1. Antonio Šabić
VJEŽBA 5: ELEKTRIČNI TITRAJNI KRUG
UVOD:
Serijski spojen otpornik, zavojnicu i kapacitor u krug izmjenične struje nazivamo električnim
tirajnim (ili serijskim RLC) krugom (slika ispod).
Za strujni krug na gornjoj slici vrijedi Drugi Kirchoffov zakon:
0)(  CLR UUUtU ,
gdje smo s UR, UL i UC označili padove napona na otporniku otpora R, zavojnici koeficijenta
samoindukcije L i kapacitoru kapaciteta C. Napon koji se stvara na krajevma otpornika je
jednak umnošku struje I, koja prolazi strujnim krugom, i njegovog otpora R:
RIUR  .
Kada kroz zavojnicu prolazi vremenski ovisna struja I, na njenim se krajevima inducira
električni napon koji je po Faradayevom zakonu indukcije jednak:
dt
d
NUL

 ,
gdje je N broj navoja zavojnice, φ magnetski tok kroz zavojnicu, a negativni predznak govori
da je inducirani napon po predznaku suprotan naponu koji izaziva protjecanje električne struje
(Lenzovo pravilo). Magnetski tok φ ovisi o struji I koja protječe zavojnicom te se napon UL
može prikazati i preko električne struje I:
dt
dI
LUL  .
L je fizikalna veličina određena samom zavojnicom i naziva se koeficijentom samoindukcije
zavojnice.
Napon na krajevima kapacitora UC je jednak omjeru napona na njegovm pločama Q i njegovom
kapacitetu C:
C
Q
UC  .

2. Antonio Šabić
Vremenski promjenljiva struja I dovodi do vremenske promjene napona na kapacitoru po
sljedećem zakonu:
dt
dQ
I  .
Koristeći izraze za UR, UL i UC, Drugi Kirchoffov zakon se može napisati ovako:
0)( 

C
Idt
dt
dI
LIRtU .
Diferenciranjem gornje jednadžbe po vremenu dobijemo diferencijalnu jednadžbu drugoga reda
za struju I:
dt
tdU
I
Cdt
dI
R
dt
Id
L
)(1
2
2
 .
Napon i struja su vremenski promjenljive veličine te ih se može zapisati kompleksnim
brojevima:
ti
ti
eUtU
eItI


0
0
)(
)(


Fizikalno mjerljive veličine su realni djelovi kompleksne struje i napona. Zapis putem
kompleksnih brojeva olakšava matematičko manipuliranje i omogućuje zorniji prikaz faznih
odnosa između struje i napona. I0 i U0 su amplitude struje i napona, a ω je frekvencija struje i
napona i definira se preko perioda T:
T
v


2
2  ,
Kombiniranjem diferencijalne jednadžbe za Drugi Kirchoffov zakon i jednadžbi za napon i
struju dobijemo:
0
0
00
2
Ui
C
I
RIiLI   ,
iz koje se dobije odnos između amplitude napona i struje:
00
1
I
C
LiRU 













 .
Izraz unutar uglate zagrade se naziva kompleksnom impedancijom serijskog RLC kruga i
označava se slovom Z:

3. Antonio Šabić







C
LiRZ


1
.
Kompleksna impedancija Z u krugu izmjenične struje je kompleksni broj. Primjetite da u krugu
istosmjerne struje (u kojemu je ω = 0) impedancija postaje jednaka otporu R i realan je broj. Na
slici a) je prikazana impedancija Z u kompleksnoj ravnini. Otpor otpornika R (koji se još naziva
i radnim otporom) je realan broj jer on ne izaziva fazni pomak napona prema struji. Kapacitivni
otpor kapacitora 1/iωC stvara fazni pomak od +π/2 napona prema struji. Nasuprot tome,
induktivni otpor iωL koji nastaje na krajevima zavojnice izaziva kašnjenje napona za strujom
za kut π/2. Ukupna impedancija Z je vektorski zbroj radnog, kapacitvnog i induktivnog otpora.
Na slici b) su u kompleksnoj ravnini prikazani naponi na otporniku UR, zavojnici UL i
kapacitoru UC. Iz jednadžbe odnosa između amplitude napona i struje vidimo da između napona
i struje postoji fazni pomak definiran impedancijom Z. Uzmimo da je faza struje jednaka nuli
te je crtamo na realnoj osi.
Napon je izračunat vektroskim zbrajanjem padova napona na radnom, kapacitivnom i
induktivnom otporu i prema struji je fazno pomaknut za kut ϕ čiji se tangens računa iz
formule:
R
C
L
tg 


