1. Funcionestrigonométrica
La función seno
Definición geométrica
El seno de un número real t es la coordenada y (altura) del punto P en el
siguiente diagrama, donde |t| es el largo del arco que se indica.
sin t = coordenada y del punto P
Definición "rueda bicicleta"
Si una rueda cuyo radio es 1 roda
hacia delante a una velocidad de 1
unidad por segundo, sin t el la altura
de un marcador fijo en su
neumático después de t segundas,
si se empieza a medio camino entre
la parte superior y la parte inferior
de la rueda.
Gráfica de la función seno
y = sin x
Función seno general
La función seno "generalizado" tiene la siguiente forma:
y = A sin[ω(x - α)] + C
A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la
línea base).
C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).
P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).
ω es la frecuencia angular, y se expresa por
ω= 2π/P o P = 2π/ω.
α es el desplazamiento de faso.

2. La función coseno
Definición geométrica
El coseno de un número real t es la coordenada x del punto P en el
siguiente diagrama, donde |t| es el largo del arco que se indica.
cos t = coordenada x del punto P
sin t = coordenada y del punto P
Gráfica de la función coseno
y = cos x
Función coseno general
La función coseno "generalizado" tiene la siguiente forma:
y = A cos[ω(x - α)] + C
A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la
línea base).
C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base).
P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo).
ω es la frecuencia angular, y se expresa por
ω= 2π/P o P = 2π/ω.
α es el desplazamiento de faso.
Identidades trigonométricas fundamentales: Relaciones entre seno y coseno
El seno y coseno de un número t se relacionan con
sin2t + cos2t = 1
Podemos obtener la curva coseno desplazando la curva seno hacia la izquierda una distancia igual
a π/2. A la inversa, podemos obtener la curva seno desplazando la curva coseno π/2 hacia la
derecha. Estos hechos se puede expresar como sigue
cos t = sin(t + π/2)
sin t = cos(t - π/2)
Formulación alternativa
Podemos también obtener la curva coseno por primero invertiendo la curva seno de manera vertical
(reemplace t por -t) y después desplazando hacia la derecha una distancia igual a π/2. Esto nos da
dos formulas alternativas (que son mas fáciles de recordar):
cos t = sin(π/2 - t) El coseno es el seno del complemento.
sin t = cos(π/2 - t) El seno es el coseno del complemento.

3. FUNCIONES EXPONENCIALES
2 x
Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x y g(x) = 2 . Las funciones f y g no son
2
iguales. La función f(x) = x es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es
x
una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2 es una función con una base
constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamadafunción exponencial.
x
Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = b , donde b y x son
números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.
El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números
reales positivos.
x
1) f(x) = 2
x
Propiedades de f(x) = b , b>0, b diferente de uno:
1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).
2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
3) El eje de x es la asíntota horizontal.
x
4) Si b > 1 (b, base), entonces b aumenta conforme aumenta x.
x
5) Si 0 < b < 1, entonces b disminuye conforme aumenta x.
6) La función f es una función uno a uno.
Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno
y x, y reales:
x x
1) Leyes de los exponentes: 3) Para x diferente de cero, entonces a = b si y
sólo si a = b.
Ejemplo para discusión: Usa las propiedades
para hallar el valor de x en las siguientes
ecuaciones:
x
1) 2 =8
x
2) 10 = 100
x-3
3) 4 =8
2-x
4) 5 = 125
Ejercicio de práctica: Halla el valor de x:
x y
2) a = a si y sólo si x = y
x
1) 2 = 64
x+1
2) 27 =9

4. En la simplificación de expresiones exponenciales
La función exponencial de base e y en las ecuaciones exponenciales con
base e usamos las mismas propiedades de las
Al igual que p, e es un número irracional donde e ecuaciones exponenciales con base b.
= 2.71828... La notación e para este número fue
dada por Leonhard Euler (1727). Ejemplos: Simplifica.
Definición: Para un número real x, la
x
ecuación f(x) = e define a la función
exponencial de base e.
x+1 3x - 1
Las calculadoras científicas y gráficas contienen Ejemplo: Halla el valor de x en e = e
x
una tecla para la función f(x) = e .
Práctica:
3x + 1 2x – 5
x
La gráfica de f(x) = e es: 1) Simplifica: (e ) (e )
3x – 4 2x
2) Halla el valor de x en e = e
-x
La gráfica de la función exponencial f(x) = e es:
El dominio es el conjunto de los números reales
y el rango es el conjunto de los números reales
positivos.
x
La función f(x) = e es una función
exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de
x x x
f(x) = e está entre f(x) = 2 y f(x) = 3 , como se
ilustra a continuación: