Hablaremos sobre la distribucion de las variables aleatorias discretas y ciertos ejemplos de su uso

1. UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL
TEMA: VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS
CARRERA: INGENIERIA INDUSTRIAL
ASIGNATURA: ESTADISTICA II

2. DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
TIPO: BINOMIAL
La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que nos
dice el porcentaje en que es probable obtener un resultado entre dos posibles
al realizar un número “n” de pruebas.
La probabilidad de cada posibilidad no puede ser más
grande que 1 y no puede ser negativa.
En estas pruebas deberemos tener sólo dos resultados
posibles.
Por ejemplo, si lanzamos un dado la posibilidad de que el resultado sea par
(2, 4 o 6) o impar (1, 3 o 5) será exactamente la misma si el dado está bien
equilibrado, el 50% y por muchas veces que lo lancemos la probabilidad, en
cada una de esas veces, seguirá siendo el 50%.

3. En la distribución binomial tenemos tres variables:
• “n” es el número de veces que repetimos el experimento.
• “p” es uno de los dos resultados al que llamaremos éxito.
• “q” es el otro resultado posible al que llamaremos fracaso
Como p y q son los dos únicos resultados posibles, entre
los dos su porcentaje debe sumar uno por lo que p=1-q
Por lo tanto, la distribución binomial se entiende como una
serie de pruebas o ensayos en la que solo podemos tener
2 resultados (éxito o fracaso), siendo el éxito nuestra
variable aleatoria.

4. La fórmula para calcular la distribución binomial es:
Donde:
n = Número de ensayos/experimentos
x = Número de éxitos
La distribución binomial es típica de las variables
que proceden de un experimento que cumple las
siguientes condiciones:
1. El experimento está compuesto de n
pruebas iguales, siendo n un número
natural fijo
2. Cada prueba resulta en un suceso que
cumple las propiedades de la variable
binómica o de Bernoulli
3. La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso)
es constante en todas las pruebas.
P(éxito) = p ; P(fracaso) = 1 - p = q
4. Las pruebas son estadísticamente
independiente

5. DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
TIPO: POISSON
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad
discreta que se aplica a las ocurrencias de algún evento durante un
periodo determinado.
¿Cómo saber si una distribución es de Poisson?
• La variable discreta “x” es el número de ocurrencias de un evento durante un intervalo
determinado (de tiempo, espacio, etc.).
• Las ocurrencias deben ser aleatorias y no contener ningún factor que favorezca unas ocurrencias
en favor de otras.
• Las ocurrencias deben estar uniformemente distribuidas dentro del intervalo que se emplee.
• Una propiedad importante de la distribución de Poisson es que, la suma de “n” variables de
Poisson independientes tendrán como resultado también una variable de Poisson, siendo su
parámetro la suma del valor de los parámetros originales.

6. EJEMPLO:

7. DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
TIPO: HIPERGEOMÉTRICA
La distribución hipergeométrica es una distribución discreta que modela el
número de eventos en una muestra de tamaño fijo cuando usted conoce el
número total de elementos en la población de la cual proviene la muestra.
Cada elemento de la muestra tiene dos resultados posibles (es un
evento o un no evento).
Las muestras no tienen reemplazo, por lo que cada elemento de la
muestra es diferente.

8. Se usa la distribución hipergeométrica para
muestras obtenidas de poblaciones relativamente
pequeñas, sin reemplazo.
La distribución hipergeométrica se define por 3
parámetros:
• Tamaño de la población
• Conteo de eventos en la población
• Tamaño de la muestra.
Por ejemplo, usted recibe un envío de pedido especial de
500 etiquetas. Supongamos que el 2% de las etiquetas es
defectuoso. El conteo de eventos en la población es de 10
(0.02 * 500). Usted toma una muestra de 40 etiquetas y
desea determinar la probabilidad de que haya 3 o más
etiquetas defectuosas en esa muestra. La probabilidad de
que haya 3 o más etiquetas defectuosas en la muestra es
de 0.0384.

9. Diferencia entre la distribución de tipo binomial y
hipergeométrica
Tanto la distribución hipergeométrica como la distribución binomial describen el número de
veces que un evento ocurre en un número fijo de ensayos.
Utilice la distribución binomial con poblaciones tan
grandes que el resultado de una prueba
prácticamente no tiene efecto sobre la probabilidad
de que el próximo resultado sea un evento o un no
evento.
Utilice la distribución hipergeométrica con
poblaciones que sean tan pequeñas que el
resultado de un ensayo tiene un gran efecto en la
probabilidad de que el próximo resultado sea un
evento o un no evento.

10. DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
TIPO: UNIFORME CONTINUA
es un tipo de distribución de probabilidad en la cual todos
los valores tienen la misma probabilidad de ocurrencia.
La distribución uniforme continua se utiliza para describir variables continuas que tienen
una probabilidad constante.
La distribución uniforme continua tiene dos
parámetros característicos, a y b, que definen
el intervalo de equiprobabilidad. Así pues, el
símbolo de la distribución uniforme continua
es U(a,b), donde a y b son los valores
característicos de la distribución. Por ejemplo, si el resultado de un experimento aleatorio
puede tomar cualquier valor entre 5 y 9 ytodos los
posibles resultados tienen la misma probabilidad de
ocurrir, el experimento se puede simular con una
distribución uniforme continua U(5,9).

11. FÓRMULA DE LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA
La función de densidad que define la
probabilidad de la distribución uniforme es uno
partido porla diferencia entre b y a.
Por otro lado, la función de probabilidad
acumulada de la distribución uniforme continua se
define mediante la siguiente expresión:

12. GRÁFICA DE LA DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA
Como en una distribución uniforme continua la probabilidad es constante, su
representación gráfica es simplemente una función con un valor constante definida en el
mismo intervalo que ladistribución uniforme.

13. CARACTERÍSTICAS
La distribución uniforme continua queda definida por dos
parámetros reales, a y b, que establecen los límites
dentro de los cuales la probabilidad es constante.
La distribución uniforme continua solo puede tomar
valores que se encuentren dentro del intervalo formado
por a y b, ambos incluidos.
La media de una distribución uniforme continua es igual a
la suma de sus dos parámetros característicos partido por
dos.
La varianza de una distribución uniforme continua es
equivalente al cuadrado de la diferencia entre b y a
dividido por doce.
La mediana de una distribución uniforme continua
coincide con su media, por lo que se calcula utilizando la
misma fórmula.

14. CARACTERÍSTICAS
La distribución uniforme continua es simétrica, por lo
tanto, el coeficiente de asimetría de este tipo de
distribución es nulo.
La curtosis de una distribución uniforme continua no
depende de sus parámetros, siempre vale -6 partido por
5.
La distribución uniforme estándar es aquella distribución
uniforme continua cuyos parámetros a y b valen 0 y 1
respectivamente.

15. DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
TIPO: EXPONENCIAL
La distribución exponencial se utiliza comúnmente para modelar el tiempo entre
eventos sucesivos y se caracteriza por tener una tasa de llegada constante.
Esta distribución es ampliamente utilizada en
diversos campos, como:
• La teoría de colas
• La fiabilidad de sistemas
• El análisis de supervivencia

16. La función de densidad de probabilidad (PDF) de una variable
aleatoria exponencial se define como:
f(x; λ) = λ * exp(-λ * x)
La función de distribución acumulada (CDF) se puede obtener
integrando la función de densidad de probabilidad:
F(x; λ) = 1 - exp(-λ * x)
λ es el parámetro de tasa
x es una variable aleatoria
continua no negativa
La media o valor esperado de una distribución
exponencial es 1/λ, mientras que la varianza es igual a
1/λ^2. Esto significa que a medida que aumenta la tasa de
llegada (λ), el tiempo promedio entre eventos sucesivos
disminuye.

17. EJEMPLO:
Supongamos que estamos analizando el tiempo de espera en una cola de un servicio de atención al
cliente. Se sabe que el tiempo de espera sigue una distribución exponencial con una tasa de llegada de
0.5 clientes por minuto. Queremos calcular la probabilidad de que un cliente espere más de 5 minutos.
En primer lugar, necesitamos determinar el parámetro λ basado en la tasa de llegada. En este caso, λ = 0.5
clientes por minuto.
Para calcular la probabilidad de que un cliente espere más de 5 minutos, debemos usar la función de
distribución acumulada (CDF):
P(X > 5) = 1 - F(5; 0.5)
Sustituyendo en la fórmula de la CDF:
P(X > 5) = 1 - (1 - exp(-0.5 * 5))
Simplificando la expresión:
P(X > 5) = exp(-2.5)
Calculando el valor numérico:
P(X > 5) ≈ 0.0821
Por lo tanto, la probabilidad de que un cliente espere más de 5 minutos en esta cola es aproximadamente 0.0821,
o 8.21%.

18. DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
TIPO: T STUDENT
La distribución t de Student o distribución t es un modelo teórico utilizado para
aproximar el momento de primer orden de una población normalmente distribuida
cuando el tamaño de la muestra es pequeño y se desconoce la desviación típica.
Función de densidad de la
distribución t con 3 grados
de libertad.

19. Aplicación de la t de Student
La distribución t se utiliza cuando:
 Queremos estimar la media de una población normalmente distribuida a partir de una muestra
pequeña.
 Tamaño de la muestra es inferior a 30 elementos, es decir, n < 30.
A partir de 30 observaciones, la distribución t se parece mucho a la distribución normal y, por tanto,
utilizaremos la distribución normal.
 No se conoce la desviación típica o estándar de una población y tiene que ser estimada a partir
de las observaciones de la muestra.