1554522

1. 多次元尺度法
多次元尺度法とは
2つの対象間の違い（距離）をもとに、
その距離を保つようにしながら、
なるべく低い次元で各点の座標を求める⼿手法。
あらかじめ座標がわからない場合でも
座標を元に情報を⽬目で⾒見ることができる。

2. [テーマ] 講義の構成
尺度とは
距離の公理
Rでの計算
まとめ
古典的多次元尺度法

3. 尺度とは
A
B
C
D
E
A
B
C D
E
ച۱Ϋஓ
A
B
D
C
E
Ѿୃ
A
E
C
B
D
౞ୃ

4. 尺度
質的データ 量的データ
名義尺度 順序尺度 間隔尺度 ⽐比例尺度
データ

5. 尺度
質的データ 量的データ
名義尺度 順序尺度 間隔尺度 ⽐比例尺度
データ

6. 尺度
質的データ 量的データ
名義尺度 順序尺度 間隔尺度 ⽐比例尺度
データ

7. ढ़ংλ๬
× ΛƄƄçƄ×ÖÖ ୅
Ø ΛƄƄèƄÆÛÖ ୅
Ù ΛÆÆÆÆéÆÆÆÚÖ ୅
Ú ΛƄƄêƄÆ×Ö ୅
ÛÖ ୅
×Ö ୅
ÙÖ ୅
ೞ૳
ٚɘ
ɽɵʝɟɼɘɚɼ
ٚɘ
ɽɵʝɟɼɘɚɼ
‫ۂ‬ɡ Æ‫ۂ‬ɡ
Ș Ø Ù Ú Û
ʺ˺˛ˬƟˆʦ৭‫ݩ‬ɭʟɧɼʃ
× Æࠞढ़ഇഇॾ
Ø ÆѾՇഇॾ
Ù Æʶ˰ˀˆƟഇॾ
Ú Æ౜ധഇॾ
ߘʂࠡ൚ʂયɻƅഇ‫֩ޏ‬ഇ‫ޏ‬۱ໆʒɳʃ৷ԟ۱ໆʦʖɼɿ
‫چ‬ยખƉ‫چ‬ยˠʶˏ˲ʦ‫ޔظ‬ɫƅईɫɣʜʞࢢɾɘढ़ഇɻ
ˎƟˆʦ಺ɭɳʕʂࠡ൚ʃɽʠɟƌ
名義尺度と順序尺度
異なるものを区別し、
分類するために用いる。
名義尺度の例（選択肢）
順序尺度の例
間隔が同じとは限らない。

8. 尺度
質的データ 量的データ
名義尺度 順序尺度 間隔尺度 ⽐比例尺度
データ

9. ढ़ংλ๬
× ΛƄƄçƄ×ÖÖ ୅
Ø ΛƄƄèƄÆÛÖ ୅
Ù ΛÆÆÆÆéÆÆÆÚÖ ୅
Ú ΛƄƄêƄÆ×Ö ୅
ÛÖ ୅
×Ö ୅
ÙÖ ୅
ೞ૳
ٚɘ
ɽɵʝɟɼɘɚɼ
ٚɘ
ɽɵʝɟɼɘɚɼ
‫ۂ‬ɡ Æ‫ۂ‬ɡ
Ș Ø Ù Ú Û
ʺ˺˛ˬƟˆʦ৭‫ݩ‬ɭʟɧɼʃ
× Æࠞढ़ഇഇॾ
Ø ÆѾՇഇॾ
Ù Æʶ˰ˀˆƟഇॾ
Ú Æ౜ധഇॾ
ߘʂࠡ൚ʂયɻƅഇ‫֩ޏ‬ഇ‫ޏ‬۱ໆʒɳʃ৷ԟ۱ໆʦʖɼɿ
‫چ‬ยખƉ‫چ‬ยˠʶˏ˲ʦ‫ޔظ‬ɫƅईɫɣʜʞࢢɾɘढ़ഇɻ
ˎƟˆʦ಺ɭɳʕʂࠡ൚ʃɽʠɟƌ
名義尺度と順序尺度
異なるものを区別し、
分類するために用いる。
名義尺度の例（選択肢）
順序尺度の例
間隔が同じとは限らない。

