagian tersebut
merupakan pecahan dari masalah utama di masing-masing
bagian terpisah satu sama lain, maka aturan
penjumlahan yang dipakai.
 Baca teliti permasalahan. Cari kata kuncinya. Kata kunci
penggunaan kombinasi adalah pemilihan objek-objek
yang tidak diperhatikan urutannya. Sedangkan kata kunci
untuk permutasi adalah pengaturan objek-objek yang
aturannya diperhatikan.

22. 11/5/2014
22
PROBABILITAS
DEFINISI
 Probabilitas diartikan sebagai hasil bagi dari
banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan
seluruh peristiwa yang mungkin.
P(A)  X
n
Keterangan :
P(A) = probabilitas terjadinya kejadian A
X = peristiwa yang dimaksud
n = banyaknya peristiwa yang mungkin

23. 11/5/2014
23
 Proporsi waktu terjadinya peristiwa dalam
jangka panjang, jika kondisi stabil ; atau
 Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam
sejumlah besar percobaan.
P(X)  f i
n
Keterangan :
P(X) = probabilitas peristiwa i
fi = frekuensi peristiwa i
n = Banyaknya peristiwa.
Probabilitas memiliki batas mulai
0 sampai dengan 1 ( 0  P  1 )
 Jika P = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya
kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi.
 Jika P = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya
kejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi.
 Jika 0  P  1, disebut probabilitas
kemungkinan,artinya kejadian atau peristiwa tersebut
dapat atau tidak dapat terjadi.

24. 11/5/2014
24
PERCOBAAN, RUANG SAMPEL, TITIK SAMPEL &
PERISTIWA
 Percobaan adalah proses mendapatkan suatu
pengamatan atau pengambilan suatu pengukuran.
 Titik Sampel adalah setiap anggota dari ruang
sampel.
Ruang Sampel
 Ruang sampel adalah himpunan/kumpulan
semua hasil yang mungkin pada suatu
percobaan.
1. Melemparkan koin– hasil S ={Kepala, Ekor}
2. Menggulingkan suatu dadu– hasil
S ={ , , , , , }
={1, 2, 3, 4, 5, 6}

25. 11/5/2014
25
3. Melemparkan dua dadu seimbang– 36 hasil
S ={ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
hasil (x, y),
x = nilai yang terlihat pada dadu 1
y = nilai yang terlihat pada dadu 2

26. 11/5/2014
26
Kejadian (Event)
 Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian
dari ruang sampel pada suatu percobaan, atau hasil
dari percobaan.
S
E
Contoh
1. Menggulingkan sebuah dadu – hasil yg mungkin
S ={ , , , , , }
={1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = Kejadian muncul angka genap
= {2, 4, 6}
={ , , }

27. 11/5/2014
27
2. Melemparkan dua dadu seimbang– 36
outcomes
E = Kejadian jumlah angka yang muncul adalah 7
={ (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6)}

28. 11/5/2014
28
Contoh Probabilitas Kejadian
 Suatu kelas statistik untuk para insinyur diikuti oleh
mahasiswa teknik industri 25 orang, mesin 10 orang,
elektro 10 orang, dan sipil 8 orang. Jika seorang
mahasiswa dipilih secara acak oleh instrukturnya untuk
menjawab suatu pertanyaan, berapakah probabilitas
mahasiswa tersebut adalah
 Dari jurusan teknik industri
 Dari jurusan teknik sipill atau elektro?
 Jika I menyatakan kejadian mahasiswa teknik industri terambil
P  I 
 25
53
 Probabilitas mahasiswa Sipil atau Elektro terambil:
P  SE 
 18
53
Contoh Probabilitas Kejadian
 Suatu laci berisikan 4 pasang kaos kaki warna
merah dan 16 pasang warna biru. Dodi akan
mengambil 2 pasang secara acak tanpa
pengembalian. Berapakah kemungkinan keduanya
berwarna sama? (dengan kata lain terambil
keduanya merah ATAU semua biru)?
 Jawab
MM:(4/20) x(3/19) = 0.0316
BB: (16/20) x(15/19)=0.6316
P (MM  BB) = 66.32%

