Gaussiano y ruido comunicacion analogicas

5. COMPORTAMIENTO DE SISTEMAS DE
COMUNICACIÓN ANALOGICA
EN PRESENCIA DE RUIDO

5.1 Procesos estocásticos pasabanda. Teoremas.
Propiedades de los procesos estocásticos pasabanda
p p p
WSS
5.2 Ruido. Definición y clasificación. Fuentes de ruido.
Ruido térmico y ruido aditivo gausiano
gausiano.
5.3 Efectos de ruido en sistemas de modulación analógica
lineal. Relación de señal a ruido (SNR) para DSB-SC,
SSB,
SSB AM con detección de prod cto y con detección de
producto
envolvente.
5.4 Efectos de ruido en sistemas de modulación angular.
g
SNR para PM y FM. FM con extensión de umbral y FM
con de-énfasis
5.5
5 5 Comparación de sistemas analógicos

COMUNICACIONES ANALOGICAS, 1T, 2011

Procesos Gaussianos
•Sea X(t) un proceso estocástico observado entre t=0 y
t=T. Si definimos la variable aleatoria Y como el funcional
lineal d X(t)
li l de X(t):
T
Y   g (t ) X (t )dt
0

•Se dice que X(t) es un proceso Gaussiano si cada
funcional lineal de X(t) es una variable aleatoria
Gaussiana.


Procesos Gaussianos
•Se dice que la variable aleatoria Y tiene una distribución
Gaussiana, si su función de densidad de probabilidad
, p
tiene la siguiente forma:
1  ( y  Y ) 2 
fY ( y )  e  
2 Y  2 Y 
2

•Donde Y s la media de la distribución y 2Y es su
varianza


Procesos Gaussianos
•Normalizado para media igual a cero y varianza 1

 y2 
 
1  2 
fY ( y )  e  

2
•Este tipo de procesos tiene dos
ventajas:
•Este proceso posee propiedades
que hacen posible los resultados
analíticos,
analíticos
•Los posesos aleatorios de los
fenómenos físicos pueden ser
representados por este proceso
proceso.


Teorema de Límite central
•Proporciona la justificación matemática para usar el proceso
Gaussiano como un modelo para un número grande de fenómenos
físicos en que la variable aleatoria observada, en un instante de
tiempo en particular es el resultado de un gran número elementos
a eato os d dua es
aleatorios individuales.

•Para formular este teorema, digamos que Xi, i=1,2,…, N, es un set
de variables aleatorias que satisfacen los siguientes requerimientos:

• Xi son estadísticamente independientes

•Xi tienen la misma distribución de probabilidad con media X y
varianza 2x


Teorema de Límite central
•Las Xi así definidas constituyen un set de variables aleatorias
idénticamente e independientemente distribuidas.
•Estas VA son normalizadas como sigue:
1
Yi   X i  X  , i  1 2,..., N
1, 2 •El teorema de Limite central
X
establece que la distribución de
E[Yi ]  0 probabilidad de VN se aproxima a
var[Yi ]  1 una di t ib ió G
distribución Gaussiana
i
N Ɲ(0,1) , en el limite cuando N se
1
VN 
N
Yi 1
i Variable aleatoria aproxima al infinito

•Tomar en cuenta que el teorema del limite central da solamente la forma de
limitar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria normalizada VN
cuando N se aproxima a infinito
•Cuando N es finito, esto en ocasiones consigue que el limite gaussiano de
una relativamente pobre aproximación para la distribución real de VN a pesar
de
d que N puede ser b t t grande.
d bastante d


Propiedades de un proceso
Gaussiano
1. Si un proceso aleatorio X(t) es aplicado a un filtro lineal estable,
entonces el proceso aleatorio Y(t) desarrollado en la salida del
filtro también es Gaussiano

2. Considere el set de variables aleatorias o muestras X(t1), X(t2), …,
X(tn), obtenidas observando el proceso aleatorio X(t) en los
tiempos t1,t2,…,tn. Si el proceso X(t) es Gaussiano, entonces este
p , , , p () ,
set de variables aleatorias es conjuntamente Gaussiano para
cualquier n, con sus n densidades de probabilidad conjunta siendo
completamente determinada por especificar el conjunto de medias:

 X  E[ X (ti )], i  1, 2,..., n
C X (tk , ti )  E[( X (tk )   X (t ) )( X (ti )   X (t ) )]
k i


Gaussiano
Extendiendo la propiedad a dos o mas procesos aleatorios: Considere las
variables aleatorias X(t1), X(t2),…,X(tn), Y(u1), Y(u2), …,Y(um) obtenidas
observando los procesos aleatorios X(t) y Y(t) en los tiempos {ti i=1 2 n} y
{ti,i=1,2,..,n}
{uk, k=1,2,…,m} , respectivamente.
Se dice que los procesos X(t) y Y(t) son conjuntamente Gaussianos si este
set de variables aleatorias es conjuntamente Gaussiano para cualquier n y
m.

E[( X (ti )   X (ti ) )(Y (tk )  Y (tk ) )]  RXY (ti , uk )   X (ti ) Y (uk )

3. Si un proceso Gaussiano es estacionario, entonces el proceso
es también estrictamente estacionario


Gaussiano
4. Si el conjunto de variables aleatorias X(t1),X(t2),...,X(tn) obtenidas
al muestrear un proceso Gaussiano en los instantes t1 t2 tn están
t1,t2,...,tn
incorreladas, esto es:

E[( X (tk )   X (tk ) )( X (ti )   X (ti ) )]  0 i  k
0,
entonces estas variables aleatorias son estadísticamente
independientes, y su función de distribución de probabilidad conjunta
p
puede expresarse como el producto de las funciones variables
p p
aleatorias de distribución de probabilidad de las individuales en el
conjunto.


Ruido
 El término ruido es usado habitualmente para designar señales no deseadas que
tienden a perturbar transmisión y procesamiento de las señales en sistemas de
comunicaciones, y sobre l cuales no se ti
i i b las l tiene control.
t l

 En la practicas existen muchas potenciales fuentes de ruido en los sistemas de
comunicaciones, estas f
i i t fuentes pueden ser
t d
 Externas al sistema por ej: ruido atmosférico, ruido galáctico, ruido hecho por el
hombre
 Interna al sistema: estos surgen de fluctuaciones espontaneas de corriente o
voltaje en circuitos eléctricos
 Estos representan una limitación básica en la transmisión y detección de
señales : los dos ejemplos mas comunes de fluctuaciones espontaneas en
circuitos eléctricos son: shot noise y thermal noise (ruido de disparo y ruido
térmico)


Ruido de disparo
•Se origina en dispositivos electrónicos como diodos y transistores
debido a la naturaliza discreta del flujo de corriente en estos
dispositivo.
p

•Si los electrones se emiten en instantes aleatorios k, la corriente
puede modelarse como una suma infinita de pulsos de corriente. El
proceso X(t) resultante es estacionario y se denomina ruido impulsivo.

•Suponga que en un foto detector un pulso de corriente es generado
cada vez que un electrón es emitido por el cátodo debido a la luz
incidente desde la fuente con una intensidad constante.
•Los electrones son emitidos en ti
L l t itid denotados por k,
tiempos aleatorios d
l t i t d
donde -<k<.
•Se asume que esta emisión de electrones se lleva a cabo durante largo
tiempo.


Ruido de disparo. 2
•Así, la corriente total que fluye a través del foto detector puede ser
modelada como una suma infinita de pulsos de corriente:
 •Donde h(t- k) es el pulso de corriente
X (t )  
k 
h(t   k ) proceso X(t) es tiempo k . Entonces el
generado en el
un proceso estacionario
llamado ruido de disparo

E[ v ]   t 0 •Valor medio d l número d electrones, v
V l di del ú de l t
emitido entre los tiempos t y t+t0. L
velocidad del proceso

v  N (t  t0 )  N (t ) •N(t) número de electrones emitido en el
intervalo de [0,t]. Número total de
electrones emitidos en el intervalo [t,t+t0]
[, ]

(  t 0 ) k   t0 •La probabilidad de que k electrones
P (v  k )  e , k  0,1,... sean emitidos en el intervalo [t,t+t0]
k! sigue una distribución de Poisson con
Poisson,
media t0

Ruido de disparo. 3
•La media y la autocovarianza del proceso de ruido de disparo
X(t) para el primer y segundo momento d l proceso:
l i d t del