10. 尺度
質的データ 量的データ
名義尺度 順序尺度 間隔尺度 ⽐比例尺度
データ

11. 尺度
質的データ 量的データ
名義尺度 順序尺度 間隔尺度 ⽐比例尺度
データ

12. 間隔尺度と⽐比例尺度
2
$
$
%
%

13. 間隔尺度と⽐比例尺度
2
$
$
%
%

14. 間隔尺度と⽐比例尺度
2
$
$
%
%

15. 間隔尺度と⽐比例尺度
2
2
$
$
%
%

16. 距離について
A
B
C
D
E
A
B
C D
E
ച۱Ϋஓ
A
B
D
C
E
Ѿୃ
A
E
C
B
D
౞ୃ

17. 距離の公理
d(p, q) ≥ 0
d(p, q) = d(q, p)
p = q ⇔ d(p, q) = 0
⾮非負性
⾮非退化性
対称性
三⾓角不等式 d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q)
p
q
r
d(p,q)
d(r,q)
d(p,r)

18. 距離の公理
d(p, q) ≥ 0
d(p, q) = d(q, p)
p = q ⇔ d(p, q) = 0
⾮非負性
⾮非退化性
対称性
三⾓角不等式 d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q)
p
q
r
d(p,q)
d(r,q)
d(p,r)

19. 距離の公理
d(p, q) ≥ 0
d(p, q) = d(q, p)
⾮非負性
⾮非退化性
対称性
三⾓角不等式
p = q ⇔ d(p, q) = 0
d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q)
p
q
r
d(p,q)
d(r,q)
d(p,r)

20. 距離の公理
d(p, q) ≥ 0
d(p, q) = d(q, p)
p = q ⇔ d(p, q) = 0
⾮非負性
⾮非退化性
対称性
三⾓角不等式 d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q)
p
q
r
d(p,q)
d(r,q)
d(p,r)

21. 距離の公理
d(p, q) ≥ 0
d(p, q) = d(q, p)
p = q ⇔ d(p, q) = 0
⾮非負性
⾮非退化性
対称性
三⾓角不等式 d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q)
p
q
r
d(p,q)
d(r,q)
d(p,r)

22. 古典的多次元尺度法
A
B
C
D
E
A
B
C D
E
ച۱Ϋஓ
A
B
D
C
E
Ѿୃ
A
E
C
B
D
౞ୃ

23. 古典的多次元尺度法
X = (x1, · · · , xN )T
=


x11 · · · x1r
· · ·
xN1 · · · xNr


D(2)
=







0 d2
12 · · · d2
1N
d2
21 0 · · · d2
2N
d2
31 d2
32 0 · · ·
.
.
.
.
.
.
...
d2
N1 d2
N2 · · · 0







D(2)
= diag(XXT
) · (1 · 1T
) − 2XXT
+(1 · 1T
) · diag(XXT
)
1 · 1T
=



1 · · · 1
...
1 · · · 1



d2
ij =
r
!
k=1
(xik − xjk)2
= xi · xi + xj · xj − 2xi · xj
距離⾏行列を
とすると， ， を⽤用いて
xi xj
⾏行列で書くと
となる。

24. 古典的多次元尺度法
X
D(2)
をもとに、直接 を
求めるのではなく、
を満たすような の
うちの１つを求める。
X
D(2)
回転、反転、平⾏行移動
しても距離は変わらない。
（答えは１つには決まらない）
A
B
C
D
E
A
B
C D
E
ച۱Ϋஓ
A
B
D
C
E
Ѿୃ
A
E
C
B
D
౞ୃ

25. 古典的多次元尺度法
X
D(2)
をもとに、直接 を
求めるのではなく、
を満たすような の
うちの１つを求める。
X
D(2)
回転、反転、平⾏行移動
しても距離は変わらない。
（答えは１つには決まらない）
A
B
C
D
E
A
B
C D
E
ച۱Ϋஓ
A
B
D
C
E
Ѿୃ
A
E
C
B
D
౞ୃ

26. 古典的多次元尺度法
ヤングハウスホルダー変換
D(2)
= diag(XXT
) · (1 · 1T
) − 2XXT
+(1 · 1T
) · diag(XXT
)

