Ley darcy

F. Javier Sánchez San Román‐‐Dpto. Geología‐‐Univ. Salamanca (España)   [Feb‐2013]   http://hidrologia.usal.es Pág. 1

Ley de Darcy. Conductividad hidráulica
Experiencia de Darcy
En 1856, en la ciudad francesa de Dijon, el ingeniero Henry Darcy fue encargado del
estudio de la red de abastecimiento a la ciudad. Parece que también debía diseñar filtros de
arena para purificar el agua, así que se interesó por los factores que influían en el flujo del
agua a través de los materiales arenosos, y presentó el resultado de sus trabajos como un
apéndice a su informe de la red de distribución. Ese pequeño anexo ha sido la base de todos
los estudios físico‐matemáticos posteriores sobre el flujo del agua subterránea.
En los laboratorios actuales disponemos de aparatos muy similares al que utilizó Darcy, y
que se denominan permeámetros de carga constante1 (Figura 1)
Sección
Q
Nivel
cte.
D h
D l
Figura 1.- Permeámetro de carga constante.
Q = Caudal
h = Diferencia de Potencial entre A y B
l = Distancia entre A y B
Gradiente hidráulico=
l
h



Básicamente un permeámetro es un recipiente de sección constante por el que se hace
circular agua conectando a uno de sus extremos un depósito elevado de nivel constante. En el
otro extremo se regula el caudal de salida mediante un grifo que en cada experimento
mantiene el caudal también constante. Finalmente, se mide la altura de la columna de agua
en varios puntos (como mínimo en dos, como en la Figura  1).
Darcy encontró que el caudal que atravesaba el permeámetro era linealmente proporcional a la
sección y al gradiente hidráulico
Gradiente es el incremento de una variable entre dos puntos del espacio, en relación con la
distancia entre esos dos puntos. Si la variable considerada fuera la altitud de cada punto, el
gradiente sería la pendiente entre los dos puntos considerados.
Si entre dos puntos situados a 2 metros de distancia existe una diferencia de temperatura de
8ºC, diremos que hay entre ellos un gradiente térmico de 4ºC/metro. Cuanto mayor sea ese
gradiente térmico, mayor será el flujo de calorías de un punto a otro. Análogamente la
diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos se puede expresar como un gradiente que
produce el flujo eléctrico entre esos puntos, etc..

1
En laboratorio, el permeámetro se sitúa verticalmente y con el flujo ascendente para facilitar la evacuación
del aire contenido inicialmente en el material poroso

Es decir: variando el caudal con un grifo y/o moviendo el depósito elevado, los niveles del
agua en los tubos varían. Podemos probar también con permeámetros de distintos diámetros
y midiendo la altura de la columna de agua en puntos más o menos próximos. Pues bien:
cambiando todas la variables, siempre que utilicemos la misma arena, se cumple que:

l
h
SecciónKQ


 (1)
(K =constante. Ver Figura 1 para el significado de las otras variables)
Si utilizamos otra arena (más gruesa o fina, o mezcla de gruesa y fina, etc.) y jugando de
nuevo con todas las variables, se vuelve a cumplir la ecuación anterior, pero la constante de
proporcionalidad lineal es otra distinta. Darcy concluyó, por tanto, que esa constante era
propia y característica de cada arena. Esta constante se llamó  permeabilidad (K) aunque su
denominación correcta actual es conductividad hidráulica.
Como las unidades del caudal Q son L3/T, la sección es L2, e h e l son longitudes, se
comprueba que las unidades de la permeabilidad (K) son las de una velocidad (L/T).
La expresión correcta de la Ley de Darcy es la siguiente:







dl
dh
Kq (2)
donde:   q = Q /sección (es decir: caudal que circula por m2 de sección)
K = Conductividad Hidráulica
dh/dl  = gradiente hidráulico expresado en incrementos infinitesimales
(el signo menos se debe a que el caudal es una magnitud vectorial, cuya dirección
es hacia los h decrecientes; es decir, que h o dh es negativo y, por tanto, el
caudal será positivo)
Velocidad real y velocidad de Darcy
Sabemos que en cualquier conducto por el que circula un fluido se cumple que:
Caudal = Sección x Velocidad (3)
   L3/T  =      L2     x     L/T
Si aplicamos esta consideración al cilindro del permeámetro de Darcy, y calculamos la
velocidad a partir del caudal y de la sección, que son conocidos, obtendremos una velocidad
falsa, puesto que el agua no circula por toda la sección del permeámetro, sino solamente por
una pequeña parte de ella. A esa velocidad falsa (la que llevaría el agua si circulara por toda
la sección del medio poroso) se denomina “velocidad Darcy” o “velocidad de flujo”:
Velocidad Darcy = Caudal / Sección total    (4)
La parte de la sección total por la que puede circular el agua es la porosidad eficaz2; si una
arena tiene una porosidad del 10% (0,10), el agua estaría circulando por el 10% de la sección

2
Efectivamente, como explicábamos en el tema anterior, el agua no puede fluir por toda la porosidad, ya que
el agua adherida a los granos es relativamente inmóvil. Reproducimos una figura del tema anterior.

total del tubo. Y para que el mismo caudal circule por una
sección 10 veces menor, su velocidad será 10 veces mayor. Por
tanto, se cumplirá que:
Velocidad  lineal media = Velocidad Darcy / me (5)
(me = porosidad eficaz)
El resultado de la expresión (5) también se denomina velocidad real
(es realmente la velocidad de las partículas en una sección cualquiera del
medio poroso, por ejemplo, en la mostrada en la figura 2 ). Pero no es la
velocidad que observaríamos desde el exterior del medio poroso al
cronometrar el tiempo de recorrido entre dos puntos.
En la figura 3 se muestra un tubo de longitud L1 lleno de arena por
el que se hace circular agua. Evaluaremos la velocidad del agua por dos
procedimientos:
1º) Calculamos la velocidad mediante la expresión (5).
2º) Medimos experimentalmente el tiempo de recorrido
añadiendo un colorante al agua. Con ese tiempo calculamos la
velocidad así:
Velocidad observada = Distancia / tiempo = L1 /tiempo (6)
Esta velocidad observada sería inferior a la calculada mediante (5), ya que el agua ha tenido que recorrer una
distancia mayor (ha recorrido L2 y no L1) por lo que aparentemente ha circulado a una velocidad menor. Por
tanto, el tiempo real de recorrido entre dos puntos puede ser ligeramente mayor al predicho mediante la
expresión (5). La relación entre la velocidad observada desde el exterior del medio poroso y la calculada a
partir de Darcy y de la porosidad eficaz será así:
Velocidad observada  = Velocidad lineal media / coeficiente (7)
Ese coeficiente depende de la tortuosidad del medio poroso, y aproximadamente puede ser de 1,0 a 1,18
en arenas (Freeze y Cherry, p. 71).
En la práctica, habitualmente se utiliza la expresión (5) refiriéndose al resultado como
“velocidad real”,  y se aplica esta velocidad para calcular el tiempo de recorrido del agua
subterránea, pero debemos ser conscientes del error que se podemos cometer al despreciar la
tortuosidad del recorrido.

Flujo a través de varias capas: Permeabilidad equivalente
En un medio estratificado, con frecuencia se produce el flujo a través de varias capas, y
deseamos aplicar la ley de Darcy globalmente al conjunto de capas. Los dos casos más
sencillos son cuando consideramos el flujo paralelo a los contactos entre las capas o el flujo
perpendicular a las capas. Suponemos que cada una de las capas es homogénea e isótropa.
Permeabilidad (o conductividad hidráulica) equivalente es un valor global que podemos
asignar al conjunto de capas considerado como una unidad. Y hablaremos de K equivalente
horizontal (Kh) o K equivalente vertical (Kv) refiriéndonos respectivamente a los dos casos
citados (suponiendo las capas horizontales, el flujo paralelo a las capas es horizontal, y el
flujo perpendicular a las capas es vertical).
(La deducción de las fórmulas se encuentra en el Apéndice 2).
L1
L2
Figura 2.- La parte de la sección
utilizable por el flujo es la
porosidad eficaz
Figura 3.- Tortuosidad del recorrido
Agua adherida
a los granos
Porosidad eficaz:
sección útil para
el flujo

Si el flujo es paralelo a las capas (los dos sondeos, que suponemos abiertos en todas las
capas, indican el gradiente que provoca el flujo), la permeabilidad equivalente (Kh) se calcula
con esta expresión:
 