 X    h(t )dt



C X ( )    h(t )h(t   )dt


 X   AT
 A2 (T   ),   T

C X ( )  
0
 ,  T


Ruido térmico
 Es el nombre dado al ruido eléctrico que
proviene del movimiento de electrones en
un conductor.
El valor medio cuadrado de la tensión del ruido térmico
que aparece en los terminales de una resistencia medido
en un ancho de banda de ∆f Hz está dado por:

E[VTN ]  4kTR f volts 2
2

Donde k es la constante de Boltzman (1.38x10-23 J/K)
T la t
l temperatura absoluta en K
t b l t
R la resistencia en Ohm

Ruido Blanco
•El estudio de los sistemas de telecomunicaciones es habitualmente basado
en una forma idealizada de ruido llamada ruido blanco
•La densidad espectral de potencia es independiente de la frecuencia de
operación
•El adjetivo blanco es usado en el sentido la luz blanca contiene igual cantidad
de todas las frecuencias dentro de la banda visible de radiación
electromagnética
•La densidad espectral de potencia es expresada de la siguiente manera:
N0
SW ( f ) 
2
•Las dimensiones No estan en W/Hz
•El parametero No es usaulmente referenciado a la entrada del receptor de
comunicaciones y es expresado como:
N 0  kTe

•Donde k es l constante d B lt
D d la t t de Boltzmann y T es l t
Te la temperatura d ruido
t de id
equivalente del receptor.

Ruido Blanco
•La temperatura de ruido equivalente de una señal es definida como la
temperatura en que un resistor con ruido tiene que ser mantenido tal que por
que,
conecta el resistor a la entrada de una versión sin ruido del sistema, este
produzca la misma potencia de ruido disponible en la salida del sistema
como la producida por todas las fuentes de ruido en el sistema actual
actual.

•La característica importante de la temperatura de ruido equivalente es que
este depende solo de los parámetros del sistema
sistema.

•Puesto que la función autocorrelación es la inversa de la transformada de
Fourier de la densidad de potencia espectral, entonces para el ruido blanco
p p , p

N0
RW ( )   ( )
2


 Efectos de ruido en sistemas de
modulación analógica lineal.
 Relación de señal a ruido (SNR) para
DSB-SC, SSB, AM con detección de
producto y con detección de envolvente
envolvente.


Ruido en sistemas de
modulación
•Para estudiar el efectos de ruido del canal en la recepción de ondas
moduladas son formulados dos modelos:
•Modelo del canal: que asume un canal de comunicación que no
está distorsionado pero si perturbado por ruido Gaussiano blanco
aditivo (AWGN)
diti
•Modelo del receptor: que asume un receptor que consiste de un
filtro ideal pasa banda seguido por un demodulador. El filtro es
usado para minimizar los efectos del canal de ruido.


Modelo del receptor con ruido

•w(t) denota el canal con ruido
•La señal recibida es por lo tanto la suma de s(t) mas w(t)
•El filtro en el modelo de la Fig representa la acción de filtrado combinado de
los amplificadores sintonizados usados en el receptor para amplificar la señal
previo a la entrada del demodulador
•El ancho de banda de este filtro es suficiente para pasar la señal s(t) sin
distorsión.


Relación señal a ruido
•Si la densidad espectral de potencia de el ruido w(t) es denotada por
No/2, definida para frecuencias positivas y negativas
•No es la potencia de ruido promedio por unidad de ancho ed banda
medida en la parte delantera del receptor
p p
•Asumiendo que el filtro pasabanda del modelo de receptor es ideal
teniendo un ancho de banda igual al ancho de banda BT de la señal
modulada s(t) y una frecuencia de banda media igual a la portadora fc
•Esta última asunción es valida para DSB-SC, AM, FM, SSB.
•Tomando la frecuencia de banda media del filtro como la fc, la
densidad espectral de potencia SN(f) del ruido n(t) resultante de pasar
el ruido w(t) a través del filtro