1

 .
Ponovimo da fizikalni smisao imaju samo realne komponente napona i struje. Značenje faznog
pomaka je da napon i struja ne dosižu svoje maksimalne vrijednosti u istom trenutku.
Kada je fazni pomak jednak nuli, odnosno kada je ispunjen uvjet:
LC
1
0   ,
kažemo da je RLC krug u rezonanciji, a frekvencija ω0 se naziva rezonantnom frekvencijom.
Na slici ispod je prikazana kompleksna impedancija za slučajeve ω < ω0, ω = ω0 i ω > ω0. Za
male frekvencije je 1/ωC puno veći od ωL, te impedancija Z ima fazu približno jednaku +π/2
(odnosno, napon prema struji „brza“ za π/2). U slučaju visokih frekvencija, ωL postaje puno
veći od 1/ωC zbog čega impedancija Z ima fazu –π/2 (drugim riječima, napon za strujom
„kasni“ za π/2). U rezonanciji (ω = ω0) kapacitivni i indukivni otpor se poništavaju i
impedancija postaje realni broj.

4. Antonio Šabić
Zamislimo da imamo naponski izvor, odnosno izvor koji daje stalnu vrijednost amplitude
napona. Na temelju jednadžbe odnosa između amplitude napona i struje možemo odrediti odnos
između apsolutnih vrijednosti napona i struje:
2
2
0
0
1








C
LR
U
I


.
Pribor koji nam je potreban je osciloskop, funkcijski generator, otporna dekada koju je potrebno
namjestiti na otpor od 50 Ω, kapacitorska dekada koju namjestimo na
kapacitet od 50 nF i zavojnicu induktiviteta 1 H.
U prvom zadatku priključimo osciloskop na funkcijski generator. Na temelju perioda po jednog
sinusoidalnog, pilastog i pravokutnog signala odredite njegovu kružnu frekvenciju ω. Trebamo
je usporediti s frekvencijom ν prikazanom na funkcijskom
generatoru (ω = 2πν).
U drugom zadatku trebamo spojiti sklop prema shemi prikazanoj na slici. Na jedan od ulaznih
kanala osciloskopa trebamo spojiti napon UPO (napon izvora amplitude U0), a na drugi napon
UTO (napon na krajevima otpornika). Funkcijski generator trebamo postavite da daje
sinusoidalni napon, te mu frekvenciju ν mijenjati od 200 Hz do 1 kHz i trebamo bilježiti napon
UTO za različite frekvencije, te uočiti pojavu rezonancije. U okolini rezonancije obaviti
najgušća mjerenja i zabiježiti napon UPO. Što se događa s međusobnom fazom napona UPO i
UTO?
U trećem zadatku trebamo nacrtati graf UTO = f(ω) i iz njega odrediti rezonantnu frevenciju ω0,
te je usporediti s rezonantnom frekvencijom iz jednadžbe:
LC
1
0   .
U četvrtom zadatku trebamo odrediti radni otpor zavojnice RL pomoću jednadžbe:
0U
RR
R
U
LR
R
TO 


U petom zadatku trebamo prijeći na X –Y način rada i pratiti oblik krivulje na ekranu za različite
frekvencije ν, te prokomentirati rezultat.
U šestom zadatku trebamo spojiti sklop kao na slici. Na jedan od ulaznih kanala osciloskopa
spojiti napon UPO (napon izvora amplitude U0), a na drugi napon UQO (napon na krajevima
serijskog spoja zavojnice i kapacitora). Funkcijski generator trebamo postaviti da daje

