1. Algebra – Cátedra Bernardello - FCE 2010
Unidad 1 - Estructuras Algebraicas
Ejercicios Adicionales de la Unidad 1
1) Sea A {a , b , c } y " " una operación definida en él , tal que :
a b c a) Analizar si es " " una L.C.I en A
a a b c b) Indicar cual es el elemento neutro.
b b c c c) Hallar, si existe, el inverso de cada elemento de A
c c b a d) Determine si " " es conmutativa en A.
2) Sea A {a , b , c} y " " una operación definida en él :
Completar la siguiente tabla sabiendo:
a b c a) " " es una L.C.I. en A.
a b) e = a es el elemento neutro.
b c) b’ = c y c’ = b
c c d) " " es conmutativa en A
3) Sea A {a , b , c , d} y " " una operación definida en él tal que
a b c d a) Analizar si " " es una L.C.I en A
a c a b a b) Indicar cual es el elemento neutro.
b a b c d c) Hallar, si existe, el inverso de cada elemento de A
c d c a b d) Determine si " " es conmutativa en A
d c d b a
4) Sea A {a , b , c, d} y " " una operación definida en él tal que:
a b c d Completar la siguiente tabla sabiendo:
a a) " " es una L.C.I. en A.
b c b b) e = a es el elemento neutro.
c c b c) a’ = a b’ = b c’= d y d’ = c
d c d) " " es conmutativa en A
5) Sea A { 1 ; 1} . Analizar si (A , +) y ( A , . ) tiene estructura de grupo siendo “+”
y “.” la suma y la multiplicación habitual respectivamente.
6) Sea A {x / x 3n n N0} .
Analizar si (A; .) tiene estructura de grupo siendo “.” la multiplicación habitual.
7) Indicar V ó F justificando la respuesta
La ley a * b = a – 2b es asociativa en Z.
8) Siendo A {x / x 4} . Analizar si ( A, . ) tiene estructura de grupo
abeliano y si la adición es ley interna en A
9) Defina una operación en el conjunto A = {m, p, q, r} que sea ley interna, que tenga
elemento neutro pero no inverso. Justificar
10) Sea G {x / 2 x 2} y " " el producto habitual en Z.
Probar que (G, ) tiene estructura de grupo abeliano.
Alicia Fraquelli – Andrea Gache 1

2. Algebra – Cátedra Bernardello - FCE 2010
Ejercicios Adicionales -Unidad 1
Respuestas
1) a) " " es una L.C.I en A
b) e = a.
c) a’= a , b’= no existe , c’= c
d) " " no es conmutativa en A.
2)
a b c a b c
a a b c a a b c
b b b a b b c a
c c a c c c a c
3) a) " " es una L.C.I en A
b) e = b.
c) a’= no existe , b’= b , c’= d , d’= c
d) " " no es conmutativa en A
4)
a b c d
a a b c d
b b a c b
c c c b a
d d b a c
5) (A, +) no es grupo. porque + no es ley interna en A.
(A, . ) es grupo abeliano
6) No es grupo, A no es simetrizable para la multiplicación
7) Falso
8) El conjunto es A { 4, 3, 2, 1, 0 , 1 , 2 , 3 , 4} entonces ( A, . ) no tiene estructura
de grupo abeliano , la multiplicación de elementos de A no es ley de composición
interna
La adición en A no es ley de composición interna
9) Sugerencia : Plantee el ejercicio usando una tabla a partir de la cual defina la
operación
10) Sugerencia: Se recomienda definir la operación mediante una tabla de doble
entrada.
Alicia Fraquelli – Andrea Gache 2