makalah matematika ekonomi tentang persamaan non linear

1. BAB I
PENDAHULUAN
Pemahaman akan fungsi-fungsi non linear dalam mempelajari ilmu ekonomi tidak
kalah pentingnya dengan pemahaman akan fungsi linear. Meskipun banyak hubungan antar
variabel ekonomi cukup dapat diterangkan dengan model linear, namun tidak sedikit pula
yang lebih realistik dan rasional ditelaah dengan model non-linear . Bahkan sebagian dari
model ekonomi linear yang ada sesungguhnya merupakan penyederhanaan dari hubungan-
hububungan yang non-linear, merupakan linearisasi dari model non-linear.
Bab ini menguraikan karakteristik-karakteristik penting dari fungsi non-liear. Empat
macam bentuk fungsi non-linear yang paling sering dijumpai dalam analisis ekonomi
merupakan titik perhatian. Keempatnya adalah fungsi kuadratparabolik, fungsi kubik,fungsi
eksponensial dan fungsi logaritmik.
1

2. BAB II
PEMBAHASAN
A. FUNGSI KUADRAT
Fungsi kuadrat atau fungsi berderajat dua adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah pangkat dua.
Bentuk umum: y = ax2 + bx + c, a ≠ 0
Gambar dari suatu fungsi kuadrat dapat berupa salah satu dari empat kemungkinan
bentuk potongan kerucut: lingkaran, elips, hiperbola, atau parabola. Perhatikan gambar.1
berikut:
Gambar.1
Apabila bidang kerucut dipotong dengan posisi mendatar, akan diperoleh potongan
berpenampang lingkaran. Pemotongan dengan posisi menyerong menghasilkan potongan
berpenampang elips. Pemotongan dengan posisi tegaklurus, tapi bukan pada pertengahan
kerucut, menghasilkan penampang hiperbola. Sedangkan jika dipotong menyerong pada
separoh bidang kerucut, akan dipperoleh potongan berpenampang parabola. Dengan
demikian kurva dari sebuah persamaan kuadrat akan berbentuk salah sau dari empat
kemungkinan tersebut.
Untuk lingkaran, elips, dan hiperbola tidak akan dibahas secara panjang lebar disini,
mengingat penerapan langsungnya dalam model-model ekonomi relatif langka. Perhatian
lebih ditekankan pada persamaan kuadrat yang berbentuk parabola, karena lebih sering
muncul dalam berbagai model ekonomi.
1. Identifikasi Persamaan Kuadrat
Mengingat pangkat dua dalam suatu persamaan kuadrat sesungguhnya dapat
terletak pada baik variabel x maupun variabel y, bahkan pada suku xy (jika ada),
maka bentuk yang lebih umum untuk suatu persamaan kuadrat ialah:
2

3. ax2 + pxy + by2 + cx + dy + e = 0, setidak-tidaknya salah satu a ≠ 0 atau b ≠ 0
Dari bentuk yang lebih umum ini, dapat diidentifikasi gambar atau kurva dari
persamaannya yakni sebagai berikut:
Jika p = 0 dan a = b ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran
Jika p2 – 4ab < 0, kurva elips
Jika p2 – 4ab > 0, kurva hiperbola
Jika p2 – 4ab = 0, kurva sebuah parabola
Apabila p = 0 maka bentuk umum menjadi:
ax2 + by2 + cx + dy + e = 0
Berdasarkan bentuk dengan kasus khusus ini, identifikasinya menjadi sebagai
berikut:
Jika a = b ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran
Jika d ≠ b, tetapi bertanda sama, kurvanya sebuah elips
Jika a dan b berlawanan tanda, kurvanya sebuah hiperbola
Jika a = 0 atau b = 0, tetapi tidak keduanya, kurvanya sebuah parabola
2. Lingkaran
Secara geometri, lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tetap
terhadap sebuah titik tertentu yang disebut pusat. Jarak titik-titik tersebut terhadap
pusat disebut jari-jari lingkaran.
Bentuk umum persamaan lingkaran:
ax2 + by2 + cx + dy + e = 0, a = b ≠ 0
Pusat dan jari-jari lingkaran dapat dicari dengan cara memanipulasi persamaan
umumnya sedemikian rupa, sehingga pada akhirnya diperoleh bentuk baku rumus
lingkaran yaitu:
(x - i)2 + (y - j)2 = r2
dimana :
i = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu vertikal-y
j = jarak pusat lingkaran terhadap sumbu horizontal-x
r = jari-jari lingkaran
3

