福井技術者の集い その6. 1+1 = 2の話 ラムダ計算の簡単な導入。

1. 1+1=2
Akihiro Shoji a.k.a. alphaKAI(@alpha_kai_NET)

2. 突然ですが
1+1 出来ますか?

3. • え、2では?
• はい、2ですね。
• 終了… ではなく

4. 気を取り直して
• ここでは、1+1=2を少し変わった視点から見てみ
ましょう
• → ラムダ計算で考えてみよう

5. ラムダ計算とは
• 簡単に言うとラムダ→λを使って関数をλx. xみた
いに表すこと(ラムダを用いて表した式をラムダ
式といいます)
• すべての計算(手続き)を関数であらわそーみたい
な感じ
• 厳密な話は(出来ないし)しません…

6. ラムダ計算の基本-書き方
• よく見慣れた関数: f(x) = 2x + 1
• ラムダ式で書くと: f = λx. 2x + 1
• プログラミング言語的に言うと、式を関数として第一
級関数(関数をオブジェクトとしてあつかう)のような
感じ。
• 複数の引き数がある場合は 例:λx. (λy. x + y)

7. ラムダ計算の基本-用語
• 束縛変数と自由変数
• 束縛変数: λx. x ← この場合のx
• 自由変数: λx. x + y ←この場合のy
• 注意: λxy. x + y (=λx. λy. x + y)この場合、x,yと
もに束縛変数

8. ラムダ計算の用語-その2
• 適用(後に説明するがβ簡約という)
• 簡単に言うと、引き数の変数に値を代入する
こと
• f(x)=2x+1とするとx=2としてf(2)=2*2+1=5

9. 複数の引き数がある場合
• λxy. x + yの場合、yを引き数に持つ`関数`が帰る(
ポイント)

10. α変換
• (λfx. f x)に(λfx.f x)を適用する場合、一つ問題が発生する
• 名前が他の場所と衝突しないかぎり、ラムダ式の変数
名は自由に変えて良い
• λx.x ≡ λy.y

11. チャーチ数
• ラムダ計算はすべてを関数として表したいので
、数も関数で表す必要があるので、以下のよう
に定義する
• 1 = λfx. f x
• 2 = λfx. f (f x)
• 3 = λfx. f (f (f x)) 以下同様にfがふえてく...

12. お待たせしました
• 1 + 1を考えましょう。
• 簡単のため、+というBinary 関数をラムダ式で表
すことの 導入は省略して、次のように定義しま
す
• add := λa.λb.λf.λx. b f (a f x)
• これを使うと....

13. 1+1はこうなる

14. 適当な説明でしたが…
• 適当な説明でしたが… ラムダ計算に興味を持っ
てもらえたのではないでしょうか…
• Let’s λ!!

15. ご静聴ありがとうござ
いました