1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica
De la Fuerza Armada
Unefa Núcleo Lara
Prof. Estudiantes
Yolimar Atacho Alinger Campos
Joel Soteldo
José Pernalete
Richard Terán
Sarahis Vásquez

2. Cosenos directores de una recta en el espacio.
La dirección de una recta cualquiera en el espacio se determina por los ángulos
que forma con los ejes coordenados.
Ejemplo:
Sea l cualquier recta dirigida en el espacio que
no pasa por el origen ( 0 ), y tenemos otra recta
l’ que si pasa por el origen, es paralela a l y
en el mismo sentido, entonces los ángulos α, β
, y y formados por las partes positivas de los
ejes X, Y y Z, y la recta se llaman ángulos
directores de la recta dirigida l .

3. En la resolución de nuestros problemas, veremos que generalmente es mas
conveniente usar los cosenos de los ángulos directores en lugar de los ángulos mismos.
Estos cosenos, cos a , cos β , cos y , se llaman cosenos directores de la recta dirigida l.
Si las rectas fuesen de sentido opuestos sus valores serian iguales pero con el signo
opuesto en este caso serian -cos a , -cos β y -cos y.
Si determinamos los cosenos directores de una recta l que pasa por los puntos
P1 (x1, y1, z1 )
P2 (x2, y2, z2).
Por cada uno de los puntos P1 y P2, debemos pasar planos paralelos a los
coordenados, formando así un paralelepípedo recto rectangular cuya diagonal es P1 P2 , y
cuyas aristas paralelas a los ejes X, Y y Z son, respectivamente, P1V1, P1 V2, P1V3 ,. Si cada
arista tiene el mismo sentido que el eje a que es paralela, los ángulos directores son:
α= ángulo P2 P1 v1
β= ángulo P2 P1 V2
y= ángulo P2 P1 V3

4. Ahora consideremos ( b ) , (c) y ( d ) ] los
tres triángulos rectángulos formados por
los dos puntos P1 y P2 y cada uno de los
vértices V1 , V2 y V3. Para cada uno de
estos triángulos sea d = lP1 P2l, en que d
se determina según el siguiente teorema:
P1V1 = x2 - x1
P1 V2 = y2 - y1
P1 V3 = Z2 - Z1
Por tanto, de los tres triángulos, tenemos, para los cosenos directores:
Si elevamos al cuadrado ambos miembros de cada una de las ecuaciones y
sumamos, obtenemos:

5. También tenemos que:
Por lo tanto aplicamos un teorema muy importante que dice:
La suma de los cuadrados de los cosenos directores de cualquier recta es igual a la
unidad
COROLARIO: De los cosenos directores de una recta uno, cuando menos, es diferente
de cero.

6. Ángulos Formados por 2 rectas.
Vamos a determinar el ángulo θ formado por dos rectas cualesquiera dirigidas , l1 y l2 , en el
espacio . Sean l’1 y l’2 dos rectas trazadas por el origen y paralelas, y del mismo sentido, a
l1 y l2, respectivamente. Por definición, el ángulo formado por las rectas dirigidas l1 y l2 , es
el ángulo θ . Sea P1 (x1, y1, z1 ) un punto cualquiera , distinto del origen , sobre l’ , y
1
P2 (x2, y2, z2). otro punto cualquiera, distinto del origen sobre l’ .
2
También , sea:
Por ley de cosenos tenemos para el triangulo OP1P2,:
Y por teoremas tenemos que:

7. Si sustituimos estos últimos valores en el numerador del segundo miembro de
la primera ecuación, y simplificamos , obtenemos:
Sean α1, β1 , y y1, los ángulos directores de l1 y , por tanto, de l’1 ,
y , α2, β2 , y y2 los ángulos directores de l2 , por tanto, de l’2. por
el teorema, tenemos:
Sustituyendo en la siguiente ecuación
tenemos la relación buscada:

8. Esta igualdad nos dice :
Teorema .El ángulo θ formado por dos rectas dirigidas cualesquiera en el espacio, cuyos
ángulos directores son α1, β1 , y y1 y α2, β2 , y y2 , respectivamente, se determina por
la relación:
Corolario 1: Para que dos rectas sean paralelas y del mismo sentido es condición
necesaria y suficiente que sus ángulos directores correspondientes sean iguales; para que
sean paralelas y de sentidos opuestos es necesario y suficiente que sus ángulos
directores correspondientes Sean suplementarios .
Corolario 2: Para que dos rectas dirigidas sean perpendiculares es necesario y suficiente
que la suma de los productos de sus cosenos directores correspondientes sea igual a
cero.
Ahora vamos a obtener los
resultados del teorema y sus
dos corolarios en función de los
números directores de las dos
rectas.Sean [a1 , b1 , c1] y
[a2 , b2 , c2 ] los números
directores de las dos rectas, l 1
y l 2
Respectivamente tenemos:

9. Sustituyendo estos valores obtenemos:
Teorema. El ángulo θ formado por dos rectas dirigidas cualesquiera en
el espacio , cuyos números directores [a1 , b1 , c1] y [a2 , b2 , c2
], respectivamente , esta determinado por la relación.

10. Corolario 1: Para que dos rectas dirigidas sean paralelas es necesario y suficiente que sus
números directores correspondientes sean proporcionales.
Corolario 2: Para que dos rectas dirigidas sean perpendiculares es necesario y suficiente
que la suma de los productos de sus números directores correspondientes sea igual a cero.
Ecuación General del Plano.
La ecuación puede escribirse en la forma:
y como la expresión encerrada entre paréntesis es una constante y , por tanto , puede
reemplazarse por el termino constante - D , resulta que la ecuación es de la forma:
Reciprocamente, si P2 (x2, y2, z2). es un punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación y
por tanto, a la ecuación anterior , se verifica que:
La ecuación general de un plano es de la forma:
en donde A, B , C y D son constantes, y [ A , B , C ]
son los números directores de su normal.