Presentación III Jornadas de Enseñanza de las Ciencias Básicas

1. Y Euler lo vio: 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐!!!
Ms. Ana María Teresa Lucca
Departamento de Matemática
Facultad de Ingeniería – UNPSJB
www.matematics.wordpress.com
II Jornadas de Enseñanza de las
Ciencias Básicas de la Patagonia Sur“
26 de Febrero – 01 de Marzo de 2018

2. Leonhard Euler (1707-1783)
𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐
Fórmula de Euler para poliedros
vértices aristas caras

3. 1570
Sir Henry Billingsley
POLYHEDRON

4. POLIEDRO
polys edra
muchos asiento – base – cara
"muchas caras"
Arquímedes

5. Ejemplos de Poliedros

6. Ejemplos de Poliedros
cubo

7. Ejemplos de Poliedros
pirámide - tetraedro

8. Ejemplos de Poliedros
icosaedro

9. Ejemplos de Poliedros
icosaedro truncado

10. Definición de Poliedro
Usted conoce uno
cuando lo ve.

11. Definición de Poliedro
Figura construida a partir de caras poligonales en la que…
 cada arista es compartida por exactamente dos caras
 desde cada vértice emanan al menos tres aristas

12. Ejemplos de Poliedros
Figura construida a partir de caras poligonales en la que…
 cada arista es compartida por exactamente dos caras
 desde cada vértice emanan al menos tres aristas

13. Figura construida a partir de caras poligonales en la que…
 cada arista es compartida por exactamente dos caras
 desde cada vértice emanan al menos tres aristas
Poliedros???

14. Figura construida a partir de caras poligonales en la que…
 cada arista es compartida por exactamente dos caras
 desde cada vértice emanan al menos tres aristas
Poliedros???

15. Figura construida a partir de caras poligonales en la que…
 cada arista es compartida por exactamente dos caras
 desde cada vértice emanan al menos tres aristas
Poliedros???

16. Figura construida a partir de caras poligonales en la que…
 cada arista es compartida por exactamente dos caras
 desde cada vértice emanan al menos tres aristas
Poliedros???

17. Un poliedro es convexo.
Cualesquiera
dos puntos en el objeto
pueden ser unidos
por un segmento de recta
que está completamente
contenido en el interior.

18. Ejemplos de Poliedros
Figura construida a partir de caras poligonales en la que…
 cada arista es compartida por exactamente dos caras
 desde cada vértice emanan al menos tres aristas
Cualesquiera dos puntos en el objeto pueden
ser unidos por un segmento de recta que está
completamente contenido en el interior.
Convexos

19. Figura construida a partir de caras poligonales en la que…
 cada arista es compartida por exactamente dos caras
 desde cada vértice emanan al menos tres aristas
Cualesquiera dos puntos en el objeto pueden
ser unidos por un segmento de recta que está
completamente contenido en el interior.
No convexos

20. Por ahora… y por razones históricas…
Poliedros Convexos

21. ¿Un poliedro es
sólido
o está hueco?

23. Hay exactamente cinco poliedros regulares

24. Hay exactamente cinco poliedros regulares
tetraedro

25. Hay exactamente cinco poliedros regulares
octaedro

26. Hay exactamente cinco poliedros regulares
icosaedro

27. Hay exactamente cinco poliedros regulares
cubo

28. Hay exactamente cinco poliedros regulares
dodecaedro

29. polígonos regulares
Un polígono es regular si
cada lado tiene la misma longitud
y todos los ángulos interiores
tienen la misma medida.

30. Atención…
POLÍGONOS REGULARES
Hay una infinidad
de polígonos regulares.
POLIEDROS REGULARES
Hay exactamente cinco
poliedros regulares.

31. ¿Cuáles son,
exactamente,
los criterios para que un
poliedro sea regular?

32. Poliedro regular
Un poliedro regular o sólido regular es un poliedro que satisface las siguientes
condiciones:
 El poliedro es convexo.
 Cada cara es un polígono regular.
 Todas las caras son congruentes (idénticas).
 Cada vértice está rodeado por el mismo número de caras.