29. 11/5/2014
29
 5 buah kartu diambil secara acak dari 52 kartu
remi. Berapakah kemungkinan paling tidak satu As
di tangan?
 Ruang Sampel,
S = {0,1,2,3,4,5)  S = {0, paling tidak ada 1 AS)
 P (paling tidak 1 AS) = 1 – P(tidak ada AS sama
sekali)
Contoh Simple Random Sample (Hubungan
Kombinasi dengan Probabilitas)
 Suatu sampel berukuran 5 akan diambil dari
populasi sebanyak 4 wanita, 6 pria. Berapakah
banyaknya kesempatan terambil 3 wanita dan 2 pria
dalam sampel? Berapakah kemungkinan terambil 3
wanita dan 2 pria?

30. 11/5/2014
30
 Jawab
252
10

  

 
 Total banyaknya sampel yang berbeda
5
 Banyaknya 3 wanita terambil dari 4 wanita

 Banyaknya 2 pria terambil dari 6 pria
 Banyaknya sampel berbeda yang dapat diambil dari 3
wanita dan 2 pria
 
4

3
 

 
6

2
 

 


 
 

 
6
2
4
3
 Kemungkinan terambil 3 wanita dan 2 pria adalah
0 . 2381
4 15
252


10
2
6
2
4
3




 

 

 
 
 

 
REVIEW Himpunan & Diagram Venn
Hubungan antara
Kejadian dan Ruang
Sampel terkait

31. 11/5/2014
31
ATURAN PENAMBAHAN (ADDITIVE
RULES)
 Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak
saling lepas, apabila kedua peristiwa atau lebih
tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan.
 Jika A dan B masing-masing merupakan suatu
kejadian yang tidak saling lepas, maka aturan
penambahannya adalah
Contoh
 Yunus adalah sarjana fresh graduate lulusan teknik
industri. Setelah diwawancarai oleh dua perusahaan
yang ia minati, ia menilai kemungkinan mendapatkan
pekerjaan di perusahaan A adalah 0.8 dan
perusahaan B adalah 0.6 Ia percaya bahwa ia akan
mendapatkan penawaran dari kedua perusahaan
tersebut sebesar 0.5. Berapakah peluang ia akan
mendapatkan tawaran dari salah satu perusahaan?
P(A  B)  P(A)  P(B) - (P(A B)  0.8  0.6 - 0.5  0.9

32. 11/5/2014
32
Contoh Latihan Soal
 Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3
dan peluangnya lulus biologi 4/9. Bila peluangnya
lulus paling sedikit satu mata kuliah 4/5 berapakah
peluangnya lulus dalam kedua mata kuliah?
Kejadian-kejadian Saling Lepas (Mutually
exclusive/disjoint)
Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling
lepas jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat
terjadi pada saat yang bersamaan
 Contoh
 Percobaan: melempar dadu. A: kejadian muncul angka 1,
dan B kejadian muncul angka 4 tidak mungkin muncul
bersamaan
 Percobaan: mengikuti SMPTN: A: kejadian diterima, B:
kejadian tidak lolos

33. 11/5/2014
33
Aturan Penambahan pada Kejadian
Mutually Exclusive
Jika peristiwa A dan B mutually exclusive,
probabilitas terjadinya peristiwa tersebut
adalah :
P (A atau B) = P (A) + P (B) atau
P ( A  B) = P (A) + P (B)
AB  A B
Contoh
 Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau
11 ketika sepasang dadu digulirkan?
 A = kejadian mendapatkan total 7
 B = kejadian mendapatkan total 11
 P(A) = 1/6 dan P(B) = 1/18
 Kedua kejadian tersebut mutually exclusive

34. 11/5/2014
34
 Jika probabilitas seseorang membeli mobil
berwarna hijau, putih, merah dan kuning, masing-masing
berturutan adalah 0.09, 0.15, 0.21, dan
0.23, berapakah probabilitas seorang pembeli
membeli salah satu mobil dengan warna diatas?
Contoh
 Berikut ini adalah satu set kartu remi. Berapakah probabilitas
terambil kartu King ATAU kartu berangka 4?
 Berapakah probabilitas terambil kartu King ATAU kartu
berwarna merah?