27. 古典的多次元尺度法
ヤングハウスホルダー変換
Q = I −
1 · 1T
N
D(2)
= diag(XXT
) · (1 · 1T
) − 2XXT
+(1 · 1T
) · diag(XXT
)
という⾏行列に対して、
1 · 1T
=



1 · · · 1
...
1 · · · 1




28. 古典的多次元尺度法
ヤングハウスホルダー変換 −
1
2
(QD(2)
Q) = QXXT
Q
Q = I −
1 · 1T
N
D(2)
= diag(XXT
) · (1 · 1T
) − 2XXT
+(1 · 1T
) · diag(XXT
)
という⾏行列に対して、
1 · 1T
=



1 · · · 1
...
1 · · · 1




29. 古典的多次元尺度法
P
d12
1
d23
d23
O
x2
x1
x3
P2 P3
ヤングハウスホルダー変換 −
1
2
(QD(2)
Q) = QXXT
Q
Q = I −
1 · 1T
N
D(2)
= diag(XXT
) · (1 · 1T
) − 2XXT
+(1 · 1T
) · diag(XXT
)
という⾏行列に対して、
平⾏行移動した成分の内積を
求めることができた。
1 · 1T
=



1 · · · 1
...
1 · · · 1




30. 古典的多次元尺度法
−
1
2
(QD(2)
Q) = QXXT
Q 対⾓角化すると、
−
1
2
(QD(2)
Q) = P





λ1 · · · · · · 0
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
0 · · · λN−1 0
0 · · · 0 0





PT

31. 古典的多次元尺度法
−
1
2
(QD(2)
Q) = QXXT
Q 対⾓角化すると、固有値がすべて0以上であれば、
−
1
2
(QD(2)
Q) = P





√
λ1 · · · · · · 0
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
0 · · ·
$
λN−1 0
0 · · · 0 0










√
λ1 · · · · · · 0
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
0 · · ·
$
λN−1 0
0 · · · 0 0





PT

32. 古典的多次元尺度法
−
1
2
(QD(2)
Q) = QXXT
Q 対⾓角化すると、固有値がすべて0以上であれば、
中⼼心が原点に来るように移動した座標の１つとして
を選ぶことができる。
Z = P





√
λ1 · · · 0 0
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
0 · · ·
$
λN−1 0
0 · · · 0 0





QXXT
Q = P





√
λ1 · · · · · · 0
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
0 · · ·
$
λN−1 0
0 · · · 0 0










√
λ1 · · · · · · 0
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
0 · · ·
$
λN−1 0
0 · · · 0 0





PT

33. Rでの計算
A
B
C
D
E
A
B
C D
E
ച۱Ϋஓ
A
B
D
C
E
Ѿୃ
A
E
C
B
D
౞ୃ

34. yamate0 - read.csv( yamate.csv , header=T, row.names=1)
yamate1 - as.dist( yamate0 )
多次元尺度法の計算 ( cmdscale )
yamate2 - cmdscale( yamate1,eig=T, k=2)
plot( yamate2$points, type= n )
text( yamate2$points, rownames(yamate2$points) )
R

35. 多次元尺度法の計算 ( cmdscale )
所要時間データ × Ø Ù Ĩ Ĩ Ĩ ×Ø ×Ù ×Ú
×Ôೇঝ Ö Ý ×Ø Ĩ Ĩ Ĩ ×Ú ×Ö Ý
ØÔෳ‫ܒ‬ Ý Ö Û Ĩ Ĩ Ĩ Ø× ×Ý ×Ú
ÙÔࡗੴ ×Ø Û Ö Ĩ Ĩ Ĩ ØÜ ØØ ×ß
ÚÔ‫࡞ٵ‬ ×Ú Ý Ø Ĩ Ĩ Ĩ ØÞ ØÚ Ø×
Ĩ Ĩ Ĩ Ĩ Ĩ Ĩ
×ØÔ࠾๊‫ٵ‬ ×Ú Ø× ØÜ Ĩ Ĩ Ĩ Ö Ú Ý
×ÙÔୱ֣ ×Ö ×Ý ØØ Ĩ Ĩ Ĩ Ú Ö Ù
×ÚÔईֹ Ý ×Ú ×ß Ĩ Ĩ Ĩ Ý Ù Ö