B
bK
K
ii
h
 
 (8)
siendo:
Kh = conductividad hidráulica horizontal
equivalente
Ki = conductividad hidráulica de cada
una de las capas
bi = espesor de cada una de las capas
B = espesor total, suma de todos los
espesores
Teniendo en cuenta que: K∙ espesor = T (transmisividad), la fórmula obtenida equivale a
decir que la transmisividad equivalente del conjunto (Kh ∙ B) es igual a la suma de las
transmisividades de todas las capas (Ki ∙ bi).
Si el flujo es perpendicular a las capas (los dos sondeos, que suponemos abiertos en sus
extremos, indican el gradiente que provoca el flujo),  la permeabilidad equivalente (Kv)es
igual a:


i
i
v
K
b
B
K
(9)
siendo:
Kv = conductividad hidráulica vertical
equivalente
Ki = conductividad hidráulica de cada una
de las capas
espesores

Ejemplo: Consideramos tres capas: dos capas de arenas gruesas con una intercalación de
limos, con los espesores y permeabilidades que se indican en la figura:
Con las dos expresiones de Kh y Kv  obtenemos:
En flujo horizontal: Kh = 136 m/día, la fina capa intermedia
es irrelevante, la conductividad hidráulica equivalente se
aproxima a la media de las dos capas muy permeables. La
capa impermeable apenas influye.
En el flujo vertical:  Kv = 1,09 m/día. Un metro de material
poco permeable influye más en el valor global que 10 metros
de materiales muy permeables.
5 m
5 m
1 m
K1=100 m/dia
K3=200 m/dia
K2=0,1 m/dia
Kh=136,45 m/dia
Kv=1,09 m/dia
Dh
B
K1
K3
K2
b1
b3
b2
q
Dl
Dh
Q
B K1
K3
K2
b1
b3
b2

Anisotropía
Con frecuencia la K vertical de una formación detrítica es menor que la K horizontal, debido
a la forma y disposición de los
granos (en la figura, a la
izquierda), o a la presencia de
láminas intercaladas  de menor
permeabilidad (a la derecha).
Para una descripción
matemática del medio
permeable, puede ser necesario
asignar tres valores Kx, Ky y Kz.
Por ejemplo, en el programa
MODFLOW debemos introducir los valores de la conductividad hidráulica en las
direcciones, aunque generalmente se utiliza Kx = Ky.
Generalmente no se dispone de un conocimiento del medio poroso suficiente para poder
especificar el valor de la conductividad hidráulica (K) en las tres direcciones del espacio: X, Y
(horizontales) y Z (vertical) y con frecuencia debemos limitarnos a asignar a una formación
geológica un valor de K suponiéndolo válido para cualquier dirección (medio isótropo).
Limitaciones de la Ley de Darcy
La Ley de Darcy puede no cumplirse por las siguientes razones:
1ª). La constante de proporcionalidad K no es propia y característica del medio
poroso, sino que también depende del fluido
El factor K  puede descomponerse así:                     K k


 (10)
donde: K = conductividad hidráulica
k = Permeabilidad intrínseca (depende sólo del medio poroso) 3
= peso específico del fluido
 = viscosidad dinámica del fluido
Podemos modificar la expresión (10),  teniendo en cuenta que:
Viscosidad dinámica () = viscosidad cinemática  () . densidad ()
Peso específico () = densidad  () . gravedad (g)
Resultando:   K = k  .
g

(11)
donde: g = aceleración de la gravedad
 = viscosidad cinemática del fluido

3
Esta k también se denomina absolute permability o coefficient of permeability o simplemente permeability  La
denominación de k como permeabilidad (sin adjetivos) puede generar confusión ya que también se utiliza en el
lenguaje común para referimos a la K (conductividad hidráulica).
Kz
Kz
Kx, Ky (K horizontal)
K horizontal > K vertical
Kx, Ky (K horizontal)

Esta cuestión es fundamental en geología del petróleo o en el flujo de contaminantes, donde
se estudian fluidos de diferentes características. En el caso del agua, la salinidad apenas hace
variar el peso específico ni la viscosidad. Solamente habría que considerar la variación de la
viscosidad con la temperatura, que se duplica de 35 a 5 º C, con lo que se la permeabilidad de
Darcy (K) sería la mitad y también se reduciría en la misma proporción el caudal circulante
por la sección considerada del medio poroso. Las aguas subterráneas presentan mínimas
diferencias de temperatura a lo largo del año en un mismo acuífero, pero en otros entornos sí
pueden producirse diferencias de temperatura notables.
Por tanto, aunque sabemos que K depende tanto del medio como del propio fluido, como la
parte que depende del fluido normalmente es despreciable, para las aguas subterráneas a
efectos prácticos asumimos que la K de Darcy, o conductividad hidráulica es una
característica del medio poroso.
(Ver Apéndice 1)
2ª). La relación entre el caudal y el gradiente hidráulico no es lineal en algunas
circunstancias. Esto puede suceder cuando el valor de K es muy bajo o cuando las
velocidades del flujo son muy altas.
En el primer caso, por ejemplo, si aplicamos la Ley de Darcy para calcular el flujo a través
de una formación arcillosa, el caudal que obtendríamos sería bajísimo, pero en la realidad, si
no se aplican unos gradiente muy elevados, el agua no llega a circular, el caudal es 0.
En el segundo caso, si el agua circula a gran velocidad, el caudal es directamente
proporcional a la sección y al gradiente, pero no linealmente proporcional, sino que la
función sería potencial:

n
dh
q K
dl
 
   
 
(12)
donde el exponente n es distinto de 1.
Para estudiar este límite de validez de la ley de Darcy se aplica el número de Reynolds.
Este coeficiente se creó para canales abiertos o tuberías, y en general valores altos indican
régimen turbulento y valores bajos indican régimen laminar. Para medios porosos se aplica
la fórmula utilizada para canales o tubos, pero sustituyendo el diámetro de la conducción por
el diámetro medio del medio poroso y considerando la velocidad Darcy:

 dd
R
vv
 (13)
Donde: = densidad del fluido (Kg/m3)
v =velocidad de Darcy (m/s)
d = diámetro medio de los granos (m)
 = viscosidad dinámica (Pascal∙m = Kg/(m2 ∙s) )
= viscosidad cinemática (=m2
/s
Es imposible conocer el grado de turbulencia del flujo a través de un medio poroso, pero
experimentalmente se ha observado que deja de cumplirse la Ley de Darcy (el caudal deja de
ser linealmente proporcional al gradiente) cuando R alcanza un valor que varía entre 1 y 10.
(Es decir: R<1, sí se cumple Darcy; R >10, no se cumple Darcy; R entre 1 y 10, puede
cumplirse o no).

Esa falta de precisión del valor límite será debida a otros factores diferentes del diámetro
medio de los granos: heterometría, forma, etc.
En el flujo subterráneo las velocidades son muy lentas, los valores e R muy bajos, y
prácticamente siempre la relación es lineal, salvo en las proximidades de captaciones
bombeando en ciertas condiciones.

Apéndice 1. Variación de la conductividad hidráulica con el fluido
Aplicando la fórmula (11) a dos fluidos de viscosidades cinemáticas 1y 2 respectivamente, y
dividiendo miembro a miembro, obtenemos:
1 2
2 1
K
K



;
siendo: K1   = conductividad hidráulica circulando el fluido de viscosidad 1
K2, = conductividad hidráulica circulando el fluido de viscosidad 2
Si en ambos casos el fluido es el agua, la viscosidad varía con la temperatura, de modo que los valores de
pueden obtenerse de la tabla siguiente:

temp
(ºC)
Densidad
(10
3
Kg/m
3
)
Viscosidad
dinámica
(10
–3
.Kg/(m.s))
Viscosidad
cinemática
(centistokes
=10
–6
m
2
/s)
temp
(ºC)
Densidad
(10
3
Kg/m
3
)
Viscosidad
dinámica
(10
–3
.Kg/(m.s))
Viscosidad
cinemática
(centistokes
=10
–6
m
2
/s)
0 0,99982 1,792 1,792 20 0,99829 1,003 1,005
1 0,99989 1,731 1,731 21 0,99808 0,979 0,981
2 0,99994 1,674 1,674 22 0,99786 0,955 0,957
3 0,99998 1,620 1,620 23 0,99762 0,933 0,935
4 1,00000 1,569 1,569 24 0,99738 0,911 0,913
5 1,00000 1,520 1,520 25 0,99713 0,891 0,894
6 0,99999 1,473 1,473 26 0,99686 0,871 0,874
7 0,99996 1,429 1,429 27 0,99659 0,852 0,855
8 0,99991 1,386 1,386 28 0,99631 0,833 0,836
9 0,99985 1,346 1,346 29 0,99602 0,815 0,818
10 0,99977 1,308 1,308 30 0,99571 0,798 0,801
11 0,99968 1,271 1,271 31 0,99541 0,781 0,785
12 0,99958 1,236 1,237 32 0,99509 0,765 0,769
13 0,99946 1,202 1,203 33 0,99476 0,749 0,753
14 0,99933 1,170 1,171 34 0,99443 0,734 0,738
15 0,99919 1,139 1,140 35 0,99408 0,720 0,724
16 0,99903 1,109 1,110 36 0,99373 0,705 0,709
17 0,99886 1,081 1,082 37 0,99337 0,692 0,697
18 0,99868 1,054 1,055 38 0,99300 0,678 0,683
19 0,99849 1,028 1,030 39 0,99263 0,666 0,671
Por ejemplo: para 19 ºC: visc dinámica= 1,028.10–3
Kg/(m.s)      ;    visc cinemática= 1,030.10–6
m2
/s
Ejemplo: Hemos medido la K de unas arenas circulando agua a 24ºC= 13,8 m/día. Calcular la K con agua
a 5ºC.
5º 24º
24º 5º
K
K


 ; 5º
0,913
13,8 8,29
1,520
K m/día . m/día 
Lógicamente, los caudales calculados al aplicar la Ley de Darcy variarán en la misma proporción en que
varía la K.

Apéndice 2. Flujo a través de varias capas:
Obtención de la permeabilidad equivalente
Flujo paralelo a las capas:
Caudal a través de la capa superior por
metro de ancho (ver “1 m” en la figura):
 
l
h
bKQ


 1111
(entre corchetes [ ] figura la sección)
El caudal total será la suma del que
circula a través de todas las capas
consideradas:
   


l
h
bKQQ iii
(el gradiente
l
h


está fuera del sumatorio ya
que es común a todas las capas; ver h e l en
la figura)
Haciendo el cálculo de Q de otro modo, podemos calcular el caudal total aplicando la
ley de Darcy a todas las capas conjuntamente, utilizando una Kh equivalente (cuyo valor aún
desconocemos); llamamos  B a la suma de todos los espesores (B =  bi)  :
 
l
h
BKQ h


 1 (entre corchetes [ ] figura la sección)
Igualando las dos expresiones anteriores:
   
l
h
BK
l
h
bK hii





  1        ;        BKbK hii 
y despejando Kh obtenemos:
 
B
bK
K
ii
h
 

siendo: Kh = conductividad hidráulica horizontal equivalente
Ki = conductividad hidráulica de cada
una de las capas
espesores
Si el flujo es perpendicular a las capas,
consideremos el caudal vertical que atraviesa una
sección unidad (q= caudal específico o caudal por
m2 de sección):
Caudal que atraviesa verticalmente el
conjunto de capas (el h total está indicado en la
figura):
K1
K3
K2
Q es el caudal que pasa por la sección de anchura unidad y altura
el espesor de las capas (rectángulo punteado grueso).
Los dos sondeos están ranurados en las tres capas. (Podrían estar
abiertos solamente en un punto cualquiera de su vertical, ya que
suponemos que no existe variación del potencial hidráulico en la
misma vertical)
b1
b3
b2
Dl
Dh
1 m
Q
B
q es el caudal que circula verticalmente por la sección unidad
perpendicular a las capas (vertical a través del prisma señalado
en punteado grueso).
Los dos sondeos están abiertos en sus extremos (por encima y
por debajo de las tres capas).
1 m 2
q
Dh
B
K1
K3
K2
b1
b3
b2

B
h
Kq v


Caudal que atraviesa verticalmente la capa nº 1:
1
1
11
b
h
Kq


(h1 = diferencia de potencial entre los límites superior e inferior de la capa 1)
Los dos caudales anteriores son iguales, ya que es el mismo caudal q el que atraviesa la
primera capa  (ahí lo hemos llamado q1), pasa luego a la segunda, etc.; luego igualamos las
dos últimas ecuaciones:
1
1
1
b
h
K
B
h
Kv




Y despejando  h1 resulta:
1
1
1
K
b
B
h
Kh v 


Aplicando la última expresión a todas las capas y sumando:
 


i
i
vi
K
b
B
h
Kh
Como la diferencia de potencial hidráulico de todo el conjunto es la suma de las
diferencias de potencial de cada una de las capas ( hhi  ):



i
i
v
K
b
B
h
Kh
Finalmente, despejando Kv :


i
i
v
K
b
B
K
siendo: Kv = conductividad hidráulica vertical equivalente
Ki = conductividad hidráulica de cada una de las capas
B = espesor total, suma de todos los espesores

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