35. 11/5/2014
35
 P ( King atau 4) = P(King  4) =P (King) + P(4)
= (4/52) + (4/52) = 0.154
 P (King atau merah) = P(King)+P(merah)-P(K dan merah)
= (4/52)+(26/52)-(2/52)

36. 11/5/2014
36
Aturan Penambahan pada Peristiwa
Komplementer
 Jika A dan A’ atau A
adalah kejadian yang saling
komplementer, maka
Bukti: karena dan peristiwa A dan A’
adalah mutually exclusive, maka
Contoh
 Jika probabilitas seorang montir dalam satu hari
kerja dapat memperbaiki mobil sebanyak 3, 4, 5, 6,
7, atau 8 ke atas secara berturutan adalah 0.12;
0.19; 0.28; 0.24; 0.10, dan 0.07, maka berapakah
probabilitas ia akan melayani sedikitnya 5 mobil
pada hari berikutnya?
 Anggap E merupakan kejadian sedikitnya 5 mobil
diperbaiki. Jadi E’ adalah kejadian kurang dari 5
mobil diperbaiki
   
0.12 0.19 0.31
     
P(E )
( ) 1 1 0.31 0.69
P E P(E )

37. 11/5/2014
37
Peristiwa yang Saling Independen
(Bebas)
 Apabila terjadinya peristiwa yang satu tidak
mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain
 Dua proses dikatakan independen jika hasil proses
pertama tidak memberikan informasi berguna (tidak
berpengaruh pada hasil proses kedua)
 Contoh kejadian saling bebas/independen
 Melemparkan suatu koin (munculnya ekor atau kepala tidak
tergantung sama lain)
 Menggulirkan dadu (munculnya angka 2 tidak tergantung
dengan munculnya angka lain pada pelemparan
berikutnya)
 Mengambil kartu dalam satu set kartu dengan
pengembalian
Aturan Perkalian pada Kejadian
Independen
 Probabilitas terjadinya irisan dua kejadian secara
umum adalah sebagai berikut
PA B  PA | B P(B)  PB | A PA
 Jika kejadian A dan B independen, probabilitas
irisan (interaksi) kejadian A dan B sama dengan
perkalian probabilitas A dan B, yaitu,
   
PAPB
(  )  |
P A B P A B P B


38. 11/5/2014
38
 Jika kejadian A dan B adalah independen, maka
Contoh Independensi & multiplikasi
 Dua pengambilan secara acak dari
 P(keduanya adalah )
 Dengan pengembalian = (3/5)x(3/5)
 Tanpa pengembalian = (3/5)x(2/4)
 Independensi tidak menentukan apakah kita harus
mengalikan atau tidak; hal itu ditentukan “kedua
kejadian harus terjadi bersamaan”
 Independensi mempengaruhi APA yang dikalikan

39. 11/5/2014
39
Contoh
 Pada tahun 2012 Survei Gallup menyatakan negara
bagian Virginia Barat memiliki tingkat obesitas
tertinggi di seluruh AS sebesar 33.5%. Dengan
mengasumsikan tingkat obesitas konstan, berapakah
probabilitas dua penduduk West Virginia yang
dipilih secara acak keduanya mengidap obesitas?
 P(obesitas) = 0.335
 P(keduanya obesitas) = P(pertama obesitas)xP(kedua
obesitas) = 0.335 x 0.335 = 0,111
Mutually Exclusive/Disjoint vs Independen
Dua peristiwa dikatakan
Disjoint (mutually
exclusive) jika keduanya
tidak dapat terjadi secara
bersamaan pada satu
waktu
Dua proses dikatakan
independen jika
mengetahui hasil proses
yang satu tidak
berpengaruh pada hasil
proses lainnya
P(A dan B) =P (A  B) = 0 P(A|B) =P (A)

40. 11/5/2014
40
PROBABILITAS BERSAMA (JOINT
PROBABILITY)
 Terjadinya 2 peristiwa atau lebih secara berurutan
dan peristiwa-peristiwa tersebut tidak saling
mempengaruhi.
 Jika peristiwa A dan B gabungan, probabilitas
terjadinya peristiwa tersebut adalah :
P (A  B) = P (A) x P (B)

41. 11/5/2014
41
Contoh
 Suatu penarikan dibuat secara acak dari
 Berapakah probabilitas penarikan kedua adalah ?
 P(penarikan kedua ) = P(penarikan pertama
dan penarikan kedua )
Contoh
 World Values Survey (www.worldvaluessurvey.org ,
suatu lembaga survei yang melakukan di seluruh dunia
mengenai persepsi tentanghidup, keluarga, politik, dll.
Salah satu hasil survei terhadap 77,882 orang dari 57
memperkirakan 36.2% penduduk dunia setuju bahwa
“Laki-laki seharusnya memiliki hak pada pekerjaan
lebih banyak dibandingkan wanita”
 Hasil survei juga memperkirakan 13.8% orang memilik
gelar sarjana atau lebih tinggi dan 3.6% orang masuk
kedua kriteria tersebut (setuju dan bergelar sarjana)
P (setuju) = 0.362
P(gelar sarjana = 0.138
P(setuju & gelar sarjana)= 0.036

42. 11/5/2014
42
 Pertanyaan:
1. Apakah setuju dengan pernyataan “Laki-laki
seharusnya memiliki hak pada pekerjaan lebih
banyak dibandingkan wanita” dan memiliki gelar
sarjana atau lebih tinggi merupakan dua peristiwa
mutually exclusive?
P (setuju) = 0.362
P(gelar sarjana) = 0.138
P(setuju & gelar sarjana)=0.036 ≠ 0 tdk mutually exclusive
2. Gambarkan Diagram Venn-nya
Setuju Sarjana
0.362 0.036 0.138
0.362 – 0.036 = 0.326 0.138 – 0.036 = 0.102

43. 11/5/2014
43
3. Berapakah probabilitas seseorang yang diambil
secara acak akan memiliki gelar sarjana atau setuju
dengan “Laki-laki seharusnya memiliki hak pada
pekerjaan lebih banyak dibandingkan wanita”
Setuju Gelar
0.362 0.036 0.138
PA  B  P( A)  P(B)  P(A  B)
P (Setuju atau Gelar Univ)
= P(Setuju)+P(Gelar Univ) - P(Setuju &Gelar Univ)
= 0.362 + 0.138 – 0.036 = 0.464
4. Berapa persen populasi di dunia yang tidak
memiliki gelar sarjana dan tidak setuju dengan
pernyataan “Laki-laki seharusnya memiliki hak
pada pekerjaan lebih banyak dibandingkan
wanita”?
P (Tidak Setuju atau Tidak bergelar Sarjana)
= 1- P(Setuju atau Sarjana)
= 1 - 0.464 = 0.536
Setuju Sarjana
0.362 0.036 0.138
0.536
S

44. 11/5/2014
44
5. Apakah kejadian seseorang setuju dengan
pernyataan tersebut Independen (saling bebas)
dengan kejadian mereka memiliki gelar sarjana?
PA  B  P(A)  P(B)
P (Setuju dan Gelar Sarjana) ? = ? P (Setuju ) x P (Gelar Sarjana0
0.036 ?=? 0.362 x 0.138
0.036 ≠ 0.05 tidak independen
6. Berapakah probabilitas paling tidak ada 1 dari 5
orang terpilih secara acak setuju dengan pernyataan
“Laki-laki seharusnya memiliki hak pada pekerjaan
lebih banyak dibandingkan wanita”?
 Ruang Sampel,
S = {0,1,2,3,4,5)  S = {0, paling tidak ada 1 AS)
 P (paling tidak 1 setuju) = 1 – P (tidak ada yang setuju)
= 1 P ( TS TS TS TS TS)
= 1 - 0.6385
= 1 – 0.106 = 0.894
P (Tidak Setuju)
= 1 – P (Setuju)
= 1 – 0.362
= 0.638