•Típicamente la frecuencia de portadora fc es grande comparada con
BT, por lo tanto el ruido filtrado n(t) puede ser tratado como un ruido
de banda angosta, representado de forma canónica de la sig manera:
g p g

n(t )  nI (t ) cos(2 f c t )  nQ sin(2 f c t )
•Donde ni(t) es la componente en fase y nq es la componente en
cuadratura del ruido. Ambas medidas con respecto a la onda
p
portadora Accos(2pifct).
( p )
•La señal filtrada x(t) disponible para demodular:

x(t )  s (t )  n(t )


•La relación señal a ruido (SNR)I en la entrada del
demodulador, es la relación entre la potencia promedio la
del señal del modulador s(t) y la potencia promedio del
ruido filtrado n(t)
•Una medida mas usada para medir el rendimiento del
ruido, es la relación señal a ruido en la salida, (SNR)O
, ,( )
•Definida como la relación entre la potencia promedio de
la ñ l
l señal mensaje d
j demodulada y l potencia promedio d l
d l d la t i di del
ruido, ambas medidas en la salida del receptor.


También se define la relación señal a ruido del canal, SNRc, como la
relación entre la potencia promedio de la señal modulada y la
p
potencia promedio del canal de ruido en el ancho de banda del
p
mensaje. Ambas medidas en la entrada del receptor.

•Para comparar diferentes sistemas de modulación, el desempeño del
receptor es normalizado dividiendo la SNRo para SNRc. Definiendo así
p p
la Figura de merito.
SNRO
Figure of merit 
g
SNRC

Ruido en receptores lineales
usando detección coherente
s (t )  CAC cos(2 f c t )m(t ) Sm es la densidad espectral de potencia
w W es el ancho de banda del mensajej
P   S M ( f )df C constante que asegura que esta relación
w
es adimensional
C 2 Ac2 P
( SNR)C , DSB 
2WN 0


Ruido en receptores AM usando
detección de envolvente
En una señal AM completa las bandas laterales y la portadora son transmitidas

•La potencia promedio de la componente 2
de portadora de la señal AM A /2
C

•La potencia promedio de la componente 2 2
que contiene la información AC ka m(t ) cos(2 f C t ) AC ka P / 2
Donde P es la potencia promedio de la
señal mensaje m(t)

•La potencia de la señal AP completa es
AC 1  ka P  / 2
2 2


Ruido en receptores AM usando
detección de envolvente
•Como para un sistema DSB-SC la potencia promedio del ruido en el ancho
de banda del mensaje es WNo. La SNR del canal para AM es

AC 1  ka2 P 
2

 SNR C , AM 
2WN 0
•Para evaluar la SNRo, se representa el ruido filtrado n(t) en términos de sus
componentes de fase cuadratura. Quitando la componente DC se tendría en
la salida
2 2
AC ka P
 SNR O , AM 
2WN 0
•Entonces la fi
E t l figura d mérito para l modulación d amplitud es:
de é it la d l ió de lit d

 SNR O , AM ka2 P

 SNR C , AM AM 1  ka P
2


Ruido en receptores FM

3 AC k 2 P
2

 SNR O , FM 
f

2 N 0W 3
2 W es el ancho de banda del mensaje
A
 SNR C , FM  C Ac amplitud de la portadora
fc frecuencia de la portadora
p
2WN
2WN 0
kf sensibilidad de frecuencia
 SNR O , FM 3k 2 P m(t) señal mensaje
 P potencia promedio
f

 SNR C , FM FM W2

Ejemplo
•Considere una señal sinusoidal con frecuencia fm como señal modulante y
Considere
asuma una desviación de frecuencia pico f . Encuentre SNRo y SNRo/SNRc.
La señal modulada FM es:
 f 
s (t )  Ac cos  2 f c t  sin  2 f m t  
 fm 
•Entonces reescribiendo se ti
E t ibi d tiene que:
t f
2 k f  m( )d  sin(2 f mt )
0 fm
•Derivando a ambos lados con respecto al tiempo y resolviendo con respecto a
m(t)
f
m(t )  cos(2 f mt )
kf


•Por lo tanto la potencia promedio de la señal mensaje m(t), desarrollada
para una carga de 1 ohm

 f 
2

P
2k 2
f

•Sustituyendo se tiene

3 AC  f 
2
3 AC  2
2 2

 SNR O , FM  
4 N 0W 3 4 N 0W
f

W

 SNR O , FM 3  f  3 2
   
 SNR C , FM FM 2 W  2


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