4. Pusat P (i,j) dengan jari-jari r
Jika r2 > 0 menghasilkan lingkaran berjari-jari r.
Jika r2 = 0 menghasilkan lingkaran berupa titik.
Jika r2 < 0 menghasilkan lingkaran berjari-jari khayal, sehingga lingkarannya tidak
dapat disajikan secara grafik.
Titik pusat dan jari-jari lingkaran dapat dengan mudah dicari. Perhatikan
penguraian persamaan umum lingkaran dan rumus baku lingkaran masing-masing
berikut ini.
Rumus baku lingkaran:
 (x - i)2 + (y - j)2 = r2
 x2 -2ix + i2 + y2 -2jy + j2 = r2
 x2 + y2 - 2ix - 2jy + i2 + j2 - r2 = 0……………………………………………..(1)
Persamaan umum lingkaran:
 ax2 + by2 + cx + dy + e = 0
 ax2 + ay2 + cx + dy + e = 0 (sebab a=b)
 x2 + y2 + x + y + = 0………………………………………………………(2)
Berdasarkan (1) dan (2):
= -2i  i = -
= -2j  j = -
= i2 + j2 – r2  r2 = i2 + j2 –
r=
r=
Pusat P (- ,- ) dan jari-jari r =
Dengan memanfaatkan penemuan ini, pusat dan jari-jari lingkaran akan lebih
mudah dan cepat diketahui.
Titik potong lingkaran dengan sumbu-sumbu koordinat dapat dicari dengan
memisalkan x=0, sehingga perpotongannya dengan sumbu-y dapat dihitung;
kemudian memisalkan y = 0, sehingga perpotogannya dengan sumu-x dapat pula
dihitung. Tidak setiap lingkaran mempunyai perpotongan dengan sumbu-sumbu
4

5. koordinat. Hal ini tergantung pada besar kecilnya nilai-nilai i dan j dibandingkan
terhadap nilai r. Jika i > r, lingkarannya tidak memotong sumbu vertikal-y. Jika j > r,
lingkarannya tidak memotong sumbu horizontal-x.
Contoh:
1) Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 3x2 + 3y2 - 24x -18y – 33 = 0. Tentukan
juga perpotongannya pada masing-masing sumbu koordinat.
3x2 + 3y2 - 24x -18y – 33 = 0
x2 + y2 - 8x - 6y – 11 = 0
(x2 - 8x + k1) + (y2 - 6y + k2) = 11 + k1 + k2
(x2 - 8x + 16) + (y2 - 6y + 9) = 11 + 16 + 9
(x - 4)2 + (y – 3)2 = 62
i j r
Pusat lingkarannya adalah titik P (4,3), jari-jari = 6
cara lain:
3x2 + 3y2 - 24x -18y – 33 = 0
P( , ) = P (4,3)
Perpotongan dengan sumbu-x: y =0
3x2 – 24x - 33 = 0
x2 – 8x - 11 = 0
dengan rumus abc diperoleh x1 = 9,19 dan x2 = -1,19
Perpotongan dengan sumbu –y: x=0
3y2 - 18y - 33 =0
y2 - 6y - 11 =0
dengan rumus abc diperoleh y1 = 7,47 dan y2= -1,47
Jadi, lingkaran tersebut memotong sumbu-x pada posisi x = 9,19 dan x = -1,19
serta memotong sumbu-y pada posisi y = 7,47 dan y = -1,47
5

6. 2) Gambarkan lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y + 13 = 0
x2 – 6x + y2 + 4y = -13
(x2 – 6x + 9) + ( y2 + 4y + 4) = -13 + 9 + 4
(x - 3)2 + (y + 2)2 = 0
i = 3, j = -2, r = 0
x2 + y2 – 6x + 4y + 13 = 0
3. Elips
Dalam matematika, sebuah elips adalah gambar yang menyerupai lingkaran
yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dari irisan
kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang,
yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan
sebelumnya (disebut fokus).
Y
C(0, P(x,
b y
) )
A(a, F1 ( - c , 0 O B(a,0 X
F1 ( c , 0
0 ) ) )
) D(0,-b
)
Gambar.2
6