5. Antonio Šabić
sinusoidalni napon, frekvenciju ν mu mijenjati od 200 Hz do 1 kHz i bilježiti napon UQO za
različite frekvencije, te uočiti pojavu rezonancije. U okolini rezonancije trebamo obaviti
najgušća mjerenja, te zabiježiti napon UPO.
MJERENJA:
PRVI ZADATAK
VRSTA SIGNALA T (ms) ω (rad/s) f (Hz) ν (Hz)
SINUSOIDALNI 2,50 2513,27 400,00 400,70
PILASTI 2,30 2731,82 434,78 438,40
PRAVOKUTNI 2,10 2991,99 476,19 470,50
Pri izvođenju prvog zadatka na osciloskopu smo očitali vrijednosti perioda, te smo kružnu
frekvenciju izračunali prema formuli:
T


2
 .
Frekvenciju f, koja bi trebala biti približno jednaka frekvenciji ν funkcijskog generatora smo
izračunali po formuli:
T
f
1
 .
DRUGI ZADATAK
MJERENJA f (Hz) UTO (V) UPO (V)
1 300 0,030 5,125
2 350 0,036 5,125
3 400 0,047 5,125
4 450 0,057 5,125
5 500 0,075 5,125
6 550 0,105 5,125
7 600 0,180 5,125
8 650 0,275 5,125
9 700 0,600 4,750
10 705 0,650 4,750
11 710 0,700 4,750
12 715 0,775 4,500
13 720 0,925 4,500
14 725 0,800 4,375
15 730 0,800 4,375
16 735 0,750 4,500
17 740 0,700 4,750
18 745 0,065 4,750
19 750 0,600 4,875
Mjerenje otpora na otporniku se obavljamo po sljedećoj shemi (slika ispod):

6. Antonio Šabić
Realna zavojnica uvijek ima i radni otpor koji je na slici označen s RL. Otpor otpornika smo
označili s RR te je ukupni radni otpor R u strujnom krugu na slici jednak zbroju otpora zavojnice
i otpornika:
LR RRR  .
Amplituda napona između točaka T i O (odnosno, na krajevima otpornika) je jednaka
umnošku amplitude struje koja protječe otpornikom i njegovog radnog otpora:
 2
2
0
0
1
LR
R
RTO
RR
C
L
UR
RIU











.
Napon UTO u rezonanciji poprima maksimalnu vrijednost i jednak je:
0U
RR
R
U
LR
R
TO

 .
Dakle, u ovom zadatku smo za različite vrijednosti frekvencija na funkcijskom generatoru
bilježili napone UPO i UTO.
Dok smo mjerili mogli smo uočiti da su grafovi napona UPO i UTO u fazi na otprilike 720 Hz.
Ako strujni krug nije u rezonanciji, postoji razlika u fazi između napona na izvoru i otporniku.
TREĆI ZADATAK
MJERENJA f (Hz) UTO (V) UPO (V) ω (s-1)
1 300 0,030 5,125 1884,954
2 350 0,036 5,125 2199,113
3 400 0,047 5,125 2513,272
4 450 0,057 5,125 2827,431
5 500 0,075 5,125 3141,590
6 550 0,105 5,125 3455,749
7 600 0,180 5,125 3769,908
8 650 0,275 5,125 4084,067
9 700 0,600 4,750 4398,226
10 705 0,650 4,750 4429,642

7. Antonio Šabić
11 710 0,700 4,750 4461,058
12 715 0,775 4,500 4492,474
13 720 0,925 4,500 4523,890
14 725 0,800 4,375 4555,306
15 730 0,800 4,375 4586,721
16 735 0,750 4,500 4618,137
17 740 0,700 4,750 4649,553
18 745 0,065 4,750 4680,969
19 750 0,600 4,875 4712,385
Kako bi mogli nacrtati graf, prvo smo morali odredite kutnu frekvenciju za svaku od vrijednosti
frekvencija funkcijskog generatora, po formuli:
f 2 .
Dobivenu rezonantnu frekvenciju moramo usporediti s onom dobivenom iz jednadžbe:
0
1
 
LC
.
Kako znamo da je induktivitet zavojnice 1 H, a kapacitorska dekada namještena na 50 nF, tada
po formuli ω iznosi:
 0 4472,140 s-1
Rezonantna frekvencija koju smo mogli uočiti iz naše tablice i grafa je:
 4523,890 s-1
U četvrtom zadatku trebamo odrediti radni otpor zavojnice RL, pomoću jednadžbe:
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 1000 2000 3000 4000 5000
UTO[V]
ω [s-1]
Ovisnost UTO o ω
UTO (V)

8. Antonio Šabić
0U
RR
R
U
LR
R
TO


Napon UTO pri rezonantnoj frekvenciji je 0,925 V, a napon na izvoru je jednak 2,8 V. Otporna
dekada je konstantna i postavljena je na 50 Ω.
Iz gornje formule slijedi da je formula za radni otpor zavojnice jednaka:
 
TO
TOR
L
U
UUR
R

 0
,
pa kad uvrstimo sve podatke dobijemo da je RL = 101,351 Ω.
U petom zadatku, kada smo prešli na X – Y način rada možemo primijetiti da na svim
frekvencijama osim na rezonantnoj frekvenciji, krivulja koja se prikazuje na osciloskopu
poprima oblik nekakve elipse (u slučaju kad postoji fazna razlika između napona na izvoru i
otporniku), dok na rezonantnoj frekvenciji ona poprima oblik pravca (u trenutku kad su napon
na izvoru i otporniku u fazi).
ŠESTI ZADATAK
MJERENJA f (Hz) UQO (V) UPO (V)
1 300 5,125 5,375
2 350 5,125 5,375
3 400 5,000 5,375
4 450 4,875 5,375
5 500 4,875 5,375
6 550 4,750 5,375
7 600 4,625 5,375
8 650 4,000 5,125
9 700 2,200 4,875
10 705 1,800 4,875
11 710 1,750 4,875
12 715 1,650 4,875
13 720 1,500 4,875
14 725 1,500 4,875
15 730 1,500 4,875
16 735 1,600 4,875
17 740 1,750 4,875
18 745 1,900 5,125
19 750 2,500 5,125
Sklop smo spojili prema shemi koja je zadana u zadatku:

9. Antonio Šabić
Pomoću sklopa prikazanog na slici možemo osciloskopom pratiti napon na kapacitoru i
zavojnici. Napon između točaka Q i O je napon na krajevima serijskog spoja zavojnice i
kapacitora:
 2
2
2
2
0
2
2
0
1
1
1
LR
L
LQO
RR
C
L
C
LR
U
C
LRIU


























 .
U rezonanciji je napon UQO jednak:
0U
RR
R
U
LR
L
QO

 .
Prema mjerenjima u tablici vidimo da se rezonancija događa pri frekvencijama od 720 Hz do
730 Hz. Kada smo prešli u X – Y način rada mogli smo preciznije odrediti da je rezonantna
frekvencija negdje oko 726 Hz.
KOMENTAR:
Kod prvog zadatka dolazi do malog odstupanja između rezonantne frekvencije funkcijskog
generatora i one koje smo mi mjerili (jedine greške su mogle nastati zbog nepreciznog
očitavanja vrijednosti na osciloskopu). Odstupanja pri mjerenju su se dogodila najvjerojatnije
zbog nesavršenosti mjernog aparata (prikaz funkcija na osciloskopu i već prije spomenuti
problem), te povremenog titranja slike na zaslonu osciloskopa koje je moglo utjecati na
očitavanje vrijednosti, zbog toga što jedna od žica nije bila u redu pa je trebalo tražiti optimalan
kontakt.