1. EXEMPLE 1
Étudier la fonction f (x) = x² sur l'intervalle [-2; 3]

2. EXEMPLE 1
On étudie f (x) = x² sur l'intervalle [-2; 3]
Première étape : L'intervalle d'étude est [-2; 3]
Deuxième étape : f '(x) = 2x
Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0
f '(x) = 0 est équivalent à 2x = 0 soit x = 0 ( résultat placé en première ligne)
x -2 0 3
Signe de f ' - 0 +
Variation de f 4 0 9
Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-2) , f (0) et f (3)
f (-2) = (-2)² = 4 f (0) = 0² = 0 f (3) = 3² = 9

3. EXEMPLE 1
Quatième étape :
A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-2 ; 4) , 0 ; 0) et (3 ; 9)
et puis tracer à main levée l'allure de la courbe
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1 0 1 2 x
-1

4. EXEMPLE 2
Étudier la fonction f (x) = 2x² + 5x +1
sur l'intervalle [-3 ; 1]

5. EXEMPLE 2
On étudie f (x) = 2x² + 5x +1 sur l'intervalle [-2; 3]
Première étape : L'intervalle d'étude est [-3; 1]
Deuxième étape : f '(x) = 2×2x+ 5 = 4x + 5
Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0
f '(x) = 0 est équivalent à 4x+5 = 0 soit 4x = -5 d'où x = -5/4 = -1,25
x -3 -1,25 1
Signe de f ' - 0 +
Variation de f 4 -2,125 8
Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-3) , f (-1,25) et f (1)
f (-3) = 2×(-3)² + 5×(-3) +1 = 4
f (-1,25) = 2×(-1,25)² + 5×(-1,253) +1 = -2,125
f (1) = 2×1² + 5×1 +1 = 8

6. EXEMPLE 2
Quatrième étape :
A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-3 ; 4) , (-1,25 ;-2,125)
et (1 ; 8) et puis tracer à main levée l'allure de la courbe
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-2 -1 0 1
x
-1
-2

7. EXEMPLE 3
3 2
xx
Étudier la fonction f (x) =  −2x1
32
sur l'intervalle [-3 ; 2]

8. EXEMPLE 3
x3 x2
On étudie f (x) =  −2x1 sur l'intervalle [-3; 3]
32
Première étape : L'intervalle d'étude est [-3; 3]
3x 2 2x
Deuxième étape : f '(x) =  −2 = x²+x-2
3 2
Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0
f '(x) = 0 est équivalent à x²+x-2 = 0
∆ = b² – 4ac = 1² - 4×1×(−2) = 9
a=1 b= 1 c = -2 d'où
Comme le résultat ∆ > 0 , il y a deux solutions x1 et x2. x1 = -2 et x2 = 1
x -3 -2 1 3
Signe de f ' + 0 - 0 +
Variation de f 2,5 4,33 -0,17 8,5
Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-3) , f (-2) , f (1) et f(3)
f (-3) = 2,5 f (-2) = 4,33 f (1) = -0,17 f (3) = 8,5

9. EXEMPLE 3
Quatrième étape :
A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-3 ; 2,5) , (-2 ;4,33) ,
(1 ;-0,17) et (3 ; 8,5) et puis tracer à main levée l'allure de la courbe
y
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-2 -1 0 1 2 x
-1

10. EXEMPLE 4
2
Étudier la fonction f (x) = x
sur l'intervalle [-4 ; -0,5]

11. EXEMPLE 4
2
On étudie f (x) = sur l'intervalle [-4; -0,5]
x
Première étape : L'intervalle d'étude est [-4; -0,5]
2
Deuxième étape : f '(x) = −
x²
Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) =0
2
f '(x) = 0 est équivalent à − = 0 . Il n'y a pas de solution
x²
Comme x² est positif (quelque soit la valeur de x ), la division de (-2) par x² est négatif
x -4 -0,5
Signe de f ' -
Variation de f -0,5 -4
Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (-4) , f (-0,5)

12. EXEMPLE 4
Quatrième étape :
A partir du tableau de variation, on peut placer les points (-4 ; -0,5) , (-0,5 ;-4) ,
et puis tracer à main levée l'allure de la courbe
y
1
-4 -3 -2 -1 0 1 x
-1
-2
-3
-4
-5

13. EXEMPLE 5
900
Étudier la fonction f (x) = x x
sur l'intervalle [10 ; 90]

14. EXEMPLE 5
2
On étudie f (x) = sur l'intervalle [10; 90]
x
Première étape : L'intervalle d'étude est [10; 90]
900
Deuxième étape : f '(x) = 1−
x²
Troisième étape : Résolution de l'équation f '(x) = 0
900
f '(x) = 0 est équivalent à 1− = 0 soit x² = 900
x²
Les solutions à cette équation sont x1 = -30 et x2 = 30
x 10 30 90
Signe de f ' - 0 +
Variation de f 100 40 100
Pour compléter la troisième ligne, il faut calculer f (10) , f (30) et f (90)

15. Quatrième étape :
A partir du tableau de variation, on peut placer les points (10 ; 100) , (30,40) et
(90,100)
et puis tracer à main levée l'allure de la courbe
y
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 x
-10
-20