Matematica i

Instituto de Educación Superior
“San Ignacio de Monterrico”
SEMANA 1
TEMA: ENUNCIADOS Y PROPOSICIONES
OBJETIVO: Conocer y Utilizar la Lógica Proposicional cuantificada en la
estructura matematica.
ENUNCIADO
Se llama así a cualquier frase u oración.
Por ejemplo:
• ¡Auxilio, me ahogo! (Exclamativa)
• No conversen en clase (Desiderativa)
• Lima es la capital del Perú (Afirmativa)
• ¿Qué día es hoy? (Interrogativa)
PROPOSICIÓN:
Son aquellos enunciados afirmativos del cual se sabe que tiene dos
valores de la verdad mutuamente excluyentes: verdadero o falso. Las
proposiciones se representan por las letras minúsculas: p, q, r, s, t, .... pero
también se usa la notación: p1, p2, p3, p4, p5,.....
Así por ejemplo tenemos las siguientes proposiciones:
• p: Alejandro Toledo es el presidente del Perú
luego: v(p) = V
se lee: “el valor de la verdad de p es verdadero”
• q: Francisco Bolognesi murió en Angamos
luego: v(q) = F
se lee: “el valor de la verdad de q es falso”
• p1: Caracas es la capital de Venezuela
luego: v(p1) = V
Formando Emprendedores De Calidad Para Un Mundo Empresarial 1

ENUNCIADOS NO PROPOSICIONALES:
Se llama asi a aquellas expresiones o enunciados exclamativos,
interrogativos y desiderativos. De estos no se puede saber si son verdaderos o
falsos, porque no afirman ni niegan nada. Por ejemplo:
• ¡Uff, que calor!
• ¿están cansados?
• Escriban rápido
ENUNCIADO ABIERTO:
Se llama así a aquellos enunciados que contienen una o más variables.
Estos no pueden ser ni verdaderos ni falsos, ya que no afirman nada.
Ejemplos:
• X es la capital de Uruguay
• X es un planeta del sistema solar
• x -13 = 28
• 2x-7 > 25
• X es una vocal
Sin embargo estos enunciados abiertos se pueden convertir en
proposiciones verdaderas o falsas - ¿cómo? – reemplazando la variable o
variables por un nombre, palabra, número, letra o cualquier símbolo, según sea
el caso. Así del primer ejemplo tenemos:
• X es la capital de Uruguay
Si X=Buenos Aires entonces la expresión se lee:
“Buenos Aires es la capital de Uruguay”
Se observa el enunciado abierto se convirtió en una proposición
falsa.

Si X=Montevideo entonces la expresión se lee:
“Montevideo es la capital de Uruguay”
ahora el enunciado abierto se convirtió en una proposición
verdadera.
Ejercicio: Convierte en proposiciones verdaderas o falsas los demás
enunciados abiertos anteriormente señalados.
CLASES DE PROPOSICIONES:
A) Proposiciones Simples: también llamadas proposiciones atómicas o
elementales, son aquellas proposiciones que tienen un solo sujeto y un
solo predicado.
Ejemplo:
• José de San Martín nació en Venezuela
• Alberto Fujimori fue presidente del Perú
• Dos al cubo es igual a ocho
• 32
+1 ≠ 10
B) Proposiciones Compuestas: también llamadas proposiciones
moleculares o coligativas. Se denomina así a aquellas que están
constituidas por dos o más proposiciones simples. Estas proposiciones
simples están unidas a través de conectivos lógicos:
CONECTIVO LÓGICO SIMBOLO
y ∧
o ∨
O .... o ........ ∆
Si .... entonces ..... →
si y solo si ↔
no ∼
Ejemplo:

• Si Alejandro Toledo ganó las elecciones entonces será el
próximo presidente del Perú.
• 23
+32
=17 si y solo si 24÷23
=12
• La bomba atómica explotó en Hiroshima en 1945 pero Bogotá es
la capital de Colombia.
• O Alex Couri es alcalde de Lima o del Callao.
• Alemania no es el campeón mundial de fútbol.
PRACTICA
I. Dados los siguientes enunciados, diga ¿cuáles son proposiciones? ¿Cuáles
son enunciados no proposicionales? ¿Cuáles son enunciados abiertos?
1) 13 es un número par
2) ¿todos asistieron a clase?
3) No deben llegar tarde
4) Melissa está llorando
5) x + 2 = 5
6) La ballena es un mamífero
7) 42
+ 22
= 20
8) x es divisor de 24
9) ¿Dónde vives?
10) España, Italia y México son
países europeos
11) ¡Alto, deténgase!
12) 3x = 15 para x=5
13) ¿Melissa está llorando?
14) 7x + 8 = 3x + 32
15) 72
= 14 ∨ 75:5 = 15
16) Honduras es un país asiático
17) 12 - x < 5
18) ¡No peleen!
19) No conversen en clase
20) Génova es una ciudad de Italia
II. Convierta cada uno de los enunciados abiertos de la pregunta I, en
proposiciones verdaderas y falsas.
III. Halle el valor de la verdad de las siguientes proposiciones:

1) México es un país europeo
2) Las aves son animales
mamíferos
3) 12 es un múltiplo de 24
4) 1/4 + 3/4 =1
5) 20 es un número compuesto
6) Budapest es la capital de
Hungría
7) El Rímac es el río más
caudaloso del mundo
8) 7 es un divisor de 87
9) Londres es la capital de
Alemania
10) 34
- 43
= 0
11) 13 es un número primo
12) Guayaquil es una ciudad de
Colombia
13) 36÷4 + 23
- 135÷15+6 = 14
14) 36 es múltiplo de 4
15) 32
+ 23
≠ 12
16) La bisectriz divide a un ángulo
en dos ángulos congruentes
IV. Dados los siguientes conjuntos y sus respectivos enunciados abiertos,
verifique para que valores de “x” la proposición es verdadera.
a) A={x/ x es una vocal}
b) B={x/ x es un día de la
semana}
c) P={x/ x es una estación del
año}
d) R={x/ x es un mes del año}
e) M={x/ x es un mes de 30 días}
f) D={x/ x es un Ministro del
Perú}
g) C={x / x es un planeta del
Sistema Solar}
h) J={x / x es un país de América
Central}
i) L={2x+1 / x∈N , 1≤ x <5}
j) F={x / x∈N , x es mayor que 4 y
menor 10}
k) G={x / x∈N ∧ x es mayor que 7}
l) D={x / x es un número natural
impar mayor que 13}
m) K={3x / x∈N , 3 < x < 8 }
n) T={x/ x es un satélite de Marte}
o) M={x/x es un natural menor que
6}
p) T={x/ x∈Z ∧ -5 < x < 4}
q) E={x/ x es alumno del 1er. ciclo
del SIDEM}
r) M={4x2
+2 / x∈N , 0≤ x <4}

V. Sean las siguientes proposiciones:
p: Manuel estudia q: Manuel aprueba el curso
Exprese verbalmente las siguientes proposiciones:
a) p ∧ q
b) q ∧ ∼p
c) p ∨ q
d) ∼q ∨ p
e) p → q
f) ∼q ↔ p
g) p ↔ ∼q
h) ∼p → ∼q
i) ∼q ↔ ∼q
j) ∼(∼p)
k) ∼(∼p ∧ q)
l) ∼(q→∼p)

SEMANA 2
TEMA: CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES
COMPUESTAS
OBJETIVO: conocer las proposiciones simples y compuestos y el empleo
correcto de los conectivos logicos
1. CONJUNCIÓN:
Es aquella proposición compuesta que se caracteriza porque contiene el
conectivo lógico “y” o sus equivalentes (además, sin embargo, no obstante,
pero, a la vez,..) los que se simbolizan así: ∧
Para hallar el valor de la verdad de una conjunción se utilizará la
siguiente tabla: “p y q”
p q p ∧ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
Ejemplo: Halle el valor de la verdad de las siguientes proposiciones:
a) La ballena es un animal mamífero pero vive en el mar
Luego:
p: La ballena es un mamífero v(p)=V
q: La ballena vive en el mar v(q)=V
por lo tanto: v(p ∧ q)=V
V V
b) Cuba y Chile son países sudamericanos
Luego:
Formando Profesionales De Calidad Para Un Mundo Empresarial 7

p: Cuba es un país sudamericano v(p)=F
q: Chile es un país sudamericano v(q)=V
por lo tanto: v(p ∧ q)=F
F V
c) 8>12 ∧ 12<8
Luego:
r: 8>12 v(r)=F
s: 12<8 v(s)=F
por lo tanto: v(r ∧ s)=F
F F
2. DISYUNCIÓN INCLUSIVA:
conectivo lógico “o” el que se simboliza así: ∨
Para hallar el valor de la verdad de una disyunción inclusiva se utilizará
esta tabla:
“p ó q”
p q p ∨ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
Ejemplo:

Halle el valor de la verdad de las siguientes proposiciones:
a) 8 es mayor que 4 ó 7 es menor que 5
Luego:
p: 8 es mayor que 4 v(p)=V
q: 7 es menor que 5 v(q)=F
por lo tanto: v(p ∨ q)=V
V F
b) Camaná ó Jaen son ciudades del Perú
Luego:
p1: Camaná es una ciudad del Perú v(p1)=V
p2: Jaén es una ciudad del Perú v(p2)=V
por lo tanto: v(p1 ∨ p2)=V
V V
c) Todo triángulo en el plano tiene tres ángulos rectos ó dos ángulos
obtusos
Luego:
p: Todo triángulo en el plano tiene tres ángulos rectos v(p)=F
q: Todo triángulo en el plano tiene dos ángulos obtusos v(q)=F
por lo tanto: v(p ∨ q)=V
F F
3. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA:

conectivo lógico “O...o...” el que se simboliza por: ∆
Para hallar el valor de la verdad de una disyunción exclusiva se utilizará
esta tabla: “O p ó q”
p q p ∆ q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
Ejemplo:
a) O William Shakespeare es autor de Hamlet ó es autor de la Iliada
Luego:
p: William Shakespeare es autor de Hamlet v(p)=V
q: William Shakespeare es autor de la Iliada v(q)=F
por lo tanto: v(p ∆ q)=V
V F
4. CONDICIONAL:
conectivo lógico “si...entonces...” el que se simboliza por: →, luego “p → q” se
lee “si p entonces q”.
La tabla de verdad de una condicional es:
p q p → q
V V V

V
F
F
F
V
F
F
V
V
En la condicional a “p “ se le llama antecedente y a “q” se le llama
consecuente. Se observa de la tabla que la condicional es falsa cuando el
antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Por otro lado podemos
decir que conectivos condicionales son también los términos: “porque”, “puesto
que”, “ya que”, “si”, “cuando”, “cada vez que”, etc. aunque estos se caracterizan
porque después de estos conectivos está el antecedente.
Ejemplo:
a) Si: 5+3=7 entonces 7<6
Luego:
p: 5+3=7 (antecedente) v(p)=F
q: 7<6(consecuente) v(q)=F
por lo tanto: v(p → q)=V
F F
b) Si los monos son animales entonces la Tierra es plana
Luego:
p: Los monos son animales (antecedente) v(p)=V
q: La Tierra es plana (consecuente) v(q)=F
por lo tanto: v(p → q)=V
V F
c) 16 es múltiplo de 2 por que 16 es número par

Luego:
p: 16 es múltiplo de 2 (antecedente) v(p)=V
q:16 es número par (consecuente) v(q)=V
por lo tanto: v(q → p)=V
V V
Proposición Recíproca:
Dada la proposición condicional “p→q” , se llama proposición recíproca
a la proposición que se denota por “q→p”.
Ejemplo:
La proposición directa: p→q
“Si x es par, entonces es múltiplo de 2”
La proposición recíproca: q→p
“Si x es múltiplo de 2, entonces, x es par ”
Proposición Inversa:
Dada la proposición condicional “p→q” , se llama proposición inversa a
la proposición que se denota por “∼p→∼q”.
Ejemplo:

“Si Patricia tiene 40 años, entonces es joven”
La proposición inversa: ∼p→∼q
“Si Patricia no tiene 40 años, entonces no es joven”
Proposición Contrarrecíproca:
Dada la proposición condicional “p→q” , se llama proposición recíproca
a la proposición que se denota por “∼q→∼p”.
Ejemplo:
“Si dos rectas son perpendiculares a una misma recta, entonces son
paralelas”
La proposición contrarrecíproca: ∼q→∼p
“Si dos rectas no son paralelas, entonces no son perpendiculares a una
misma recta”
5. BICONDICIONAL:
Esta proposición compuesta se caracteriza porque tiene el conectivo
lógico “si y solo si” cuyo símbolo es: ↔

Para hallar el valor de la verdad de una bicondiconal se utilizará la
siguiente tabla: “p si y solo si q”
p q p ↔ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
La bicondicional está definida como la conjunción de la proposición
condicional con su contrarrecíproca.
p ↔ q equivale a (p→q) ∧ (q→p)
Ejemplo:
a) 2<4 ⇔ 12+3 < 4+5
Luego:
p: 2<4 v(p)=V
q:12+3 < 4+5 v(q)=F
por lo tanto: v(p ↔ q)=F
V F
b) Alberto Andrade es alcalde de Lima si y solo si gana las elecciones
municipales del 17 de noviembre.
Luego:
p: Alberto Andrade es alcalde de Lima v(p)=F

q: Alberto Andrade gana las elecciones municipales del 17 de
noviembre v(q)=F
por lo tanto: v(p ↔ q)=V
F F
6. NEGACIÓN:
conectivo lógico “no” el que se simboliza por: ∼ . Para hallar el valor de la
verdad de una negación se utilizará la siguiente tabla:
p ∼p
V
F
F
V
Ejemplo:
a) Hoy no es miércoles.
Luego:
p: Hoy es miércoles v(p)=F
∼p: Hoy no es miércoles v(∼p)=V
Otras formas de expresar la negación es utilizando los términos “no es el
caso que”, “es falso que”, “no es cierto que”, etc. Aunque en estos casos
generalmente la negación niega a proposicones compuestas.

