El documento habla sobre las integrales impropias. Explica que una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico o a infinito. También describe algunos tipos básicos de integrales impropias y sus propiedades, incluyendo criterios para determinar su convergencia como el criterio de comparación y el criterio de Dirichlet.

1. Andrés Fermín.
21.047.217
SAIA B.

2. En cálculo, una integral impropia es el límite de una
integral definida cuando uno o ambos extremos del
intervalo de integración se acercan a un número real
específico, a ∞, o a −∞. Además una integral definida es
impropia cuando la función integrando de la integral
definida no es continua en todo el intervalo de integración.
También se pueden dar ambas situaciones.

3. Las integrales impropias más básicas son integrales como:
Éstas no necesitan ser definidas como una integral impropia, ya que
pueden ser construidas como una integral de Lebesgue. Sin embargo,
para propósitos de calcular esta integral, es más conveniente tratarla
como un integral impropia, esto es evaluarla cuando el límite superior
de integración es finito y entonces coger el límite ya que este límite se
acerca a ∞. La primitiva de la función que está siendo integrada es
arctan x.
La integral es
por lo que el área bajo la curva nunca puede ser definida de forma
verdadera.

4. Considera
Esta integral involucra una función con una asíntota vertical en x = 0.
Uno puede obtener el valor de esta integral evaluándola desde b a 1, y
entonces tomando el límite como b tendiendo a 0. Nótese que la anti-
derivativa de la anterior función es
la cual puede ser evaluada por sustitución directa para dar el valor
El límite cuando b → 0 es 3 − 0 = 3.

5. ∫ Integrales impropias de primera especie.
El concepto de integral definida se refiere a funciones acotadas en intervalos cerrados [a,b], con a,b ∈
R. Este concepto se puede extender eliminando estas restricciones. Ello da lugar a las integrales
impropias.
Llamaremos integral impropia de primera especie aquella cuyo intervalo de integración es infinito, ya
sea de la forma (a,∞), (−∞,b) o bien (−∞,∞),pero la función está acotada. Para cada uno de los casos
indicados se define
y se dice que la integral impropia correspondiente es convergente si el límite existe y es finito y
divergente en caso contrario. Las siguientes propiedades son análogas a las correspondientes en las
integrales propias (sólo consideraremos el caso del intervalo (a,∞) pues el segundo caso se puede
reducir al primero con el cambio de variable t = −x y el tercer caso es combinación de los dos
anteriores al descomponer la integral en dos sumandos).

6. ∫ La convergencia de la integral no depende del límite de
integración real. Es decir
∫ Homogénea. Si es convergente, entonces es
convergente, para todo λ∈R y se cumple:
∫ Aditiva. Si convergen, entonces converge y
además

7. ∫ Integración por partes. Si f y g tienen derivadas de primer
orden continuas en [a,∞) y dos de los tres límites
existen, entonces el tercero también existe y se tiene que
∫ Si converge, entonces converge.
Esta última propiedad permite definir el concepto de
convergencia absoluta para el caso en que la función
integrando no tenga signo constante en [a,∞).

8. ∫ Criterio de comparación. Si f y g son funciones continuas
en [a,∞) y 0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀x>a, entonces
Por tanto, si converge, entonces converge.
∫ Comparación por paso al límite. Sean f y g continuas y no
negativas en [a,∞).

9. En muchos casos, debido a que converge si α>1 y
diverge si α ≤ 1 se aplica el criterio anterior con g(x) =
1/x^α
Este queda entonces así:
∫ Sea f una función continua y no negativa en [a,∞).
∫ Criterio de Dirichlet. Sean f una función continua con
primitiva F acotada ∀x ≥ a; y g una función decreciente con
derivada primera continua ∀x ≥ a.
Si

13. Si una función y = f(x) no está acotada en un intervalo [a,
b], no tiene sentido el concepto de integral definida de f en
[a, b]. Esta situación da lugar a las integrales impropias de
segunda especie; para definirlas, distinguimos los
siguientes casos: