1. Universidad Nacional Aut´onoma
de M´exico
Facultad de Ciencias
´ALGEBRA PARA LA F´ISICA
REPORTE DE
ACTIVIDAD DOCENTE
QUE PARA OBTENER EL T´ITULO DE:
Matem´atico
P R E S E N T A:
MARCO ANTONIO ACEVEDO CARDONA
M. EN C. ERICK JAVIER L´OPEZ S´ANCHEZ
2013
3. Agradecimientos
Agradezco de manera especial a mi director de este libro, Dr. Erick Javier
L´opez S´anchez, por el apoyo y las ense˜nanzas, por su paciencia al explicarme la
misma cosa hasta que las entend´ı, sin molestarse ni quejarse; por el apoyo durante
la realizaci´on de este material.
A mis sinodales, el Mat. Julio C´esar Guevara Bravo, el M. en C. Jos´e Antonio
G´omez Ortega, el Mat. Antonio Garc´ıa Flores y el M. en C. Sergio Hern´andez
Zapata, por la revisi´on, comentarios y sugerencias que enriquecieron el libro.
No puedo dejar de agradecer a mis pap´as, Jos´e Luis y Norma, por el apoyo
moral y econ´omico que sin condiciones me otorgaron durante toda la licenciatura.
A toda mi familia Luis Guillermo y Oscar Eduardo.
A la Dra. Bibiana Obreg´on, que siempre ha cre´ıdo en mi y por su valiosa
amistad que me ha brindado en tiempos dif´ıciles.
A mis amigos, Alberto, Ernesto, Od´ın, Ricardo, Beatriz y Elisa, por sus co-
mentarios oportunos de algunos ejercicios descritos en este material.
Este trabajo no habr´ıa sido posible sin el apoyo de Esther Anahi, con su
apoyo, preguntas sobre LATEX, ideas de redacci´on y de demostraciones, fueron de
gran ayuda, ¡gracias!
Por ´ultimo a mis amigos que laboran en el Instituto de Biolog´ıa, Daniel Juar´ez,
Daniel P´erez y Oscar Hern´andez; que siempre me han alentado y brindado su
apoyo en lo laboral y acad´emico.
iii
5. Introducci´on
Generalmente los alumnos que ingresan a la universidad y en particular a ca-
rreras de ciencias b´asicas como F´ısica, llegan con deficiencias en Matem´aticas,
m´as espec´ıficamente en ´Algebra. Los estudiantes de la licenciatura en F´ısica se
encuentran con el problema de que los libros y/o materiales did´acticos existen-
tes para la ense˜nanza del ´Algebra tienden a ser muy generales, ya que presentan
resultados con demostraciones que omiten algunos pasos que los autores los con-
sideran obvios, e incluyen pocos ejemplos ilustrativos, por lo que los alumnos se
desesperan, se decepcionan y llegan a abandonar la materia o/y la reprueban.
El objetivo de este trabajo es presentar un texto de apoyo en el cual se explican
detalladamente los procesos de demostraci´on, por m´as sencillas que parezcan, para
facilitar el entendimiento sobre los mecanismos mediante los cuales se demuestran
resultados, lo que le ser´a ´util al alumno para el estudio de otras materias incluidas
en el tronco com´un de la Facultad de Ciencias de la UNAM.
Desafortunadamente el plan de estudios 2002 de F´ısica no contempla las asig-
naturas de ´Algebra Superior I y II que s´ı contemplaba el plan 1968. En lugar de
ello, se propuso mezclar algunos de los temas de las dos asignaturas en una sola,
a la cual se le llam´o simplemente ´Algebra. En esta nueva asignatura, los temas
contemplados no satisfacen plenamente los requerimientos que se necesitan en ma-
terias de semestres posteriores. El material presentado en las dos asignaturas de
´Algebra Superior es m´as completo que el de ´Algebra y s´ı llega a satisfacer dichos
requerimientos. Entre los temas que se suprimieron en la nueva materia est´a el
de vectores y sus propiedades, necesarios para un mejor entendimiento y desem-
pe˜no del estudiante en el ´Algebra Lineal, asignatura en la cual los profesores que
la imparten, inician suponiendo que los alumnos tienen pleno conocimiento de
los espacios vectoriales; tema fundamental para el estudio del producto tensorial.
Tambi´en estas definiciones son de gran ayuda para entender los temas presen-
tados en materias posteriores propias de la F´ısica, tales como Mec´anica Cl´asica
(por ejemplo, en la segunda ley de Newton ⃗F = m⃗a, cuando la masa m no es ho-
mog´enea), Mec´anica de Fluidos (tensor de esfuerzos, ecuaciones de Navier-Stokes,
etc.), Electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell) o Mec´anica Cu´antica (opera-
v
6. vi
dores, espacios duales, etc.). Por lo que, sin el tema de los espacios vectoriales, el
temario de ´Algebra carece de las bases te´oricas para la licenciatura de F´ısica.
Al escribir estas notas para el curso de ´Algebra para la carrera de F´ısica que se
imparte en la Facultad de Ciencias de la UNAM, tuve en mente los objetivos de
cubrir el temario de la materia poniendo ejemplos tanto num´ericos como aplicados
a la F´ısica y desglosando algunas demostraciones que se presentan.
As´ı que propuse ejercicios para que el estudiante al terminar cada secci´on,
pueda aplicar las definiciones y/o los teoremas anteriormente expuestos para re-
solverlos.
Decid´ı incluir Espacios Vectoriales porque es un tema muy importante en la
F´ısica, adem´as en los cursos de ´Algebra Lineal I y II suele omitirse; en ocasiones
por la falta de tiempo y por lo extenso del temario, o bien, porque el profesor
suele darlo por visto, ya que debi´o verse en materias m´as b´asicas como ´Algebra
Superior; y en las materias de ´Algebra Superior I y II es parte del sus temarios
pero no profundizan con el pretexto de que lo ver´an m´as adelante en ´Algebra
Lineal.
El conjunto de las matrices, el conjunto de soluciones a los sistemas de ecua-
ciones lineales, el conjunto de los n´umeros complejos y el de los polinomios, son
ejemplos de espacios vectoriales. Este enfoque es gracias al cap´ıtulo de Espacios
Vectoriales. As´ı, el estudiante podr´a observar que los vectores no son s´olo puntos
en Rn.
En mi experiencia, los estudiantes suelen tener complicaciones en el tema de
Funciones, que tambi´en se ven en otras materias como C´alculo Diferencial y Geo-
metr´ıa Anal´ıtica. As´ı que en este trabajo se exponen como relaciones entre con-
juntos de n´umeros, se analizan y se muestra su clasificaci´on tratando de que se
vea la utilidad de entender conceptos como inyectividad, suprayectividad, etc., en
F´ısica. Por ejemplo, la funci´on exponencial tiene su dominio en todos los reales, sin
embargo, en un problema de decaimiento radiactivo el dominio real es el tiempo
cero, que indica el momento en el que se empez´o a medir la actividad radiactiva
del elemento. As´ı que el dominio f´ısico ser´a de cero a infinito.
En ese mismo ejemplo, la imagen de la funci´on exponencial es en realidad
los reales positivos, o lo que es lo mismo, el intervalo abierto: (0, ∞). Pero con
la restricci´on anterior, la funci´on se convierte en no suprayectiva si la imagen se
restringe al intervalo (0, A], donde A es la actividad medida al tiempo cero. Esa
no suprayectividad puede ser removida al redefinirse el codominio como la imagen.
Algunos ejemplos que explique, est´an relacionados con el C´alculo Diferencial e
Integral I; la cual es uno de los cursos que se imparte en la Facultad de Ciencias,
con el fin de que el estudiante vea la relaci´on del ´Algebra con otras materias o
´areas. Por ejemplo, con el tema de Aproximaci´on de Ra´ıces se trata de relacionar
una aplicaci´on de polinomios en computaci´on, ya que se puede utilizar una compu-
7. vii
tadora para realizar los c´alculos, que aveces se complican. Pero estos ejemplos no
requieren un conocimiento extenso sobre ´estas materias o ´areas.
Para muchos estudiantes el curso de ´Algebra constituye uno de sus primeros
cursos de matem´aticas reales, as´ı que como parte de la formaci´on, en el mis-
mo material did´actico se solicita a los estudiantes que no s´olo realicen c´alculos
matem´aticos, sino tambi´en que desarrollen demostraciones, con t´ecnicas como la
inducci´on matem´atica por ejemplo, t´ecnicas por construcci´on o directas. En estas
notas tambi´en intent´e alcanzar un equilibrio entre la pr´actica y la teor´ıa.
Inclu´ı una peque˜na secci´on de C´alculo Combinatorio, para ser m´as espec´ıfico,
Permutaciones, la cual lo utilic´e para dar la definici´on formal de la funci´on deter-
minante. Con esto pretendo que el formalismo expuesto ayude al estudiante, ya
que al momento de que ´el escribe las respuestas en un examen suele dar muchas
vueltas. Sin embargo se puede omitir la secci´on de Permutaciones, y se podr´a op-
tar por mostrar una definici´on equivalente del determinante, como por ejemplo,
el desarrollo por menores, tomando como base el determinante de una matriz de
2 × 2.
Decid´ı escribir estas notas para cubrir el temario de ´Algebra y para que el
estudiante tenga un material de consulta y apoyo. Este material podr´a ser ´util a
otros profesores de la Facultad de Ciencias que imparten el curso.
Este trabajo se podr´ıan utilizar como base para los cursos de ´Algebra Superior
I y II, complet´andolo al agregar los temas faltantes para estos cursos.
En cada cap´ıtulo, las definiciones, los ejemplos, los teoremas y algunas ecua-
ciones est´an numeradas consecutivamente a partir del n´umero 1. Las referencias
a los mismos; fuera o dentro del cap´ıtulo, se llevan a cabo por la notaci´on c.#,
donde c es el cap´ıtulo correspondiente y # es el lugar que ocupa en la numeraci´on
respectiva en el cap´ıtulo c. De esta forma, el ejemplo 2 del cap´ıtulo 3 tiene la nu-
meraci´on 3.2. Adem´as en la versi´on digital, cada referencia (definici´on, teorema,
ejemplo, etc.) tiene una liga para que con un clic se vaya a la p´agina en donde se
encuentra enumerada dicha referencia.
El enfoque que utilic´e al hacer el trabajo pretende ser de un aprendizaje gra-
dual, es decir, los dos primeros cap´ıtulos tienen los conceptos b´asicos que se van
utilizando en los cap´ıtulos posteriores. Tambi´en, por ejemplo, para resolver un
sistemas de ecuaciones son necesarios los cap´ıtulos de matrices y determinantes,
los cuales tienen las definiciones y teoremas requeridos para los sistemas de ecua-
ciones. As´ı mismo para el cap´ıtulo de polinomios se necesita el cap´ıtulo de los
n´umeros complejos.
Como en la mayor´ıa de los textos, la notaci´on en las definiciones, teoremas,
proposiciones, etc., la he resaltado con el fin de atraer la atenci´on del estudiante
y que ´este sea capaz de recordarla con mayor facilidad. Adem´as, en el cap´ıtulo
de sistemas de ecuaciones desarroll´e una notaci´on para referirme a las ecuaciones
8. viii
lineales (en), a los sistemas de ecuaciones (Em,n) y los homog´eneos (Hm,n), entre
otros (la notaci´on se explica en el apartado en el que se empieza a usar).
11. Cap´ıtulo 1
Conjuntos
El concepto de conjunto como objeto abstracto no se comenz´o a emplear en
matem´aticas sino hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre
la noci´on de infinito. En los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann se
comenz´o a tener ideas relacionadas con una visi´on conjuntista en la matem´atica.
Las contribuciones de Richard Dedekind al ´algebra estaban formuladas en t´ermi-
nos de conjuntos, que a´un prevalecen en la matem´atica moderna; por ejemplo, en
las relaciones de equivalencia, particiones, funciones, etc., y ´el mismo explic´o las
hip´otesis y operaciones relativas a conjuntos que necesit´o en su trabajo. As´ı, en
este cap´ıtulo desarrollaremos las operaciones que Dedekind desarroll´o.
La teor´ıa de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente
a Georg Cantor. [Eug52]
1.1. Notaci´on de conjunto
Definici´on 1.1 (Conjunto y elementos). Un conjunto es una lista, colecci´on o una
clase de objetos que est´an bien definidos. A los objetos les llamaremos elementos
del conjunto. Adem´as denotaremos a los conjuntos con letras may´usculas, y a sus
elementos (cuando ´estos sean letras) con min´usculas.
Definici´on 1.2 (Pertenencia). Diremos que un elemento x pertenece a un con-
junto A si ´este est´a en el conjunto, y lo denotaremos x ∈ A. De lo contrario
diremos que x no pertenece a A, denotado por x ∉ A.
Ejemplo 1.3. A = {a, e, i, o, u}, B = {las personas que viven en la tierra}, N =
los n´umeros naturales1, Z = los n´umeros enteros, Q = los n´umeros racionales, R =
1
Aqu´ı N = {0, 1, 2, ...}
1
12. 2 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS
los n´umeros reales y C = los n´umeros complejos, son ejemplos de conjuntos. Se
puede encontrar o construir una infinidad de conjuntos.
Definici´on 1.4 (Extensi´on y comprensi´on). Diremos que un conjunto A est´a de-
finido de manera extensiva si lista a todos sus elementos expl´ıcitamente, o bien,
diremos que est´a definido de manera comprensiva si se especifica una propiedad
que todos sus elementos poseen.
Ejemplo 1.5. Sea A = {2, 4, 6, 8} un conjunto, el cual est´a definido de ma-
nera extensiva, pero a su vez, tambi´en podemos definirlo como sigue, A = {n ∈
N n es par y n ≤ 8}, y de esta forma decimos que est´a en su forma comprensiva.
Observaci´on 1.6. ¿Cualquier colecci´on es un conjunto? Para contestar a la pre-
gunta hagamos el siguiente razonamiento.
Sea C el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a s´ı mismos. La
pregunta es: ¿C ∈ C?
Supongamos que la respuesta es s´ı. Si C pertenece a C (C ∈ C), entonces C
pertenece a s´ı mismo; por lo tanto no puede estar en C, que est´a definido como
el conjunto de conjuntos que no est´an en s´ı mismos, por lo tanto C ∉ C.
Por otro lado, supongamos que la respuesta es no, es decir, C no pertenece a C
(C ∉ C), entonces C no est´a en s´ı mismo, por lo tanto debe pertenecer al conjunto
de los conjuntos que no est´an en s´ı mismos, es decir, a C, por lo que C ∈ C, y es
una contradicci´on.
En este sentido el conjunto C no tiene elementos bien definidos, por lo que no
cumple con la Definici´on 1.1.
Por lo tanto no cualquier colecci´on es un conjunto.
1.2. Subconjunto
Definici´on 1.7 (Subconjunto). Sean A, B dos conjuntos. Diremos que B es un
subconjunto de A (denotado por B ⊆ A), si cada elemento x ∈ B tambi´en x ∈ A.
Si existe al menos un elemento de B que no pertenece a A, diremos que B no es
un subconjunto de A (denotado por B ⊈ A).
Ejemplo 1.8. Sean A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5}. Entonces utilizando la
Definici´on 1.7 tenemos que A ⊂ B. Sabemos tambi´en que N ⊆ Z y al igual que
R ⊆ C.
Definici´on 1.9 (El conjunto vac´ıo). El conjunto que no contiene elementos es
llamado vac´ıo. Lo denotaremos con ∅ = {}.
Teorema 1.10. El conjunto vac´ıo es un subconjunto de cualquier conjunto.
13. 1.3. OPERACIONES Y PROPIEDADES 3
Definici´on 1.11 (Igualdad de conjuntos). Sean A, B dos conjuntos. Diremos
que A es igual a B (denotada por A = B) si y s´olo si A ⊆ B y B ⊆ A.
Definici´on 1.12 (Subconjunto propio). Sean A, B ≠ ∅. Diremos que B es un
subconjunto propio de A (denotado por B ⊂ A), si B es un subconjunto de A y
B no es igual a A.
Definici´on 1.13 (Conjunto finito e infinito). Sea A ≠ ∅. Diremos que A es finito
si el n´umero de elementos es igual a n ∈ N, de lo contrario diremos que A es
infinito.
Esta definici´on es provisional, ya que en el Cap´ıtulo 2 se dar´a una m´as formal.
Ejemplo 1.14. Sea A = {los d´ıas de la semana} y B = {x ∈ N x es par} ¿Cu´al de
los conjuntos es finito y cu´al es infinito?.
Soluci´on de 1.14: Si contamos el n´umero de elementos de A, resulta que hay 7
elementos, por lo que A es un conjunto finito.
Ahora si suponemos que B es finito. Entonces podemos decir que existe k ∈ N
tal que el n´umero mayor2 de B es de la forma 2k, pero como k + 1 ∈ N entonces
2(k + 1) es par, pero 2(k + 1) ∉ B, lo cual es una contradicci´on. Por lo tanto B es
infinito.
1.3. Operaciones y propiedades
En esta secci´on daremos las operaciones b´asicas sobre los conjuntos y sus
propiedades.
Definici´on 1.15 (Uni´on de dos conjuntos). Sean A, B conjuntos. Diremos que la
uni´on de A y B (denotada por A∪B) es el conjunto cuyos elementos pertenecen
a A ´o B, en otras palabras, A ∪ B = {x x ∈ A ´o x ∈ B}.
Proposici´on 1.16 (Propiedades de la uni´on). Sean A, B y C conjuntos. La
operaci´on uni´on cumple las siguientes propiedades:
1. A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B.
2. A ∪ B = B ∪ A (conmutatividad).
3. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (asociatividad).
2
Si a y b son n´umeros enteros, decimos que a es mayor que b (b ≤ a) si a − b es un n´umero
natural.
14. 4 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS
Definici´on 1.17 (Intersecci´on de dos conjuntos). Sean A, B conjuntos. Diremos
que la intersecci´on de A y B (denotada por A∩B) es el conjunto cuyos elementos
pertenecen a A y B, en otras palabras, A ∩ B = {x x ∈ A y x ∈ B}.
De manera similar a la uni´on de conjuntos, la intersecci´on tiene las siguientes
propiedades.
Proposici´on 1.18 (Propiedades de la intersecci´on). Sean A, B y C conjuntos.
La operaci´on intersecci´on cumple las siguientes propiedades:
1. A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B.
2. A ∩ B = B ∩ A (conmutatividad).
3. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociatividad).
Definici´on 1.19 (Conjuntos ajenos). Sean A, B conjuntos. Diremos que son
ajenos si no tiene elementos en com´un, es decir, si A ∩ B = ∅ entonces A y B
son ajenos.
Proposici´on 1.20. Sean A, B y C conjuntos. Si B ⊆ A y C ⊆ A entonces
(B ∪ C) ⊆ A.
Demostraci´on. Sea x ∈ (B ∪C). Utilizando la Definici´on 1.7 debemos llegar a que
x ∈ A. As´ı que por definici´on tenemos que x ∈ B ´o x ∈ C. Si x ∈ B entonces x ∈ A
porque B ⊆ A. Si x ∈ C entonces x ∈ A porque C ⊆ A. Por lo tanto (B∪C) ⊆ A.
La Proposici´on 1.20 se puede esquematizar con el diagrama de Venn mostrado
en la Figura 1.1.
Figura 1.1: Esquematizaci´on de la Proposici´on 1.20.
Proposici´on 1.21. Sean A, B y C conjuntos. Si A ⊆ B y A ⊆ C entonces
A ⊆ (B ∩ C).
15. 1.3. OPERACIONES Y PROPIEDADES 5
Demostraci´on. Sea x ∈ A, entonces x ∈ B ya que A ⊆ B, adem´as x ∈ C porque
A ⊆ C, lo que nos lleva a que x ∈ B y x ∈ C, por la Definici´on 1.17 tenemos que
x ∈ (B ∩ C). Por lo tanto A ⊆ (B ∩ C).
La Proposici´on 1.21 tambi´en se puede esquematizar con el diagrama mostrado
en la Figura 1.2.
Figura 1.2: Esquematizaci´on de la Proposici´on 1.21.
Proposici´on 1.22 (Distribuci´on de la uni´on e intersecci´on). Sean A, B y C
conjuntos. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
1. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
2. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Demostraci´on. La idea para la demostraci´on de este inciso es probar la doble
contenci´on, es decir, para 1, que A∩(B∪C) ⊆ (A∩B)∪(A∩C) y (A∩B)∪(A∩C) ⊆
A ∩ (B ∪ C) y por la Definici´on 1.11 tendremos la igualdad.
1. ⊆). Sea x ∈ (A ∩ (B ∪ C)), entonces x ∈ A y x ∈ (B ∪ C), pero por definici´on
x ∈ B ´o x ∈ C, con esto tenemos dos casos:
a) Si x ∈ B y x ∈ A entonces x ∈ (A ∩ B). Luego x ∈ ((A ∩ B) ∪ (cualquier
conjunto)), en particular con (A∩C) tenemos que x ∈ ((A∩B)∪(A∩C)).
b) Si x ∈ C y como x ∈ A entonces x ∈ (A∩C). Luego x ∈ ((A∩C)∪(cualquier
conjunto)), en particular con (A∩B) tenemos que x ∈ ((A∩B)∪(A∩C)).
Por lo tanto (A ∩ (B ∪ C)) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
⊇). Del inciso 1 de la Proposici´on 1.18 tenemos que (A∩B) ⊆ A y (A∩C) ⊆ A;
y aplicando la Proposici´on 1.20 tenemos que (A∩B)∪(A∩C) ⊆ A. Por otro
lado, (A ∩ B) ⊆ B, y en general, (A ∩ B) ⊆ (B ∪ (cualquier conjunto));
en particular para el conjunto C, es decir, (A ∩ B) ⊆ (B ∪ C), y de igual
16. 6 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS
manera (A ∩ C) ⊆ C, y en general (A ∩ C) ⊆ (B ∪ C); por lo que tenemos
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A y (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ (B ∪ C), as´ı aplicando la
Proposici´on 1.21, tenemos que (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ (A ∩ (B ∪ C)).
Por lo tanto A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
2. Dado que la demostraci´on es muy similar a la del inciso anterior, se queda
como ejercicios para el estudiante.
Definici´on 1.23 (Complemento de un conjunto). Sea X el conjunto universal y
sea A un conjunto. Diremos que el complemento de A (denotado por Ac), es el
conjunto de todos los elementos x ∈ X y x ∉ A; es decir, Ac = {x x ∈ X y x ∉
A}.
Notemos que el complemento de un conjunto se define respecto a un conjunto
universal del cual se est´an tomando los conjuntos, en este caso, el conjunto A. Esto
es, que el conjunto X contiene a cualquier conjunto, en particular al conjunto A,
es decir, A ⊆ X.
Proposici´on 1.24 (Propiedades del complemento). Sea A un conjunto, X el
conjunto universal, entonces se cumplen las siguientes propiedades:
1. (Ac)c = A. 2. A ∪ Ac = X. 3. A ∩ Ac = ∅.
Demostraci´on. 1. Por demostrar (Ac)c = A. Sea x ∈ (Ac)c si y s´olo si x ∉ Ac
por definici´on de complemento, si s´olo si x ∈ A por definici´on de pertenencia.
Por lo tanto (Ac)c = A.
2. Por demostrar A ∪ Ac = X. La demostraci´on se deja al estudiante, y s´olo
debe utilizar la definici´on de complemento y uni´on de conjuntos.
3. Por demostrar A ∩ Ac = ∅. Sea x ∈ A ∩ Ac entonces x ∈ A y x ∈ Ac por
definici´on de intersecci´on, pero esto nos lleva a una contradicci´on, con lo
que podemos concluir que x ∈ ∅. Por lo tanto A∩Ac ⊆ ∅. Adem´as ∅ ⊆ A∩Ac
por la definici´on.
Ahora, teniendo ya las operaciones de uni´on, intersecci´on de conjuntos y el
complemento, podemos unir estas operaciones y obtener una proposici´on, que se
utiliza para muchos conceptos del ´algebra.
Proposici´on 1.25 (Leyes de D’Morgan). Sean A y B conjuntos. Entonces se
cumplen las siguientes propiedades:
17. 1.3. OPERACIONES Y PROPIEDADES 7
1. (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc. 2. (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc.
Demostraci´on. La demostraci´on la haremos por doble contenci´on, para poder usar
la Definici´on 1.11.
1. ⊇). Sea x ∈ (Ac ∩ Bc), entonces x ∈ Ac y x ∈ Bc por la Definici´on 1.17,
entonces x ∉ A ´o x ∉ B por la Definici´on 1.23, entonces x ∉ (A ∪ B) por la
Definici´on 1.15, y por ´ultimo tenemos que x ∈ (A ∪ B)c por la Definici´on
1.23.
⊆). Ahora, sabemos que A ⊆ A∪B y que B ⊆ A∪B por la Proposici´on 1.16,
entonces (A ∪ B)c ⊆ Ac y (A ∪ B)c ⊆ Bc (la demostraci´on de estas conse-
cuencias es sencilla, por lo que se queda como ejercicio para el estudiante),
aplicando la Proposici´on 1.21 tenemos que (A ∪ B)c ⊆ (Ac ∩ Bc).
Por lo tanto (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc.
2. Demostrar que dos conjuntos son iguales se puede hacer no solo por doble
contenci´on, se puede hacer utilizando las proposiciones ya vistas. La demos-
traci´on de este inciso se queda como ejercicio para el estudiante.
Definici´on 1.26 (Diferencia entre conjuntos). Sean A, B conjuntos. Diremos que
la diferencia entre A y B (denotada por A − B) es el conjunto cuyos elementos
x tales que x ∈ A y x ∉ B; es decir, A − B = {x x ∈ A y x ∉ B}.
Observaci´on 1.27. Notemos que el orden en c´omo se escriben los conjuntos
influye en el resultado, esto es, que la diferencia entre conjuntos no es conmutativa.
En otras palabras A − B ≠ B − A. El estudiante puede verificar que esto pasa
utilizando la definici´on.
Observaci´on 1.28. Notemos que si utilizamos la Definici´on 1.23 en la Definici´on
1.26 tenemos que A − B = A ∩ Bc. Esto es muy ´util en la siguiente proposici´on.
Proposici´on 1.29. Sean A, B y C conjuntos. Entonces A−(B∩C) = (A−B)∪
(A − C).
La demostraci´on se efectuar´a por medio de igualdades de conjuntos, dado que
las proposiciones que se utilizar´an ya fueron demostradas por doble contenci´on.
Pero tambi´en se puede hacer la demostraci´on usando la doble contenci´on.
18. 8 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS
Demostraci´on. Sean A, B y C conjuntos.
A − (B ∩ C) = A ∩ (B ∩ C)c
Definici´on 1.28.
= A ∩ (Bc
∪ Cc
) Proposici´on 1.25.
= (A ∩ Bc
) ∪ (A ∩ Cc
) Proposici´on 1.22.
= (A − B) ∪ (A − C) Definici´on 1.26.
Por lo tanto se vale la igualdad.
Ejercicios
1. De tres conjuntos cualesquiera y muestre que la Proposici´on 1.25 se vale con
los conjuntos dados.
2. De conjuntos cualesquiera y obtenga los conjuntos de acuerdo a las opera-
ciones definidas.
3. Demuestre que la Observaci´on 1.29 se cumple. Hint: demuestre la doble
contenci´on.
1.4. Conjunto potencia
Definici´on 1.30 (Conjunto potencia). Sea A un conjunto. El conjunto potencia
de A (denotado por P (A) o bien, 2A), es el que est´a formado por todos los
subconjuntos posibles de A.
Ejemplo 1.31. Sean A = {a, b} y B = {1, 2, 3}.
Entonces
P(A) = {{a, b}, {a}, {b}, ∅}.
Y para B
P(B) = {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, ∅}.
Observaci´on 1.32. Si A posee n elementos, entonces P(A) tendr´a 2n elementos.
Pero si es infinito entonces P(A) ser´a infinito. La demostraci´on de este hecho se
realizar´a como un ejemplo de la secci´on 2.9 del Cap´ıtulo 2.
Observaci´on 1.33. Del ejemplo 1.31, observamos que A, B son subconjuntos de
sus conjuntos potencia, respectivamente. Esto es porque A = A y por la Definici´on
1.11 tenemos que A ⊆ A; es decir, A es un subconjunto de P(A). Por lo tanto
A ∈ P(A).
19. 1.4. CONJUNTO POTENCIA 9
Ejercicios
1. Demostrar el inciso 2 de la Proposici´on 1.22.
2. Demostrar el inciso 2 de la Proposici´on 1.24.
3. Demostrar el inciso 2 de la Proposici´on 1.25.
4. Sean A, B conjuntos. Demostrar que (A∪B)c ⊆ Ac. Hint: considere el hecho
de que A ⊆ (A ∪ B).
5. Sean A, B conjuntos. Demostrar que Ac ⊆ (A∩B)c. Hint: considere el hecho
de que (A ∩ B) ⊆ A.
6. Calcule el conjunto potencia de A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
21. Cap´ıtulo 2
Funciones
El concepto de funci´on como un objeto matem´atico independiente, capaz de ser
estudiado por s´ı solo, surgi´o hasta los inicios del c´alculo en el siglo XVII. Ren´e Des-
cartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de funci´on como
una dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular cre´o los
t´erminos “funci´on”, “variable”, “constante” y “par´ametro”. La notaci´on f(x) se
utiliz´o por primera vez con Clairaut, y por Euler en la obra Commentarii impresa
en San Petersburgo en 1736. [CR96]
2.1. Relaciones entre conjuntos
Definici´on 2.1 (Pareja ordenada (Kuratowski)). Sean a y b ∈ A. Diremos que
una pareja formada por los elementos a y b es el conjunto {{a}, {a, b}} = (a, b).
Observaci´on 2.2. De la definici´on anterior podemos concluir que si dos parejas
son iguales, entonces sus elementos son iguales de acuerdo a sus posiciones; es
decir, si (a, b) = (c, d) entonces a = c y b = d. El estudiante debe ser capaz de
hacer la demostraci´on.
Ahora con los pares ordenados ya definidas, podemos enunciar ternas ordena-
das o triadas ordenadas de la manera siguiente:
(a, b, c) = ((a, b), c) = (a, (b, c)) = {{a}, {a, b}, {a, b, c}}
y as´ı, se pueden construir las n−´adas ordenadas.
Observaci´on 2.3. Si A = {a, b} entonces (a, b) = {{a}, {a, b}} ⊆ P(A) y tambi´en
(b, a) = {{b}, {a, b}} ⊆ P(A). Ahora bien si B = {x, y, z} entonces (x, y, z) =
{{x}, {x, y}, {x, y, z}} ⊆ P(B) y as´ı con cualquier triada que se pueda generar.
11
22. 12 CAP´ITULO 2. FUNCIONES
Por lo que una pareja o triada ordena de un conjunto A es un subconjunto del
conjunto potencia de A.
Ejemplo 2.4. Sean C = {1, 9, 72}, D = {{72}, {72, 1}, {72, 1, 9}} ⊆ P(C) y
E = {{72}, {9, 1}, {72, 1, 9}} ⊆ P(C). ¿Qu´e triadas ordenadas son los conjuntos
D y E? D es la triada (72, 1, 9), por definici´on. E no es una triada porque ninguno
de estos tres elementos: 72, 1, 9; aparece tres veces en los elementos de E para
definir al primer elemento de la triada, y ninguno aparece s´olo una vez para definir
al tercer elemento.
Definici´on 2.5 (Producto cartesiano). Sean A y B conjuntos. El producto car-
tesiano de A con B (denotadas por A × B), es el conjunto de todas las parejas
ordenadas, tales que la primer entrada es un elemento de A y la segunda es un
elemento de B, es decir, A×B = {(a, b) a ∈ A y b ∈ B}. Se denota a A×A = A2.
Observaci´on 2.6. As´ı como el conjunto potencia tiene 2n elementos, donde n es el
n´umero de elementos de un conjunto. El producto cartesiano de A con ´el mismo
tiene n2 parejas ordenas, el producto A3 tiene n3 parejas, y as´ı sucesivamente,
donde n es el n´umero de elementos de A.
Para mostrar que A2 tiene n2 parejas supongamos que A = {a1, ..., an}, en-
tonces las parejas ordena que podemos formar son (a1, ), ..., (an, ), y hay n
parejas con a1 como primer elemento, n con a2 como primer elemento, etc.
Entonces, sumando el n´umero total de las parejas tenemos:
n + ⋅⋅⋅ + n = n(1 + ⋅⋅⋅ + 1
n−sumandos
) = n(n) = n2
.
Por lo tanto hay n2 parejas ordenadas.
Ahora para mostrar que hay n3 triadas ordenadas en A3, utilicemos que una
triada ordenada la podemos definir como (a, (b, c)) = (a, b, c) como ya se hab´ıa
dicho y adem´as aplicaremos la idea anterior.
Como ya mostramos que hay n2 para A2 entonces tenemos que las triadas que
podemos formar con los elementos de A son (a1, ( , )), ..., (an, ( , )), y hay n2
triadas ordenadas con a1 como primer elemento, n2 con a2 como primer elemento,
etc.
As´ı, sumando el n´umero total de las triadas ordenadas tenemos:
n2
+ ⋅⋅⋅ + n2
= n2
(1 + ⋅⋅⋅ + 1
n−sumandos
) = n2
(n) = n3
.
Por lo tanto hay n3 triadas ordenadas.
Si el conjunto A es infinito, entonces el n´umero de parejas ordenadas tambi´en
ser´a infinito.
23. 2.1. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 13
Por ejemplo, sea A = {1, 2}, el A2 tiene 4 parejas ordenas, las cuales son
(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2).
Ejemplo 2.7. En este ejemplo veremos un conjunto que es utilizado en otras
´areas de las matem´aticas, el plano cartesiano.
1. Sea A = {1, 2} y B = {a, b, c}, entonces
A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}.
2. Sea N el conjunto de los n´umeros naturales, entonces
N × N = {(a, b) a,b ∈ N} = N2
.
3. Sea R el conjunto de n´umeros reales, entonces
R × R = {(a, b) a,b ∈ R} = R2
,
a este conjunto lo definimos como el plano cartesiano.
Definici´on 2.8 (Relaci´on). Sean A y B conjuntos. Una relaci´on entre A y B es
un subconjunto R del producto cartesiano A × B.
Ejemplo 2.9. En este ejemplo veremos que es lo que sucede cuando uno de los
conjuntos es vac´ıo.
1. Sean A = ∅ y B un conjunto cualquiera. Entonces A × B = ∅ por lo que
la ´unica relaci´on posible es R = ∅. Esto sucede porque el conjunto vac´ıo no
tiene elementos, si fuera diferente del vac´ıo entonces la Definici´on 2.5 no ser´ıa
correcta, y adem´as porque el vac´ıo es subconjunto de cualquier conjunto.
2. Sean A = {a} y B = {b}. Entonces A × B = {(a, b)} con lo que tenemos dos
relaciones, las cuales son R1 = ∅ y R2 = {(a, b)}.
3. Sean A = {1, 2} y B = {a, b}. Entonces
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
con lo que hay 16 relaciones posibles entre A y B, cada relaci´on Ri ⊆
P(A × B). Como ejercicios, el estudiante deber´a obtener las 16 relaciones
aqu´ı mencionadas.
4. Sea Z × Z. Entonces una relaci´on del producto cartesiano anterior ser´ıa R =
{(m, n) m − n es divisible por 3}. Diremos que a se divisible por b, con
a, b ∈ Z, si existe k ∈ Z tal que a = bk.
24. 14 CAP´ITULO 2. FUNCIONES
Definici´on 2.10 (Dominio, codominio e imagen). Sea R ⊆ A × B una relaci´on.
El dominio de R (denotado por DR), es el conjunto de todos los elementos de
A para los que existe un elemento en B de tal forma que (a, b) ∈ R; es decir,
DR = {a ∈ A ∃b ∈ B tal que (a, b) ∈ R}.
El codominio (o contradominio) de R (denotado por CR), es el conjunto B.
La imagen de R (denotado por ImR), es el conjunto de todos los elementos
de B tales que existe un elemento en A de forma tal que (a, b) ∈ R; es decir,
ImR = {b ∈ B ∃a ∈ A tal que (a, b) ∈ R}.
Ejemplo 2.11. Sean A = {a, b} y B = {1, 2, 3}. Sea R = {(a, 1), (a, 3)} una
relaci´on, entonces el dominio de R es DR = {a} y la imagen ImR = {1, 3}.
Definici´on 2.12 (Relaci´on de equivalencia). Sean R una relaci´on de A × A.
Diremos que R es de equivalencia si se cumplen:
1. Para todo a ∈ A la pareja (a, a) ∈ R (reflexiva).
2. Si (a, b) ∈ R entonces (b, a) ∈ R (sim´etrica).
3. Si (a, b) y (b, c) ∈ R entonces (a, c) ∈ R (transitiva).
Ejemplo 2.13. Sean A = N.
1. Sea R = {(x, y) x = y}, R es reflexiva porque x = y, que es lo mismo que
x = x por lo que (x, x) ∈ R. Tambi´en es sim´etrica porque si (x, y) ∈ R
implica que x = y pero y = x con lo que implica que (y, x) ∈ R. Y por ´ultimo
es transitiva ya que si (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ R, por una parte implica que
x = y y por la otra y = z con lo que tenemos que x = z, entonces (x, z) ∈ R.
Por lo tanto R es de equivalencia.
2. Sea R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}, R no es reflexiva porque (x,x) ∉ R,
con x ≠ 1,2. No es sim´etrica porque (x, y) ∉ R para x,y ≠ 1,2. No es
transitiva porque (x, y) ∉ R para x,y ≠ 1,2.
Ejercicios
1. Utilizando s´olo la Definici´on 2.1, demostrar que (a, b) = (c, d) si y s´olo si
a = c y b = d.
2. Obtenga las 16 relaciones del inciso 3 del Ejemplo 2.9 .
3. Demuestre que la R relaci´on del inciso 4 del Ejemplo 2.9 es de equivalencia.
4. Obtenga el dominio e imagen de la relaci´on del inciso 4 del Ejemplo 2.9.
25. 2.2. FUNCIONES 15
2.2. Funciones
A grandes rasgos, una funci´on es una regla de correspondencia que asigna a
cada elemento de un conjunto, un elemento de otro. Pero con el paso de esta
secci´on veremos las definiciones correctas para el concepto de funci´on. Mientras
veamos un peque˜no ejemplo, para una regla de correspondencia. [Mic93]
Ejemplo 2.14. 1. La regla que asigna a todo n´umero su cuadrado.
2. La regla que le asigna a cada x un n´umero y =
x + 1
x + 2
.
Definici´on 2.15 (Funci´on). Sean A y B conjuntos distintos del ∅. Diremos que
una relaci´on f es una funci´on que va de A hacia B (denotada por f A → B)
si:
1. Para todo x ∈ A existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ f, y
2. A cada elemento x ∈ A le corresponde uno y s´olo un elemento y ∈ B; es
decir, si (x, y1) y (x, y2) ∈ f implica que y1 = y2.
Existen varias definiciones para el concepto de “funci´on”, como la que enun-
ciaremos a continuaci´on.
Definici´on 2.16. Una funci´on f es una colecci´on de pares ordenados (n´ume-
ros), los cuales deben cumplir que, si (x, y1) y (x, y2) ∈ f con x, y1, y2 en un
conjunto, entonces y1 = y2.
Con la definici´on de lo que es una funci´on y con la Definici´on 2.10 podemos
decir que el conjunto A es el dominio y B es el codominio de f. Pero daremos una
definici´on m´as formal del dominio de f.
Definici´on 2.17 (Dominio de una funci´on). Si f es una funci´on, el dominio de
f (denotado por Df ; o bien, Domf ), es el conjunto de todos los a ∈ A para los
que existe alg´un b ∈ B tal que f(a) = b est´a bien definido.
Ejemplo 2.18. La funci´on
h(x) =
1
x
+
1
x + 1
,
tiene sentido si se hace la restricci´on de que x debe ser distinto de 0,−1; o bien,
podemos escribir de una manera m´as expl´ıcita h R − {−1,0} → R.
Si no se hiciera la restricci´on dir´ıamos que f no es un una funci´on.
Ejemplo 2.19. Sean f,g,h R → R dadas por las reglas de correspondencia,
f(x) = x2 − 2x + 4, g(x) =
√
x y h(x) =
1
x
.
26. 16 CAP´ITULO 2. FUNCIONES
Soluci´on de 2.19: De las tres reglas dadas s´olo f es funci´on, ya que g no est´a de-
finida para los n´umeros negativos y h no tiene sentido cuando x = 0.
Para que g fuese una funci´on bien definida, se deber´ıa restringir el dominio
como sigue g [0, ∞) → R.
De la misma manera se debe hacer para h y deber´ıa de quedar como h
R − {0} → R.
As´ı, las tres reglas son ahora funciones.
Definici´on 2.20 (Imagen de una funci´on). Sea f una funci´on; la imagen de f
(denotada por Imf ) es el conjunto de todos los elementos en B tales que existe
a ∈ A con f(a) = b; es decir, Imf = {b ∈ B ∃a ∈ A, tal que f(a) = b} ⊆ B.
Ejemplo 2.21. Del Ejemplo 2.19 podemos ver que la funci´on g tiene el dominio
Dg = [0, ∞) y una imagen Img = [0, ∞). As´ı mismo la funci´on h tiene Dh = R−{0}
y Imh = R − {0}.
Definici´on 2.22 (Igualdad de funciones). Sean f A → B y g C → D dos
funciones. Diremos que f y g son iguales si y s´olo si se cumple lo siguiente
1. A = C y B = D, 2. f(x) = g(x) para toda x ∈ A.
Ejemplo 2.23. Sean f [0, 2π] → [−1, 1] con la regla f(x) = sin(x +
π
2
) y
g [0, 2π] → [−1, 1] con la regla g(x) = cos(x).
Es f´acil ver que f = g, por lo que se queda como ejercicio para el estudiante.
Definici´on 2.24 (Suma, resta, multiplicaci´on y divisi´on de funciones). Sean f
A → B y g C → D funciones, definimos las siguientes operaciones:
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x),
2. (f − g)(x) = f(x) − g(x),
3. (f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x),
4. (
f
g
)(x) =
f(x)
g(x)
con g(x) ≠ 0.
Observaci´on 2.25. De las operaciones anteriores y de la Definici´on 2.15 podemos
concluir que x debe estar tanto en A como en C; es decir, Df+g = Df−g = Df⋅g =
A ∩ C, as´ı Df/g = (A ∩ C) − {x g(x) = 0}.
Ejercicios
1. Demuestre que las funciones f y g del Ejemplo 2.23 son iguales.
2. Como en la Observaci´on 2.25, piense y discuta cu´al puede ser el codominio
para las operaciones de la Definici´on 2.24.
27. 2.3. COMPOSICI ´ON DE FUNCIONES 17
2.3. Composici´on de funciones
Otra operaci´on entre funciones que es igual de importante como las definidas
anteriormente, es la composici´on de funciones, la cual es la aplicaci´on sucesiva de
funciones a ciertos elementos de un conjunto; es decir, elementos del domino para
ser precisos.
Definici´on 2.26 (Composici´on de funciones). Sean f A → B y g B → C
funciones. Diremos que la composici´on de g con f (denotado por g ○ f) es la
funci´on (g ○ f)(x) = g(f(x)) para toda x ∈ A. Leeremos el s´ımbolo g ○f como f
seguida de g.
Ejemplo 2.27. Sean f R → R con f(x) = x2 + 1 y g R → R con g(x) = 3x + 2.
Obtener la composici´on de f ○ g y g ○ f.
Soluci´on de 2.27: Lo primero es ver si la composici´on de las funciones es posible,
esto es, utilizar la Definici´on 2.26. Resulta que las funciones est´an definidas en
R, tanto en el dominio como en el codominio, por lo que s´ı se puede realizar la
composici´on.
Ahora procedemos a obtener las reglas de correspondencias para cada compo-
sici´on.
Sea x ∈ R, entonces
(g ○ f)(x) = g(f(x)) Definici´on 2.26
= g(x2
+ 1) sustituyendo el valor de f(x)
= 3(x2
+ 1) + 2 sustituyendo el valor de g(x)
= 3x2
+ 5 aritm´etica.
Por lo tanto (g ○ f)(x) = 3x2 + 5.
Se queda como ejercicio para el estudiante obtener la regla de correspondencia
para (f ○ g)(x).
Observaci´on 2.28. Sea f A → B una funci´on, donde A,B son conjuntos finitos.
Dado que son conjunto finitos podemos listar las correspondencias de los elementos
de A con los elementos de B, esto lo representaremos como sigue:
f = (
a1 a2 ... an
b1 b2 ... bm
).
28. 18 CAP´ITULO 2. FUNCIONES
Ejemplo 2.29. Sean A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2} y C = {c1, c2, c3} conjuntos,
sean f A → B y g B → C, dadas por
f = (
a1 a2 a3
b1 b1 b2
), g = (
b1 b2
c2 c3
),
entonces la composici´on g ○ f A → C est´a dada por
g ○ f = (
a1 a2 a3
c2 c2 c3
).
Definici´on 2.30 (La funci´on identidad). Sea A ≠ ∅. Diremos que la funci´on
identidad IA A → A est´a dada por IA(x) = x para toda x ∈ A.
Teorema 2.31. Sea f A → B una funci´on. Entonces f ○ IA = f y IB ○ f = f
con IA, IB las funciones identidades en A y B, respectivamente.
Demostraci´on. Sean f A → B, IA A → A y IB B → B funciones, con IA(x) =
x ∈ A, IB(y) = y ∈ B y f(z) ∈ B.
Es f´acil ver que, las funciones f ○IA = f y IB ○f = f tiene los mismos dominios
y codominios. S´olo falta ver que las reglas de correspondencias son las mismas
(por la Definici´on 2.22). Sea x ∈ A, entonces
(IB ○ f)(x) = IB(f(x)) Definici´on 2.26.
= f(x) definici´on de IB.
Ahora tenemos
(f ○ IA)(x) = f(IA(x)) Definici´on 2.26.
= f(x) definici´on de IA.
Por lo tanto son las mismas funciones.
Proposici´on 2.32 (Asociatividad de la composici´on). Sean A, B, C y D ≠ ∅,
conjuntos y sean f A → B, g B → C y h C → D funciones. Entonces
h ○ (g ○ f) = (h ○ g) ○ f.
Demostraci´on. El estudiante debe ser capaz de hacer la demostraci´on, y se puede
basar en la anterior, por lo que se queda como ejercicio.
29. 2.4. FUNCIONES INYECTIVAS, SUPRAYECTIVAS Y BIYECTIVAS 19
Ejercicios
1. Obtener la regla de correspondencia para la composici´on f ○ g del Ejemplo
2.27.
2. Demuestre la Proposici´on 2.32, utilizando las Definiciones 2.22 y 2.26.
2.4. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyec-
tivas
Las funciones pueden ser clasificadas, seg´un ciertas propiedades que cumplan.
La clasificaci´on de funciones son tres, las inyectivas, suprayectivas y biyectivas.
Daremos las definiciones de cada una a continuaci´on.
Definici´on 2.33 (Funci´on inyectiva). Sea f A → B una funci´on. Diremos que
f es inyectiva, si f(x) = f(y) con f(x) y f(y) ∈ B entonces x = y con x y
y ∈ A; o bien, si x, y ∈ A tales que x ≠ y, se sigue que f(x) ≠ f(y).
Definici´on 2.34 (Funci´on suprayectiva). Sea f A → B una funci´on. Diremos
que f es suprayectiva, si para todo y ∈ B existe un x ∈ A tal que f(x) = y; o
bien, si Imf = B.
Definici´on 2.35 (Funci´on biyectiva). Sea f A → B una funci´on. Diremos que
f es biyectiva, si es inyectiva y suprayectiva.
Ejemplo 2.36. Sea f R → R una funci´on dada por f(x) = x2. ¿Es biyectiva la
funci´on f(x)?
Soluci´on de 2.36: Por la Definici´on 2.35, hay que ver si f es inyectiva y supra-
yectiva.
Por un lado, f no es inyectiva, ya que f(−1) = f(1) = 1 pero −1 ≠ 1.
Por otro lado, f no es suprayectiva, ya que no existe un x ∈ R tal que f(x) =
−1 ∈ R; es decir, Imf = [0,∞) ⊆ R.
Por lo tanto f no es biyectiva.
Ejemplo 2.37. Sea f R → R una funci´on dada por f(x) = ax + b con a, b ∈ R y
a ≠ 0. ¿Es biyectiva la funci´on f(x)?
Soluci´on de 2.37: Hay que mostrar que f(x) es inyectiva y suprayectiva, para
mostrar que es una funci´on biyectiva.
30. 20 CAP´ITULO 2. FUNCIONES
Demostraci´on. Por un lado, f es inyectiva.
Sea x1,x2 ∈ R y f(x1) = f(x2). Por demostrar que x1 = x2. Tenemos:
f(x1) = ax1 + b Sustituci´on de f(x1).
= ax2 + b = f(x2) Hip´otesis y sustituci´on de f(x2).
ax1 + b = ax2 + b Transitividad de la igualdad.
Por lo tanto
x1 = x2 Aritm´etica.
Por otro lado, f es suprayectiva.
Sea y ∈ R. Por demostrar que existe x ∈ R tal que f(x) = y. Procedemos
a encontrar al elemento x, ayud´andonos con lo que debe cumplir, por lo que
tenemos:
y = f(x)
= ax + b Sustitucion de f(x).
y = ax + b Transitividad de la igualdad.
Despejando x, tenemos
x =
y − b
a
Aritm´etica.
La fracci´on
y − b
a
est´a bien definida, porque a, b ∈ R y adem´as a ≠ 0. Por lo tanto
f es suprayectiva, con lo que nos lleva a que f es biyectiva.
Observaci´on 2.38. Sea A ≠ ∅ un conjunto. Es f´acil ver que la funci´on IA es
biyectiva, lo cual el estudiante puede hacer la demostraci´on.
Proposici´on 2.39. Sean f A → B y g B → C dos funciones inyectivas.
Entonces g ○ f A → C es inyectiva.
Demostraci´on. Sea f A → B y g B → C funciones inyectivas. Sea g ○ f A → C
una funci´on y sean a1, a2 ∈ A.
Supongamos que g(f(a1)) = g(f(a2)). Por demostrar que a1 = a2.
Como g es inyectiva (es decir, si g(b1) = g(b2) entonces b1 = b2) tenemos que
f(a1) = f(a2), pero adem´as f es inyectiva, entonces a1 = a2.
Por lo tanto g ○ f es inyectiva.
31. 2.5. FUNCIONES INVERTIBLES 21
Proposici´on 2.40. Sean f A → B y g B → C dos funciones suprayectivas.
Entonces g ○ f A → C es suprayectiva.
Demostraci´on. Sean f A → B y g B → C dos funciones suprayectivas. Por
demostrar que g ○ f A → C es suprayectiva, es decir, para toda c ∈ C existe a ∈ A
tal que (g ○ f)(a) = c.
Sea c ∈ C. Por demostrar que existe a ∈ A tal que (g ○ f)(a) = c.
Como g es una funci´on suprayectiva, entonces existe b ∈ B tal que g(b) = c.
Por otro lado, f es tambi´en una funci´on suprayectiva, entonces para toda b ∈ B
existe a ∈ A tal que f(a) = b.
Por lo tanto, sustituyendo b = f(a) en g(b) = c, tenemos que g(b) = g(f(a)) = c
y por la Definici´on 2.26 tenemos que g(f(a)) = c = (g ○ f)(a).
Por lo tanto existe a ∈ A tal que (g ○ f)(a) = c.
Ejercicios
1. Demuestre la Observaci´on 2.38 utilizando las definiciones correspondientes.
2. Demuestre que si f,g son dos funciones biyectivas, entonces g○f es biyectiva.
3. Sean f A → B y g B → C funciones tales que g ○f es inyectiva. Demuestre
que f es inyectiva.
4. Sean f A → B y g B → C funciones tales que g ○ f es suprayectiva.
Demuestre que g es suprayectiva.
2.5. Funciones invertibles
De la clasificaci´on de las funciones, se puede desprender una clasificaci´on m´as,
las que son invertibles. Las funciones que tienen inversa, cumplen que son biyec-
tivas. As´ı que daremos la teor´ıa de las funciones invertibles a continuaci´on.
Definici´on 2.41 (Inverso derecho). Sea f A → B una funci´on. Si existe una
funci´on g B → A tal que g ○ f = IA diremos que g es inverso derecho de f.
Definici´on 2.42 (Inverso izquierdo). Sea f A → B una funci´on. Si existe una
funci´on h B → A tal que f ○ h = IB diremos que h es inverso izquierdo de f.
Definici´on 2.43 (Funci´on invertible). Sea f una funci´on. Diremos que f es
invertible si posee inverso izquierdo y derecho.
32. 22 CAP´ITULO 2. FUNCIONES
Teorema 2.44 (Unicidad de la funci´on inversa). Sea f A → B una funci´on
invertible. Si g y h son funciones de B en A inversas derechas e izquierdas,
entonces g = h.
Demostraci´on. Sean g B → A tal que g ○ f = IA y h B → A tal que f ○ h = IB,
es obvio que h y g tiene los mismos dominios y codominios. Entonces veamos que
tienen la misma regla de correspondencia. Tenemos:
g = g ○ IB Teorema 2.31.
= g ○ (f ○ h) sustituci´on de IB.
= (g ○ f) ○ h Proposici´on 2.32.
= IA ○ h sustituci´on de IA.
= h Teorema 2.31.
Por lo tanto g = h.
Definici´on 2.45 (La funci´on inversa). Sea f A → B una funci´on invertible.
Por el Teorema 2.44 diremos que g B → A es la funci´on inversa de f y la
denotaremos con f−1 = g.
En ocasiones el Teorema 2.44 no se cumple, esto es porque la funci´on dada
no tiene inversa izquierda o derecha, pero tambi´en se puede ver porque la dicha
funci´on no es biyectiva, lo cual veremos en los siguientes teoremas, pero antes,
tenemos los siguientes ejemplos.
Ejemplo 2.46. Sea f N → N dada por f(n) = n2 y g N → N dada por g(n) =
⟦
√
n⟧ (donde ⟦n⟧ es la funci´on mayor entero). Entonces tenemos que g ○ f = IZ,
sin embargo, f ○ g ≠ IZ. Veamos por qu´e.
Por un lado, tenemos:
(g ○ f)(n) = g(f(n)) = g(n2
) = ⟦
√
n2⟧ = ⟦ n ⟧ = n = IZ.
Obs´ervese que
√
n2 = n , por la definici´on del valor absoluto, y adem´as como n ≥ 0
tenemos que n = n.
Por otro lado:
(f ○ g)(n) = f(g(n)) = f (⟦
√
n⟧) = (⟦
√
n⟧)
2
;
es decir, si n = 2 entonces (f ○ g)(n) = 22 = 4 ≠ n.
Ejemplo 2.47. Sea f [0,∞) → [0,∞) dada por f(x) = x2. Verificar que f−1
[0,∞) → [0,∞) dada por f−1(x) =
√
x es la funci´on inversa de f.
33. 2.5. FUNCIONES INVERTIBLES 23
Soluci´on de 2.47: Por la Definici´on 2.45 tenemos que probar que f ○ f−1 = I[0,∞)
y que f−1 ○ f = I[0,∞).
Por un lado, sea x ∈ [0,∞), entonces (f ○ f−1)(x) = f(f−1(x)) = f(
√
x) =
(
√
x)2 = x; as´ı que f ○ f−1 = I[0,∞).
Por otro lado, sea x ∈ [0,∞), entonces (f−1 ○ f)(x) = f−1(f(x)) = f−1(x2) =√
x2 = x ; pero como 0 ≤ x, entonces x = x; es decir (f−1 ○ f)(x) = x, as´ı que
f−1 ○ f = I[0,∞).
Ahora, los siguientes teoremas nos ayudar´an a ver si una funci´on dada tie-
ne inversa izquierda, derecha o ambas, como lo hemos mencionado arriba, y la
existencia de la inversa depender´a de si es biyectiva.
Teorema 2.48. Sea f A → B una funci´on. f tiene inverso derecho si y s´olo si
es inyectiva.
Demostraci´on. ⇐) Sea f A → B una funci´on inyectiva. Por demostrar que f
tiene inverso derecho.
Como f es inyectiva tenemos que si b = f(a1) = f(a2) ∈ B entonces a1 = a2 ∈ A.
Definamos ahora g B → A tal que para alg´un b ∈ B g(b) = a1. Entonces a1 =
g(b) = g(f(a1)) = (g ○ f)(a1), pero tambi´en a2 = g(b) = g(f(a2)) = (g ○ f)(a2),
con lo que g est´a bien definida, por lo que g es el inverso derecho de f, ya que
g ○ f = IA.
⇒) Sea g B → A el inverso derecho de f y sea f(a1) = f(a2) ∈ B. Por
demostrar que a1 = a2 ∈ A.
Entonces tenemos:
a1 = IA(a1) Definici´on 2.30.
= g(f(a1)) Definici´on 2.41.
= g(f(a2)) hip´otesis.
= IA(a2) Definici´on 2.41.
= a2 Definici´on 2.30.
As´ı a1 = a2. Por lo tanto f es inyectiva.
Teorema 2.49. Sea f A → B una funci´on. f tiene inverso izquierdo si y s´olo
si es suprayectiva.
Demostraci´on. ⇒) Sea f A → B una funci´on, sea g B → A la inversa izquierda
de f y sea b ∈ B tal que g(b) = a para alg´un a ∈ A. Por demostrar que f es
suprayectiva, es decir, existe a ∈ A tal que f(a) = b para toda b ∈ B.
34. 24 CAP´ITULO 2. FUNCIONES
Como g es la inversa izquierda de f, tenemos que f ○ g = IB. Entonces b =
IB(b) = (f ○ g)(b) = f(g(b)) = f(a), por lo que f(a) = b. Por lo tanto f es
suprayectiva.
⇐) Sea f A → B suprayectiva, es decir, para toda b ∈ B existe a ∈ A tal que
f(a) = b. Por demostrar que f tiene inverso izquierdo.
Sea g B → A una funci´on tal que g(b) = a para alguna b ∈ B y a ∈ A. Entonces
tenemos que b = f(a) = f(g(b)) = (f ○ g)(b), por lo tanto f ○ g = IB. As´ı que g es
la inversa izquierda de f.
Corolario 2.50. Sea f A → B una funci´on. f es invertible si y s´olo si es
biyectiva.
Demostraci´on. La demostraci´on se deja al estudiante y solo debe aplicar algunos
teoremas de ´esta secci´on.
Ejercicios
1. Para cada uno de los siguientes incisos, muestre que la funci´on g es la inversa
de f.
a) Sea f (−∞,0] → [0,∞) dada por f(x) = x2; g [0,∞) → (−∞,0] dada
por g(x) = −
√
x.
b) Sea f R → R dada por f(x) = ax + b; g R → R dada por g(x) =
x − b
a
.
c) Sea f (0,∞) → R dada por f(x) = log2 x; g R → (0,∞) dada por
g(x) = 2x.
2. Demuestre el Corolario 2.50.
2.6. Cardinalidad de un conjunto
En secciones anteriores, hemos hablado impl´ıcitamente del n´umero de elemen-
tos de un conjunto, como en la Observaci´on 1.32. Saber el n´umero de elementos
es de gran utilidad, por ejemplo; el conjunto soluci´on de un sistema de ecuaciones
lineales puede tener m´as de una soluci´on, y como se ver´a en el Cap´ıtulo 6, a partir
de dos soluciones se podr´a describir el resto de los elementos del conjunto.
Definici´on 2.51 (Cardinalidad de un conjunto). Sea A ≠ ∅. Diremos que la
cardinalidad o el n´umero cardinal de A (denotado por #A) es el n ∈ N, para el
cual existe una funci´on biyectiva f In → A donde In = {1, 2, ..., n}.
35. 2.7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 25
Definici´on 2.52 (Conjuntos equipotentes). Sean A y B conjuntos distintos del
∅. Diremos que A y B son equipotentes o que tienen la misma cardinalidad si
existe una funci´on f A → B; o bien, f B → A biyectiva.
Ejemplo 2.53. Sea A = N y B = {3x x ∈ N}. Entonces, el conjunto A tiene
la misma cardinalidad que B, ya que existe una funci´on f A → B dada por
f(x) = 3x, la cual es biyectiva, como ya se hab´ıa mostrado.
Ejercicios
1. Demuestre que los siguientes conjuntos tienen la misma cardinalidad
a) N,
b) Z,
c) {n2 n ∈ Z},
d) {2n n ∈ Z}.
2.7. Conjuntos finitos e infinitos
En el Cap´ıtulo 1 se dio la Definici´on 1.13, la cual define a un conjunto finito
e infinito. Ahora ampliaremos esa definici´on y separaremos esa idea muy general
en definiciones m´as precisas.
Definici´on 2.54 (Conjunto finito). Sea A ≠ ∅. Diremos que A es finito (denotado
por #A < ∞), si existe una funci´on f In → A biyectiva.
Definici´on 2.55 (Conjunto infinito). Sea A ≠ ∅. Diremos que A es infinito
(denotado por #A = ∞), si no existe una funci´on f In → A biyectiva.
Definici´on 2.56 (Conjunto infinito numerable y no numerable). Sea A ≠ ∅.
Diremos que A es infinito numerable si existe una funci´on f N → A biyectiva.
Si no existe tal funci´on, diremos que A es no numerable.
Observaci´on 2.57. De las definiciones 2.54 y 2.56 podemos concluir que si A es
finito, entonces le podemos llamar tambi´en finito numerable.
Proposici´on 2.58. Sean A, B conjuntos y sea f A → B una funci´on. Si f es
inyectiva entonces #A ≤ #B. Si f es suprayectiva entonces #A ≥ #B.
Demostraci´on. Sea A = {a1,...,an} con ai distintas con #A = n.
Los elementos f(a1), ..., f(an) ∈ B son distintos ya que si i ≠ j y f(ai) = f(aj)
tendr´ıamos que ai = aj porque f es inyectiva, esto nos llevar´ıa a una contradicci´on
por la construcci´on de A. Por lo tanto B tiene al menos n elementos.
36. 26 CAP´ITULO 2. FUNCIONES
Ahora sea B = {b1, ..., bm} con bi distintas con #B = m.
Como f es suprayectiva tenemos que existen ai ∈ A tales que f(ai) = bi, los m
elementos ai son distintos entre s´ı, ya que si ai = aj tendr´ıamos que f(ai) = f(aj);
es decir, bi = bj, lo que nos llevar´ıa a una contradicci´on por la construcci´on de B.
Por lo tanto A tiene al menos m elementos.
Ejemplo 2.59. Es f´acil ver que el conjunto N es infinito numerable, ya que existe
una funci´on biyectiva que es IN N → N con la regla IN(n) = n.
Ejercicios
1. Demuestre que los siguientes conjuntos son infinitos numerables.
a) Z = {..., −1, 0, 1, ...}, b) Q = {
p
q
p ∈ Z,0 ≠ q ∈ N}.
2. Piense y comente c´omo podr´ıa mostrar que el conjunto I (el conjunto de
n´umeros irracionales) es infinito no numerable.
2.8. Funciones entre conjuntos finitos
Como se mencion´o en la Observaci´on 2.28, escribir funciones entre conjuntos
finitos, es b´asicamente escribir qui´en est´a relacionado con qui´en. Tambi´en las
funciones entre conjuntos finitos cumple las mismas operaciones, propiedades y
teoremas que las funciones entre conjuntos infinitos.
Tomando las bases ya vistas en las secciones previas s´olo queda hacer ejercicios
para afirmar los conocimientos adquiridos, pero ahora ser´a tomando en cuenta a
los conjuntos finitos, as´ı ser´a m´as f´acil entender lo que se ha visto hasta ahora.
Ejercicios
Para los siguientes incisos, considere A, B y C conjuntos finitos y distintos del
vac´ıo. Sean f A → B y g B → C dos funciones, y sea g ○ f A → C el resultado
de la composici´on de f con g. De las reglas de correspondencia de f y g tales que:
1. f es inyectiva y g ○ f no sea inyectiva.
2. g es suprayectiva y g ○ f no sea suprayectiva.
3. f es inyectiva, g es suprayectiva y g ○ f no es inyectiva ni suprayectiva.
37. 2.9. INDUCCI ´ON MATEM ´ATICA 27
4. f no es suprayectiva, g no es inyectiva y g ○ f es biyectiva.
Hint: recuerde la notaci´on utilizada en la Observaci´on 2.28 y que los conjuntos
son finitos.
2.9. Inducci´on matem´atica
Cuando un enunciado requiere ser demostrado y est´an involucrados los n´ume-
ros naturales, hay un tipo de t´ecnica para demostrar dicho enunciado, se llama
inducci´on matem´atica.
Definici´on 2.60 (Principio de inducci´on). Sea M ⊆ N tal que se cumplen lo
siguiente:
1. 1 ∈ M, 2. Si n ∈ M entonces n + 1 ∈ M.
Entonces M = N.
En otras palabras lo que nos dice el principio es que si un subconjunto M ⊆ N
contienen al 1 y contiene a n + 1 cada vez que n ∈ M, entonces M es todo el
conjunto de n´umeros naturales.
Este principio lo utilizaremos para demostrar enunciados en los cuales inter-
vengan los n´umeros naturales. As´ı, el principio de inducci´on lo podemos traducir
en lo siguiente:
Definici´on 2.61 (Equivalencia del principio de inducci´on). Sea P (n) un enun-
ciado, con n ∈ N. Los siguientes pasos son necesarios y suficientes para efectuar
la demostraci´on:
1. Se demuestra la validez de P (1),
2. Sup´ongase que P (n) es valida (hip´otesis de inducci´on), por demostrar P (n+
1) es valido.
Habiendo establecido la teor´ıa veamos unos peque˜nos ejemplos.
Ejemplo 2.62. Demostrar por inducci´on matem´atica que P(n) =
n
∑
i=1
i =
n(n + 1)
2
.
Soluci´on de 2.62: Como demostraremos el enunciado por inducci´on matem´atica,
el segundo paso se puede dividir en dos para que se tenga m´as claro que es lo que
se est´a haciendo.
38. 28 CAP´ITULO 2. FUNCIONES
1. Por demostrar para P(1), lo cual es claro, ya que
1
∑
i=1
i = 1 =
1(1 + 1)
2
.
2. Supongamos que el enunciado P(n) es valido, es decir;
n
∑
i=1
i =
n(n + 1)
2
.
3. Ahora debemos mostrar que se cumple para P(n + 1). En este ejemplo em-
pezamos por la hip´otesis de inducci´on, tenemos:
n
∑
i=1
i + (n + 1) =
n+1
∑
i=1
i sumar n + 1 a la H.I.
=
n(n + 1)
2
+ (n + 1) igualdad de la H.I.
=
n(n + 1)
2
+
2(n + 1)
2
=
n(n + 1) + 2(n + 1)
2
=
(n + 1)[(n + 1) + 1]
2
=
(n + 1)(n + 2)
2
por aritm´etica.
Por lo tanto se cumple P(n + 1).
Con esto se termina la demostraci´on del enunciado P(n).
Ejemplo 2.63. Sea P(n) = 1 + nx ≤ (1 + x)n; con −1 ≤ x ∈ R. Demuestre que
P(n) es valido para cualquier n ∈ N
Soluci´on de 2.63: La demostraci´on se har´a con inducci´on matem´atica.
1. Por demostrar que P(1), lo cual es claro, ya que 1 + 1x = (1 + x)1.
2. Supongamos que el enunciado P(n) es valido, es decir; 1 + nx ≤ (1 + x)n.
3. Ahora debemos mostrar que se cumple para P(n + 1). Empezamos por la
hip´otesis de inducci´on, tenemos:
(1 + x)n
(1 + x) = (1 + x)n+1
multiplicar a la H.I por (1 + x).
≥ (1 + x)(1 + nx) porque 0 ≤ 1 + x.
= 1 + nx + x + nx2
por aritm´etica.
≥ 1 + nx + x porque 0 ≤ nx2.
= 1 + (n + 1)x por aritm´etica.
39. 2.9. INDUCCI ´ON MATEM ´ATICA 29
y tenemos que:
(1 + x)n+1
≥ 1 + (n + 1)x, transitividad.
por lo tanto se cumple el enunciado P(n + 1).
Con esto se termina la demostraci´on del enunciado P(n).
Ahora vamos a demostrar lo que se afirm´o en la Observaci´on 1.32 y la demos-
traci´on se realizar´a por inducci´on sobre el n´umero de elementos del conjunto.
Ejemplo 2.64. Sea A un conjunto con n elementos. Por demostrar que P(A)
tiene 2n elementos.
Soluci´on de 2.64:
1. Por demostrar que si A tiene un elemento, entonces P(A) = 2.
Supongamos que A = {a1}, entonces P(A) = {∅, {a1}}, con lo que P(A)
posee 2 = 21 elementos.
2. Supongamos que la afirmaci´on es valido para un conjunto A = {a1, ..., an}
de n elementos.
3. Debemos mostrar que se cumple para un conjunto A = {a1, ..., an+1} de
n + 1 elementos.
Sea ai ∈ A un elemento arbitrario. Es claro que A−{ai} posee n elementos y
por la hip´otesis tenemos que P(A−{ai}) posee 2n elementos. Sea N ∈ P(A)
cualquier subconjunto. Para el subconjunto N, N ∈ P(A − {ai}) si y s´olo si
pasa una de las dos cosas siguientes:
a) N permaneci´o igual en A − {ai}, es decir; ai no era elemento de N,
b) N proviene de cierto conjunto N′ = N∪{ai}, es decir; ai era un elemento
de N.
Conforme se hace variar a los subconjuntos de A y de acuerdo con las op-
ciones anteriores obtendremos a todos los subconjuntos de A − {ai}. Por lo
que P(A) tendr´a 2 por el n´umero de elementos de P(A − {ai}), es decir,
2 ⋅ 2n = 2n+1.
Por lo tanto se cumple la afirmaci´on dada en la Observaci´on 1.32.
40. 30 CAP´ITULO 2. FUNCIONES
Ejercicios
Demostrar los siguientes ejercicios:
1. P(n) =
n
∑
i=1
6i = 3n(n + 1).
2. P(n) =
n
∑
i=1
1
(2i − 1)(2i + 1)
=
n
2n + 1
.
3. P(n) =
n−1
∑
i=0
(a + id) =
n[2a + (n − 1)d]
2
; con a, b ∈ R.
4. P(n) =
n−1
∑
i=0
5i
=
5n − 1
4
.
5. P(n) =
n
∑
i=1
i2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
.
6. P(n) =
n
∑
i=1
1
n(n + 1)
=
n
n + 1
.
7. P(n) =
n
∑
i=1
i3
= [
n(n + 1)
2
]
2
.
8. P(n) = 2n < n2 + 2
9. P(n) = n! ≥ 2n; donde n! = 1⋯n es el factorial de un n´umero y 0! = 1.
10. P(n) = zn = (r(cosθ + isinθ))n = rn(cos(nθ) + isin(nθ)), donde i2 = −1.
11. P(n) =
n
∑
i=1
ai =
(a1 + an)n
2
; donde ai+1 − ai = r para toda i, con ai ∈ R.
12. P(n) =
n−1
∑
i=0
xi
=
xn − 1
x − 1
; donde 1 ≠ x ∈ R.
Aplicaci´on hacia la F´ısica
Ejemplo 2.65. Supongamos que la respiraci´on de un corredor se puede modelar
como una funci´on seno, donde la inhalaci´on es la parte positiva de la funci´on y la
exhalaci´on es la parte negativa. Si se coloca un sensor de flujo de aire en la boca
y nariz del corredor, s´olo se registrar´a que el aire pas´o por el sensor, pero no se
41. 2.9. INDUCCI ´ON MATEM ´ATICA 31
sabr´a si inhal´o o exhal´o, as´ı que s´olo se ver´an en el registro valores positivos. Se
hace la medici´on durante 18.85s (≈ 6πs). La gr´afica de estos resultados (mostrada
en un osciloscopo) se puede ver como la gr´afica de la composici´on de dos funciones:
la del seno con la de valor absoluto.
1. Realiza esa composici´on definiendo adecuadamente esa funci´on composici´on
(resultado de componer las dos funciones, seno y valor absoluto) y esboza
la gr´afica correspondiente, donde la amplitud es de 1.5lt de aire.
2. ¿Cu´al es el dominio, la imagen y el codominio de la funci´on composici´on, es
decir, la que se registra en el osciloscopio?
3. ¿Cu´ales deben ser los dominios y las im´agenes de las funciones que se recu-
peran a partir de los datos obtenidos?
Soluci´on de 2.65:
1. Para realizar la composici´on de las funciones sin(x) y el x , debemos definir
los dominios y codominios de cada una. As´ı tenemos, f(x) = sin(x) est´a de-
finida como f [0, 6π] → [−1, 1], la funci´on g(x) = 3
2 x est´a definida como
g [−1, 1] → [0, 3
2
]. Observamos que el 1.5 que aparece en la funci´on g es la
amplitud solicitada por el problema.
Ya definidas las funciones, podemos realizar la composici´on, la cual es
g(f(x)) = 3
2 sin(x) y est´a definida por g ○ f [0, 6π] → [0, 3
2
].
La gr´afica correspondiente se muestra en la Figura 2.1.
2. El dominio de la composici´on es Dg○f = [0, 6π], aunque el dominio pudo
haber sido R, pero no se puede hablar de un tiempo negativo.
El codominio de la composici´on es Cg○f = [0, 3
2
], e igual que el domino, este
pudo haber sido R.
La imagen de la composici´on es Img○f = [0, 3
2
], y como se puede observar,
el codominio e imagen son iguales, pero no necesariamente debe ocurrir.
3. El dominio e imagen de la funci´on f son: Df = [0, 6π] y Imf = [−1, 1], y el
dominio e imagen de la funci´on g son: Dg = [−1, 1] e Img = [0, 6π].
Ejemplo 2.66. En cierta regi´on siberiana de cultivo de hortalizas se encontr´o que
una roca contiene un material radiactivo y est´a afectando a una poblaci´on de
bacterias haci´endolas mutar, y con ello se altera un ciclo de vida para plantas
42. 32 CAP´ITULO 2. FUNCIONES
y animales que ah´ı habitan. El material radiactivo tiene una constante de de-
caimiento de 4/d´ıa, y su actividad al tiempo que la descubrieron era de 50mr
(mili-roentgen). Se sabe que las bacterias dejan de mutar cuando la radiaci´on que
reciben es menor a 10mr.
1. ¿Cu´anto tiempo debe transcurrir para que las bacterias dejen de mutar?
(La actividad de la roca radioactiva se puede expresar como una funci´on del
tiempo f(t) = 50e−4t).
2. ¿Les conviene seguir considerando a esa regi´on como cultivable? Justifique
su respuesta.
3. Encuentre el dominio e imagen de f(t) y f−1(t).
Soluci´on de 2.66:
1. Dado que las bacterias dejan de mutar cuando reciben menos de 10mr, por
tanto, la funci´on que nos fue proporcionada la igualamos a esa cantidad.
Entonces tenemos 10 = 50e−4t. Por lo que tenemos que despejar al tiempo
de la ecuaci´on. As´ı, utilizamos la funci´on inversa, que es ln(t). Por lo tanto
t = −1
4 ln(1
5
) ≈ 0.4023594781. La Figura 2.2 muestra la soluci´on que se obtu-
vo.
2. Es conveniente seguir considerando la regi´on cultivable, ya que el tiempo
necesario para que las bacterias dejen de mutar es de 0.4023594781 d´ıas
que es aproximadamente 9.6566274744 hrs, por lo que, la regi´on no que-
dar´a da˜nada.
3. Tomando a f(t) = 50e−4t, tenemos que el dominio es Df = [0, ∞) y la
imagen es Imf = (0, 50]. La funci´on inversa de f est´a dada por f−1(t) =
−1
4 ln( t
50
), entonces tenemos que el dominio Df−1 = (0, 50] y la imagen es
Imf−1 = [0, ∞).
43. 2.9. INDUCCI ´ON MATEM ´ATICA 33
Figura 2.1: Gr´afica g(f(x)) = 1.5 sin(x) para el Ejemplo 2.65.
Figura 2.2: Gr´afica f(t) = 50e−4t para el Ejemplo 2.66.
45. Cap´ıtulo 3
Espacios Vectoriales
Muchos conceptos comunes de la f´ısica, tales como la fuerza, la velocidad y
aceleraciones, involucran una magnitud (el valor de la fuerza, velocidad o ace-
leraci´on) y una direcci´on. Cualquier entidad que involucre magnitud y direcci´on
es com´unmente llamada vector, y en su mayor´ıa est´an representadas por flechas.
[Har04]
Pero veremos que en ocasiones no se representar´an como flechas, esto depende
mucho del conjunto que se est´e considerando. Con base en lo anterior surge la
idea de espacio vectorial.
3.1. Definiciones b´asicas
En todas las definiciones, trataremos con conjuntos que son distintos del vac´ıo,
y le daremos operaciones binarias que se pueden tomar como funciones del pro-
ducto cartesiano sobre ´el mismo conjunto.
Definici´on 3.1 (Espacio vectorial, vectores). Sea V ≠ ∅ con la suma (denotada
por +) definida como + V × V → V con +(u,v) = u + v y una multiplicaci´on
escalar (denotada por ⋅) definida como ⋅ R × V → V con ⋅(c,u) = cu donde c
es un n´umero real. Diremos que V es un espacio vectorial sobre R (denotado por
(V,+,⋅)) si se cumple lo siguiente:
Para todo u, v y w vectores en V , a y b ecalares en R
1. Si u, v ∈ V , entonces u + v ∈ V (cerradura de la suma).
2. Si u ∈ V y c ∈ R, entonces cu ∈ V (cerradura de la multiplicaci´on escalar).
3. u + v = v + u (conmutatividad).
4. (u + v) + w = u + (v + w) (asociatividad de la suma).
35
46. 36 CAP´ITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
5. Existe un elemento en V , denotado 0, tal que u + 0 = 0 + u = u (neutro
aditivo).
6. Existe un elemento en V , denotado −u, tal que u + (−u) = (−u) + u = 0
(inverso aditivo).
7. (a + b)u = au + au (distributividad).
8. a(u + v) = au + av (distributividad).
9. (ab)u = a(bu) (asociatividad del producto).
10. 1u = u.
A los elementos de V les llamaremos vectores, y a los elementos que est´an en R
les llamaremos escalares.
Para mostrar que un conjunto con dos operaciones es un espacio vectorial,
necesitamos conocer c´omo est´an dadas las operaciones, es decir, su regla de co-
rrespondencia.
Ejemplo 3.2. Sea S = {0, 1}, y sea la suma y la multiplicaci´on escalar la de los
n´umeros reales. Surgen las preguntas ¿es la suma es cerrada? ¿es la multiplicaci´on
escalar cerrada?
Soluci´on de 3.2: Para ver si la suma es cerrada en el conjunto S, consideramos
todos los posibles casos que son: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 y 1 + 1 = 2. Ya que 1 + 1 = 2 no
es un elemento de S, entonces la suma no es cerrada en S.
Para determinar si la multiplicaci´on escalar es cerrada, con la misma idea que
con la suma, tomamos los casos posibles que son: 0 ⋅ 0 = 0, 0 ⋅ 1 = 0 y 1 ⋅ 1 = 1. Por
lo tanto la multiplicaci´on escalar es cerrada en S.
Con el paso del cap´ıtulo, veremos m´as ejemplos de espacios vectoriales. En
otros cap´ıtulos, como el de matrices o sistemas de ecuaciones, veremos que esos
objetos son tambi´en un espacio sobre los n´umeros reales. Mientras consideremos
otros que son cl´asicos en matem´aticas.
Ejemplo 3.3. Sea V = {0}, el cual consta solo del n´umero real cero. V es un
espacio vectorial bajo las operaciones comunes de los n´umeros reales como la
suma y la multiplicaci´on. Al conjunto V se le llama el espacio vectorial trivial.
El siguiente ejemplo involucra el conjunto de todas las funciones que va de
los n´umeros reales a los reales (ver [Mic93]), este conjunto es extremadamente
importante en muchas ´areas de las matem´aticas, como por ejemplo, en el an´alisis
matem´atico.
47. 3.1. DEFINICIONES B ´ASICAS 37
Ejemplo 3.4. Sea F el conjunto de todas las funciones que van de los reales a
los reales, es decir, F = {f f R → R}. Entonces F es un espacio vectorial sobre
los n´umeros reales.
Soluci´on de 3.4: Para mostrar que F es un espacio vectorial hay que utilizar la
Definici´on 3.1
1. Hay que mostrar que la suma de funciones es cerrada. La suma de funciones
es la funci´on definida como (f + g)(x) = f(x) + g(x) para todo x ∈ R.
Sean f,g ∈ F. Entonces f + g ∈ F ya que para cualquier x ∈ R tenemos que
f(x),g(x) ∈ R, por lo que f(x) + g(x) ∈ R, por lo que (f + g)(x) est´a bien
definida.
2. Hay que mostrar que la multiplicaci´on escalar es cerrada. El producto de
un real c por f ∈ F es la funci´on definida como (cf)(x) = c[f(x)] para todo
x ∈ R.
Sea f ∈ F. Entonces cf ∈ F ya que para cualquier x ∈ R tenemos que
f(x) ∈ R, por lo que c[f(x)] ∈ R, por lo que (cf)(x) est´a bien definida.
3. Ahora hay que mostrar que para cualquier f y g ∈ F tenemos que f+g = g+f.
Sea x ∈ R. Tomando la definici´on de la suma de funciones, tenemos que
f(x) + g(x) = g(x) + f(x), ya que f(x),g(x) ∈ R, y los n´umeros reales son
conmutativos, por lo tanto f + g = g + f.
4. Ahora debemos mostrar la asociatividad de la suma, es decir, para cualquier
f, g y h ∈ F tenemos que (f + g) + h = f + (g + h).
Sea x ∈ R. Tomando la definici´on de la suma de funciones, tenemos que; por
un lado [(f + g) + h](x) = (f + g)(x) + h(x) = [f(x) + g(x)] + h(x), por el
otro [f +(g +h)](x) = f(x)+(g +h)(x) = f(x)+[g(x)+h(x)], adem´as como
f(x), g(x) y h(x) ∈ R, y los n´umeros reales son asociativos, por lo tanto
(f + g) + h = f + (g + h).
5. Debemos mostrar que existe una funci´on f ∈ F tal que f +g = g = f +g; para
alguna g ∈ F.
Proponemos que la funci´on f sea la funci´on cero, 0; es decir, f(x) = 0(x) = 0,
para toda x ∈ R, adem´as 0(x) ∈ R. Por lo tanto para cualquier funci´on g ∈ F
tenemos que (0 + g)(x) = 0(x) + g(x) = g(x) = g(x) + 0(x) = (g + 0)(x).
6. Aqu´ı hay que mostrar que existe una funci´on f ∈ F tal que g + f = 0 = f + g;
para alguna g ∈ F, donde 0(x) = 0 en los n´umeros reales.
48. 38 CAP´ITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
Proponemos que la funci´on f sea la funci´on −g; definida como −g(x) =
−[g(x)], para toda x ∈ R, adem´as −[g(x)] ∈ R. Por lo tanto para cualquier
funci´on g ∈ F tenemos que [g+(−g)](x) = g(x)−g(x) = 0(x) = −g(x)+g(x) =
[−g + g](x).
7. Ahora hay que mostrar una de las dos propiedades de la distributividad, es
decir, para a y b ∈ R, y para f ∈ F se tiene que (a + b)f = af + bf.
Sea x ∈ R. Utilizando la definici´on de la multiplicaci´on escalar, tenemos que
[(a+b)f](x) = (a+b)f(x), adem´as f(x) ∈ R y como los n´umeros reales tiene
la propiedad distributiva, entonces (a+b)f(x) = af(x)+bf(x). Por lo tanto
(a + b)f = af + bf.
8. Ahora hay que mostrar la otra propiedad de la distributividad, es decir, para
a ∈ R, y para f y g ∈ F se tiene que a(f + g) = af + ag.
Sea x ∈ R. Utilizando la definici´on de la multiplicaci´on escalar, tenemos que
[a(f + g)](x) = a[(f + g)(x)], ahora aplicando la definici´on de la suma de
funciones tenemos, a[(f + g)(x)] = a[f(x) + g(x)], como f(x) y g(x) ∈ R y
los n´umeros reales tiene la propiedad distributiva, entonces a[f(x)+g(x)] =
af(x) + ag(x). Por lo tanto a(f + g) = af + ag.
9. Casi para terminar, hay que mostrar la asociatividad de la multiplicaci´on
escalar, es decir, para a y b ∈ R, y para f ∈ F se tiene que (ab)f = a(bf).
Sea x ∈ R. Utilizando la definici´on de la multiplicaci´on escalar, tenemos
que [(ab)f](x) = (ab)f(x) y como f(x) ∈ R, y como los n´umeros reales son
asociativos con el producto, entonces (ab)f(x) = a(bf(x)) = [a(bf)](x). Por
lo tanto (ab)f = a(bf).
10. Para terminar, hay que mostrar que para cualquier f ∈ F y para 1 ∈ R se
tiene que 1f = f.
Sea x ∈ R. Utilizando la definici´on de la multiplicaci´on escalas, tenemos
que (1f)(x) = 1f(x) y como f(x) ∈ R entonces 1f(x) = f(x). Por lo tanto
1f = f.
Por lo tanto (F,+,⋅) es un espacio vectorial sobre R.
Ejemplo 3.5. Sea el C[0, 1] el conjunto de todas las funciones continuas1 defi-
nidas en el intervalo cerrado [0,1]. Entonces C[0, 1] es un espacio vectorial. La
demostraci´on es pr´acticamente la misma que en el ejemplo anterior.
1
La continuidad de una funci´on, puede pensarse como la gr´afica de f en el plano cartesiano
que no tiene hoyos. Se puede ver la definici´on forma de continuidad en [Mic93].
49. 3.1. DEFINICIONES B ´ASICAS 39
Ejemplo 3.6. Sea V = {x x = (x,x2), x ∈ R}. ¿Es V un espacio vectorial con la
suma de dos elementos de V como un elemento de la forma (x + y, x2 + y2) y la
multiplicaci´on escalar de un elemento de R con uno de V es un elemento de la
forma (ax, ax2)?
Soluci´on de 3.6:
1. La suma definida en V no es cerrada, ya que para cualesquiera x = (x, x2)
y y = (y, y2) en V , el elemento x + y = (x + y, x2 + y2) no est´a en V porque
(x + y)2 ≠ x2 + y2.
2. La multiplicaci´on escalar definida en V no es cerrada, ya que para cualquier
x = (x, x2) en V y a ∈ R, el elemento ax = (ax, ax2) no est´a en V porque
(ax)2 ≠ ax2.
3. La suma es conmutativa porque para cualesquiera x = (x, x2) y y = (y, y2)
en V , tenemos que (x + y, x2 + y2) = (y + x, y2 + x2), ya que x y y ∈ R.
4. La suma es asociativa porque para cualesquiera x = (x, x2), y = (y, y2) y z =
(z, z2) en V , tenemos que (x+[y+z], x2+[y2+z2]) = ([x+y]+z, [x2+y2]+z2),
ya que x, y y z ∈ R.
5. El elemento neutro aditivo est´a en V , el cual es 0 = (0, 0).
6. El elemento inverso aditivo no est´a en V , porque −x deber´ıa ser (−x, −x2),
pero (−x)2 ≠ −x2.
7. La primera de las dos propiedades distributivas se cumple, porque para
cualquier x = (x, x2) en V y para a y b ∈ R tenemos que ([a+b]x, [a+b]x2) =
(ax + bx, ax2 + bx2) = (ax, ax2) + (bx, bx2).
8. La otra de las propiedades distributivas se cumple, porque para cualesquiera
x y y en V y para a ∈ R tenemos que (a[x + y], a[x2 + y2]) = (ax + ay, ax2 +
ay2) = (ax, ax2) + (ay, ay2).
9. La asociatividad de la multiplicaci´on escalar se cumple, porque para cual-
quier x en V y a y b ∈ R tenemos que ([ab]x, [ab]x2) = (a[bx], a[bx2]), por
la asociatividad de los n´umeros reales.
10. Por ´ultimo, 1x = x para cualquier x = (x, x2) en V , porque 1x = x y 1x2 = x2.
Pero como la suma y la multiplicaci´on escalar definida en V no es cerrada entonces
(V, +, ⋅) no es un espacio vectorial.
50. 40 CAP´ITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
Antes de seguir viendo ejemplos de espacios vectoriales, enunciemos un teorema
que nos dar´a algunas propiedades elementales de los vectores.
Teorema 3.7. Sea v ∈ V un espacio vectorial y Sea c ∈ R. Entonces:
a) 0u = 0.
b) c0 = 0.
c) Si cu = 0, entonces c = 0 ´o u = 0.
d) (−1)u = −u.
Demostraci´on. Sea u ∈ V un espacio vectorial y c ∈ R.
a) Por el inciso 7 de la Definici´on 3.1 tenemos que 0u + 0u = (0 + 0)u = 0u. Como
0u tiene inverso aditivo, −0u, entonces 0u + (0u + (−0u)) = (0 + 0)u + (−0u) =
0u + (−0u) = 0. Por lo tanto 0u = 0.
b) Por el inciso 8 de la Definici´on 3.1 tenemos que c0 = c(0 + 0) = c0 + c0. Como
c0 tiene inverso aditivo, entonces c0 + (−c0) = c0 + (c0 + (−c0)) = 0.
c) Sea c ∈ R y sea u ∈ V . Supongamos que cu = 0. Si c = 0 ya no hay nada que
demostrar porque se reduce al inciso anterior, por lo que supongamos que c ≠ 0.
Por demostrar que u = 0.
Por el inciso 10 de la Definici´on 3.1 y por el inciso a), tenemos que
u = 1u = (c
1
c
)u = (
1
c
)(cu) = (
1
c
)0 = 0.
Por lo tanto u = 0.
d) Ahora por el inciso 10 de la Definici´on 3.1 tenemos que 1u = u, entonces
u + (−1u) = 1u + (−1u) = (1 + (−1))u = 0u = 0. Por lo tanto (−1)u es el inverso
de u. Supongamos que v es un inverso de u. Entonces u + v = u + (−1)u = 0.
Agregando v en ambos lados, tenemos que (v+u)+v = (v+u)+(−1)u; es decir,
0 + v = 0 + (−1)u, por lo tanto v = (−1)u. Por lo tanto, (−1)u es el inverso de u
y (−1)u = −u.
Para aplicar el teorema anterior veamos un ejemplo.
Ejemplo 3.8. Sea u un vector en el espacio vectorial V , y sean a,b ∈ R. Demuestre
que si au = bu con u ≠ 0, entonces a = b.
51. 3.2. SUBESPACIO VECTORIALES 41
Soluci´on de 3.8: Sean u ∈ V un espacio vectorial, y sean a,b ∈ R. Supongamos que
au = bu con u ≠ 0. Por el inciso 6 de la Definici´on 3.1, el elemento bu tiene inverso
aditivo −bu. Tenemos au + (−bu) = au + (−1)bu = au + (−b)u, por el inciso 8, el
inciso d) del Teorema 3.7, tenemos (a + (−b))u = (a − b)u. Ahora, agregamos −bu
a ambos lados de la ecuaci´on au = bu nos da au+(−bu) = (a−b)u = bu+(−bu) = 0.
Por lo tanto (a − b)u = 0 y como u ≠ 0 entonces (a − b) = 0. Por lo tanto a = b.
Ejercicios
1. Demuestre que C[0, 1] definido en el Ejemplo 3.5 es un espacio vectorial.
2. Sea V = {0}. Demuestre que V es un espacio vectorial con la multiplicaci´on
escalar y suma definida como los n´umeros reales.
3. ¿Existen espacios vectoriales sobre R con exactamente dos y tres elementos?
4. Demuestre que R2 es un espacio vectorial sobre R. Con la suma definida como
(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2), y la multiplicaci´on escalar α(a1, a2) =
(αa1, αa2).
3.2. Subespacio vectoriales
El concepto de espacio vectorial est´a aplicado a conjuntos, pero en los conjuntos
tenemos subconjuntos. Entonces ¿qu´e suceder´a con el concepto de espacio vectorial
si se aplica a un subconjunto? Bueno, surgir´a el concepto de subespacio vectorial
y desarrollaremos toda la teor´ıa sobre ´el en esta secci´on. Tambi´en veremos que
en la mayor´ıa de los caso, es conveniente mostrar que un conjunto V distinto del
vac´ıo es un subespacio en lugar de mostrar que es un espacio vectorial.
Definici´on 3.9 (Subespacio vectorial). Sea V un espacio vectorial. Sea S ⊂ V
con S ≠ ∅. Decimos que S es un subespacio vectorial de V , si bajo las mismas
operaciones de V , S es un espacio vectorial.
Antes de considerar unos ejemplos de subespacios vectoriales, unas observa-
ciones simplificar´an el trabajo, ya que son muchas propiedades a demostrar para
un espacio vectorial. As´ı, tenemos el siguiente teorema y en la demostraci´on del
mismo, s´olo mostraremos las propiedades 5 y 6, ya que si u + v pertenecen a S,
entonces, ya que u+v = v+u est´an en V entonces u+v representan el mismo vector
en S, es decir, se cumple la propiedad 3. Por lo que, de manera similar, podemos
52. 42 CAP´ITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
ver que u+(v +w) = (u+v)+w en S, se cumple la propiedad 4 y de 7 a la 10. Por
lo que en realidad solo habr´a que mostrar cuatro de las diez propiedades; que son
la 1, 2, 5 y 6.
Teorema 3.10. Sea V un espacio vectorial sobre R y S ⊂ V con S ≠ ∅. Entonces
S es un subespacio de V si y s´olo si se cumplen las siguientes condiciones:
a) 0 ∈ S.
b) Si u y v ∈ S, entonces u + v ∈ S.
c) Si c ∈ R y u ∈ S, entonces cu ∈ S.
Demostraci´on. Sea V un espacio vectorial sobre R y sea S ⊂ V con S ≠ ∅.
⇒) Sea S un subespacio de V . Como S es un subespacio de V , entonces se
cumplen las diez propiedades de la Definici´on 3.1, por lo que las condiciones a),
b) y c) quedan demostradas.
⇐) Supongamos que cualquier u, v ∈ S y c ∈ R se cumplen las condiciones a),
b) y c). Como ya lo hab´ıamos notado, necesitamos s´olo mostrar la propiedad 6,
ya que la 1, 2 y 5 son nuestra hip´otesis.
P6. Por demostrar que para cada u ∈ S, existe un elemento −u ∈ S tal que
u + (−u) = 0.
Sea u ∈ S. Entonces (−1)u ∈ S por c). Pero por el Teorema 3.7 tenemos que
(−1)u = −u. Por lo tanto, −u ∈ S y por b) tenemos que u + (−u) = 0 con
u + (−u) ∈ S.
Por lo tanto S es un subespacio vectorial de V .
Ejemplo 3.11. Cualquier espacio vectorial V , es un subespacio de s´ı mismo y el
conjunto {0} es tambi´en un subespacio de V . Pero estos subespacios no son muy
interesantes.
Definici´on 3.12 (Subespacio vectorial propio). Sea S un subespacio vectorial de
V . Decimos que S es un subespacio propio si S ≠ V y S ≠ {0}.
Ahora veamos unos ejemplos de espacios vectoriales propios.
Ejemplo 3.13. Sea V = R2 y S = {x x = (x, nx) con x ∈ R y para alg´un n ∈ Z}.
¿Es S un subespacio vectorial de V bajo las operaciones definidas en el ejercicio
4 de la secci´on anterior?
Soluci´on de 3.13: Para mostrar que S es un subespacio vectorial utilizaremos el
Teorema 3.10.
a) El 0 ∈ S, ya que 0 = (0, 0) = (0, n0) para alguna n ∈ Z.
53. 3.2. SUBESPACIO VECTORIALES 43
b) Sean x y y ∈ S. Por demostrar que x + y ∈ S.
Sean x = (x, nx) y y = (y, ny) para alguna n ∈ Z, entonces x + y = (x + y, nx +
ny) = (x + y, n[x + y]) con x + y ∈ R, por lo que x + y ∈ S.
c) Sea x ∈ S y a ∈ R. Por demostrar que ax ∈ S.
Sea x = (x, nx) para alguna n ∈ Z, entonces ax = (ax, anx) = (ax, n[ax]) con
ax ∈ R, por lo que ax ∈ S.
Por lo tanto S es un subespacio vectorial de V .
Ejemplo 3.14. Sea D[0, 1] el conjunto de todas las funciones que son derivable en
el intervalo [0, 1]. Como sabemos, toda funci´on que es derivable es continua (ver
[Mic93]), por lo que D[0, 1] ⊂ C[0, 1]. Demostrar que D[0, 1] es un subespacio
de C[0, 1].
Soluci´on de 3.14: Sea x ∈ [0, 1]. El conjunto D[0, 1] no es vac´ıo, ya que 0(x) = 0
est´a en ´el.
Sean f(x), g(x) ∈ D[0, 1]. Debemos mostrar que f(x)+g(x) y cf(x) pertene-
cen a D[0, 1] para alg´un c ∈ R.
Como sabemos, [f(x)+g(x)]′ = f′(x)+g′(x) y [cf(x)]′ = cf′(x) (ver [Mic93])
donde la coma (prima) denota la derivada de una funci´on. Vemos que, tanto
f(x) + g(x) como cf(x) son derivables, entonces f(x) + g(x), cf(x) ∈ D[0, 1].
Por lo tanto D[0, 1] es un subespacio de C[0, 1].
Ejemplo 3.15. Sea I[0, 1] el conjunto de todas funciones f ∈ C[0, 1] tales que
∫
1
0
f(x)dx = 0. Demuestre que I[0, 1] es un subespacio de C[0, 1].
Soluci´on de 3.15: Sea x ∈ [0, 1]. Si f es continua, entonces ∫
1
0
f(x)dx existe.
Por lo tanto, I[0, 1] es un subconjunto de C[0, 1]. Adem´as, I[0, 1] no es vac´ıo,
ya que y = f(x) = 2x − 1 ∈ I[0, 1].
Primero, 0 ∈ I[0, 1] ya que ∫
1
0
0(x)dx = ∫
1
0
0dx = 0.
Ahora, sean f(x) y g(x) ∈ I[0, 1] y sea c ∈ R. Entonces ∫
1
0
f(x)dx = ∫
1
0
g(x) = 0.
Como sabemos, ∫
1
0
[f(x) + g(x)]dx = ∫
1
0
f(x)dx + ∫
1
0
g(x) = 0 + 0 = 0 y
tambi´en ∫
1
0
cf(x)dx = c∫
1
0
f(x)dx = c0 = 0 (ver [Mic93]). Vemos que, tanto
f(x) + g(x), cf(x) ∈ I[0, 1]. Por lo tanto I[0, 1] es un subespacio de C[0, 1].
54. 44 CAP´ITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
Ejercicios
1. ¿El conjunto de todas las funciones f(x) ∈ C[0, 1] tal que ∫
1
0
f(x)dx = 1
es un subespacio de C[0, 1]? Justifique su respuesta.
3.3. Generadores
En ocasiones nos podemos encontrar preguntas como ¿cual es espacio o subes-
pacio vectorial m´as peque˜no, en cuesti´on del n´umero de elementos, sin considerar
el V = {0}? Para ello podremos considerar los que est´an formados por un cierto
conjunto y escribir al resto en funci´on del conjunto. Para ello tenemos la siguiente
definici´on.
Definici´on 3.16 (Combinaci´on lineal). Sean u1, ..., un vectores del espacio vec-
torial V sobre R y c1, ..., cn escalares, donde n ∈ N. Una combinaci´on linea de
los vectores ui y los escalares ci tiene la forma c1u1 + ⋯ + cnun.
Ejemplo 3.17. Sean f(x) = x2 + 1, g(x) = 4x − 3 y h(x) = 2x2 + 4x − 1, y para
cualquier c1, c2 ∈ R, tenemos que h(x) = c1f(x) + c2g(x); es decir, h(x) es una
combinaci´on lineal de los vectores f(x) y g(x) del espacio vectorial C[0, 1]; y en
este caso c1 = 2 y c2 = 1.