Ejemplo:
1) No es el caso que 12 sea múltiplo de 4 y que 24
=16
Luego:
p: 12 es múltiplo de 4
q: 24
=16
Entonces la proposición la simbolizaremos así: ∼(p ∧ q)
¿Cómo establecer jerarquía entre los conectivos lógicos?
La finalidad de los signos de agrupación es darle mayor o menor
jerarquía a los conectivos lógicos. Así en general, la “∼” tiene menos jerarquía,
le siguen “∧”, “∨” que son de igual jerarquía, y luego “→” que es el de mayor
jerarquía. Sin embargo cada conectivo puede ser de mayor jerarquía si así lo
indica el signo de colección.

PRÁCTICA
1. Exprese simbólicamente las siguientes proposiciones:
a) O Alex Couri es Ministro del Interior o alcaldesa de San Borja.
b) Miguel se va de compras con su enamorada, si consigue trabajo en esta
semana.
c) Nuestra promoción viajará a fin de año a Huaraz o a Chavín, siempre que
todos los alumnos participen de todas las actividades.
d) José aprueba el examen de Matemática I si y solo si estudia toda la
semana.
e) Eva llegará tarde a clases porque no se levanto temprano el día de hoy.
f) No es cierto que 5×22
≠ 20 y (24
+20) es divisible por 9.
g) Si mañana no es domingo entonces no se trabaja.
h) No es cierto que si Almendra se levanta temprano entonces llegará tarde
a trabajar.
2. Formule la siguiente proposición: “Si fumo demasiado entonces me duele la
garganta; y me duele la garganta, por lo tanto fumo demasiado”
3. En las siguientes proposiciones compuestas analice y explique las
condiciones que deben cumplir para que estas puedan ser consideradas
como verdaderas o falsas.
a) El 80% de los accidentes aéreos tienen su origen en errores humanos ó
los aeropuertos del país no tienen los radares necesarios para guiar a los
pilotos.
b) La ballena es un animal mamífero y vive en el mar, puesto que tiene una
respiración pulmonar.
c) Si Garri Kasparov vence a Deep Junior entonces la inteligencia del
hombre es superior a la computadora.

d) Habrá mayor inversión extranjera en el país porque Alejandro Toledo
viajará a España e Italia a firmar importantes convenios de cooperación.
e) Si Uruguay queda entre los primeros cuatro puestos en el campeonato
sub 20 entonces clasifica al Mundial de Fútbol de Emiratos Arabes
Unidos.
3. De las siguientes proposiciones compuestas, indique el valor de la verdad
que corresponda a cada una de ellas:
a)
24
4 2 >12 v 144 <8
b) Si: 5+3=7 entonces 7<6
c) 16 =4 y -32
=9
d) 2<4 ⇔ 12+3 < 4+5
e) La suma 6+3 también es un natural puesto que 6 y 3 son números
naturales
f) No es verdad que: 8+2=6 o 6+1=7
4. Dadas las proposiciones, p: Marcos es comerciante q: Marcos es un
próspero industrial r: Marcos es ingeniero. Simboliza el siguiente
enunciado: “Si no es el caso que Marcos sea un comerciante y un próspero
industrial, entonces es ingeniero o no es comerciante”.
5. Dadas las proposiciones q: “4 es un número impar”, p y r cualesquiera tal
que ∼[ (r ∨ q) → (r → p) ] es verdadera, halle el valor de verdad de los
siguientes esquemas moleculares:
(1) r → (∼p∨∼q)
(2) (2) [r ↔ (p∧q)] ↔ (q∧∼p)
(3) (3) (r∨∼p) ∧ (q∨p)

6. Si: p: ”Roberto vendrá”, q: “Roberto ha recibido una carta” y r: “Roberto está
interesado todavía en el asunto”. Simbolizar los siguientes enunciados.
a) “Roberto vendrá, si ha recibido la carta, siempre que esté interesado
todavía en el asunto”
b) “O Roberto vendrá porqué ha recibido la carta o no está interesado
todavía en el asunto”
c) “Roberto vendrá si y solo si ha recibido la carta o vendrá porque está
interesado todavía en el asunto”

SEMANA 3
TEMA: ESQUEMAS MOLECULARES
OBJETIVO: Emplear correctamente los signos de agrupación en cada
esquema lógico y darle jerarquía al conectivo.
También llamados fórmulas lógicas. Se denomina así a la combinación
de variables (proposiciones) y operadores (o conectivos lógicos) por medio de
los signos de agrupación. En cada esquema molecular solo uno de los
operadores es el de mayor jerarquía y es el que le da nombre a dicho
esquema.
Ejemplo:
1) ∼p → (q ∨ r) Este es un esquema condicional por ser
el conectivo de mayor jerarquía
2) [(p ∧ q) ∨ ∼r ] ↔ p Este es un esquema bicondicional por ser el
conectivo de mayor jerarquía
3) ∼[(p ∧ q) → (∼p ∨ r)] Este es un esquema negativo por ser el
conectivo de mayor jerarquía
¿Cómo establecer jerarquía entre los conectivos lógicos?
La finalidad de los signos de agrupación es darle mayor o menor
jerarquía a los conectivos lógicos. Así en general, la “∼” tiene menos jerarquía,
le siguen “∧”, “∨” que son de igual jerarquía, y luego “→” que es el de mayor
jerarquía. Sin embargo cada conectivo puede ser de mayor jerarquía si así lo
indica el signo de colección.
Ejemplo:
1) “No es el caso que 6 sea un divisor de 15 ó que 13 sea un
número primo”

Luego:
p: 6 es divisor de 15
q: 13 es número primo
Entonces la proposición la simbolizaremos así: ∼(p ∨ q)
Siempre los conectivos que están fuera del signo de agrupación
tienen mayor jerarquía que todos los que se encuentran dentro del
mismo. En este caso como observa la negación “∼” tiene mayor
jerarquía que la disyunción inclusiva “∨”, porque está fuera del
paréntesis.
2) “Si el testigo no dice la verdad, entonces Juan es inocente o
culpable”
Luego:
p: El testigo dice la verdad
∼p: El testigo dice la verdad
q: Juan es inocente
r: Juan es culpable
Entonces la proposición la simbolizaremos así:
∼p → (q ∨ r)
En este caso observe que la condicional “→” tiene mayor jerarquía
que la disyunción inclusiva “∨”, porque está fuera del paréntesis.
Pero, ¿la negación “∼” también está fuera del paréntesis? En este
caso la negación también tiene mayor jerarquía que la “∨” por estar
fuera del paréntesis, sin embargo al comparar la “∼” con la “→”, la
condicional tiene mayor jerarquía. Recuerde que siempre la negación
tiene menos jerarquía que todos los demás conectivos. Por lo tanto la
fórmula es un esquema condicional.

EVALUACIÓN DE ESQUEMAS MOLECULARES:
Evaluar un esquema molecular significa determinar si la fórmula lógica
es una tautología, una contradicción o una contingencia.
Tautología: es cuando en la tabla de verdad todos los valores de
la verdad son verdaderos.
Contradicción: es cuando en la tabla de verdad todos los valores de
la verdad son falsos.
Contingencia: es cuando en la tabla de verdad los valores de la
verdad resultan verdaderos o
Ejemplo: Evaluar la siguiente fórmula lógica: [(p→q)∧(∼q)]→(∼p)
P q ∼ { [(p→q) ∧ (∼q)] → (∼p) }
V V F V F F V F
V F F F F V V F
F V F V F F V V
F F F V V V V V
es una Contradicción
Ejemplo: Evaluar la fórmula lógica: ∼(p∧q) ↔ [(∼q)∨ (∼p)] y diga si es una
tautología, una contradicción o una contingencia.
p q ∼ (p∧q) ↔ [(q) ∨ (∼p)]
V V F V F V V F
V F V F F F F F
F V V F V V V V
F F V F V F V V
∴ es una Contingencia
Ejemplo: Evaluar la fórmula lógica:
[∼p ∧ ( q v ∼r ) ] ↔ [(∼p ∧ q) v ∼( p v r ) ]
y diga si es una tautología, una contradicción o una contingencia.

p q r [∼p ∧ (q v ∼r)] ↔ [(∼p ∧ q) v ∼ (p v r) ]
V V V F F V V F V F F V F F V
V V F F F V V V V F F V F F V
V F V F F F F F V F F F F F V
V F F F F F V V V F F F F F V
F V V V V V V F V V V V V F V
F V F V V V V V V V V V V V F
F F V V F F F F V V F F F F V
F F F V V F V V V V F F V V F
∴ es una Tautología
Ejemplo: Si es verdadera la negación del siguiente esquema:
[ ( p ∧ q) → ( r v s ) ]
Deducir el valor de los siguientes esquemas moleculares:
a) ∼ [ ( p ∧ q ) → r ]
b) ∼ [ ∼ [ ∼ ( q → r ) → ( s ∧ w ) ] ]
c) ∼ { ( r → x ) ∧ ∼ [( p ∧ q) ∨ s ] }
Solución: Primero debemos deducir los valores de p, q, r y s
Por dato:
∼ [ ( p ∧ ∼q) → ( r v s ) ] ≡ es verdadera
V V F F
V F
F
Luego: v(p)=V ; v(q)=F ; v(r)=F ; v(s)=F
Reemplazando los valores de p, q, r y s :
a) ∼ [ ( p ∧ q ) → r ]
V F

F → F
∼ V
F
b) ∼ [ ∼ [ ∼ ( q → r ) → ( s ∧ w ) ] ]
F F F ?
∼ V F
F → F
∼ V
∼ F
V
c) ∼ { ( r → x ) ∧ ∼ [ ( p ∧ q ) ∨ s ] }
F ? V F
V F ∨ F
V ∼ F
V ∧ V
∼ V
F

SEMANA 4
TEMA: EQUIVALENCIA DE ESQUEMAS MOLECULARES:
OBJETIVO: Determinar cuando dos esquemas logicos son equivalentes
Dos esquemas moleculares son equivalentes (lógicamente) si las tabla
de verdad de dichas fórmulas son iguales para los valores correspondientes de
las componentes.
Otros autores la definen como: si al unir dos esquemas moleculares a
través de la bicondicional “↔” el resultado es una tautología entonces se dice
que estas fórmulas son equivalentes. La equivalencia se denota así: ≡
Luego si A y B son dos esquemas moleculares equivalentes su
representación es del siguiente modo: A ≡ B
Ejemplo: p→q es equivalente a ∼p∨q porque tienen la misma
tabla de verdad.
P q p→q ∼p ∨ q
V V V F V V
V F F F F F
F V V V V V
F F V V V F
Observe que ambas fórmulas tienen los mismos valores de
verdad (y en el mismo orden), por lo tanto los dos esquemas son
equivalentes, y se denota así:
p→q ≡ ∼p∨q

Ejemplo: Diga Ud. si las siguientes fórmulas lógicas son equivalentes: q →
∼p ; ∼(q∧p)
p q q → ∼p ∼ (q∨p)
V V V F F F V
V F F V F F V
F V V V V F V
F F F V V V F
Por lo tanto: q → ∼p ≡ ∼(q∨p)
EJERICICIOS:
1. Dadas las siguientes proposiciones:
I) ( p ∧ q ) ∆ ∼ p
II) ∼( p →q ) ↔ q
III) ∼( p ∧ q ) v ∼ q
IV) ∼( p ∧ q ) ↔ ( p v q )
V) ∼( p →q ) → ( p v ∼q )
VI) ∼( p ↔ q ) v (∼p ↔ ∼q )
Indicar cuál (ó cuáles) es una Contingencia
2. ¿Alguna de las siguientes proposiciones es una Tautología?
a) [ ( p v ∼q ) ∧ q ] → p
b) ∼[ (∼p) ↔ q ] ↔ ( p → q )
c) ∼[ ∼( p v q ) → ∼q] ↔ ( p→ q )
d) [ ( ∼p ∧ q ) v ∼r ] ↔ (∼p v r)
e) ∼{ (p ∧ ∼r) v [r ∧ (∼p v q) ] } ↔ (r→ ∼q)
f) [∼p ∧ ( q v ∼r ) ] ↔ [(∼p ∧ q) v ∼( p v r ) ]
3. Dadas las siguientes proposiciones:

I) ∼( p ∧ q ) ↔ ( p v ∼q )
III) ∼( p →q ) ↔ ( p v ∼q )
IV) ∼( p ↔ q ) ↔ (∼p ↔ ∼q )
V) ∼ { [ (p → q) ∧ p ] → q }
indicar cuál (ó cuáles) son una Contradicción
4. Sabiendo que: [ p → (q → r) ] es falsa.
Halle el valor de la verdad de : [ q → (p ∧ r) ]
5. De la falsedad de: ( p → ∼q ) v ( ∼r → s ) deducir el valor de la verdad de :
a) ( ∼p ∧ ∼q ) v ∼q
b) [ ( ∼r v q ) ∧ p ] ↔ [ ( ∼q v r ) ∧ s ]
c) ( p → r ) → [ ( p v q ) ∧ ∼q ]
6. Si se sabe que ( p ∧ q) y ( q → r) son falsas, ¿cuáles de las siguientes
proposiciones son verdaderas?
a) ( ∼p v r ) v s
b) ∼[ ( ∼p ∧ q ) v ∼r ]
c) ∼[ p ∧ ( ∼q v ∼p )]
d) [∼p v (q ∧ ∼r)] ↔ {(p → q) ∧ ∼(q ∧ r)}
e) [( p → q ) ∧ ∼( q ∧ r )] ↔ [∼p v (q ∧ ∼r)]
7. Si es verdadera la negación del siguiente esquema:
[ ( p ∧ q) → ( r v s ) ] , Deducir el valor de los siguientes esquemas
moleculares:
a) ∼ [ ( p ∧ q ) → r ]
b) ∼ [ ∼ [ ∼ ( q → r ) → ( s ∧ w ) ] ]
c) ∼ [ ( r → x ) ∧ ∼ ( p ∧ q ∧ s ) ]
8. ¿Alguna de las siguientes proposiciones es una Tautología?

a) ∼{ [ ∼(∼p ∧ q ) v ∼q ] ↔ (∼p v q) }
b) ∼[ ∼ ( p v ∼q ) → ∼r] ∆ ∼( ∼q→ ∼p )
c) ∼[ (∼p) ↔ q ] ↔ ( p → q )
d) ∼{ (∼p ∧ r) v [ p ∧ (∼r v q) ] } v (p→ ∼q)
9. Si la fórmula: ( p → ∼q ) v ( ∼r → ∼s ) es falsa, deducir el valor de:
a) ∼(∼q v ∼s) → ∼p
b) ∼(∼r ∧ s) → (∼p → q)
c) p → ∼[ q → ∼(s → r) ]
10. Si se sabe que ( p ∧ q) → ( q → r) son falsas, ¿cuáles de las siguientes
proposiciones son verdaderas?
a) ∼(q v r ) v (p v q)
b) (p ∨ ∼q) → [ (∼r) ∧ q]
c) [(p ∧ q) ∨ (q ∧ ∼r)] ↔ (p ∨ ∼r)
11. Dadas las proposiciones:
I) (p → q) → r ; V( r ) = V
II) (p ∨ q) ↔ (∼p ∧ ∼q) ; V( q ) = V
III) (p ∧ q) → (p ∧ r) ; V( p ) = V y V( r ) = F
IV) p ∧ (q → r) ; V( r ) = V
La información que se da es suficiente para determinar el valor de la
verdad de las proposiciones.
SEMANA 5

TEMA: LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL
OBJETIVO: Conocer las leyes del álgebra proposicional para simplificar
esquemas lógicos
1. Ley de Idempotencia:
a) p∧p ≡ p
b) p∨p ≡ p
2. Ley de la Identidad:
a) p→p ≡ V
b) p↔p ≡ V
3. Ley Conmutativa:
a) p∧q ≡ q∧p
b) p∨q ≡ q∨p
c) p∆q ≡ q∆p
d) p↔q ≡ q↔p
4. Ley Asociativa:
a) p∧q∧r ≡ p∧(q∧r) ≡ (p∧q)∧r
b) p∨q∨r ≡ p∨(q∨r) ≡ (p∨q)∨r
5. Ley Distributiva:
a) p∧(q∨r) ≡ (p∧q) ∨ (p∧r)
b) p∨(q∧r) ≡ (p∨q) ∧ (p∨r)
6. Ley del Elemento Neutro:
a) p∧V ≡ V∧p ≡ p
b) p∧F ≡ F∧p ≡ F
c) p∨V ≡ V∨p ≡ V
d) p∨F ≡ F∨p ≡ p
7. Ley de Absorción:
a) p∧(p∨q) ≡ p
b) p∨(p∧q) ≡ p
c) p∧(∼p∨q) ≡ p∧q
d) p∨(∼p∧q) ≡ p∨q
8. Ley de la Complementación:
a) p∧∼p ≡ F
b) p∨∼p ≡ V
c) ∼(∼p) ≡ p
d) ∼V ≡ F
e) ∼F ≡ V

9. Ley de Morgan:
a) ∼(p∧q) ≡ ∼p∨∼q
b) ∼(p∨q) ≡ ∼p∧∼q
10.Ley de la Implicación Material:
a) p→q ≡ ∼p∨q
b) ∼(p→q) ≡ p∧∼q
11.Ley de la Doble Implicación:
a) p↔q ≡ (p→q) ∧ (q→p)
b) p↔q ≡ (∼p∨q) ∧ (∼q∨p)
c) p↔q ≡ (p∧q) ∨ (∼p∧∼q)

PRACTICA
Complete las equivalencias y luego anote que propiedad se cumple:
1) q∧q ≡ q
(1.a)
2) r∨r ≡
3) ∼p∧∼p ≡
4) ∼s∨∼s ≡
5) ∼q → ∼q ≡
6) (∼p∧q)∨(∼p∧q) ≡
7) (q→∼p)∧(q→∼p)
≡
8) ∼r↔∼r ≡
9) q∧r ≡ r∧q
(3.a)
10) ∼r∨m ≡ m∨∼r
11) ∼p∧∼q ≡
12) t∨∼s ≡
13) q↔q ≡
14) ∼r∆∼p ≡
15) (∼p∧q) ∨ ∼p ≡
16) (∼q)∧(q→∼r) ≡
17) r∧q∧t ≡ r∧(q∧t) ≡
18) s∨p∨m ≡
s∨(p∨m) ≡
19) ∼p∧t∧∼q ≡
20) r∨∼q∨∼t ≡
21) ∼s∧(r∨∼q)∧∼p ≡
22) (∼p∧q)∨∼p∨∼q ≡
23) (q∨∼s)∧(∼t∧q) ≡
24) p∨(∼p∧q) ≡
25) ∼r∧(q∨∼r) ≡
26) ∼q∨(∼p∧∼t) ≡
MATEMÁTICA I Lic. Henry Ramírez - Lic. Antonio Cutimbo página 31

27) (∼q∨p)∧∼r ≡
28) (s∧∼r)∨∼s ≡
29) (∼p∧q)∨(∼p∧∼q) ≡
30) (∼s∨q)∧(∼s∨p) ≡
31) (∼t∧q)∨(∼r∧q) ≡
32) (∼p∨∼q)∧(r∨∼q) ≡
33) (r∨∼s)∧(∼t∨r) ≡
34) r∧V ≡
35) F∨q ≡
36) ∼s∧F ≡
37) ∼p∨V ≡
38) V∧(∼q∧p) ≡
39) F∨(∼s→q) ≡
40) (∼t∧q)∨ V ≡
41) F∧(∼r∨q) ≡
42) r∧(r∨s) ≡
3) t∨(t∧p) ≡
4) ∼p∧(q∨∼p) ≡
5) m∨(∼p∧m) ≡
∼r∧(r∨m) ≡
q∨(∼q∧t) ≡
∼p∧(q∨p) ≡
m∨(∼m∧∼q) ≡
(∼q∨∼p)∧p ≡
(∼s∧q)∨∼q ≡
(∼t∨s)∧∼s ≡
s∧∼s ≡
t∨∼t ≡
(∼p∨q)∧∼(∼p∨q) ≡
∼(s∧q)∨(s∧q) ≡
∼(∼r) ≡

8) ∼[∼(q∧s) ] ≡
9) ∼(r∧t) ≡
0) ∼(s∨m) ≡
1) ∼(q∧∼p) ≡
2) ∼(∼r∨∼q) ≡
3) q→r ≡
4) s→p ≡
5) ∼p→∼t ≡
6) r→∼q ≡
∼p→q ≡
s↔r ≡
t↔m ≡
q↔∼s ≡
∼p↔t ≡
∼p↔∼t ≡
q↔(∼q∧t) ≡
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Simplifique la siguiente fórmula lógica: [p ∧ (q ∨ p)] ∨ p
Solución:
[p ∧ (q ∨ p)] ∨ p
[ p ] ∨ p (7.a)
p (1.b)
Por lo tanto: [p ∧ (q ∨ p)] ∨ p ≡ p
2) Simplifique el siguiente esquema molecular:
[ (∼p ∧ q) → (r ∧ ∼r) ] ∧ ∼q

Solución:
[ (∼p ∧ q) → F ] ∧ ∼q (8.a)
[ ∼(∼p ∧ q) ∨ F ] ∧ ∼q (10.a)
[ ∼(∼p ∧ q) ] ∧ ∼q (6.d)
(p ∨ ∼q) ∧ ∼q (9.a) y (8.c)
∼q (7.a)
Por lo tanto: [ (∼p∧q) → (r∧∼r) ] ∧ ∼q ≡ ∼q
∼{∼[∼(∼p ∧ q) v ∼q] → [∼(p v ∼q)]}
Solución:
∼{∼[∼(∼p ∧ q) v ∼q] → [∼(p v ∼q)]}
∼{∼[ (p v ∼q) v ∼q] → [ ∼p ∧ q ] } (9.a), (9.b), (8.c)
∼{∼[ p v (∼q v ∼q)] → [ ∼p ∧ q ] } (4.b)
∼{ ∼ [ p v ∼q ] → [ ∼p ∧ q ] } (1.b)
∼{ ∼ {∼ [ p v ∼q ]} v [ ∼p ∧ q ] } (10.a)
∼{ [ p v ∼q ] v [ ∼p ∧ q ] } (8.c)
∼{ p v { ∼q v [ ∼p ∧ q ] } } (4.b)
∼{ p v { ∼q v ∼p } } (7.d)
∼{ ∼q v { p v ∼p } } (4.b)
∼{ ∼q v V } (8.b)
∼{ V } (6.c)
F (8.d)
Por lo tanto: ∼{∼[∼(∼p ∧ q) v ∼q] → [∼(p v ∼q)]} ≡ F

es equivalente a una contradicción
{ [∼q → ∼p] → [∼p → ∼q] } ∧ ∼(p ∧ q)
Solución:
{ [∼q → ∼p] → [∼p → ∼q] } ∧ ∼(p ∧ q)
{ [∼(∼q) v ∼p] → [∼(∼p) v ∼q] } ∧ ∼(p ∧ q) (10.a)
{ [ q v ∼p ] → [ p v ∼q ] } ∧ ∼(p ∧ q) (8.c)
{ ∼[ q v ∼p] v [ p v ∼q ] } ∧ ∼(p ∧ q) (10.a)
{ [ ∼q ∧ p] v [ p v ∼q ] } ∧ ∼(p ∧ q) (9.b) y (8.c)
{ {[ ∼q ∧ p] v p} v ∼q } ∧ ∼(p ∧ q) (4.b)
{ p v ∼q } ∧ ∼(p ∧ q) (7.b)
{ p v ∼q } ∧ (∼p v ∼q) (9.a)
( p ∧ ∼p) v ∼q (5.b)
F v ∼q (8.a)
∼q (6.d)
Por lo tanto: {[∼q → ∼p] → [∼p→∼q]} ∧ ∼(p ∧ q) ≡ ∼q
[((∼p) ∧ q) → (r ∧ ∼r)] ∧ ∼q
Solución:
[ (∼p ∧ q) → (r ∧ ∼r) ] ∧ ∼q
[ (∼p ∧ q) → F ] ∧ ∼q (8.a)
[∼(∼p ∧ q) v F ] ∧ ∼q (10.a)
[ (p v ∼q) v F ] ∧ ∼q (9.a)
[ (p v ∼q) ] ∧ ∼q (6.d)
(p v ∼q) ∧ ∼q

∼q (7.a)

EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Simplifique las siguientes fórmulas lógicas:
a) ( p→ ∼q ) ∧ p
b) [∼p ∧ (∼p ∨ q)] ∧ ∼p
c) ( p→ ∼q ) ∧ (p ∨ ∼q)
d) [p ∨ (q ∨ p)] ∧ (p ∨ ∼p)
e) { [ p ∧ ( q v p ) ] v ∼p } ∧ q
2) Simplifique las siguientes fórmulas:
a) [ (∼p ∧ q ) → ( r ∧ ∼r ) ] ∧ (∼q ) Rpta. ∼q
b) (∼p ∧ q ) → ( q → p ) Rpta. pv∼q
c) [ ( p → q ) v p ] ∧ [ ( p→ q ) v ∼p ] Rpta. ∼pvq
d) ( p ∧ q ) v ( p ∧∼q ) v ( ∼ p ∧∼ q) Rpta. pv∼q
e) [ (p v q) ∧(∼p v ∼q)] v [(p ∧ q) v (∼p ∧ ∼q )] Rpta. Tautología
f) [ p ∧( p v q) ∧ q ] v [ r ∧ ( ∼r v q ) ∧ p] Rpta. p∧q
g) { p v [ q v ( ∼ q ∧ ∼ p ) ] } ∧ ∼ p Rpta. ∼p
h) { ( p ∧ q ) v [ ( ∼p ∧ ∼q ) v q ] } ∧ p Rpta. p∧q
i) [ ∼( p v q ) v ( ∼p ∧ q ) ] ∧ ( p → q ) Rpta. ∼p
j) (∼p) ↔ ( p → ∼q ) Rpta. ∼pvq

SEMANA 6
TEMA: CIRCUITOS LÓGICOS O BOOLEANOS
OBJETIVO: conocer los circuitos en serie y paralelo para el ensamblaje de
Interruptores.
Un circuito eléctrico es un ensamblaje de interruptores automáticos que
permiten el paso de la corriente eléctrica, o la interrumpen.
El circuito lógico es un conjunto de símbolos y operaciones que satisfacen
las reglas de la lógica, simulando el comportamiento real de un circuito eléctrico.
Así para nosotros el interruptor representará una proposición p, de tal modo
que el paso de corriente significará que el valor de dicha proposición es
VERDADERO, en cuyo caso se dice que “el circuito está cerrado”; la interrupción
del paso de corriente significará que dicha proposición es FALSA, en cuyo caso se
dice que “el circuito está abierto”.
p p
circuito cerrado circuito abierto
(pasa corriente: V) (no pasa corriente: F)
p ∼p
V F
F V
p ∼p
pasa corriente no pasa corriente
no pasa corriente pasa corriente

1. CIRCUITOS EN SERIE:
Dos interruptores se encuentran conectados en serie, cuando están uno
a continuación de otro a través de un mismo conductor (en una misma línea).
La conjunción es la proposición compuesta que cumple con todas las
características de una conexión en serie.
Recordemos como es la tabla de verdad de la conjunción:
P q p ∧ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
p q p ∧ q
Ejercicios: Representar las siguientes fórmulas como circuitos:

1) p ∧ ∼q 2) ∼r ∧ ∼s 3) ∼t ∧ p
Ejercicios: Representar los siguientes circuitos a través de un esquema
molecular:
1) s ∼p 2) ∼q ∼r 3) ∼p t
2. CIRCUITOS EN PARALELO:
Dos interruptores están conectados en paralelo, cuando estos se
encuentran ubicados en dos conductores que tienen un origen común.
La disyunción inclusiva es la proposición compuesta que cumple con
todas las características de una conexión en paralelo. Analicemos porqué.
Recordemos que la tabla de verdad de la disyunción inclusiva es:
P q p ∨ q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F

p q p ∨ q
Ejercicios: Representar las siguientes fórmulas como circuitos:
1) p ∨ ∼q 2) ∼q ∨ ∼s 3) ∼r ∨ p
Ejercicios: Representar los siguientes circuitos a través de un esquema
molecular:
1) ∼s
q
2) ∼q
∼p

3) t
∼r
4) ∼q
∼p
p
5) p ∼q
q
∼p
6) ∼p q
p ∼q

EJERCICIOS:
1) Describir simbólicamente el siguiente circuito:
r
p
∼q
q ∼r
2) Determinar el menor circuito equivalente al siguiente circuito:
∼p ∼q p p
p ∼r
q
q ∼p
3) Determinar el circuito equivalente a:
q
p
p
q
∼p
4) ¿Qué representa el circuito equivalente a:
p ∼p
q ∼q
p q
∼p ∼q
5) Construir el circuito lógico equivalente del siguiente esquema:
[ (p→q) ∨ p ] ∧ [ (p→q)∨ ∼p ]

6) Determinar los circuitos lógicos que representan a los siguientes esquemas
moleculares.
a) ∼[p → ∼(q∨r)]
b) (∼p) ↔ (p → ∼q)
c) (p∨q) → [(∼p∨q) → (p∧q)]
d) (p ∆ q) → (q ∆ p)
e) [ ∼(p∨q) ∨ (∼p∧q) ] ∧ (p→q)
7) Determinar la menor expresión que representa al circuito:
a) p
∼p
q
∼q ∼p
b) ∼p ∼q
∼p
p
q
c) p q
p
∼p ∼q
q
d) ∼p
p ∼q
∼q
p q

SEMANA 7
TEMA: TEORÍA DE CONJUNTOS
OBJETIVO: Conocer y utilizar el lenguaje conjuntista en ele quehacer
científico y cotidiano estableciendo relaciones entre elementos y conjuntos.
Es imposible dar una definición de conjunto, pero de manera intuitiva se
dice que es la reunión, agrupación o colección de objetos con que tienen
características comunes. A estos objetos se les denomina elementos o
miembros del conjunto.
Ejemplo:
1) El conjunto de los números pares menores que 10
2) El conjunto de las vocales
3) El conjunto de los países sudamericanos
Notación: Usualmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,
D, E, ...... y los elementos que componen el conjunto se designan por letras
minúsculas: a, b, c, d, e, ...
Si un conjunto tiene por elementos 3, 5, m, n, p se escribe así: A = {3;
5; m; n; p} y se lee: “el conjunto A cuyos elementos son 3, 5, m, n, p”. Se
observa que los elementos van separados por comas y encerrados entre
llaves.
PERTENENCIA:
Es una relación que se establece entre un elemento y un conjunto. Se
representa por la letra griega epsilon ε y significa “...pertenece a...” o sino
“...es un elemento de...” Aunque usualmente en los textos de secundaria se
utiliza el símbolo ∈.
Luego:
x ∈ A significa “x pertenece al conjunto A”

La negación a esta afirmación se escribirá así:
x ∉ A significa “x no pertenece al conjunto A”
Ejemplo:
1) Si: P = {a+b; c; {φ}} luego: c ∈ P ; φ ∉ P
a ∉ P ; {φ} ∈ P
2) Sean los conjuntos: M={x+y; 3; π} N={8; θ; 5; x; π}
Luego complete colocando ∈ y ∉ en cada caso:
• y ..... M
• 5 ..... N
• x+y.....M
θ ..... N
π ..... (M∩N)
x ..... (M-N)
3) Dado el diagrama y las proposiciones determinar la verdad o falsedad de
cada afirmación:
U
7 B
8∈A ( ) A 1 C
4∈C ( ) 6
3∉B ( ) 2 9 8
n(B∩C)=2 ( ) 5
5∉A ( ) 4
n(A)=5 ( ) 3
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
1. Por Extensión: Un conjunto queda determinado por extensión cuando se conocen
individualmente todos sus elementos, por lo tanto los
podemos contar.

Ejemplo:
1) A = {a, e, i, o, u} n(A) = 5 “el número de elementos
de A es 5”
2) M = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} n(M) = 7
3) P = { Perú , Argentina , Chile , Colombia , Ecuador , Brasil , Venezuela ,
Bolivia , Paraguay , Uruguay } n(P)=10
2. Por Comprensión: Un conjunto se expresa por comprensión cuando los
objetos del mismo se definen a través de una propiedad o
característica común a todos los elementos.
Cuando un conjunto se denota por comprensión se
utilizan los enunciados abiertos estudiados en el capítulo
anterior.
Ejemplos:
1) A = {x / x es una vocal}
Esto es un enunciado abierto. Recuerda que
dependiendo del valor que se le asigne a x se
convertía en una proposición verdadera o falsa.
En este caso solo nos interesan los valores de
x para que el enunciado abierto se convierta en
proposiciones verdaderas, es decir:

x = a ; x = e ; x = i ; x = o ; x = u
Por ello los elementos son: A = {a, e, i, o, u}
2) M = {x ∈ N / x<20 y x es múltiplo de 3}
3) P = {x / x es un país sudamericano}
4) H = {x / x es un estación del año}
Esto es un enunciado abierto. ¿Para qué
valores de x el enunciado abierto se
convierte en proposiciones verdaderas?
Luego:
x = primavera x = verano
x = otoño x = invierno
Por ello los elementos son:
A = {primavera, verano, otoño, invierno}
5) Si: B = {x ∈ Z / x2
-4x-21=0 }
sus elementos por extensión son:
x2
-4x-21=0
x -7
x +3

luego:x-7 = 0 ó x+3 = 0
x = 7 ó x = -3
∴ B = {-3, 7}
PRÁCTICA
1) Sea: A={2; 3; {a, b, 5}; 4; {c, d}} B={a; 3; b; 5}C={{a, b, 5}}
D={2; 3; {c, d}} E={2; {2, 3, {c, d}}}
Establezca la verdad o falsedad de cada proposición. en caso de ser falsa,
establezca la relación verdadera entre ellas.
a) Card(A) = 8 ( )
b) A ∩ B = ∅ ( )
c) a ∈ A ( )
d) n(B) = 4
( )
e) B ⊂ A ( )
f) {c, d} ∈ D
( )
g) A ∩ C = {{a, b, 5}} ( )
h) n(C) = 3
( )
i) 5 ∉ C ( )
j) C ⊂ A ( )
k) {2, 3} ∈ E
( )
a) D ⊂ A ( )
b) B - A = {a; b; 5} ( )
c) n(A) = 5 ( )
d) D ⊂ E ( )
e) A-D = {a; b; 4; 5} ( )
f) D - B = {2; {c, d}} ( )
g) Card(D) = 3 ( )
h) 3 ∈ E ( )
i) D ∈ A ( )
j) n(B ∪ D) = 6 ( )
k) {2; 3} ⊂ D ( )
l) C es unitario ( )
m) {c, d} ∈ E
( )
2) Si A = {7x / x∈N; 3 ≤ x < 6}, entonces por extensión será:
A)A={14;21;28;35;42} B) A={28;35} C)A={21;28;35;42}
D)A={21;28;35} E)N.A.
3) Si B = {x3
+2 / x∈N; 1 ≤ x ≤ 5}, entonces por extensión será:

A)B={3;10;29;66;127} B) B={3;12;29;68} C)B={10;29;66}
D)B={7;26;63;124} E)N.A.
4) Si: A = {4x-3 / x∈N ; 5 < x ≤ 9} halle los elementos de A
A)A={21;25;35} B) A={21;25;33} C)A={21;25;29;33}
D)A={17;21;25;29;33} E)N.A.
5) Sí A={4x / x∈N; 3 ≤ x < 6}, entonces por extensión será:
A)A={3,4,5} B) A={12,16} C)A={4,4,4}
D)A={12,16,20} E)N.A.
6) Sí B={x3
-1 / x∈N; 2 ≤ x ≤ 5}, entonces por extensión será:
A)B={2;3;4;5} B) B={2;3;4} C)B={7;26;63}
D)B={7;26;63;124} E)N.A.
7) El siguiente conjunto M={0;2;4;6;8;10}, ¿A cuál de los siguientes conjuntos
es igual?
A) M={2x / x∈N Λ x ≤ 5} B) M={x / x∈N Λ x ≤ 10}
C) M={2x+2 / x∈N Λ 0 ≤ x < 5} D) M={2x+2 / x∈N Λ 0 ≤ x ≤ 5}
8) Sea: M={3;5;7;9;11}, al transformar el conjunto por comprensión tenemos es
igual a:
I) M={x / x∈N Λ x < 6} II) M={(2x+1) / x∈N Λ 1 ≤ x < 6}
III) M={(2x-1) / x∈N Λ 1< x < 6}
A)Solo II B)Solo I C)Solo III D)Solo I y IIE)Solo II y III
9) Dado los conjuntos: A={x / 7 < x < 9; x es número natural}
B={x / x+5=11; x es número natural}
De ellos cual o cuales son unitarios.
A)A B)B C)A y B D)Nulos E)N.A.

10) Indica a que tipos de conjuntos corresponden:
A={φ} ; B={x∈N / 5< x < 6} ; C={ x∈N / x ≥ 5}
A)Vacio, Vacio, Infinito
B)Unitario, Vacio, Infinito
C)Unitario, Vacio, Finito
D)Vacio, Vacio, Finito
E)Vacio, Unitario, Infinito
11) Dados los conjuntos: A={x / 5 ≤ x < 7; x es número natural}
B={x / 3x-1=8; x es número natural}
De ellos cuales son unitarios.
A)A B)B C)A y B D)Nulos E)N.A.