45. 11/5/2014
45
PROBABILITAS BERSYARAT
(CONDITIONAL PROBABILITY)
 Probabilitas terjadinya suatu peristiwa/kejadian
dengan syarat ada peristiwa lain yang terjadi.
 Jadi ada peristiwa yang satu dipengaruhi atau
bergantung pada peristiwa lainnya (kedua
peristiwa tersebut tidak saling bebas)
 Probabilitas Bersyarat peristiwa A ketika diketahui
peristiwa B terjadi adalah (diasumsikan P(B) >0),
maka
P(A | B) P(A B) 
P(B)

P(A | B) P(A B) 
P(B)

P(A  B)  P(B)P(A | B)  P(A)P(B | A)

46. 11/5/2014
46
Contoh. Probabilitas Bersyarat
 Probabilitas suatu penerbangan berangkat tepat waktu
adalah P(B)=0.83; probabilitas kedatangan tepat
waktu adalah P(D) = 0.82; dan probabilitas berangkat
dan datang tepat waktu adalah P(B∩D)=0.78. Carilah
probabilitas suatu penerbangan
 Datang tepat waktu diberikan ia berangkat tepat waktu
 Berangkat tepat waktu diberikan ia datang tepat waktu
 Datang tepat waktu diberikan ia berangkat TIDAK tepat
waktu
 Datang tepat waktu diberikan ia berangkat tepat
waktu
 
  0.94
(D | B) D B  0.78

0.83

B
P 
P
P
 Berangkat tepat waktu diberikan ia datang tepat
waktu
 
  0.95
(B | D) D B  0.78

0.82

D
P 
P
P
 Datang tepat waktu diberikan ia berangkat TIDAK
tepat waktu
  

  0.24
(D | B ) D B 0.82 0.78

0.17
B



 
P
P P

47. 11/5/2014
47
Contoh: Kejadian Independen & Dependen
Pada Probabilitas Bersyarat
 Dua kartu diambil secara acak dari susunan kartu
berwarna
 P (kartu kedua adalah ) = 3/5 tidak peduli
apakah kartu pertama dikembalikan atau tidak
 P(kartu kedua |kartu pertama ) =
 Dengan pengembalian = 3/5
 Tanpa pengembalian = 2/4
 P (kartu kedua |kartu pertama )
 Dengan pengembalian = 3/5
 Tanpa pengembalian = 3/4
Independen
Dependen
Independen
Dependen
Contoh: Probabilitas Marginal, Bersama,
dan Bersyarat
 Terdapat suatu studi tentang cara pandang remaja
pada status/kelas sosial mereka
 Sampel: 48 subyek dari kelas menengah ke bawah
dan 50 dari kelas menengah ke atas (usia setiap
subyek16 tahun)
 Rancangan Studi
 Penilaian OBYEKTIF terhadap kelas sosial berdasarkan
pekerjaan dan pendidikan orangtua serta pendapatan
RT
 Penilaian SUBYEKTIF melalui kuesioner
Study reference: Goodman, Elizabeth, et al. "Adolescents’ understanding of social class: a comparison of white upper
middle class and working class youth." Journal of adolescent health 27.2 (2000): 80-83.

48. 11/5/2014
48
Hasil
Hasil Posisi Kelas Sosial Obyektif
Identitas Kelas
Sosial secara
Subyektif
Menengah
ke bawah
Menengah ke
atas
Total
Miskin 0 0 0
Menengah ke
bawah 8 0 8
Menengah 32 13 45
Menengah ke
atas 8 37 45
Atas 0 0 0
Total 48 50 98
Probabilitas Marginal
Hasil Posisi Kelas Sosial Obyektif
Identitas Kelas
Sosial secara
Subyektif
Menengah
ke bawah
Menengah ke
 Berapakah probabilitas seorang pelajar
berada pada posisi kelas sosial menengah ke
atas secara obyektif? P = 50/98 ≈ 0,51
atas
Total
Miskin 0 0 0
Menengah ke
bawah 8 0 8
Menengah 32 13 45
Menengah ke
atas 8 37 45
Atas 0 0 0
Total 48 50 98

