Guia wiris

Gráficas en Wiris-Cas
Antalcides Olivo
23 de abril de 2014
Resolveremos algunos problemas para explicar el procedimiento que se utiliza en Wiris-Cas para optimizar una fun-
ción y para usar esta teor´ıa para estudiar el compotamiento de la gráfica de una función, además de que sea una gu´ıa
para resolver los problemas propuestos.
1. Introducción
En este art´ıculo mostraremos como usar Wiris-Cas para calcular el l´ımite y la derivada de una función y estudiar las
propiedades de esta, analizando su gráfica , además utilzaremos Wiris-Cas para resolver problemas de aplicación que
involucren el concepto de derivada.
1.1. Graficación
Antes de empezar a utilizar Wiris-Cas para resolver problemas que involucren el l´ımite de una función en un punto
explicaremos como realizar gráficas de funciones de la forma
f : R → R
x → y
.
Una de las capacidades más valiosas de Wiris-Cas es que nos permite definir nuevas funciones, de manera que
estas funciones tienen la misma consideración que las que Wiris-Cas ya tiene incorporadas. Los argumentos de estas
funciones pueden ser cualquier objeto matemático. En este apartado aprendemos cómo se definen las funciones y cómo se
usan. También estudiaremos varias funciones de variable real de uso fundamental en matemáticas y que Wiris-Cas tiene
incorporadas.
Para definir funciones, usamos el s´ımbolo :=, creado con el teclado o con el icono . A la izquierda de este s´ımbolo
escribimos el nombre de la función seguido de la lista de argumentos de la función entre paréntesis, y a la derecha
escribimos el cuerpo de la función, es decir, las operaciones que queremos realizar con los argumentos. Una función
puede tener tantos argumentos como queramos o incluso ninguno. En el cuerpo de la función, se pueden usar otras
funciones ya definidas. Para aplicar la función a unos valores concretos, escribimos el nombre de la función seguido de
los valores de los argumentos separados por comas y entre paréntesis (esta estructura se llama Secuencia).
Uno de los problemas que se tiene cuando se usa un software como Wiris-Cas para construir una gráfica es que es
posible que la gráfica no se construya porque no conocemos su comportamiento, por eso debemos determinar su dominio
y si es posible su rango.
Ejemplo 1. Determine el dominio y el rango de la función
f (x) = 2x2
− x4
y luego construya su gráfica.
Solución: Aunque Wiris-Cas tiene herramientas para la representaciones gráficas 2D y 3D , antes de utilizarlas, nos
interesaremos por realizar un estudio anal´ıtico con la simple intención de mostrar la forma de proceder con Wiris-Cas,
además ese análisis nos ayuda a mejorar el conocimiento de la teor´ıa vista en clase.
Ante de resolver el ejercicio expliquemos como usar una función varias veces.
1

FACULTAD DE CIENCIAS B ÁSICAS
PROGRAMA DE MATEM ÁTICAS
I TALLER DE C ÁLCULO DIFERENCIAL (6 % )
NOMBRE: 23 de abril de 2014
Para usar una función varias veces debemos construir un nuevo bloque con el icono , que se encuentra en la barra
editor
Figura 1: Barra Editor
Definiremos la función f(x) = 2x2 − x4 de la siguiente forma:
|f(x) := 2x2 − x4 hacemos Enter al terminar cada l´ınea, de tal forma que completemos lo que queremos;
como lo explicaremos a continuación.
Primero calcularemos los puntos de intersección con los ejes es decir los puntos donde y = 0 y x = 0 .
• Para el caso x = 0 usamos la orden f(0) .
• Para el caso y = 0 usamos la orden resolver(2x2 − x4 = 0) .
Nos interesa además calcular el dominio de la función y lo hacemos con el comando dominio(f) .
También debemos encontrar el rango, para obtenerlo despajamos x de la función 2x2 − x4 = y usando el comando
resolver(y == 2x2 − x4, x) , debemos especificar que despejaremos la variable x ya que existen dos variables x e y.
Ahora hacemos clic en , pero las expresiones que necesitamos para calcular el rango no las puede interpretar
Wiris-Cas por lo que explicaremos después como resolver este inconveniente.
Por último dibujamos la gráfica con la orden dibujar(f) .
Ahora mostraremos como es en Wiris-Cas .








| f(x) := x2 − 2
| f(0)
| resolver(2x2 − x4 = 0)
| resolver(y == 2x2 − x4, x)
| dominio(f(x))
| dibujar(f(x))
hacemos clic en para obtener












| f(x) := x2 − x4 x → x2 − x4
| f(0) 0
| resolver(2x2 − x4 = 0) x = 0 , x = −
√
2 , x =
√
2
| resolver(y == 2x2 − x4, x)
| x = − −
√
−y + 1 + 1 , x = −
√
−y + 1 + 1 , x = −
√
−y + 1 + 1 , x =
√
−y + 1 + 1
| dominio(f) IR
| dibujar(f(x)) tablero 1
2

Figura 2: Imagen de la función 2x2 − x4
En Wiris-Cas nos queda de la siguiente forma
Figura 3: Presentación en Wiris-Cas
Con Wiris-Cas podemos generalmente dibujar las gráficas de las funciones solo con el comando dibujar() como
acabamos de ver en el ejemplo (1).
3

Al despejar y con Wiris-Cas obtuvimos x = − −
√
−y + 1 + 1 , x = −
√
−y + 1 + 1 , x = −
√
−y + 1 + 1 , x =
√
−y + 1 + 1
que nos sirve para conocer el rango de la función, pero si usamos el comando domidio() para cada una de las
cuatro soluciones no obtendremos ninguna respuesta ya que las calculadoras como Wiris-Cas no resuelven este tipo de
problemas, pero si observamos bien las expresiones en realiad sólo nos interesa que −y + 1 0, es decir y 1 y este ser´ıa
el rango. Por tanto la más importante de la gráfica se encuentra entre −
√
2 x
√
2 y y 1.
Es decir los puntos notables de la gráfica son (0, 0). −
√
2, 0 y (
√
2, 0) que ya lo calculamos ahora nos toca calcular
los extremos de la gráfica y eso lo hacemos dentro del mismo bloque usando la instrucción resolver(2x2 − x4 = 1) para
obtener la respuesta x = −1 , x = 1 con lo que construimos los puntos (−1, 1) y (1, 1).
Figura 4: Figura optimizada
También podemos construir la gráfica con el comando representar() para as´ı poder analizar la gráfica en el tablero
de dibujo de Wiris-Cas , de la siguiente forma
4

Figura 5: Gráfica representada
En la gráfica se observan unos puntos rojos y azules los cuales representan a los puntos notables de la gráfica, los
mismos que hab´ıamos identificado anteriormente .
Por último hay dos puntos en color zanahoria, los cuales se llaman puntos de inflexión y los estudiaremos más adelante.
Para terminar el art´ıculo explicaremos otro ejemplo.
Ejemplo 2. Determine el dominio, el rengo, los interceptos con los ejes y además represente la gráfica optimizada. De la
función y =
x2 − 4
x2 + x − 6
.
Solución: En Wiris-Cas hacemos lo siguiente:




















| f(x) :=
x2 − 4
x2 + x − 6
| f(0)
| resolver(
x2 − 4
x2 + x − 6
= 0)
| resolver(y ==
x2 − 4
x2 + x − 6
, x)
| dominio(f(x))
| dominio(
−3 · y + 2
y − 1
)
| f(−2)
| resolver(x2 + x − 6 = 0)
| representar(f(x))
hacemos clic en para obte-
ner





















| f(x) :=
x2 − 4
x2 + x − 6
x →
x2 − 4
x2 + x − 6
| f(0) 2
3
| resolver(
x2 − 4
x2 + x − 6
= 0) x = −2
| resolver(y ==
x2 − 4
x2 + x − 6
, x) x =
−3 · y + 2
y − 1
| dominio(f(x)) x = −3
| dominio(
−3 · y + 2
y − 1
) y = 1
| f(−2) 0
| resolver(x2 + x − 6 = 0) x = −3, x = 2
| representar(f(x)) tablero1
5

