1. Rapoarte, proporŃii,
proporŃii,
procente
Prezentarea noŃiunilor teoretice
noŃiunilor
Profesor Cristian IOVCIU

2. Rapoarte
Raportul a două numere a şi b cu b ≠ 0 este
a
câtul neefectuat dintre a:b ; notatie
b
Numerele a şi b se numesc termenii raportului.
Rezultatul impartirii (eventual fractie zecimala) lui a la b
se numeste valoarea raportului.

3. Exemple de rapoarte
Probabilitatea realizării unui eveniment
nrcazurilo rfavorabil e
p(A)=
nrcazurilo regalposib ile
Titlul unui aliaj
masa metalului preŃios
T= masa aliajului
ConcentraŃia unei substanŃe
C= masa soluŃiei
masa substanŃei
Scara unui plan
distanŃa din desen
S=
distanŃa din teren

4. ProporŃii
Egalitatea a două rapoarte se numeşte proporŃie.
In proporŃia a = c numerele a, b, c, d sunt
b d
termenii proporŃiei, iar b ≠ 0 şi d ≠ 0.
a şi d se numesc extremi , iar b şi c mezii
proporŃiei.

5. Proprietatea fundamentală a
proporŃiei
In orice proporŃie
produsul extremilor = produsul mezilor.
a c
= a×d =b×c
b d

6. Aflarea unui termen necunoscut al
unei proporŃii
produsul mezilor
un extrem=
celălalt extrem
produsul extremilor
un mez=
celălalt mez

7. ProporŃii derivate cu aceiaşi termeni
ProporŃiile derivate cu aceiaşi termeni se
obŃin din proporŃia dată prin:
- schimbarea mezilor între ei
- schimbarea extremilor între ei
- inversarea rapoartelor

8. ProporŃ
ProporŃii derivate cu alŃi termeni
Moduri de a obŃine proporŃii derivate cu alŃi termeni:
a c a ⋅k c⋅k a⋅k c
= = =
b⋅k d⋅k b d b⋅k d
a +b c+d
=
a c b d
=
a+b c+d a c
=
b d a −b c −d
=
a c b d
=
b−a d−c
a a+c a a−c
= =
b b+d b b−c
unde a, b, c, d, k sunt numere raŃionale şi avem condiŃiile ca
numitorii fiecărui raport să fie diferiŃi de zero.

9. Şir de rapoarte egale
Prin şir de rapoarte egale se înŃelege un număr
finit de rapoarte, astfel încât oricare două rapoarte
din şir să formeze o proporŃie.
Proprietate:
Dacă a1 , a2 ...an , b1 , b2 ...bn ∈ Q astfel încât
b1 ≠ 0 , b2 ≠ 0 ,..., bn ≠ 0 , b1 + b2 + ... + bn ≠ 0
a1 a2 a
atunci =
b1 b2
= ... = n = k ,
bn
si in plus , fiecare raport este egal cu raportul
a1 + a2 + ... + an
b1 + b2 + ... + bn

10. Procente
Se numeşte raport procentual un raport de
forma p = p % unde p este număr raŃional
100
pozitiv.
pozitiv.
p
Aflarea a p% dintr-un număr cunoscut 100 × a
dintr-
Aflarea unui număr când cunoaştem p% din el:
el:
Dacă p% dintr-un număr necunoscut x este b, atunci
dintr- necu
100 × b
x =
p
Calculul raportului procentual a = p = p%
b 100