Editorial of Code Festival 2014 Morning Challenge (あさぷろ) Hard D

1. Rail Tour
@pepsin_amylase : 原案, テスト
@kawatea : テスト
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2. 問題
線分上でだけv 倍早く動ける最短経路
2
S
G

3. 問題
線分上でだけv 倍早く動ける最短経路
3
S
G

4. 最短経路として曲線はない
• 曲線の区間はすべて鉄道上でない
• 鉄道は直線なので
• すると曲線よりも直線のほうが必ず速い
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5. 最短経路の経由点は？
• 最短経路は折れ線になる（曲線なし）
• 折れ曲りうる経由点を洗い出して
最短経路に帰着したい
• 始点終点と鉄道の折れてる点は使いそう
• 鉄道に沿うルートが最短の時など
• これを駅と呼ぶことにします
• ほかは？
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6. 最短経路の経由点は？
• 場合分けして考えます
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駅
駅を除く
線路上
それ以外
駅○ ① ③
駅を除く
線路上① ② ③
それ以外③ ③ ③

7. ③どうでもいい点を途中で経由
• 以下のルートが最短経路だったとする
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駅でも線分上でもない点

8. ③どうでもいい点を途中で経由
• 点の取り方から、ルートは鉄道でない
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駅でも線分上でもない点
鉄道でない鉄道でない

9. ③どうでもいい点を途中で経由
• 赤のルートがより速いので矛盾
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駅でも線分上でもない点
鉄道でない鉄道でない

10. 最短経路の経由点は？
• 場合分けして考えます
10
駅
駅を除く
線路上
それ以外
駅○ ① ×
駅を除く
線路上① ② ×
それ以外× × ×

11. ②線路上から線路上
• 次のような設定で
所要時間をx, y で微分して頑張ると
極値は定義域の境界上= 駅のみに
限られることがわかる
• x, y の定義域に注意
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θ
s
t
x
y

12. 最短経路の経由点は？
• 場合分けして考えます
12
駅
駅を除く
線路上
それ以外
駅○ ① ×
駅を除く
線路上① × ×
それ以外× × ×

13. ①駅から線路上
• 次のような設定で
所要時間をx について微分すると
入射角が一定になることがわかる
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s
x
t

14. ①駅から線路上
• 三分探索してもOK です
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15. まとめ
• 次の頂点でグラフを作り最短経路
• 駅
• 駅から線路に入射角acos(1/v) の
直線を引いた交点
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16. 注意点
• 辺のコストに注意
• 同じ線分に載っている頂点に限り
速度v になる
• グラフの作り方に注意
• 頂点数は最大O(n2) になるので、
全部に辺を張るとTLE
• 駅でない点同士で結ぶ必要はない
• 三角不等式を考えればOK
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17. 情報
• Judge Solutions
• amylase (C++) : 141 lines
• kawatea (C++) : 243 lines
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