Definici´on 3.18 (El espacio generado). Sean u1, ..., un vectores del espacio vec-
torial V . Diremos que el espacio generado por ui (denotado por S{u1, ..., un})
es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores ui.
As´ı, por definici´on, todo miembro del conjunto S{u1, ..., un} se puede escribir
como una combinaci´on lineal de los vectores ui y escalares ci ∈ R.
Antes de considerar algunos ejemplos m´as, mostraremos que si u1, ..., ,un son
vectores de un espacio vectorial V , entonces S{ui} es un subespacio de V .
Teorema 3.19. Sea {u1, ..., un} un conjunto de vectores de V , con V un
espacio vectorial. Entonces
a) S{u1, ..., un} es un subespacio de V , y
b) S{u1, ..., un} es el subespacio vectorial con al menos n + 1 elementos de V
que contiene a u1, ..., un.
Demostraci´on. Sean ui ∈ V , con V un espacio vectorial sobre R. S{u1, ..., un}
no es vac´ıo, ya que cada ui est´a en el conjunto; es decir, como 1 ⋅ ui = ui entonces
cada ui pertenece a S{u1, ..., un}, por definici´on.
55. 3.3. GENERADORES 45
a) El vector 0 pertenece a S{u1, ..., un} porque por el Teorema 3.7 inciso a)
tenemos que 0 = 0 ⋅ u1 + ⋯ + 0 ⋅ un, es decir, 0 es una combinaci´on lineal de los
vectores ui.
Por demostrar, si u,v ∈ S{u1, ..., un}, entonces u + v ∈ S{u1, ..., un}.
Sean u,v ∈ S{u1, ..., un}, entonces por definici´on u = a1u1 + ⋯ + anun y v =
b1u1 +⋯+bnun. Sumando ambos vectores tenemos u+v = (a1 +b1)u1 +⋯+(an +
bn)un. Por lo que u + v es una combinaci´on lineal de u1, ..., un. Por lo tanto
u + v ∈ S{u1, ..., un}.
Ahora, por demostrar que, si u ∈ S{u1, ..., un} y c ∈ R, entonces cu ∈ S{u1, ...,
un}.
Sea u ∈ S{u1, ..., un} y sea c ∈ R, entonces por definici´on, u = a1u1 + ⋯ +
anun. Multiplicando tenemos que cu = c(a1u1 + ⋯ + anun) = (ca1)u1 + ⋯ +
(can)un. Por lo que cu es una combinaci´on lineal de u1, ..., un. Por lo tanto
cu ∈ S{u1, ..., un}. Por lo tanto S{u1, ..., un} es un espacio vectorial.
b) Ahora vamos a mostrar que S{u1, ..., un} es el subespacio con al menos n + 1
elementos de V .
Podemos ver que S{u1, ..., un} contiene a los vectores 0 y ui para todo i ∈
{1, ..., n}. Sea U un espacio vectorial que contiene a ui. Como U es cerrado
bajo la suma y multiplicaci´on escalar, U contienen a todas las combinaciones
lineales a1u1 + ⋯ + anun de ui.
Por lo tanto S{u1, ..., un} ⊂ U. As´ı S{u1, ..., un} es el subespacio con al
menos n + 1 elementos de V .
Por lo tanto se cumple el teorema.
Ejemplo 3.20. Sea f(x) = x2 + 1 y g(x) = 4x − 3. Entonces S{f(x), g(x)} =
{h(x) h(x) = ax2 + bx + c; a,b,c ∈ R}, que es el espacio generado por las funciones
f(x) y g(x) ∈ C[0, 1].
Ejemplo 3.21. Sea h(x) = 12x + 3 ∈ C[0, 1]. Determinar si h(x) est´a o no en
S{f(x), g(x)} donde f(x) = 2x2 − 1 y g(x) = −x2 + 2x + 1 ∈ C[0, 1].
Soluci´on de 3.21: Para determinar si h(x) ∈ S{f(x), g(x)} debemos determinar
si existen escalares a, b ∈ R tales que 12x + 3 = a(2x2 − 1) + b(−x2 + 2x + 1).
Pero esto es equivalente a
12x + 3 = (2a − b)x2
+ 2bx + (−a + b).
56. 46 CAP´ITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
Igualando los t´erminos del mismo grado, tenemos que
2a − b = 0
2b = 12
−a + b = 3
As´ı, tenemos que b = 6 y a = 3. Por lo tanto h(x) = 3f(x) + 6g(x).
Ejercicios
1. Exprese las siguientes funciones como una combinaci´on lineal de f(x) =
x2 − 3x + 1, g(x) = 3x2 − 5
a) h1(x) = −4x2 − 7x − 2,
b) h2(x) = −4x + 11,
c) h3(x) = 18x2 − 8x − 8,
d) h4(x) = −19x2 + 5x − 10.
2. Sean U y V dos subespacios del espacio vectorial W, tales que U ∩ V ≠ ∅.
Demuestre que U ∩ V es un subespacio vectorial de W.
3. Demuestre que S = {(1, 0), (0, 1)} es un generador para R2.
3.4. Bases y Dimensiones
Los conceptos de independencia y dependencia lineal, as´ı como las de base y
dimensi´on, son tan importantes para cualquier espacio vectorial. As´ı, desarrolla-
remos la teor´ıa de estos conceptos, pero primero veamos la definici´on de indepen-
dencia lineal.
Definici´on 3.22 (Linealmente independientes). Sea B = {u1, ..., un} un con-
junto de vectores del espacio vectorial V sobre R. Diremos que el conjunto B es li-
nealmente independiente, si c1u1 +⋯+cnun = 0, se tiene que c1 = ⋯ = cn = 0 ∈ R.
Si el conjunto B de la Definici´on 3.22 no es linealmente independiente, es decir,
si existe ci ≠ 0, entonces diremos que el conjunto es linealmente dependiente.
Ejemplo 3.23. Consideremos las funciones descritas en el Ejemplo 3.20. Las
cuales son f(x) = x2+1 y g(x) = 4x−3 ∈ C[0, 1]. Demostremos que son linealmente
independiente.
57. 3.4. BASES Y DIMENSIONES 47
Soluci´on de 3.23: Sea la funci´on cero h(x) = 0. Sean a, b ∈ R. Entonces por
la Definici´on 3.22, tenemos af(x) + bg(x) = 0, entonces desarrollando tenemos
(a)x2 + (4b)x + (a − 3b) = 0. A h(x) se puede ver como h(x) = 0x2 + 0x + 0, por lo
que obtenemos
a =0
4b =0
a − 3b =0
Por lo tanto a = b = 0. As´ı el conjunto f(x) y g(x) es linealmente
independiente.
Ejemplo 3.24. Sea B = {a = (1, 0), b = (0, 1), c = (2, 3)}. Es claro que, si
(0, 0) = α ⋅ a + β ⋅ b + γ ⋅ c entonces, α = −2, β = −3 y γ = 1. Por lo tanto B es
linealmente dependiente. (Ver el Ejercicio 4 de la secci´on 1 de este cap´ıtulo.)
Ejemplo 3.25. Si consideramos el conjunto S{f(x), g(x)} de Ejemplo 3.20, po-
demos ver que el conjunto {1, x, x2} genera a S{f(x), g(x)} y adem´as es lineal-
mente independiente.
Otra forma de comprobar que un conjunto de vectores es linealmente indepen-
diente, es mostrando que los vectores generados se escriben de manera ´unica. Lo
cual formaliza el siguiente teorema.
Teorema 3.26. Sea S = {v1, ..., vn} un conjunto de vectores de un espacio
vectorial V sobre R. S es linealmente independiente si y s´olo si para cada vector
u ∈ V la representaci´on u = a1v1 + ⋯ + anvn es ´unica.
Demostraci´on. ⇒) Sea S = {v1, ..., vn} un conjunto linealmente independien-
te. Supongamos que existen dos combinaciones lineales para un vector u ∈ V .
Entonces tenemos que a1v1 + ⋯ + anvn = u = b1v1 + ⋯ + bnvn. Entonces 0 =
(a1 − b1)v1 + ⋯ + (an − bn)vn, pero como S es linealmente independiente tenemos
que ai − bi = 0 para toda i ∈ {1, ..., n}.
Por lo tanto ai = bi. As´ı, solo existe una representaci´on para u.
⇐) Supongamos que para un u ∈ V , u tiene dos combinaciones lineales distin-
tas, es decir, u = a1v1 +⋯+anvn = b1v1 +⋯+bnvn; con ai ≠ bi y ai, bi ∈ R para toda
i ∈ {1, ..., n}. Por demostrar que S no es linealmente independiente.
Como v tiene dos combinaciones lineales, entonces 0 = u + (−u) = (a1 − b1)v1 +
⋯ + (an − bn)vn, entonces 0 ≠ (ai − bi) para toda i ∈ {1, ..., n} porque ai ≠ bi, por
lo que S no es linealmente independiente.
58. 48 CAP´ITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
Hemos dado ya las definiciones de generado por un conjunto de vectores y la
independencia lineal de los mismos. Para unir estas dos ideas veamos la siguiente
definici´on.
Definici´on 3.27 (Base para un espacio V ). Sea B un conjunto de vectores de un
espacio vectorial V sobre R. Decimos que B es una base para V si todo elemento
de V se puede expresar de manera ´unica como una combinaci´on lineal de los
elementos de B.
La definici´on anterior, no nos ayuda para decidir si un conjunto B es o no una
base para un espacio vectorial V . Por ello necesitamos el siguiente teorema.
Teorema 3.28. Sea B un conjunto de vectores de V un espacio vectorial sobre
R. El conjunto B es una base para V si y solo si B es linealmente independiente
y el espacio generado es V .
Demostraci´on. Sea V un espacio vectorial y sea B un subconjunto de V . Por la
Definici´on 3.18 tenemos que B genera a V si y solo si cada elemento de V se puede
escribir como una combinaci´on lineal de los elementos de B. Por el Teorema 3.7,
B es linealmente independiente en V si y solo si la representaci´on de cualquier
elemento de V como combinaci´on lineal de B es ´unica. Por lo tanto, B es una
base para V si y solo si B es linealmente independiente que genera a V .
Ejemplo 3.29. Sea H = {(2, 1), (1, 2)} un conjunto de vectores de R2. Demostrar
que H es una base para R2.
Soluci´on de 3.29:
1. Hay que mostrar que H es linealmente independiente.
Sean a1, a2 ∈ R. Por demostrar que a1 = a2 = 0. Entonces 0 = (0, 0) =
a1(2, 1)+a2(1, 2), realizando las operaciones de suma y multiplicaci´on esca-
lar tenemos, (0, 0) = (2a1+a2, a1+2a2); igualando entrada a entrada tenemos
que:
0 =2a1 + a2
0 =a1 + 2a2
Despejando a a2 de la primer ecuaci´on
0 =a1 + 2(−2a1)
0 =a1
59. 3.4. BASES Y DIMENSIONES 49
Sustituyendo el valor de a1 en la segunda ecuaci´on
0 =a2
Por lo tanto H es linealmente independiente.
2. Ahora hay que mostrar que H genera a R2, es decir; para cualquier x ∈ R2,
existen a1, a2 ∈ R tales que x = a1(2, 1) + a2(1, 2).
Sea x = (x1, x2) en R2. Entonces (x1, x2) = a1(2, 1) + a2(1, 2), realizando
las operaciones de suma y multiplicaci´on escalar tenemos, (x1, x2) = (2a1 +
a2, a1 + 2a2); igualando entrada a entrada tenemos que:
x1 =2a1 + a2
x2 =a1 + 2a2
Despejando a a2 de la primer ecuaci´on
a2 =x1 + 2a1
Sustituyendo a a2 en la segunda ecuaci´on y realizando las operaciones tene-
mos:
x2 =2x1 − 3a1
Despejando a a1 tenemos:
a1 =
2x1 − x2
3
Por ´ultimo, sustituyendo a a1 en la ecuaci´on a2 = x1 + 2a1, tenemos:
a2 =
2x2 − x1
3
Por lo tanto H es una base para R2.
Las demostraciones para el teorema y corolario se omitir´an, pero se pueden
consultar en [Har04], o bien en [Fra02]. Y en el fondo tiene que ver con el n´umero
de elementos de la base, ya que no todo conjunto con una infinidad de elementos
puede ser una base.
60. 50 CAP´ITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES
Teorema 3.30. Sea B = {u1, ..., up} una base para un subespacio U de un
espacio vectorial V . Entonces cada subconjunto de U que contiene m´as de p
elementos es linealmente dependiente.
Corolario 3.31. Sean B1 = {u1, ..., up} y B2 = {v1, ..., vm} dos bases para
un subespacio U de un espacio vectorial V . Entonces m = p.
La dimensi´on de un espacio vectorial es muy importante porque nos dice cuan-
tos vectores se necesitan para generar un espacio. Por ejemplo, si se considera el
espacio en el que vivimos, podemos decir que tiene tres dimensiones, o bien, si se
considera el tiempo, entonces tiene cuatro. Este espacio se puede considerar como
el cl´asico espacio R4.
Definici´on 3.32 (Dimensi´on de un espacio V ). El n´umero de elementos en una
base para un espacio vectorial V es la dimensi´on de V (denotado por dim(V )).
As´ı, si la base B para V tiene un n´umero finito de elementos, diremos que V
tiene dimensi´on finita. De lo contrario diremos que V tiene dimensi´on infinita.
Ejemplo 3.33. Sea H = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} un conjunto de vectores
de R3. Demostrar que H es una base para R3 y obtener su dimensi´on.
Soluci´on de 3.33: El estudiante deber´a probar que el conjunto H es una base
para R3. As´ı, la dimensi´on de R3 es 3 porque el conjunto H tiene 3 elementos.
Ejercicios
1. Demuestre que el conjunto B descrito en el Ejercicio 3.29 es linealmente
independiente.
2. De una base para el conjunto S = {h(x) ∈ C[0, 1] h(x) = ax3 + bx2 + cx +
d; a,b,c,d ∈ R}. Hint: Observe el Ejemplo 3.29
3. ¿Se puede dar una base para C[0, 1]? Si es posible, ¿qu´e dimensi´on tiene?
Si no es posible, ¿qu´e puede concluir acerca de C[0, 1]?
4. Considere a V = R sobre Q. Demuestre que V es un espacio vectorial sobre
Q con las operaciones usuales de los n´umeros reales. ¿Qu´e dimensi´on tiene
V ?
5. Realice la demostraci´on del Ejemplo 3.33.
6. De una base para Rn, con n ∈ N. ¿Cu´al es la dimensi´on de Rn? Hint: Observe
el Ejemplo 3.33.
