Este documento explica conceptos básicos de álgebra como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas. También cubre cómo calcular el valor numérico de una expresión cuando se sustituyen valores a las variables. La suma y resta de monomios y polinomios sigue reglas de agrupar términos iguales. La multiplicación requiere descomponer en factores y la división implica multiplicar fracciones.
1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular
Para la Educación Universitaria Universidad Politécnica Territorial
del Estado Lara ``Andrés Eloy Blanco´´ Barquisimeto-Estado Lara.
Delgado Karley
C.I: 31.558.255
Chinchilla Andrea
C.I: 29.896.046
2. Suma, resta y valor numérico de expresiones algebraicas:
Suma:
En álgebra la suma es una de las operaciones fundamentales y la más básica,
sirve para sumar monomios y polinomios. La suma algebraica sirve para
sumar el valor de dos o más expresiones algebraicas. Como se trata de
expresiones que están compuestas por términos numéricos y literales, y con
exponentes.
Suma de monomios:
La suma de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un
polinomio.
Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la suma 2x + 4x, el resultado
será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este
caso, sin exponente). En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya
que, en ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x:
2x + 4x = (2+4)x = 6x
Cuando las expresiones tienen signos diferentes, se respeta el signo. Si es
necesario, escribimos la expresión entre paréntesis: (–2x) + 4x; 4x + (–2x).
Aplicando la ley de los signos, al sumar una expresión conserva su signo,
positivo o negativo:
4x + (–2x) = 4x – 2x = 2x.
En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener
la misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado
de la suma algebraica es un polinomio, formado por los dos sumandos. Para
3. distinguir la suma de su resultado, podemos escribir los sumandos entre
paréntesis:
(4x) + (3y) = 4x + 3y
(a) + (2a2) + (3b) = a + 2a2 + 3b
(3m) + (–6n) = 3m – 6n
Cuando en la suma hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas
literales y del mismo grado, se suman entre sí, y se escribe la suma con los
demás términos:
(2a) + (–6b2) + (–3a2) + (–4b2) + (7a) + (9a2)= [(2a) + (7a)] + [(–3a2) +
(9a2)] + [(–6b2) + (–4b2)] = [9a]+[ 6a2]+[ –10b2] = 9a + 6a2 – 10b2
Suma de polinomios:
Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas
de los diferentes términos que conforman el polinomio. Para sumar dos
polinomios, podemos seguir los siguientes pasos:
Sumaremos 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 con c + 6b2 –3a + 5b
Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el
signo de cada término:
4a +3a2 + 6b – 8b2
–3a + 5b + 6b2 + c
Agrupamos las sumas de los términos comunes:
[4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c
4. Efectuamos las sumas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o
corchetes. Recordemos que al ser suma, cata término del polinomio conserva
su signo en el resultado:
[4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c = a + 3a2 + 11b – 2b2 + c
Otra forma de ilustrar esto, es haciendo la suma en forma vertical, alineando
los términos comunes y realizando las operaciones.
Suma de monomios y polinomios: Como podemos deducir de lo ya
explicado, para sumar un monomio con un polinomio, seguiremos las
reglas revisadas. Si existen términos comunes, el monomio se sumará al
término; si no hay términos comunes, el monomio se agrega al
polinomio como un término más:
Si tenemos (2x + 3x2 – 4y) + (–4x2) Alineamos los términos comunes y
realizamos la suma:
Si tenemos (m – 2n2 + 3p) + (4n), realizamos la suma, alineando los términos:
m – 2n2 + 3p
4n
m +4n –2n2 +3p
Es recomendable ordenar los términos de un polinomio, para facilitar su
identificación y los cálculos de cada operación.
Resta:
La resta algebraica es una de las operaciones fundamentales en el estudio del
álgebra. Sirve para restar monomios y polinomios. Con la resta algebraica
5. sustraemos el valor de una expresión algebraica de otra. Por ser expresiones
que están compuestas por términos numéricos, literales, y exponentes.
Resta de monomios:
La resta de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un
polinomio.
Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la resta 2x – 4x, el resultado
será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este
caso, 1, o sea, sin exponente). Restaremos solo los términos numéricos, ya
que, en ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x:
2x – 4x = (2 – 4)x = –2x
Cuando las expresiones tienen signos diferentes, el signo del factor que
restamos cambiará, aplicando la ley de los signos: al restar una expresión, si
tiene signo negativo, cambiará a positivo, y si tiene signo positivo, cambiará a
negativo. Para no tener confusión, escribimos los números con signo
negativo, o incluso todas las expresiones, entre paréntesis: (4x) – (–2x).:
(4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x.
Debemos recordar además, que en la resta, el orden de los factores se debe de
tener en cuenta:
(4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x.
(–2x) – (4x) = –2x – 4x = –6x.
En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener
la misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado
de la resta algebraica es un polinomio, formado por el minuendo, menos el
6. sustraendo. Para distinguir la resta de su resultado, escribimos minuendo y
sustraendo entre paréntesis:
(4x) – (3y) = 4x – 3y
(a) – (2a2) – (3b) = a – 2a2 – 3b
(3m) – (–6n) = 3m + 6n
Cuando en la resta hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas
literales y del mismo grado, se restan entre sí, y se escribe la resta con los
demás términos:
(2a) – (–6b2) – (–3a2) – (–4b2) – (7a) – (9a2)= [(2a) – (7a)] – [(–3a2) – (9a2)]
– [(–6b2) – (–4b2)] = [–5a]–[ –10b2]–[ –6a2] = –5a + 12a2 +2b2
Resta de polinomios:
Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas
de los términos con diferentes literales y exponentes que conforman el
polinomio. Para restar dos polinomios, podemos seguir los siguientes pasos:
Restaremos c + 6b2 –3a + 5b de 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2
Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el
signo de cada término:
4a +3a2 + 6b – 8b2
–3a + 5b + 6b2 + c
Agrupamos las restas de los términos comunes, en el orden minuendo–
sustraendo: [(4a) –(–3a)] + 3a2 + [(6b) – (5b)] + [(– 8b2) – (6b2)] – c
7. Efectuamos las restas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o
corchetes. Recordemos que al ser resta, los términos del sustraendo cambian
de signo: [4a + 3a] + 3a2 + [6b – 5b] + [– 8b2 – 6b2] – c = 7a + 3a2 + b –
14b2 – c
Para comprender mejor el cambio de signos en la resta, podemos hacerla en
forma vertical, colocando el minuendo en la parte de arriba, y el sustraendo en
la parte de abajo:
4a +3a2 +6b -8b2
-3a +5b +6b2 +c
Como estamos realizando una resta, los signos del sustraendo cambiarán, por
lo que si lo expresamos como una suma en la que todos los signos del
sustraendo se invierten, entonces quedará así y resolvemos:
4a +3a2 +6b -8b2
3a +5b +6b2 +c
7a +3a2 +b -14b2 -c
Resta de monomios y polinomios:
Como podemos deducir de lo ya explicado, para restar un monomio de un
polinomio, seguiremos las reglas revisadas. Si existen términos comunes, el
monomio se restará al término; si no hay términos comunes, el monomio se
agrega al polinomio como la resta de un término más:
8. Si tenemos (2x + 3x2 – 4y) – (–4x2) Alineamos los términos comunes y
realizamos la resta:
m – 2n2 + 3p-4n
m -4n –2n2 +3p
(Recordemos que restar un número negativo equivale a sumarlo, es decir, se
invierte su signo)
Si tenemos (m – 2n2 + 3p) – (4n), realizamos la resta, alineando los términos:
2x +3x2 -4y
4x2
2x +7x2 -4y
Es recomendable ordenar los términos de un polinomio, para facilitar su
identificación y los cálculos de cada operación.
Valor numérico de expresiones algebraicas:
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de
sustituir las variables de la de dicha expresión por valores concretos y
completar las operaciones. Una misma expresión algebraica puede tener
muchos valores numéricos diferentes, en función del número que se asigne a
cada una de las variables de la misma.