SEMANA 8
TEMA: CONJUNTOS ESPECIALES
1. CONJUNTO VACÍO O NULO:
Es el conjunto que no tiene elementos. Se denota por la letra griega
φ (phi) y se define como:
φ = { x / x ≠ x }
Por otro lado debemos decir que el conjunto vacío también se
denota así: { }. El error que se comete generalmente es representarlo del
siguiente modo: {φ}, esto no es posible porque este conjunto no es vacío
sino unitario.
PROPIEDAD:
El conjunto vacío es un conjunto que está incluido en cualquier
conjunto incluso en sí mismo.
Es decir: φ ⊂ A , ∀A
como A=φ entonces φ ⊂ φ
Ejemplo:
Si: A = {x ∈ N / x2
+5x+4=0 }
x2
+5x+4=0
x +4

x +1
luego:x+4 = 0 ó x+1 = 0
x = -4 ∉ N ó x = -1 ∉ N
∴ A = { } luego A es un conjunto vacío
Ejemplo:
Si: P = {x ∈ N / 3 < x < 4 }
como no existen números naturales esté entre
3 y 4 entonces se dice que P es un conjunto
nulo o vacío, y se denota así: P = φ
2. CONJUNTO UNITARIO:
Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplo:
Si: C = {x ∈ N / x2
-2x-15=0 }
x2
-2x-15=0
x -5
x +3
luego:x-5 = 0 ó x+3 = 0
x = 5 ∈ N ó x = -3 ∉ N

∴ C = {5} luego C es un conjunto unitario
Ejemplo:
Si: H = {3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3} luego H es un conjunto unitario
dado que cuando los elementos se repiten se consideran como
uno solo.
Por lo tanto: H = {3}
Ejemplo:
Halle “m + n + p” si el conjunto M es unitario.
M={4m–3 ; 25; 3n + 13 ; 7p–52}
Como M es un conjunto unitario entonces debo pensar que
todos los elementos son iguales, es decir:
4m-3=25 ∧ 3n+13=25 ∧ 7p-52=25
resolviendo:
4m = 28 3n = 15 7p = 77
m = 7 n = 5 p = 11
por lo tanto: m + n + p = 23

SEMANA 9
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. CONJUNTOS IGUALES:
Dos conjuntos A y B se dice que son iguales o idénticos si y solo si
tienen exactamente los mismos elementos. Esto significa que todo elemento
de A es elemento de B y que todo elemento de B es elemento de A.
A = B ⇔ (x∈A ⇒ x∈B) ∧ (x∈B ⇒ x∈A)
A = B ⇔ (x∈A ⇔ x∈B)
Ejemplo:
Si: A = {2, 5, 7} B = {2, 7, 2, 5, 7, 2}
Considerando que cuando los elementos se repiten entonces se
cuentan como uno solo, dado que los elementos son UNICOS,
podemos afirmar que los conjuntos A y B son iguales: A = B
Ejemplo:
Si: M = {-3, 8} N = {x∈Z / x2
-5x-24=0 }
Luego al resolver se concluye que: M = N
Ejemplo:
Si los conjuntos A y B son iguales halle “x+y”:
A={128 ; 32x
} ; B={81 ; 22y+1
}

Como los conjuntos A y B son iguales, entonces por definición cada
elemento de A debe también ser elemento de B y viceversa.
Luego obviamente el elemento 128 no puede ser igual a 81, se
concluye que para ser iguales los conjuntos necesariamente 128 debe
ser igual a 22y+1
y 32x
debe ser igual que 81. Lo denotaremos así:
22y+1
= 128 ∧ 32x
= 81
22y+1
= 27
∧ 32x
= 34
⇒ 2y+1 = 7 ∧ 2x = 4
y = 3 ∧ x = 2
Por lo tanto: x+y = 5
2. CONJUNTOS EQUIVALENTES:
Dos conjuntos no vacíos se dice que son equivalentes o
coordinables, si existe una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre
todos sus elementos.
En términos sencillos, dos conjuntos no vacíos son equivalentes si
tienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo, los conjuntos A={3; 5}
y B={m; n} son equivalentes porque tienen la misma cantidad de elementos
o porque entre ellos se puede establecer una correspondencia biunívoca.
A B
3 m
4 n
Se denota así: A ≡ B
se lee:“A es equivalente a B”

3. INCLUSIÓN:
Dados dos conjuntos A y B, se dice que A está incluido en B si y
solo si todos los elementos del conjunto A también están en el conjunto B.
Se denota así: A ⊂ B y se lee “A está incluido en B” ó “A está
contenido en B” ó “A es un subconjunto en B”, pero también se podría
simbolizar así: B ⊃ A solo que ahora se leería “B incluye al conjunto A”.
B
A
A ⊂ B ⇔ (∀ x∈A ⇒ x∈B)
La negación de esto se denota: A ⊄ B y se lee “A no está incluido
en B”
A ⊄ B ⇔ (∃x∈A tal que x∉B)
Ejemplo: Si: A={3, 4, 9} B={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9}
Luego como todos los elementos de A también están en B
podemos afirmar que: A ⊂ B
Ejemplo: Si: A={m, n, p} B={m, n, p}
Se observa que todos los elementos de A están en B pero además
todos los elementos de B están en A, luego se concluye que A = B
DEFINICIÓN: Dos conjuntos son iguales si y solo si A está incluido en B y B
está incluido en A.

A=B ⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)
PROPIEDADES:
1) A ⊂ A Reflexiva
2) Si: A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A=B Antisimétrica
3) Si: A ⊂ B y B ⊂ C ⇒ A ⊂ C Transitiva
4) ∀A, φ ⊂ A
4. CONJUNTOS DISJUNTOS:
Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún
elemento en común. Se simboliza así:
A es disjunto con B ⇔ ∃x / x∈A ∧ x∈B
O sino:
Si A∩B = φ ⇒ A y B son conjuntos disjuntos
Ejemplo: Si: A={2, 5, 7} B={1, 3, 4, 6, 9}
Luego como A ∩ B = φ entonces podemos afirmar que A y B son
conjuntos disjuntos.
A B
2 1 3
5 9 6
7 4
5. CONJUNTOS COMPARABLES:

Se dice que dos conjuntos son comparables si A ⊂ B ó B ⊂ A, esto
es uno de los conjuntos es subconjunto del otro. Pero si A ⊄ B y B ⊄ A
entonces diremos que estos son conjuntos no comparables.
A B
B A
Si: A ⊂ B ó B ⊂ A ⇒ A y B son comparables
A B
Si: A ⊄ B y B ⊄ A ⇒ A y B no son comparables
Ejemplo: Si: A={2, 3, 4, 5}B={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Como A ⊂ B entonces podemos afirmar que A y B son conjuntos
comparables.
Ejemplo: Si: A={3, 4, 6, 7, 9} B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
Como A ⊄ B y B ⊄ A entonces podemos afirmar que A y B son
conjuntos no comparables.
Ejemplo:
En el sistema de conjuntos numéricos, N y Z son conjuntos
comparables dado que N ⊂ Z

6. CONJUNTO POTENCIA:
Dado un conjunto A, llamaremos conjunto potencia de A al conjunto
formado por todos los subconjuntos que se pueden formar con los
elementos de A.
El conjunto potencia que denota así: P(A), se dice también que es el
conjunto de partes de A.
n[ P(A) ] = 2n
donde:
n: número de elementos de A
Ejemplo: Si: A={m, n}
Luego los subconjuntos que se pueden formar con los elementos
del conjunto A son:
P(A) = {{m}, {n}, {m,n}, φ}
Observe Ud. que
como n(A)=2 entonces n[ P(A) ] = 22
= 4 elementos
Ejemplo: Si: B={3, 5, 9}
del conjunto B son:
P(B) = {{3}, {5}, {9}, {3,5}, {3,9}, {5,9}, {3,5,9}, φ}
Como n(B)=3 entonces n[ P(B) ] = 23
= 8 elementos
Ejemplo: Si: A={1, 2, 4, 7, 8} ; B={0, 1, 5, 7, 8}

del conjunto A-B son:
A-B = {2, 4}
P(A-B) = {{2}, {4}, {2,4}, φ}
Como n(A-B)=2 entonces n[ P(A-B) ] = 22
= 4 elementos

SEMANA 10
TEMA: PRACTICA DE RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. Dado el diagrama:
A
B
C
D
y las proposiciones:
I. D ⊂ C II. B ⊂ A III. D ⊂ A
Decir cuales son verdaderos.
A) Sólo I B) Sólo II
C) I y II D) I, II y III
E) N.A.
2. Dado el diagrama:
M
N
P
Q
y las proposiciones:
NQ.IVNP.III
QP.IIMN.I
⊄⊂
⊄⊂
Decir cuales son verdaderas
A)Sólo I B) Sólo II
C) I y III D)I, II, IV
E) Los cuatro.
3. Sean los conjuntos:
A={1; 2; 3} B={2; 3}
Indicar con “F” si es falso o con
“V” si es verdad cada una de las
siguientes proposiciones:
I. 2⊂A II. 3∈B III.B⊂A
IV. 3∈B V.B⊂A
A)FVFVF B)FVVVF
C)VFVFVD)VVVFF
E)VFFVV
4. Si:
A = {d}; B = {c; d};
C = {a; b; c}; D = {a; d}
E = {a; b; c}
Establezca la verdad o
falsedad de las siguientes
afirmaciones:
a) D ⊂ C
b) C ≠ E
c) C = B
d) C ⊄ E
e) D ⊄ E
f) B ⊄ A
5. De acuerdo al siguiente diagrama,
indique que afirmaciones son
correctas.

7 U
a) R ⊂ U R
8 b) T ⊄ R M
9 c) T ⊂ S S
10 d) M ⊂ S T
11 e) M ⊂ U
12 f) R ⊂ T
13 g) T ⊄ U
14 h) S ⊄ T
6. Sean los conjuntos:
A = {2, 3, 4, 5, 6}
B = {1, 2, 4, 6, 8, 10}
C = {3, 5, 7, 9, 6, 10}
Señalar el orden en que se
indican si las afirmaciones son
verdaderas o falsas y marcar la
alternativa correcta:
a) A∪B = {1;2;3;4;5;6;7;8;10}
b) A∩C = {3;5;6}
c) B-C = {1;2;4;8;6;10}
d) C-B = B-C
A)FFFF B)FVFV
C)FVVF D)FVFF
E)NA
7. Dados los conjuntos:
M={x/x es par o igual que 13}
N={x/x es un múltiplo de 4 menor
que 15}
¿Cuántos elementos tiene el
conjunto M ∩ N ?
8. Dados los conjuntos:
P={x/x es un número natural
mayor que 2}
Q={x/x es un divisor de 8}
Hallar: P ∩ Q
9. Se tiene los siguientes conjuntos:
A = {3x + 2/x ∈ IN Λ x < 5}
B = {2x/x ∈ IN Λ x ≤ 6};
Hallar: A ∩ B
10. Dado los conjuntos:
A = { x∈ IN/3 < x < 12}
B = {x ∈ IN/2 ≤ x ≤ 13}
¿Cuántos elementos tiene el
conjunto A ∩ B?
A)6 B)7 C)8 D)9 E)10
11. Si:A = {1; 2; 7; 8; 9}
B = {2; 3; 6; 7} C = {1; 2; 3; 4; 5}
Halle: A ∩ B ∩ C
A) 1; 2; 3
B) 2; 6; 7
C) 1; 2
D) 2; 7
E) 2; 3

SEMANA 11
TEMA: OPERACIONES CON CONJUNTOS
1. UNIÓN:
La unión ó reunión de los conjuntos A y B se define como el conjunto
formado por los elementos que pertenecen al conjunto A ó al conjunto B ó a
ambos. Se denota así: A ∪ B y se lee: “A unión B”.
Luego si: x ∈ A∪B ⇔ x∈A ∨ x∈B
De donde formalmente podemos definir la unión de conjuntos del
siguiente modo:
A∪B = {x ∈ U / x∈A ∨ x∈B }
U U
A B A B

A∪B A∪B
U
A
B
Si B⊂A ⇒ A∪B = A
PROPIEDADES:
1) A∪A = A Idempotencia
2) A∪B = B∪A Conmutativa
3) A∪B∪C = (A∪B)∪C = A∪(B∪C) Asociativa
4) A∪φ = A Elemento Neutro
A∪U = U
5) Si B⊂A ⇒ A∪B = A
2. INTERSECCIÓN:
La intersección de los conjuntos A y B se define como el conjunto
formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B al
vez. Se denota así: A ∩ B se lee: “ A intersección B”.
Luego si: x ∈ A∩B ⇔ x∈A ∧ x∈B
siguiente modo:
A∩B = {x ∈ U / x∈A ∧ x∈B }
U U

A B A B
A∩B A∩B = φ
U
A
B
Si B⊂A ⇒ A∩B = B
PROPIEDADES:
1) A∩A = A Idempotencia
2) A∩B = B∩A Conmutativa
3) A∩B∩C = (A∩B)∩C = A∩(B∩C) Asociativa
4) A∩φ = φ y A∩U = A Elemento Neutro
5) Si B⊂A ⇒ A∩B = B
6) A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C) Distributivas
A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)
7) (A∩B) ⊂ A y (A∩B) ⊂ B
8) A∩(A∪B) = A y A∪(A∩B) = A Absorción
3. DIFERENCIA:
La diferencia de los conjuntos A y B se define como el conjunto
formado por los elementos que le pertenecen al conjunto A y no al conjunto
B. Se denota así: A – B se lee: “A menos B”.
Luego si: x ∈ A–B ⇔ x∈A ∧ x∉B

siguiente modo:
A–B = {x ∈ U / x∈A ∧ x∉B }
U U
A B A B
A - B A-B
U
A
B
A-B
PROPIEDADES:
1) A-A = φ
2) A-B ≠ B-A No es conmutativa
3) A∩(B-C) = (A∩B) – (A∩C) Distributiva
4) A-φ = A y φ-A = φ
5) (A-B) ⊂ A
6) A-B = (A∪B)-B = A-(A∩B)
7) B∩(A-B) = φ
4. COMPLEMENTO:

Si A y B son dos conjuntos tal que A ⊂ B, se define el “complemento
de A con respecto a B”, y se denota CBA a la diferencia de B-A.
CBA = B–A = {x / x∈B ∧ x∉A }
Luego si: x ∈ CBA ⇔ x∈B ∧ x∉A
La representación gráfica es:
U
B
A
CBA
En particular si B=U, el complemento de A con respecto al conjunto
universal U, se denota así: CUA = C A = A’ = AC
es decir: A’ = U-A = {x / x∈U ∧ x∉A }
En este caso su representación gráfica sería:
U
A’
A
5. DIFERENCIA SIMÉTRICA:

Dados dos conjuntos A y B se define “la diferencia simétrica de A y
B, que se denota por: A ∆ B, al conjunto:
A ∆ B = (A-B) ∪ (B-A)
A ∆ B = (A∪B)–( B∩A)
Gráficamente se representa así:
U
A B
A ∆ B
PROPIEDADES:
1) A∆A = φ
2) A∆B = B∆A Conmutativa
3) (A∆B)∆C=A∆(B∆C) Asociativa
4) A∆φ = A Elemento Neutro
5) (A∆B)∩C = (A∩C) ∆ (B∩C) Distributiva
EJERCICIOS:
1. Sea el conjunto universal U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y además: A={2,5,6,3,9}
; B={0,1,4,6,9,8} ; C={1,3,5,7,9}
Halle:
a) A’ ∩ B’
b) (A ∪ B)’
c)(C – B )’ ∩ A
d) (A ∆ B)’ ∪ C’

e) A – (B – C) f) (B – A) ∩ (C – A)
2. Sea U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y además M={2,4,7,1,0,5} ; N={2,6,8,9,3} ;
P={3,5,7,9,1} luego halle:
a) (M ∩ N)’
b) M’ ∪ P’
c)(N – P)’ – (M ∩ P)
d) (M – P)’ ∆ (N ∩ P)’
e) M’ ∩ (P’ – N’)
f) (N – M)’ – (P – M)’
3. Dados los conjuntos: U={0,1,2,3,4,5,6,7,8}
A={1,4,5,6} ; B={0,8,2,4} ; C={0,3,6,7,8}
Hallar :
a) (B ∪ C)’- A’
b) (A - B)’ ∪ C
c) (A’ - B’) ∩ C’
{(A’ ∪ B’) ∩ C}’
{B’ ∪ (A ∩ C)}’ – (A ∪ B)’
(A ∩ C)’ – (B – A)’
4. Dados los conjuntos: U={1,2,3,4,5,6,7} ; A={1,2,3,4,5}
; B={3,4,5,6,7} ; C={1,2,3}
Halle: { [ (A∪B)’ ∆ (A∪C)’] – C } ∪ B’
5. Si: U={a,b,c,d,e} ; A∪B={a,b,c,d} ; A∩B={a,c} y A-B={b}
Halle los conjuntos A y B.
6. Dado los conjuntos:
A={ x∈Z / ∼[ x ≤ -2 ∨ x > 3 ] }
B={ x∈N / ∼(-1< x ≤ 3 → x = 5) }
C={ x∈Z / (x < -2 ∨ x ≥ 2) → x > 1}

Halle el resultado de: (B ∩ C) ∆ (A ∩ B)

SEMANA 12
TEMA: PROBLEMAS DE INTERPRETACIÓN DE CONJUNTOS
1) De 20 personas, a 12 les gusta la manzana, a 13 la pera y a 5 personas
ambas. ¿A cuántas personas les gusta sólo la manzana?
A)8 B)7 C)15 D)6 E)10
Solución: Sea:
M : conjunto de personas que les gusta la manzana
P : conjunto de personas que les gusta la pera
n(U)=20
n(M)=12 M P n(P)=13
7 5 8
Por lo tanto, a 7personas le gusta solo la manzana
2) Durante el mes de Abril una persona toma desayuno con queso o
jamonada, si 19 días toma desayuno con queso y 24 dias con jamonada.
¿Cuántos días tomó desayuno con queso y jamonada a la vez, si hubo dos
días que no tomó desayuno?
A)4 días B)10 días C)13 días D)8 días E) 6 días
Solución: Sea:
Q : conjunto de días que toma desayuno con queso
J : conjunto de días que toma desayuno con jamonada
n(U)=30
n(Q)=19 Q J n(J)=24

4 15 9
2
∴Quince días tomó desayuno con queso y jamonada a la vez
3) De un grupo de 25 jóvenes, 12 practican ajedrez, y 8 damas y ajedrez.
¿Qué proposición es falsa?
A)4 sólo ajedrez B)12 sólo ajedrez
C)13 sólo damas D)21 juegan damas
E) 45 juegan damas
4) En una reunión 15 personas toman Fanta y Sprite; 9 solamente Fanta; 22
prefieren Sprite; 12 no prefieren ninguna de las bebidas. ¿Cuántas
personas hay en la reunión?
A)41 B)43 C)49 D)50 E)46
5) En un salón , 40 alumnos estudian portugués, 70 francés y hay 30 que
estudian ambos idiomas. Si todos los alumnos estudian por lo menos un
idioma y a lo sumo dos. ¿Cuántos alumnos hay en total?
A) 80 B) 70 C) 60 D) 110 E) 140
6) De un grupo de personas, el 35% sólo sabe cantar y el 90% cantan o
bailan. ¿Qué porcentaje no bailan?
A) 35 B) 55 C) 45 D) 90 E) NA
7) Tengo 100 amigos de los cuáles 85 fuman puros y 35 cigarrillos. ¿Cuántos
fuman ambas cosas a la vez?, si todos fuman por lo menos alguna de las
dos cosas.
A) 25 B)24 C)34 D)21 E)Absurdo
8) Se hizo una encuesta en el mercado a cierto número de amas de casa, y
resultó que 14 compraron carne de pollo, 11 carne de res, 6 las dos clases

de carne y 20 no compraron ni pollo ni res. ¿A cuántas personas se hizo la
encuesta?
A)42 B)40 C)38 D)39 E)45
9) Conversando con 10 padres de familia nos cuentan que 8 de ellos tienen
luz y 5 tienen agua en el sitio que viven. ¿Cuántos tienen agua y luz?
A)5 B)8 C)2 D)3 E)6
10) En mi salón hay 20 alumnos. A 11 les gusta matemática, a 12 les gusta el
lenguaje, y a 4 les gusta matemática y lenguaje. ¿A cuántos de los 20
alumnos no les gusta ni matemática ni lenguaje?
A)1 B)2 C)4 D)5 E)6
11) El director de un Instituto ha reportado todos los siguientes datos
estadísticos acerca de un grupo de 30 estudiantes de dicho Instituto; 19
llevan matemáticas, 17 llevan música, 11 llevan historia, 12 llevan
matemáticas y música, 7 historia y matemáticas, 5 música e historia, 2
matemáticas, historia y música. ¿Cuántos alumnos llevan historia y no
matemáticas?
A)2 B)1 C)7 D)5 E) 4
12) En un barrio donde hay 31 personas, 16 compran en el mercado, 15 en la
bodega y 18 en el supermercado; 5 en los dos últimos sitios; únicamente 6
en los dos primeros y 7 en el primero y último ¿ Cuál es el menor
número de personas que podrían comprar solamente en el
mercado?
A)3 B)6 C)7 D)10 E) N.A.
13) De un grupo de alumnos, 39 juegan béisbol; 28 juega fútbol; 36 juegan
tenis; 15 juegan béisbol y fútbol; 17 juegan béisbol y tenis, 10 juegan los

tres deportes. ¿Cuántos juegan solo béisbol? ; ¿Cuántos juegan solo
fútbol?, ¿Cuántos juegan solo tenis? ¿ Cuántos alumnos son en total?
14)De 150 personas encuestadas se encontró que: 80 toman leche; 50 toman
café; 60 toman té; 30 toman café y leche; 30 toman café y té; 30 toman
leche y té; 20 toman los tres líquidos. Conteste: ¿Cuántos toman sólo
leche? ¿Cuántos sólo café? ¿Cuántos toman sólo uno de los tres líquidos?
¿Cuántos toman sólo uno de los tres líquidos? ¿Cuántos toman por lo
menos 2 líquidos? ¿Cuántos toman otro líquido?
15) De 100 personas que leen por lo menos 2 de 3 diarios (Comercio,
República y Ojo), se observa que de ellas 40 leen Comercio y República,
50 leen República y Ojo y 60 leen Comercio y Ojo. ¿Cuántas personas leen
los tres diarios?
A) 15 B) 35 C) 25 D) 55 E) 50
16) De 234 alumnos, se sabe que 92 quieren estudiar Medicina, 87 Derecho y
120 ninguna de las dos carreras. ¿Cuántos quieren estudiar ambas
carreras a la vez?
17) En un hotel hay 51 turistas, de los cuales 26 tienen dólares, 26 tiene
francos suizos y 29 tienen pesos mexicanos; 8 tiene dólares y francos
suizos pero no pesos mexicanos, 6 tiene pesos mexicanos y francos suizos
y 10 poseen solamente dólares y pesos mexicanos. ¿Cuántos poseen las 3
clases de moneda al mismo tiempo?
A)3 B) 5 C) 9 D) 10 E) 4
18) En una encuesta a los estudiantes se determinó que :
- 68 se portan bien
- 160 son habladores
- 138 son inteligentes
- 55 son habladores y se portan bien

- 48 se portan bien y son inteligentes
- 120 son habladores e inteligentes
-40 son habladores, inteligentes y se portan bien, ¿Cuántos estudiantes
son inteligentes solamente?
19) En una encuesta a 100 televidentes sobre los programas de TV se
obtuvieron los siguientes resultados:
- 45 ven el programa A
- 50 ven el programa B
- 20 ven solamente los programas B y C
- 10 ven solamente el programa C
Además el número de encuestados que ven los tres programases igual a la
mitad de los que solo ven los programas A y B y 1/3 de los que ven solo el
programa B. También el número de televidentes que ven sólo los
programas A y C es el doble de los que ven sólo el programa A.
El número de encuestados que no ven ninguno de los tres programas es:
20) En ciertas competiciones, se disputan trofeos en los siguientes deportes:
fútbol, vóley, básquet, atletismo, tenis, etc. De un total de 150 participantes
se encontró que:
- 10 alumnos participan sólo en futbol y basquet
- 12 alumnos participan solo en futbol
- 15 alumnos participan solo en futbol y voley
- 14 alumnos participan solo en basquet y voley
- 15 alumnos participan sólo en basquet
- 09 alumnos participan sólo en voley
- 15 alumnos participan sólo en tenis
- 10 alumnos participan sólo en atletismo
- 40 alumnos participan en otros deportes
¿Cuántos practican futbol, voley y basquet al mismo tiempo?
SEMANA 13

TEMA: MAGNITUDES PROPORCIONALES
En la mayoría de los casos, en los cuales intervienen dos magnitudes
de igual o diferente especie, es posible establecer una cierta relación de
dependencia entre ellas, de modo tal que, admitiendo conjuntos de cantidades
de cada una de las magnitudes, a un cierto valor de una de ellas le
corresponde uno y solo de la otra magnitud y recíprocamente. En tales casos
se dice que una de las magnitudes dependen de la otra. En algunos textos,
esta dependencia entre magnitudes se expresa mediante el término función.
1. “Se dice que y es función de x, cuando para cada valor de x,
corresponde un valor de y ; esto se denota por y = f(x)”
Ejemplo 1: El costo que produce el pintar una pared está en función a la
medida del área de la superficie a pintarse, entonces:
Costo = f(área)
Ejemplo 2: La cantidad de trabajo que puede realizarse está en función
entre otras cosas, del número de obreros que se empleen,
entonces:
Trabajo = f(obreros)
Ejemplo 3: El volumen de una esfera está en función a la medida del
área de la superficie a pintarse, entonces:
Costo = f(área)
Ejemplo 1: El costo que produce el pintar una pared está en función a la
medida del área de la superficie a pintarse, entonces:
Costo = f(área)