49. 11/5/2014
49
Probabilitas Bersama
Hasil Posisi Kelas Sosial Obyektif
Identitas Kelas
Sosial secara
Subyektif
Menengah
ke bawah
Menengah ke
atas
Total
Miskin 0 0 0
Menengah ke
bawah 8 0 8
Menengah 32 13 45
Menengah ke atas 8 37 45
Atas 0 0 0
Total 48 50 98
 Berapakah probabilitas seorang pelajar secara subyektif dan
obyektif berada pada kelas sosial menengah ke atas?
P(Suby MA & Oby MA)  P(Suby MA  Oby MA)  37 
98 0,38
Probabilitas Bersyarat
Hasil Posisi Kelas Sosial Obyektif
Identitas Kelas
Sosial secara
Subyektif
Pekerja
Menengah ke
atas
Total
Miskin 0 0 0
Pekerja 8 0 8
Menengah 32 13 45
Menengah ke
atas 8 37 45
Atas 0 0 0
Total 48 50 98
 Berapakah probabilitas seorang pelajar yang secara obyektif
berada pada kelas sosial pekerja berhubungan dengan kelas sosial
menengah ke atas scr subyektif
P(Suby MA | Oby Pekerja)  8 
48 0,17

50. 11/5/2014
50
Teorema Bayes
Hasil Posisi Kelas Sosial Obyektif
Identitas Kelas
Sosial secara
Subyektif
Pekerja
Menengah ke
atas
Total
Miskin 0 0 0
Pekerja 8 0 8
Menengah 32 13 45
Menengah ke
atas 8 37 45
Atas 0 0 0
Total 48 50 98
 
8 98
P(A | B) P(A B) 
P(B)

(Suby MA | Oby Pekerja)  Suby MA | Oby Pekerja  
  0,17
48 98
Oby Pekerja
P
P P
Contoh: Probabilitas Bersyarat, Pohon
Probabilitas, & Teorema Bayes
 Suatu pabrik memiliki dua mesin untuk memproduksi
tipe produk tertentu. Mesin A menghasilkan 80%
dan mesin B sisanya (20%). Baik kedua mesin akan
menghasilkan produk cacat mesin A sebanyak 1%
dan mesin B sebanyak 2%
 Berapakah kemungkinan produk yang dihasilkan mesin
A itu cacat?
 Berapakah probabilitas produk yang dihasilkan kedua
mesin itu cacat?
 Jika suatu produk diambil secara acak, berapakah
probabilitas produk cacat terambil itu dihasilkan dari
mesin A

51. 11/5/2014
51
 P(A) = 0,8
 P(B) = 0,2
A
B
0.8
0.2
0.01 cacat
OK
0.99
0.02 cacat
OK
0.98
 P(A & Cacat) = 0.8 x 0.01 = 0.008
 P(Cacat) = P(A & Cacat) + P(B & cacat) = 0.008+0.004=0,012
(A | Cacat) (A Cacat) 0.8 
0.01

    0.67
0.8 0.01 0.2 0.02
(Cacat)
  



P
P P
ATURAN BAYES: Digunakan untuk menemukan probabilitas bersyarat suatu kejadian
pada tahap sebelumnya dengan diberikan hasil tahap sesudahnya
Contoh
 Diketahui suatu penyaki ttertentu akan diidap oleh 1% dari
suatu populasi
 Hasil tes terhadap penyakit akan ditandai + (jika terindikasi
positif) dan – (jika negatif)
 Pengujian itu sendiri tidak selalu tepat. Diantara mereka yang
memiliki penyakit tersebut ketika menjalani tes sebanyak 0,5%
akan menunjukkan hasil - negatif (false negative – dianggap
negatif padahal positif). Diantara mereka yang TIDAK
memiliki penyakit tersebut ketika diuji sebanyak 0,8% akan
menunjukkan hasil positif.
 Seseorang diambil secara acak dari populasi. Berapakah
kemungkinan orang tersebut memiliki penyakit jika diketahui
hasil tes nya positif +

52. 11/5/2014
52
S
TS
0.01
0.99
0.995
0.005
0.002 +
-
0.992
+
-
 
      0.56
(S | ) 0.01 
0.995 
0.01  0.995  0.99 
0.008



P  
P S
P