La única precaución necesaria es respetar el orden y las propiedades de las
operaciones. Por ejemplo, no tiene sentido calcular el valor numérico de 1/x
para x=0, porque no se puede dividir entre cero. A continuación puedes ver
cómo se haría la sustitución para calcular el valor numérico de (3x+2y)/z para
x=2, y=-1 y z=4. Faltaría completar las operaciones (el resultado final es 1),
9. pero lo más importante es que te fijes en los elementos que se añaden al hacer
la sustitución: El punto del producto entre el 3 y el 2 (valor de x) y los
paréntesis de -1 (valor de y), que son necesarios para indicar la multiplicación
con el 2.
3x +2y 3 . 2 +2 (-1)
Z 4
El punto de la multiplicación se puede omitir entre el 2 y el -1 gracias a los
paréntesis, aunque escribirlo no sería un error.
Ejemplo:
Determine el valor numérico de:
a-) –x³ + 3x²-x+10 si x=2
Aquí sustituimos el valor de la variable "x" por su valor, que en este caso es
"2"
-X3 +3X2 - X + 10
-(2)3 +3(2)2 -2 + 10
-8 + 12 -2 + 10
-10 +22 = 12
b-) 2mn³ + 3m²+ n -5 Si m=3 n=-1
10. Aquí sustituimos los valores de la variable "m" y "n" por sus respectivos
valores.
2mn3 + 3m2 + n-5
2(3)(-1)3 + 3(3)2 + (-1) – 5
2(3)(-1) + 3(9) -6=
-6 + 27 -6=
-12 + 27= 15
Multiplicación de expresiones algebraicas:
La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas ciertas
cantidades llamadas multiplicandas y multiplicadoras, hallar una tercera
cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicado.
Reglas generales para multiplicar expresiones algebraicas:
1- Se descomponen en factores, todo lo posible, los términos de las
fracciones que se van a multiplicar.
11. 2- Se simplifica, suprimiendo los factores comunes en los numeradores
y denominadores.
3- Se multiplican entre si las expresiones que queden en los
numeradores después de simplificar, y este producto estará sobre el
producto de las expresiones que queden en los denominadores.
Ejemplo de multiplicación de facciones algebraicas:
Multiplicar las fracciones algebraicas:
Multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador
En el numerador sacamos factor común y transformamos el trinomio
cuadrado perfecto en un binomio al cuadrado
12. En el denominador el trinomio de segundo grado lo descomponemos
igualando a cero y resolviendo la ecuación y la diferencia de cuadrados se
pasa a suma por diferencia
Simplificando nos queda:
División de expresiones algebraicas:
El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica
cuyo numerador es el producto del numerador de la primera por el
denominador de la segunda, y como denominador el producto del
denominador de la primera por el numerador de la segunda
13. Ejemplos:
Multiplicamos el primer numerador por el segundo denominador y el primer
denominador por el segundo numerador
En el numerador sacamos factor común en el primer binomio y la diferencia
de cuadrados la trasformamos en una diferencia de cuadrados. En el
denominador el trinomio de segundo grado lo descomponemos resolviendo la
ecuación de segundo grado que resulta de igualarlo a cero y el trinomio
cuadrado perfecto lo transformamos en un binomio al cuadrado.
Simplificando nos queda:
14. Producto Notable:
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se
encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista;
es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente
porque son muy utilizados en los ejercicios.
Se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual
base, ocupamos la propiedad: “para multiplicar potencias de igual base, se
conserva la base y se suman los exponentes”.
Ejemplo:
(a+b)2 = a2 + b2 + 2ab
Factorización por productos notables:
Uno de los principales productos notables cuyos desarrollos se suelen
identificar con la expresión a factorizar si tiene tres términos es el producto de
binomios con un término en común, escrito para identificar
comox2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)con a y b números
enteros.
Para factorizar el trinomio buscamos dos números que sumados den el
coeficiente de xx y multiplicados el término independiente.
AAAAAAAAAAAAAMMM.
