Clase de Matemática I

1. SALINAS AQUIJE T.W.
ASÍNTOTAS

6. Definición de una asíntota
 Cuando la gráfica de una función se acerca a una recta cuando x o y
tienden a infinito, dicha recta se llama ASÍNTOTA de la función.
 No todas las funciones tienen asíntotas.
Las asíntotas de una función pueden ser:
Verticales Horizontales Oblicuas

7. Asíntotas curvilíneas

10. Tipos de asíntotas
x = c
y
x
Asíntotas Verticales
x = c
y
x

12. Tipos de asíntotas
y = L
y = f(x)
y
x
y = L
y = f(x)
y
x
Asíntotas Horizontales

15. Tipos de asíntotas
Asíntotas Oblicuas
y
x
y = ax + b

17. Asíntotas verticales
+∞=−
→
)(lim xf
cx
−∞=−
→
)(lim xf
cx
+∞=+
→
)(lim xf
cx
La recta x = c es una asíntota vertical de una función f(x) si se cumple alguna
de las siguientes condiciones:
+∞=+
→
)(lim xf
cx
Ejemplo:
−∞=
−−
→ 2
1
lim
2 xx
+∞=
−+
→ 2
1
lim
2 xx
2
1
)(
−
=
x
xf
La recta x = 2 es una asíntota vertical

18. Asíntotas horizontales
Lxf
x
=
−∞→
)(lim Lxf
x
=
+∞→
)(lim
La recta x = L es una asíntota horizontal de una función f(x) si se cumple
alguna de las siguientes condiciones:
Ejemplo:
1
2
)(
−
=
x
x
xf
2
1
2
lim =
−−∞→ x
x
x
2
1
2
lim =
−+∞→ x
x
x
La recta y = 2 es una asíntota horizontal

19. Asíntotas oblicuas
a
x
xf
x
=
−∞→
)(
lim
a
x
xf
x
=
+∞→
)(
lim
baxxf
x
=−
−∞→
))((lim
La recta y = ax + b es una asíntota oblicua de una función f(x) si se
cumple alguna de las siguientes condiciones:
a)
b) baxxf
x
=−
+∞→
))((lim
Ejemplo:
1
2
)(
2
−
=
x
x
xf
2
2
lim
)(
lim 2
2
=
−
=
±∞→±∞→ xx
x
x
xf
xx
2)2
1
2
(lim))((lim
2
=−
−
=−
±∞→±∞→
x
x
x
axxf
xx
La recta y = 2x+2 es una asíntota oblicua

20. Asíntotas de funciones racionales
Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la
función simplificada es igual a 0.
Recuerda que se simplifica cancelando los factores comunes del numerador y
denominador.
Asíntotas Verticales

21. Ejemplo 1: Calcular las asíntotas verticales
( )
x
x
xf
22
52
+
−
=Dada la función
Calculamos los valores de x
que hacen 0 el denominador:
2 + 2x = 0 ⇒ x = -1
La recta x = -1 es la única
asíntota vertical de la
función.
Asíntota vertical
x = -1

22. Primero simplicamos la función.
( )
9
12102
2
2
−
++
=
x
xx
xf
( )( )
( )( )
3
42
33
423
9
12102
3
2
−
+
=
−+
++
=
−
++
x
x
xx
xx
x
xx
La(s) asíntota(s) aparecen cuando el
denominator (después de simplificar)
es igual a 0.
x – 3 = 0 ⇒ x = 3
La recta vertical x = 3 es la única
asíntota vertical de esta función.
Ejemplo 2: Calcular las asíntotas verticales

23. ( )
6
5
2
−−
−
=
xx
x
xg
( )( )32
5
6
5
2
−+
−
=
−−
−
xx
x
xx
x
El denominador es igual a 0 cuando
x + 2 = 0 ⇒ x = -2
o
x - 3 = 0 ⇒ x = 3
Esta función tiene dos asíntotas
verticales, una x = -2 y la otra x = 3
Ejemplo 3: Calcular las asíntotas verticales

24. Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes
condiciones (ambas condiciones no pueden ocurrir en la misma función):
• El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En
este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0.
• El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este
caso, la asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente
de mayor grado del numerador y b es el del denominador.
Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la
función no tiene asíntota horizontal.

25. Ejemplo 4: Calcular las asíntotas horizontales
0
27
53
lim 3
2
=
−
−+
−∞→ x
xx
x
( )
27
53
3
2
−
−+
=
x
xx
xf
0
27
53
lim 3
2
=
−
−+
+∞→ x
xx
x
Tiene una asíntota horizontal en
la recta y = 0 porque el grado del
numerador (2) es menor que el
grado del denominador (3).
La recta horizontal y = 0 es
la asíntota horizontal.

26. Ejemplo 5: Calcular las asíntotas horizontales
5
6
975
536
lim 2
2
=
−+
+−
±∞→ xx
xx
x
( )
975
536
2
2
−+
+−
=
xx
xx
xg
El grado del numerador (2) es
igual al grado del denominador
(2), luego la recta y = 6/5 es una
asíntota horizontal.
La recta y = 6
/5 es la
asíntota horizontal.

27. Ejemplo 6: Calcular las asíntotas horizontales
( )
1
952
2
3
+
−+−
=
x
xx
xf
No tiene asíntotas
horizontales porque el
grado del numerador es
mayor que el grado del
denominador.

28. Asíntotas oblicuas
Las asíntotas oblicuas aparecen cuando
el grado del numerador es exactamente
una unidad mayor que el grado del
denominador.

29. Ejemplo 7: Calcular las asíntotas oblicuas
( )
1
952
2
23
+−
−++
=
xx
xxx
xf
Tiene una asíntota oblicua
porque el grado del numerador
(3) es uno más que el grado del
denominador (2).
1
952
lim
)(
lim 23
23
=
+−
−++
=
±∞→±∞→ xxx
xxx
x
xf
xx
3
1
943
lim))((lim 2
2
=
+−
−+
=−
±∞→±∞→ xx
xx
xxf
xx
La recta y = x + 3 es
asíntota oblicua

30. Problemas
Calcula las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
de las funciones:
( )
2
2
2 15
7 10
x x
f x
x x
+ −
=
+ +
Vertical: x = -2
Horizontal : y = 1
Oblicua: no tiene
( )
2
2 5 7
3
x x
g x
x
+ −
=
−
Vertical: x = 3
Horizontal : no tiene
Oblicua: y = 2x +11