7. a. Unsur-Unsur Elips
Dari gambar diatas, titik F1 dan F2 dan adalah titik focus elips dan A, B, C, D
adalah titik puncak elips. Elips mempunyai dua sumbu simetri, yaitu :
1. Garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor. Pada gambar, sumbu
mayor elips adalah AB.
2. Garis yang tegak lurus sumbu mayor di titik tengah disebut sumbu minor. Pada
gambar , sumbu minor elips adalah CD.
Sedangkan titik potong kedua sumbu elips itu disebut pusat elips.
Elips juga didefinisikan sebagaitempat kedudukan titik-titik yang perbandingan
jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. (e<1).
Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks.
Gambar diatas menunjukkan sebuah elips dengan :
- Pusat elips O(0,0) ;
- Sumbu simetri adalah sumbu x dan sumbu y ;
- Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0) ;
- Sumbu mayor pada sumbu x, puncak A(-a,0) dan B(a,0) , panjang sumbu mayor
= 2a
- Sumbu minor pada sumbu y, puncak C(0,b) dan D(0,-b) , panjang sumbu minor
= 2b
c
- Eksentrisitas : e
a
a a2
- Direktriks : x atau x
e c
2 b2
- Panjang lactus rectum
a
b. Persamaan Elips
Berikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat elips.
1. Persamaan elips yang berpusat di O(0,0)
Selain diketahui pusat elipsnya, persamaan elips juga ditentukan dari titik
fokusnya.
a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah
7

8. 2 2 2 2 2 2 x2 y2
b x a y a b atau 2 1, a b
a b2
Dengan : - Pusat (0,0)
- Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0)
b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah
2 2 2 2 2 2 x2 y2
a x b y a b atau 2 1, a b
b a2
Dengan : - Pusat (0,0)
- Fokus F1 (0,-c) dan F2 (0,c)
Catatan : c a2 b2
Contoh 1
Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan
sumbu mayor 10 satuan.
Jawab : Fokus di F1 (-4,0) dan F2 (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x )
Panjang sumbu mayor = 10, maka 2a = 10. Sehingga a = 5
b a2 c2 25 16 9 3
x2 y2 x2 y2 x2 y2
Persamaan elipsnya : 2 1 1 1
a b2 52 32 25 9
x2 y2
Jadi persamaan elipnya adalah 1
25 9
Contoh 2
x2 y2
Diketahui persamaan elips 1 , tentukan koordinat titik puncak,
16 9
koordinat titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas,
persamaan direktriks dan panjang lactus rectum !
x2 y2
Jawab : Dari persamaan elips 1 , diperoleh a2 = 16, maka a = 4; b2 =9,
16 9
maka b = 3.
8

9. c2 = a2 - b2 , sehingga c2 = 16 – 9 =7, maka c = 7.
Dari data diatas diperoleh :
- Titik puncak (a,0) = (4,0) dan (-a,0)=(-4,0)
- Titik focus ( -c,0) = (- 7 ,0 ) dan ( c,0)=( 7 ,0 )
- Panjang sumbu mayor = 2a = 2. 4 = 8
- Panjang sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6
c 7
- Eksentrisitas: e =
a 4
a 4 16 16
- Persamaan direktriks : x e 7
7
7 7
4
2 b2 2 .9 18 1
- Panjang lactus rectum = 4
a 4 4 2
2. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)
a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar
sumbu x, persamaan elipsnya adalah
2 2 Dengan : - Pusat (α,β)
x y
1 - Titik fokus di F1 (α-c, β) & F2(α+c, β)
a2 b2
- Titik puncak (α-a, β) & (α+a, β)
- Panjang sumbu mayor=2a
- Panjang sumbu minor=2b
a2
- Persamaan direktriks x
c
b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar
sumbu y, persamaan elipsnya adalah
2 2 Dengan : - Pusat (α,β)
x y
1 - Titik fokus di F1 (α,β-c) & F2(α,β+c)
b2 a2
- Titik puncak (α,β-a) & (α,β+a)
- Panjang sumbu mayor=2a
- Panjang sumbu minor=2b
a2
- Persamaan direktriks y
c
9

10. Contoh 1
Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan
sumbu minor dari persamaan elips 4 x 2 9 y 2 16 x 18 y 11 0
Jawab :
Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam bentuk baku
2 2
x y
1
a2 b2
4 x 2 9 y 2 16 x 18 y 11 0
4 x 2 16 x 9 y 2 18 y 11
4 x2 4 x 9 y2 2 y 11
2 2
4 x 2 22 9 y 1 12 11
2 2
4 x 2 4 9 y 1 1 11
2 2
4 x 2 16 9 y 1 9 11
2 2
4 x 2 9 y 1 11 16 9
2 2
4 x 2 9 y 1 36
2 2
x 2 y 1
1
9 4
Dari persamaan diatas diperoleh : α=2, β=1, a2=9 maka a=3, b2=4 maka a=2,
c a 2 b2 32 22 9 4 5
- Pusat ( α,β )= ( 2,1 )
- Titik fokus di F1 ( α-c, β )= ( 2 - 5 ,1 ) & F2 ( α+c, β )=( 2+ 5 ,1 )
- Titik puncak ( α-a, β )=( 2-3,1 ) =( -1,1 ) & ( α+a, β )= ( 2+3,1 )=( 5,1 )
- Panjang sumbu mayor=2a=2.3=6
- Panjang sumbu minor=2b=2.2=4
4. Hiperbola
Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap
dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus. Sebuah
hiperbola mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus dan sepasang
asimtot.
10

11. a. Unsur-Unsur Hiperbola
Y
b b
y x y x
a a
T (x,y)
( 0,b )
(- a,0 )
. ( a,0 )
. X
O
F2 ( -c,0) F1 ( c,0)
( 0, -b )
Gambar.3
Dari gambar diatas, titik O merupakan pusat hiperbola, titik F1 & F2 adalah focus
hiperbola, titik puncak ( -a,0) & (a,0), panjang sumbu mayor = 2a dan panjang
sumbu minor = 2b.
b. Persamaan Hiperbola
1. Persamaan Hiperbola yang berpusat di ( 0,0 )
a. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu x, persamaan hiperbolanya
adalah :
x2 y2
b2 x2 a 2 y 2 a 2b 2 atau 1
a2 b2
Dengan :
- Pusat ( 0,0 ) a2
- Persamaan direktriks : x
- Titik fokus F1(-c,0) & F2 (c,0) c
- Titik puncak ( -a,0 ) &( a,0 ) c
- Eksentrisitas: e
- Panjang sumbu mayor = 2a a
- Panjang sumbu minor = 2b 2b 2
- Panjang lactus rectum
a
- Persamaan asimptot :
b - c2 a 2 b2
y x
a
11

12. b. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu y, persamaan hiperbolanya
adalah :
y2 x2
b2 y 2 a 2 x2 a 2b 2 atau 1
a2 b2
Dengan :
- Pusat ( 0,0 )
- Titik fokus F1(0,-c) & F2 (0,c)
- Titik puncak ( 0,-a ) & ( 0,a)
- Panjang sumbu mayor = 2a
- Panjang sumbu minor = 2b
a
- Persamaan asimptot : y x
b
a2
- Persamaan direktriks : y
c
Contoh 1 :
x2 y2
Diketahui persamaan hiperbola 1 , tentukan :
36 25
a) Koordinat titik puncak d) Persamaan direktriks
b) Koordinat titik fokus e) Eksentrisitas
c) Persamaan asimptot f) Panjang lactus rectum
x2 y2
Jawab : Dari persamaan hiperbola 1 , diperoleh a2=16, maka a=4
16 9
dan a2=9, maka a=3, c a 2 b2 42 32 16 9 25 5
a. koordinat titik puncak : ( - a,0 )=( - 4,0) & ( a,0 )=(4,0)
b. koordinat titik fokus : ( - c, 0 )=( -5,0 ) & ( c,0 )=( 5,0 )
b 3
c. persamaan asimptot : y x x
a 4
a2 42 16 1
d. persamaan direktriks : x 3
c 5 5 5
c 5
e. eksentrisitas : e
a 4
2b 2 2.32 9 1
f. panjang lactus rectum 4
a 4 2 2
12

13. Contoh 2 :
Tentukan persamaan hiperbola yang puncaknya (0,3) & (0,-3) serta fokusnya
(0,5) & (0,-5).
Jawab : Dari puncak (0,3) & (0,-3) diperoleh a=3, dari fokus (0,5) & (0,-5)
diperoleh c=5.
b c2 a2 52 32 25 9 16 4
Jadi persamaan hiperbolanya adalah
y2 x2 y2 x2 y2 x2
1 1 1
a2 b2 32 42 9 16
2. Persamaan hiperbola yang berpusat di P( α,β )
a. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu x,
persamaan hiperbolanya adalah :
2 2
x y
1
a2 b2
Dengan :
- Pusat ( α,β ) - Persamaan asimptot :
- Titik fokus F1( α - c, β ) & b
y x
F2 ( α + c, β ) a
- Titik puncak ( α - a, β ) & - Persamaan direktriks :
(α + a, β ) a2
x
- Panjang sumbu mayor = 2a c
- Panjang sumbu minor = 2b
b. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu y,
persamaan hiperbolanya adalah :
2 2 Dengan : - Pusat ( α,β )
y x
1 - Titik fokus F1( α , β - c ) & F2 ( α,
a2 b2
β+c)
- Titik puncak ( α , β - a ) & ( α, β +
a)
13

14. - Panjang sumbu mayor = 2a
- Panjang sumbu minor = 2b
a
- Persamaan asimptot : y x
b
a2
- Persamaan direktriks : y
c
Contoh 3 :
Diketahui persamaan hiperbola 4 x 2 3 y 2 24 x 18 y 27 0 . Tentukan:
a. koordinat titik pusat
b. koordinat titik puncak
c. koordinat titik fokus
d. persamaan asimptot
e. persamaan direktriks
Jawab :
Nyatakan terlebih dahulu persamaannya ke dalam bentuk baku
2 2
x y
1
a2 b2
4 x 2 3 y 2 24 x 18 y 27 0
4 x 2 24 x 3 y 2 18 y 27
4 x2 6 x 3 y2 6 y 27
2 2
4 x 3 32 3 y 3 32 27
2 2
4 x 3 9 3 y 3 9 27
2 2
4 x 3 36 3 y 3 27 27
2 2
4 x 3 3 y 3 27 27 36
2 2
4 x 3 3 y 3 36
2 2
4 x 3 3 y 3 36
2 2
x 3 y 3
1
9 12
14

15. Dari persamaan diatas, diperoleh 3 dan 3 , a2=9, maka a=3 dan
b2=12, maka b= 2 3 , c a 2 b2 9 12 21
a. Koordinat titik pusat ( α,β )=(-3,3)
b. Koordinat titik puncak (α - a, β)=( -3-3, -3 )=( -6,-3 ) & ( α + a, β )=( -3+3,-
3 ) = (0,-3)
c. Koordinat titik fokus : F1( α - c, β )=( -3- 21 ,3 ) & F2 ( α + c, β ) =
(-3+ 21 , 3 )
b 2 3
d. Persamaan asimptot : y x y 3 x 3
a 3
e. Persamaan direktriks :
a2 32 9 3
x x 3 x 3 x 3 21
c 21 21 7
5. Parabola
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah
titik focus dan sebuah garis lurus yang disebut direktris. Setiap parabola mempunyai
sebuah sumbu simetri dan sebuah titik ekstrim.
Letak titik ekstrim parabola mengandung empatkemungkinan, tergantung pada
bentuk parabolanya. Apabila sumbu simetri parabola sejajar dengan sumbu vertical,
letak titik ekstrimnya akan di atas jika parabolanya terbuka ke bawah, atau di bawah
jika parabolanya terbuka ke atas. Sedangkan bila sumbu simetri parabola sejajar
dengan sumbu horizontal, titik ekstrimnya akan terletak di kiri jika parabilanya
terbuka ke kanan jika parabolanya terbuka ke kiri. Perhatikan Gambar.4 di bawah ini
:
15

16. Gambar.4
Secara umum persamaan parabola sbb :
, dimana salah satu atau (tetapi tidak keduanya)
sama dengan nol.
sumbu simetri // sumbu vertical
sumbu simetri // sumbu horizontal
Dimana
Untuk parabola dengan sumbu simetri // sumbu vertical atau ,
parabolanya terbuka ke bawah jika dan terbuka ke atas jika . Sedangkan
untuk parabola dengan sumbu simetri //sumbu horizontal untuk ,
parabolanya terbuka ke kanan jika dan terbuka ke kiri jika .
Titik ekstrim (i,j) adalah :
Dimana adalah jarak titik ekstrim dari sumbu-sumbu vertical –y, sedangkan
adalah jarak titik ekstrim dari sumbu horizontal –x.
Contoh :
Tentukan titik ekstrim parabola da perpotongannya dengan sumbu-
sumbu koordinatnya.
Jawab :
; parabolanya terbuka ke atas sebab , titik ekstrimnya
terletak di bawah,. Koordinat titik ekstrimnya :
16

17. Untuk (perpotongan dengan sumbu vertical)
Untuk
B. FUNGSI KUBIK
Fungsi kubik atau fungsi berderajat tiga ialah fungsi yan pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah pangkat tiga. Bentuk umum persamaan kubik adalah :
,
Setiap fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah titik belok (inflexion point),
yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atu dari cambung
menjadi cekung. Fungsi kubik mungkin pula mempunyai satu titik ekstrim (maksimum
atau minimum) atau dua titik ekstrim (maksimum dan minimum). Ada tidaknya titik
ekstrim pada fungsi kubik tergantung pada besarnya nilai b, c dan d di dalam
persamaannya.
Gambar.5
Gambar.4 menunjukkan fungsi kubik yang mempunyai titik ekstrim :
Gambar.6
17

18. C. FUNGSI EKSPONENSIAL
Fungsi eksponensial ialah fungsi dari suatu konstanta berpangkat variabel bebas.
Bentuk fungsi eksponensial yang paling sederhana adalah:
Kurvanya terletak di kuadran-kuadran atas (kuadran I dan kuadran II) pada sistem
koordinat. Dalam hal , kurva dari bergerak menurun dari kiri ke kanan
(monotonically decreasing), serta asimtotik terhadap sumbu x dan memotong sumbu y
pada (0,1). Dalam hal , kurva dari bergerak menaik dari kiri ke kanan
(monotonically increasing), juga asimtotik terhadap sumbu x dan memotong sumbu y
pada (0,1). Jika n = 1, kurvanya akan berupa garis lurus sejajar sumbu x.
Kurva eksponensial
Gambar.7
Bentuk fungsi eksponensial yang lebih umum adalah:
Kurva asimtotik terhadap garis . Mengingat bentuk ini mengandung bilangan e
maka pengetahuan tentang konsep logaritma, khususnya logaritma Napier yang berbasis
e, sangat diperlukan untuk menyelesaikan persamaan eksponensial semacam ini. Kurva
dari untuk nilai-nilai n, k dan c tertentu dapat dilihat pada Gambar.8 dan
Gambar.9. Kurva eksponensial
18

19. Gambar.8
Kurva eksponensial
19

20. Gambar.9
Titik potong kurva eksponensial pada sumbu –x ialah
sedangkan pada sumbu y ialah (0, n + c). hal ini berlaku umum untuk ke-12 panel pada
gambar 7-23 dan gambar 7-24.
Contoh:
Tentukan titik potong kurva eksponensial pada masing-masing sumbu
dan hitunglah f(3).
Jawab:
Pada sumbu x: y = 0
Titik potongnya : (1,39 ; 0)
Pada sumbu y: x = 0
20

21. Titik potongnya : (0 ; -2)
Untuk
D. FUNGSI LOGARITMIK
Fungsi logaritmik merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya
merupakan bilangan logaritma. Bentuk fungsi logaritma yang paling sederhana adalah:
Kurvanya terletak pada kuadran I dan kudran IV pada sistem koordinat. Kurvanya
bergerak menurun dari kiri ke kanan, asimtot terhadap sumbu y dan memotong sumbu x
pada (1,0). Besar kecilnya nilai n menentukan kelengkungan kurvanya seperti
Gambar.10
0<n<1 n>1
Gambar.10
Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah :
x > -1
kurvanya terletak di sebelah kanan dan asimtotik terhadap garis x = -1. Untuk nilai-nilai
a dan b tertentu, kurva dari fungsi logaritmik dapat dilihat pada Gambar.11.
Perpotongannya dengan masing-masing sumbu dapat dicari sebagai berikut.
Perpotongan dengan sumbu x ; y = 0
21

22. Perpotongan dengan sumbu y ; x = 0
Gambar. 11
22

23. Contoh
Tentukan titik potong kurva logaritmik y = 2 ln(1+ x) + 6 pada masing-masing sumbu
dan hitunglah f (4)!
Jawab:
Untuk y = 0  2 ln(1+ x) + 6 = 0
2 ln(1+ x) = -6
ln(1+ x) = -3
Titik potong dengan sumbu x ; (-0,9502 , 0)
Untuk x = 0  y = 2 ln (1) + 6 = 6
Titik potong dengan sumbu y ; (0 , 6)
f (4) = 2 ln (1+ 4) + 6 = 9,2189
23

24. BAB III
KESIMPULAN
a. Fungsi kuadrat atau fungsi berderajat dua adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah pangkat dua. Bentuk umum: y = ax2 + bx + c, a ≠ 0
b. Bentuk yang lebih umum untuk suatu persamaan kuadrat ialah:
ax2 + pxy + by2 + cx + dy + e = 0, setidak-tidaknya salah satu a ≠ 0 atau b ≠ 0
Gambar atau kurva dari persamaannya yakni :
Jika p = 0 dan a = b ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran
Jika p2 – 4ab < 0, kurva elips
Jika p2 – 4ab > 0, kurva hiperbola
Jika p2 – 4ab = 0, kurva sebuah parabola
Apabila p = 0 maka bentuk umum menjadi: ax2 + by2 + cx + dy + e = 0
identifikasinya menjadi:
Jika a = b ≠ 0, kurvanya sebuah lingkaran
Jika d ≠ b, tetapi bertanda sama, kurvanya sebuah elips
Jika a dan b berlawanan tanda, kurvanya sebuah hiperbola
Jika a = 0 atau b = 0, tetapi tidak keduanya, kurvanya sebuah parabola
c. Bentuk umum persamaan lingkaran: ax2 + by2 + cx + dy + e = 0, a = b ≠ 0
Bentuk baku rumus lingkaran yaitu: (x - i)2 + (y - j)2 = r2
Jika r2 > 0 menghasilkan lingkaran berjari-jari r.
Jika r2 = 0 menghasilkan lingkaran berupa titik.
Jika r2 < 0 menghasilkan lingkaran berjari-jari khayal
Pusat P (- ,- ) dan jari-jari r =
d. Persamaan elips yang berpusat di O(0,0)
1. Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah
2 2 2 2 2 2 x2 y2
b x a y a b atau 2 1, a b
a b2
2. Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah
x2 y2
a 2 x2 b2 y 2 a 2 b2 atau 1, a b
b2 a2
24

25. e. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)
1. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x,
2 2
x y
persamaan elipsnya adalah 1
a2 b2
2. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y,
2 2
x y
persamaan elipsnya adalah 1
b2 a2
f. Persamaan Hiperbola yang berpusat di ( 0,0 )
1. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu x, persamaan hiperbolanya adalah :
2 2 2 2 2 2 x2 y2
bx a y ab atau 2 1
a b2
2. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu y, persamaan hiperbolanya adalah :
y2 x2
b2 y 2 a 2 x2 a 2b 2 atau 1
a2 b2
g. Persamaan hiperbola yang berpusat di P( α,β )
1. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu x, persamaan
2 2
x y
hiperbolanya adalah : 1
a2 b2
2. Untuk hiperbola yang berfokus pada sumbu utama dan sejajar sumbu y, persamaan
2 2
y x
hiperbolanya adalah : 1
a2 b2
h. Bentuk fungsi eksponensial yang paling sederhana adalah
i. Bentuk fungsi eksponensial yang lebih umum adalah
j. Bentuk fungsi logaritma yang paling sederhana adalah
k. Bentuk fungsi logaritma yang lebih umum adalah , x > -1
25