33. Hay exactamente cinco poliedros regulares
 El poliedro es convexo.
 Cada cara es un polígono regular.
 Todas las caras son congruentes.
 Cada vértice está rodeado por el mismo número de caras.

34. Hay exactamente cinco poliedros regulares

35. 500 a.C. – Padua, Italia

36. Hay exactamente cinco poliedros regulares

37. Egipto – Período Ptolemaico

38. Hay exactamente cinco poliedros regulares

39. Desarrollo de la teoría de poliedros regulares
1. Construcción de los objetos.
2. Descubrimiento de la noción abstracta de regularidad.
3. Demostrar que sólo hay cinco sólidos regulares.

40. Los pitagóricos conocían a…
Teeteto de Atenas
(c. 417–369 a.C.)

41. Desarrollo de la teoría de poliedros regulares
1. Construcción de los objetos.
2. Descubrimiento de la noción abstracta de regularidad.
3. Demostrar que sólo hay cinco sólidos regulares.
Teeteto
Libro XIII de los Elementos de Euclides

42. Renacimiento Europeo – Siglo XV

43. Leonardo da Vinci
• Icosaedro truncado
• Dodecaedro pentaquis
De divina Proportione
(1509) Luca Pacioli

44. Jacopo de Barbari

45. Johannes Kepler (1571 – 1630)
Misterio Cósmico
1596
Saturno
Júpiter
Marte
Venus
Mercurio
Tierra

46. Siglo XVIII

47. 14 de Noviembre de 1750
Matemático
descubre arista
de poliedro!
Christian Goldbach
(1690 – 1764)
… las coyunturas donde dos caras se unen a
lo largo de sus lados, que, a falta de un
término aceptado, llamo 'aristas'

48. 1750
HASTA ENTONCES…
 Teoría de poliedros
puramente geométrica
 Centrada en propiedades métricas
AHORA…
 CLASIFICAR los poliedros
CONTANDO sus CARACTERÍSTICAS
estereometría

49. Para polígonos…

50. Para poliedros ?
ocho caras

51. Euler - 1750
La superficie de un poliedro se conforma
de componentes de 0, 1 y 2 dimensiones.
vértices
aristas
caras
ángulos sólidos acies
edra
1794
Adrien-Marie
Legendre

52. vértices – aristas – caras
𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐

53. Euler … 1750 – 1751 1758
𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐
No he sido capaz de
encontrar una demostración
firme de este teorema.
1

54. Euler … 1750 – 1751 1758
𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐
2
Poliedros Convexos

55. Legendre - 1794
𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐
geometría esférica

56. Cauchy - 1813
Augustin Louis Cauchy
(1789 – 1857)
𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐
Poliedros
Huecos

57. grafo

58. Consecuencia…
Poliedro No Convexo
𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 2

59. Los poliedros convexos satisfacen 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 2.
Pero hay más poliedros que la satisfacen.
Johann F. C. Hessel
(1796–1872)
Poliedros
eulerianos

60. Lhuilier – 1813 “excepciones”
𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 3 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 0 𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 4

61. Hessel – 1832 “excepciones” 5
𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 3
𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 3

62. Staudt – 1847
Karl G. C. von Staudt
(1798–1867)
𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐

63. 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐

64. 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐

65. TOPOLOGÍA

66. Topológicamente son lo mismo
𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐

67. Particionamos la superficie
62 vértices
132 aristas
72 caras
𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 2
𝜒(𝑆)
número de Euler de 𝑺
característica de Euler de 𝑺

68. 1924
Es posible particionar
cada superficie en
vértices, aristas y caras.
1943
El número de Euler
es independiente de
la elección de la partición.

70. Lhuilier – 1813 “excepciones”
𝑉 − 𝐴 + 𝐶 = 0
toro
𝜒 toro = 8 − 16 + 8 = 0

72. Botella de Klein
𝜒 botella de Klein = 0

73. matemática
griega
matemática
del siglo XX
Euler lo vio: 𝑽 − 𝑨 + 𝑪 = 𝟐!!!

74. II Jornadas de Enseñanza de las
Ciencias Básicas de la Patagonia Sur"
Ms. Ana María Teresa Lucca