2. “Dadas dos magnitudes y un conjunto de valores o cantidades
correspondientes a estas, de modo tal que exista una relación de
dependencia entre ellas, entonces son proporcionales cuando
multiplicando o dividiendo un valor cualquiera de uno de los conjuntos,
por un cierto número, su correspondiente en el otro conjunto queda
multiplicado o dividido (o viceversa) por el mismo número.
Ejemplo 1: Las magnitudes costo y longitud son proporcionales,
puesto que si la longitud a comprarse fuera el doble, el
costo también se duplicará.
Ejemplo 2: Las magnitudes tiempo y obreros guardan
proporcionalidad, puesto que para realizar cierta obra,
se duplicará el tiempo a emplearse, entonces el
número de obreros que se necesitarían sería sólo la
mitad.
1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES:
Dadas dos magnitudes y parejas de valores correspondientes a ellas,
se considerarán como magnitudes directamente proporcionales, cuando el
cociente de sus cantidades correspondientes permanezca constante.
Ejemplo 1: Consideremos las magnitudes peso y costo, y sus parejas de
valores correspondientes:
PESO 1kg 2kg 3kg 4kg 5kg ……
COSTO S/.600 S/.1200 S/.1800 S/.2400 S/.3000 ……
donde se cumple que:
tetancons.......
3000
5
2400
4
1800
3
1200
2
600
1
======

Entonces: tetanconsK
COSTO
PESO
==
El peso es directamente proporcional al costo
2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES:
Dadas dos magnitudes y parejas de valores correspondientes a ellas,
se considerarán como magnitudes inversamente proporcionales, cuando el
producto de sus cantidades correspondientes permanezca constante.
Ejemplo 1: Consideremos las magnitudes velocidad y tiempo con parejas de
valores correspondientes a ellas:
VELOCIDAD 180Km/h 90km/h 60km/h 45km/h 36km/h ……
TIEMPO 1h 2h 3h 4h 5h ……
donde se cumple que:
180×1=90×2=60×3=45×4=36×5= ....... = constante
Entonces: VELOCIDAD × TIEMPO = K = constante
SEMANA 14
TEMA: REGLA DE TRES:
De acuerdo al número de magnitudes que intervienen se pueden
clasificar en simple y compuesta.
A) REGLA DE TRES SIMPLE.- es aquella en la que intervienen solo dos
magnitudes. Esta a su vez se pueden clasificar en directa e inversa.

Directa (R3SD), es aquella en la que las dos magnitudes que
intervienen son directamente proporcionales, es decir el cociente de
sus cantidades correspondientes debe permanecer constante.
Sean las magnitudes directamente proporcionales A y B, de modo tal
que:
A B
a1 --- b1 (supuesto)
a2 --- X (pregunta)
X
a
b
a 2
1
1
= entonces
1
12
a
)b()a(
X =
Inversa (R3SI), es aquella en la que las dos magnitudes que
intervienen son inversamente proporcionales, es decir el producto de
sus cantidades correspondientes debe permanecer constante.
Sean las magnitudes inversamente proporcionales A y B, de modo tal
que:
A B
a1 --- b1 (supuesto)
a2 --- X (pregunta)
(a1)⋅(b1) = (a2)⋅(X) entonces
2
11
a
)b()a(
X =
Ejemplos:
1) Una casa pertenece a dos hermanos, la parte del primero es los
5/13 de la casa y está valorada en 1530 000 soles. Hallar el valor
de la parte del hermano.

R3SD
Parte Costo
5/13 1 530 000 (supuesto)
8/13 X (pregunta)
)13/5(
)0005301)(13/8(
X = luego: X=2 448 000 soles
2) Una fábrica tiene petróleo suficiente para 20 días, consumiendo
dos barriles diarios. ¿Cuántos barriles menos se debe consumir
diariamente para que el petróleo alcance para 30 días?
Solución: R3SI
N° Días N° Barriles
20 2 (supuesto)
30 2-X (pregunta)
30
)2()20(
X-2 = luego:
3
2
X
3
4
-2X =⇒=
3) Para pintar un cubo de 10cm de arista se gastó 240 soles. ¿cuánto
se gastará para pintar un cubo de 15cm de arista?
Solución: R3SD
Área Costo
6⋅102
240 (supuesto)
6⋅152
X (pregunta)
)10)(6(
)240)(15()6(
X 2
2
= luego: X=540 soles
4) Una guarnición de 2250 hombres, tiene provisiones para 70 días. Al
terminar el día 29 salen 200 hombres. ¿Cuánto tiempo podrán
durar las provisiones que quedan al resto de la guarnición?

Solución:
Al terminar el día 29, las provisiones que quedan equivalen a 70-
29=41 días, entonces considerando el volumen de provisiones
constante, podemos plantear:
R3SI
N° Días N° Hombres
41 2250 (supuesto)
X 2250-200 (pregunta)
)2050(
)2250()41(
X = luego: X=45 días
5) Un navío partió con una tripulación de 80 hombres llevando víveres
para 20 días. Después de 8 días de navegación, se dio albergue a
40 viajeros, procedentes del naufragio de otro buque. ¿Cuántos
días más pudo durar la navegación, dando ración completa a todos
los tripulantes y viajeros?
Solución:
Después de 8 días de viaje a los 80 hombres les queda víveres para
20-8=12 días, los cuales deberán ser compartidos con los náufragos
de modo tal que alcancen para “x” días más después de los ya
transcurridos.
R3SI
N° Días N° Viajeros
12 80 (supuesto)
X 80+40 (pregunta)
)120(
)80()12(
X = luego: X=8 días

PRÁCTICA
1) Si 25 metros de alambre de cobre
valen s/.225, ¿cuánto valen 40
metros?
A)240 B)200 C)360
D)320 E)400
2) Ocho obreros han tardado 24
horas para realizar cierto trabajo.
¿Cuánto tiempo hubiesen
empleado para hacer el mismo
trabajo 4 obreros?
A)32h B)24h C)48h
D)56h E)60h
3) Si 80kg de azúcar cuesta 240
soles. ¿Cuánto cuesta 60kg de
azúcar de esa misma calidad?
A)140 B)130 C)160
D)200 E)180
4) Dos albañiles emplean 18 horas
en hacer un piso de una
habitación. ¿Cuánto tiempo
emplearán 9 albañiles en hacer el
mismo trabajo?
A)36 B)81 C)5
D)8 E)4
5) Con 12kg de harina se preparan
4800 panes ¿Cuántos panes se
preparan con 20kg de harina?
A)4000 B)8000 C)5500
D)3000 E)4200
6) Ocho tripulantes tienen comida
para 15 días. ¿Cuántos días
durará la comida si hubieran ido
12 tripulantes?
A)12 B)15 C)1
D)8 E)9
7) Veinte obreros hacen una obra en
8 días. ¿En cuántos días harán la
obra si trabajan 40 obreros?
A)6 B)4 C)2 D)5 E)8
8) Un avión tarda 2 minutos para
recorrer 4,5km. ¿Cuánto tardará
en recorrer con la misma
velocidad: 180km?
A)1h 20min B)1h 30 min
C)70 min D)7 min
9) He comprado 4950 cuadernos
con la condición de recibir 6 más
en cada ciento. ¿Cuántos debe
darme el vendedor en total?
A)5140 B)5237 C)5263
D)5247 E)5305

10)Si 40 tripulantes tienen comida
para 72 días. ¿Cuántos días
podrán alimentarse 60 tripulantes
con la misma cantidad de
alimento?
A)39 B)48 C)36
D)56 E)64
11)Un trabajo puede ser realizado
por 80 obreros en 42 días. Si el
plazo para terminarlo es de 30
días. ¿Cuántos obreros deben
aumentarse?
A)14 B)23 C)26
D)32 E)30
12)Si una docena de vasos cuesta
7,44 soles. ¿Cuánto deberá
pagarse por 17 vasos?
A)S/.11,63 B)S/.10,54
C)S/.12,54 D)S/.11,25
E)S/.12,45
13)Doce obreros hacen una obra en
360 días ¿Cuántos obreros se
necesitarán para realizar la misma
obra en 48 días?
A)45 B)70 C)90
D)120 E)80
14)24 obreros hacen una casa en 30
días. El triple de obreros, ¿qué
tiempo tomarán para hacer la
misma obra?
A)10 días B)15 días
C)17 días D)12 días
15)Un tejedor necesita trabajar 12
horas diarias para hacer los 3/4 de
una chompa. ¿Cuánto tiempo
empleará para hacer toda la
chompa?
A)13 h/d B)18 h/d
C)15 h/d D)16 h/d
E)10 h/d
16)Un obrero gana S/.50 por los 5/9
de su labor diaria. ¿Cuánto gana
por su labor diaria completa?
A)S/.80 B)S/.70
C)S/.90 D)S/.10
E)S/.40
17)Un comerciante vende 45
paquetes de medias en 15 días;
30 paquetes ¿en cuántos días
venderá?
A)10 B)15 C)12
D)14 E)13
18)En un día de trabajo de 8 horas,
un obrero ha hecho 10 cajas.

¿Cuántas horas tardará en hacer
25 de esas mismas cajas?
A)18 B)20 C)22
D)16 E)24
19)Un muchacho vive en el sexto piso
de un edificio. Calcule cuanto
tarda en subir hasta su casa si
llega al tercer piso en 30
segundos.
A)45s B)48s C)60s
D)75s E)90s
20)Un obrero gana S/.50 por los 5/9
de su labor diaria. ¿Cuánto gana
por su labor completa diaria?
A)S/.65 B)S/.90 C)S/.70
D)S/.85 E)S/.50
21)Un barco lleva víveres para 22
días y 39 tripulantes, pero estos
no son más que 33. ¿Cuántos
días puede durar la navegación?
A)30 B)28 C)26
D)25 E)32
22)Una caja de 3 docenas de
naranjas cuestan S/.27. ¿Cuánto
se pagará por 5 cajas de 16
naranjas cada una?
A)45s B)48s C)60s
D)75s E)90s
23)¿Cuánto cuesta cercar una huerta
cuyo contorno mide 100m, si el
metro de alambre vale 13,75 soles
y se dan 5 vueltas con él?
A)68,75 B)65,75
C)65,25 D)68,25
E)64,45
24)Un auto a 60km/h cubre la
distancia de Lima a Tumbes en 16
horas. ¿A qué velocidad debe
recorrer para cubrir dicha distancia
en la mitad del tiempo?
A)30km/h B)38km/h
C)60km/h D)120km/h
E)54km/h
25)En un cuartel de 200 soldados
tienen víveres para 40 días, si se
cuadriplicara el número de
soldados. ¿Para cuánto tiempo
durarían los víveres?
E)160 días
26)Pedro hizo los x/y de una obra en
“z” días. ¿Cuántos días demorará
para hacer toda la obra?
A)xz/y B)zy/x C)x/y
D)xy/z E)xz+y

27)Un rueda dá 2574 vueltas en 25
minutos. ¿Cuántas vueltas dará
en 1 hora, 15 minutos?
A)7272 B)7227 C)7722
D)6522 E)6844
28)Pedro le regala a Cecilia un cubo
de madera que cuesta 1200 soles,
si le regalara un cubo de la misma
madera, pero de doble arista.
¿Cuánto costaría dicho cubo?
A)S/.9600 B)S/.9300
C)S/.8400 D)S/.9800
E)S/.8900
29)Un obrero tarda en hacer un cubo
compacto de concreto de 30cm de
arista 50 minutos. ¿Qué tiempo
tardará en hacer 9 cubos, cada
uno de 50cm de arista?
A)34 h B)
13
18
34 h
C)
18
13
34 h D)35 h
30)“N” hombres tienen alimentos para
“D” días, si estos alimentos deben
alcanzar para 3D días. ¿Cuántos
hombres deben disminuir?
A)N/3 B)2N/3 C)2N/5
D)3N/4 E)3N/5
31)Se compra 2,95m de casimir
inglés por S/.186. ¿Cuánto se
pagará por 4,65m del mismo
casimir?
A)S/.293,2 B)S/.285,5
C)S/.267,4 D)S/.245,4
E)S/.296,8
32)¿Cuántos soles se necesitan para
hacer un giro de $960, estando el
tipo de cambio a S/.2,16 por
dólar?
A)S/.2943,7 B)S/.3085,8
C)S/.2607,5 D)S/.2073,6
E)S/.3196,2
33)Un buey atado a una cuerda “x”
metros puede comer la hierba que
está a su alcance en 2 días. ¿En
cuántos días, el buey podrá comer
la hierba que está a su alcance si
la cuerda fuese de “2x” metros de
longitud?
A)3 días B)4 días
C)6 días D)8 días
E)16 días
34)97 litros de vino contienen 4
gramos de azúcar. ¿Cuántos litros
de agua se deben agregar para
que por cada 13 litros de mezcla
haya medio gramo de azúcar?

A)12 B)15C)7
D)6 E)3
35)Un auto a 60km/h, cubre la
distancia de Lima a Piura en 16
horas. ¿A qué velocidad debe
recorrer para cubrir dicha distancia
en la mitad del tiempo?
A)130 km/h B)120km/h
C)150 km/h D)110km/h
E)100 km/h
36)En un cuartel 200 soldados tienen
víveres para 40 días, si se
cuadriplicara el número de
soldados. ¿Para cuánto tiempo
durarían los víveres?
E)20 días

PRÁCTICA
SEMANA 15
TEMA: REGLA DE TRES COMPUESTA
Es aquella en la que intervienen tres o más magnitudes.
Para resolver problemas que involucren a tres o más se aplica una
regla denominada “regla de los signos”. Cuando al comparar la magnitud
incógnita con cualquiera de las otras magnitudes, si se determina que son
directamente proporcionales se anota – arriba y + abajo, pero si son
inversamente proporcionales se anota + arriba y – abajo. Luego la incógnita
se obtiene así:
-)(oductoPr
)(oductoPr
X
+
=
1) Si cuatro sastres hacen 20 ternos
en 10 días. ¿Cuántos ternos
harán 20 sastres en 30 días?
A)200 B)120 C)300
D)240 E)100
2) Si 5 obreros trabajando 10 horas
diarias han realizado 100 m2
de
un piso en 4 días. ¿Cuántos días
necesitarán 8 obreros trabajando
8 horas diarias para hacer 40 m2
de la misma obra?
A)1 día 12 horas
B)1 día 6 horas
C)2 días 6 horas
D)2 días 12 horas
E)NA
3) Cuatro carpinteros fabrican 10
puertas en 2 semanas. ¿Cuántos
carpinteros fabricarán 15 puertas
en tres semanas?
A)4 B)5 C)6
D)7 E)8
4) En 12 días, 8 obreros han hecho
los 2/3 partes de una obra. Se
retiran 6 obreros. ¿Cuántos días
demorarán los obreros restantes
para terminar la obra?

A)15 B)18 C)20
D)24 E)26
5) Se tiene un grupo de obreros que
pueden hacer una obra en 20 días
trabajando 9 horas diarias, pero
con 7 obreros más, la misma obra
se puede hacer en 12 días
trabajando 8 horas diarias. Halle
el número inicial de obreros.
A)8 B)10 C)15
D)12 E)6
6) Si 40 obreros trabajando 10 horas
diarias en 15 días en 15 días
construyeron 300m de una obra.
¿Cuántos obreros se necesitarían
para construir 180m de obra
trabajando 1 hora diaria menos
durante 20 días?
A)24 B)22 C)20
D)25 E)26
7) Diez peones demoran 15 días de
7 horas de trabajo en sembrar 50
m2
. ¿Cuántos días de 8 horas de
trabajo, demorarán en sembrar 80
m2
, 15 peones doblemente
hábiles?
A)9 B)6 C)3
D)12 E)7
8) Por 8 días de trabajo, 12 obreros
han cobrado S/.640. ¿Cuánto
ganarán por 16 días, 15 obreros
con los mismos jornales?
A)S/.1600 B)S/.1400
C)S/.1500 D)S/.1800
9) Si 8 secretarias tardan 3 horas
para digitar 72 páginas. ¿Cuánto
tardarán 6 secretarias para digitar
90 páginas?
A)8 horas B)7 horas
C)6 horas D)5 horas
E)4 horas
10) Un motociclista recorre una
distancia a 50Km por hora en 8
días de 9 horas diarias de
marcha. ¿En cuántos días cubrirá
la misma distancia corriendo a
60Km por hora y en jornadas de
10 horas diarias de marcha?
A)5 días B)6 días C)7 días
D)8 días E)9 días
11) En 12 días, 8 obreros han
hecho los 2/3 partes de una obra.
Se retiran 6 obreros. ¿Cuántos
días demorarán los obreros
restantes para terminar la obra?
A)15 B)18 C)20
D)24 E)26

12) Se tiene un grupo de obreros
que pueden hacer una obra en 20
días trabajando 9 horas diarias,
pero con 7 obreros más, la misma
obra se puede hacer en 12 días
trabajando 8 horas diarias. Halle
el número inicial de obreros.
A)8 B)10 C)15
D)12 E)6
13) Si 40 carpinteros fabrican 16
puertas en 9 días. ¿Cuántos días
tardarían 45 carpinteros para
hacer 12 puertas iguales?
A)5 B)7 C)8
D)4 E)6
14) Una guarnición de 1600
hombres tiene víveres, para 10
días a razón de 3 razones diarias
cada hombre. Si se refuerzan con
400 hombres. ¿Cuántos días
durarán los víveres si cada
hombre toma 2 raciones diarias?
A)10 días B)11días
E)9 días
15) Si con 120Kg de pasto se
alimenta a 4 caballos durante 5
días. ¿Cuántos kilogramos de
pasto se necesitará para alimentar
a 9 caballos en 3 días?
A)162 kg B)167 kg
C)160 kg D)165 kg
E)170 kg
16) En un cuartel se calculó que
los alimentos alcanzaban para 65
días, pero al término de 20 días
se retiraron 200 soldados por lo
que los alimentos duraron para 15
días más de lo calculado.
¿Cuántos eran los soldados
inicialmente?
A)400 B)600 C)800
D)550 E)480
17) Dos bombas trabajando 5 h/d
durante 4 días, consiguen bajar el
nivel del agua, en 65 cm. ¿Qué
tiempo invertirán 3 bombas
análogas para bajar el nivel en 78
cm funcionando 8 h/d?
A)3 días B)2 días
C)4 días D)6 días
E)5 días
18) En un establo hay 50 vacunos
y comida para 128 días, comiendo
3 veces al día. Si se disminuye en
una decena el número el número
de vacunos, para ¿cuántos días

tienen comida si se aumenta una
ración diaria?
E)140 días
19) 2000 hombres trabajando en
la construcción de una carretera
hacen 2/3 de la obra en 200 días.
Si se aumenta 1/4 del total de
hombres. ¿Cuántos días
necesitarán para terminar la
obra?
A)75 B)40 C)80
D)65 E)70
20) 50 hombres tienen
provisiones para 20 días a razón
de 3 raciones diarias, si las
raciones disminuyen en 1/3 y se
aumentan 10 hombres. ¿Cuántos
días durarán los víveres?
A)20 B)30 C)15
D910 E)50
21) Si un carro va a una velocidad
de 10Km/h recorriendo 30Km en 6
días. ¿Cuántos km. recorrerá en 8
días si va a una velocidad de
50Km/h?
A)210Km B)240Km
C)200Km D)220Km
E)250Km

SEMANA 16 Y 17
TEMA: MATRICES
OBJETIVO: Lograr que el alumno conozca la distribución de una matriz y sus
respectivas operaciones
Es un arreglo rectangular de elementos (números reales) distribuidos
en filas y columnas.
Ejemplos:
1)
701-
2-49
3-15-
2) 31-2 3)
n
m
a
Notación: las matrices se representan por letras mayúsculas, tal como: A, B, C,
D, ....., etc.
El conjunto de elementos de una matriz se encierra con paréntesis o
corchetes y en los casos en que no se use números reales específicos, se
denotan con letras minúsculas sub indicadas: aij , bij , cij , es decir:
A = [aij] =
mn2m1m
n22221
n11211
a.........aa
............
a.........aa
a.........aa
ORDEN DE UNA MATRIZ:
El orden o dimensión de una matriz está dado por el producto indicado
m×n, donde m indica el número de filas y n el número de columnas.
Ejemplos:

1) A =
701-
2-49
3-15-
la matriz A es de orden 3x3
2) B = 31-2 la matriz B es de orden 1x3
3) C =
n
m
a
la matriz C es de orden 3x1
Ejercicios: Escribir explícitamente la matriz:
a) A = [aij] ∈ K2×3
/ aij = 2i-j
Solución:
a11=2(1)-1=1 a12=2(1)-2=0 a13=2(1)-3=-1
a21=2(2)-1=3 a22=2(2)-2=2 a23=2(2)-3=1
A =
123
1-01
b) B = [bij] ∈ K3×3
/ bij = min(i,j)
c) C = [cij] ∈ K2×4
/ cij = i2
+j
IGUALDAD DE MATRICES:
Se dice que dos matrices A y B son iguales si son del mismo orden y sus
componentes correspondientes son iguales, es decir, si las matrices son
idénticas. Esto es:

[aij]m×n = [bij]m×n si y solo si aij = bij , ∀ i,j
Ejemplos:
1) Dadas las matrices A = [aij] ∈ K2×2
/ aij = 2i
-(-1)j
y
B =
3yx3
1yx
, hallar los valores de x e y de modo que A = B
Solución: Determinando los elementos de la matriz A:
a11=21
-(-1)1
= 2+1=3 a12=21
-(-1)2
= 2-1=1
a21=22
-(-1)1
= 4+1=5 a22=22
-(-1)2
= 4-1=3
A =
35
13
=
3yx3
1yx
si y solo si: x-y=3 ∧ 3x-y = 5
de donde resolviendo se obtiene que: x=1 , y=-2
OPERACIONES CON MATRICES
A) ADICIÓN DE MATRICES:
Dadas dos matrices A = [aij]m×n y B = [bij]m×n se llama suma de matrices A y
B a otra matriz C = [cij]m×n tal que:
cij = aij + bij , ∀ i,j ∈ {1,2,3,4,…..}
Esto es:

A+B = [aij] + [bij] = [aij + bij]
Ejemplo:
1) Dadas las matrices: A =
1
2y3
yx2
, B =
21x
x-2y-5
+
y
C=
1-4
52-
; hallar A+C, sabiendo que A=B
Solución:
Como A=B entonces se cumple que:
2x-1=5-y entonces 2x+y=6
3-y=x+1 entonces x+y=2
Resolviendo el sistema se obtiene que: x=4 ; y=-2
∴ A+C = 1-4
52-
25
2-7
+ = 19
35
OPUESTO DE UNA MATRIZ:
Sea la matriz A = [aij]m×n , llamaremos opuesto de la matriz A a la matriz
denotada por –A, de tal modo que: -A = [-aij]m×n Observe la matriz A y –A
tienen el mismo orden.
Ejemplo:
Si la matriz: A =
1-4
52-
luego -A =
14-
5-2

B) SUSTRACCIÓN DE MATRICES:
Dadas dos matrices A = [aij]m×n y B = [bij]m×n se llama diferencia de matrices
A y B a otra matriz D = [dij]m×n tal que:
A – B = D
A + (-B) = D
de tal modo que:
[aij] + [-bij] = [aij - bij] = [dij], ∀ i,j ∈ {1,2,3,4,…..}
Ejemplo:
Sea: A =
123
1-01
B =
172
6-35
Luego: A – B =
PRÁCTICA
1) Dados las matrices:
0 3 -1 1
A = B =
-5 2 1 -2
Calcule:
a) A+B+2(A-B)
b) -(B-3A) + 2(A+B)
c) xA + yB

2) Para las matrices A y B del ejercicio 1, halle “x” ∈ K2x2
, tal que:
a) (A-x) + (B-x) = 0
b) 3(A+x) + 2(x-B) = 0
c) 4(x-A) + 2(x-B) = A-B
3) Escribe explícitamente las siguientes matrices:
a) A = [ aij ] ∈ K3x3
/ aij = i + j
b) B = [ bij ] ∈ K3x3
/ bij = i - j
c) C = [ cij ] ∈ K3x2
/ cij = i - j
d) D = [ dij ] ∈ K3x3
/ dij = max { i , j }
4) Sí: 1 -1 1 2 -2 3 1 0 0
A = -1 1 -1 B = -2 3 4 I = 0 0 0
1 -1 0 -3 4 5 0 0 1
Calcule:
a) 2A-B+
2
1
(A+B)
b) A + B + I ;
c) 3(A+B)-(B-A)
5) Para las matrices A y B del ejercicio anterior, determine la matriz x ∈ K3x3
(x-A) + (x-B) = A+B

6) Sí: 1 -1 1 2 -2 3
A = -1 1 -1 B = -2 3 4
1 -1 0 -3 4 5
Determine la matriz X:
a) 2A + 3B – 5X = 0
b)
1
2
1
2
( ) ( )X A X B X− + − = −
7) Escribe en forma explícita las componentes de la matriz:
a) A = [ aij ] ∈ K3x3
/ aij = min {i, j}
b) B = [ bij ] ∈ K3x3
/ bij = 1-(i + j)
c) C = [ cij ] ∈ K2x3
/ cij =
i j−
2
d) D = [ dij ] ∈ K3x3
/ dij =
i
j
8) Resolver el sistema de ecuaciones :
2x - 5y = A
-4x + y = B , x, y ∈ K2x2
donde :
-8 -4 A =
, B =
4 -15
9) Halle a+b+c, sí:
158
4020
−−
−

5 2 1
3 4 6
8 5
7
3 5 4
9 3 8
−




 +
−
−





 =
−
−






b
a c

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