Figura 6: Gráfica representada del ejemplo 2
En este caso Wiris-Cas nos representa la gráfica de la función f(x) =
x + 2
x + 3
cuyo dominio es IR − {−3} que difiere de la
función
x2 − 4
x2 + x − 6
en el punto par el cual x = 2, ya que su dominio es IR − {−3, 2} por lo que la gráfica real es
Figura 7: Gráfica real representada del ejemplo 2
Es decir la función no está definida en x = 2.
1.2. L´ımite de una función
Con Wiris-Cas podemos calcular cualquier l´ımite de una función, usando el icono:
Para el l´ımite por la izquierda.
Para el l´ımite.
Para el l´ımite por la derecha.
6

que se encuentra en la barra de análisis:
Figura 8: Barra Análisis-l´ımite
Ejemplo 3. Calcular los siguientes l´ımites
1. l´ım
x→−1
(2x2 + 6x − 1)
2. l´ım
x→3
(2x − 9)
x2 − 3x
3. l´ım
h→0
(x + h)
4. l´ım
x→4
x + 3
1 − x
5. l´ım
h→0
8 (x + h) − 2 − (8x − 2)
h
6. l´ım
x→∞
(x + 1)2
2x2
7. l´ım
x→∞
2
x + 1
2
2 + log(x)
8. l´ım
x→∞
√
x2 − 2x + 1 −
√
x2 − 7x + 3
para calcular un l´ımite se hace de la siguiente forma:
Se escoge el icono correspondiente al l´ımite que necesitamos en este caso el bilateral y nos aparece
llenamos los recuadros verdes y hacemos clic en para obtener el resultado.
Solución:
7


























| l´ım
x→1
(2x2 + 6x − 1)
| l´ım
x→3
(2x − 9)
x2 − 3x
| l´ım
h→0
(x + h)
| l´ım
x→4
x + 3
1 − x
| l´ım
h→0
8 (x + h) − 2 − (8x − 2)
h
| l´ım
x→∞
(x + 1)2
2x2
| l´ım
x→∞
2
x + 1
2
2 + log(x)
| l´ım
x→∞
√
x2 − 2x + 1 −
√
x2 − 7x + 3
hacemos clic en para obte-
ner

























| l´ım
x→1
(2x2 + 6x − 1) 7
| l´ım
x→3
(2x − 9)
x2 − 3x
± ∞
| l´ım
h→0
(x + h) x
| l´ım
x→4
x + 3
1 − x
− 7
3
| l´ım
h→0
8 (x + h) − 2 − (8x − 2)
h
8
| l´ım
x→∞
(x + 1)2
2x2
1
2
| l´ım
x→∞
2
x + 1
2
2 + log(x) 0,01
| l´ım
x→∞
√
x2 − 2x + 1 −
√
x2 − 7x + 3 5
2
1.3. Derivada de una función
Para calcular la derivada de una función utilizando Wiris-Cas debemos usar uno de los iconos o que se
encuentra en la barra de análisis
Figura 9: Barra Análisis-derivada
Para usar la opción derivar, primero definimos la función que queremos derivar, por ejemplo f(x) = 3x2, as´ı
|f(x) := 3x2
Después hacemos y escribimos f hacemos clic en y terminamos de la siguiente manera f (x) para ver el
8

resultado por último hacemos clic en .
Ejemplo 4. Hallar el valor de la derivada de la función y = 5x − x2 y luego evaluarla en los puntos x = 1, x = 0 y x = 3.
Solución:






| f(x) := 5x − x2
| f (x)
| f (1)
| f (0)
| f (3)
hacemos clic en para obtener






| f(x) := 5x − x2 x → −x2 + 5 · x
| f (x) − 2x + 5
| f (1) 3
| f (0) 5
| f (3) − 1
9

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