36. 多次元尺度法の計算 ( cmdscale )
所要時間データ
CSVファイル
ÒೇঝÒෳ‫ܒ‬ÒࡗੴÒ‫࡞ٵ‬Òई࡞Ò‫ۿ‬୉ఐࣟƧ
ೇঝÒÖÒÝÒ×ØÒ×ÚÒ×ÞÒØØÒƧ
ෳ‫ܒ‬ÒÝÒÖÒÛÒÝÒ××Ò×ÛÒƧ
ࡗੴÒ×ØÒÛÒÖÒØÒÜÒ×ÖÒƧ
‫࡞ٵ‬Ò×ÚÒÝÒØÒÖÒÚÒÞÒƧ
ई࡞Ò×ÞÒ××ÒÜÒÚÒÖÒÚÒƧ
‫ۿ‬୉ఐࣟÒØØÒ×ÛÒ×ÖÒÞÒÚÒÖÒƧ
જ੉ÒØÛÒ×ÞÒ×ÙÒ××ÒÝÒÙÒƧ
Ƨ

37. yamate0 - read.csv( yamate.csv , header=T, row.names=1)
yamate1 - as.dist( yamate0 )
多次元尺度法の計算 ( cmdscale )
yamate2 - cmdscale( yamate1,eig=T, k=2)
plot( yamate2$points, type= n )
text( yamate2$points, rownames(yamate2$points) )
R

38. yamate0 - read.csv( yamate.csv , header=T, row.names=1)
yamate1 - as.dist( yamate0 )
多次元尺度法の計算 ( cmdscale )
yamate2 - cmdscale( yamate1,eig=T, k=2)
plot( yamate2$points, type= n )
text( yamate2$points, rownames(yamate2$points) )
R

39. 多次元尺度法の計算 ( cmdscale )
所要時間データ × Ø Ù Ĩ Ĩ Ĩ ×Ø ×Ù ×Ú
×Ôೇঝ Ö Ý ×Ø Ĩ Ĩ Ĩ ×Ú ×Ö Ý
ØÔෳ‫ܒ‬ Ý Ö Û Ĩ Ĩ Ĩ Ø× ×Ý ×Ú
ÙÔࡗੴ ×Ø Û Ö Ĩ Ĩ Ĩ ØÜ ØØ ×ß
ÚÔ‫࡞ٵ‬ ×Ú Ý Ø Ĩ Ĩ Ĩ ØÞ ØÚ Ø×
Ĩ Ĩ Ĩ Ĩ Ĩ Ĩ
×ØÔ࠾๊‫ٵ‬ ×Ú Ø× ØÜ Ĩ Ĩ Ĩ Ö Ú Ý
×ÙÔୱ֣ ×Ö ×Ý ØØ Ĩ Ĩ Ĩ Ú Ö Ù
×ÚÔईֹ Ý ×Ú ×ß Ĩ Ĩ Ĩ Ý Ù Ö

40. yamate2 - cmdscale( yamate1,eig=T, k=2)
多次元尺度法の計算 ( cmdscale )
yamate0 - read.csv( yamate.csv , header=T, row.names=1)
yamate1 - as.dist( yamate0 )
plot( yamate2$points, type= n )
text( yamate2$points, rownames(yamate2$points) )
R

41. 多次元尺度法の計算 ( cmdscale )
plot( yamate2$points, type= n )
text( yamate2$points, rownames(yamate2$points) )
yamate2 - cmdscale( yamate1,eig=T, k=2)
R
yamate0 - read.csv( yamate.csv , header=T, row.names=1)
yamate1 - as.dist( yamate0 )

42. まとめ
A
B
C
D
E
A
B
C D
E
ച۱Ϋஓ
A
B
D
C
E
Ѿୃ
A
E
C
B
D
౞ୃ

43. まとめ
４つの尺度
名義尺度，順序尺度，間隔尺度，⽐比例尺度
距離の公理
古典的多次元尺度法
⾮非負性，対称性，三⾓角不等式，⾮非退化性
原点に平⾏行移動，固有値分解，寄与率