1. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
EXAMEN SUPLETORIO ALGEBRA LINEAL
1.- Sea:
3 0
2 3
A
 
  
 
a ) Hallar
n
A
3
3
1 0 0
2 0
0
0 1
B
A I B
A
 
 
 
 
 
 
 


 
/
2
/
0 0 0 0
2 0 2 0
0 0
0 0
B
  
  
 
 
 
 

B Es Nilpotente
0
001
2 2 2
1
1
1
1
1
( 3) ( 3)
(
( 3 ) ( 1)
( 3 ) ( 3 ) ....
( 3 )
( 3 ) ( 3 )
1!
( 3) ( ) ( 3) ( )
( 3) ( 3)
1 0 0 0
3)
(
....
1
3)
0 1
0
! 2!
2 0
0
n
n n
n
n n n
n n n n n
n
n n
n
n
n
n
n n
n
n
A I B
A
n
A
n I B n n
I I B
I I B
A I n I B
A I
B
A
B
n
n
A

 




  

  
  
  
   
   
   
 




 
   


 





/
1
1
/
2 ( 3)
0 0
0
( 3) 0
2 ( 3) ( 3)
n
n
n
n
n
A
n
n


  
  
 
 
  
  


15

2. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
2.- Determinar para que valores de  el sistema:
𝝀
a) Tiene solución única.
b) Tiene infinitas soluciones.
c) No tiene solución.
2
2 2-2 1 3 3- 2
3 3- 1
//
2 2-2 1
3 3- 1
1 1 -1
2 -1 1 0
1 -2 - -
) ! -{-2
1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1
2 -1 1 0 -3 3 0 -3 3
1 -2 - 0 -3 - 1 0 0 - -2
1 1 -1 -1 1 1 -1 -2
2 -1 1 0 0 -3 3 4
1 -1 2 6 0 -3 3
}
8
-2
F F F F F F
F F F
F F F
F F F
a solución
si

  
  


 



 
 
 
 
 
   
 

   
   
   
  
 

 
R
3 3- 2
//) -2
)
1 1 -1 -2
0 -3 3 4 0 4
0 0 0 4F F F
c solucion si
b no existe valor de para que haya soluciones





 
 
  
  

 




3. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
3.- Demostrar que
1 0
( , , ) 0 1 0
1 1
a
W a b c b
c
 
 
  
 
 
es un s.e.v. de 3
R .
//
//
//
1 0
0 1 0
1 1
( , , ) /
(0,0,0)
0 0
{ }
W ,
( , )
. .
( , , )
( , , )
)
)
( , , )
}( )
V
V
a
b c a b a c b
c
a b c a c b
a c b
O
W
P D
W
u b c
i
i
b c
v y z y z
u v b c y z b y
O W
u v W u v Wi
c z
   
 
  

  

 
  
  
     
  

 
 

3
//
//
//
)
W es un subesp
( )( )
acio vectorial de
( , , )
. ( ( )
( )
, . , . )
W
u b c b c
u b
u W K u
c
W
b c
iii
W  




  
 
   




R

4. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
4.- Hallar una base de la cápsula de S.
 2 2
1 ,2 2 ,3 2S t t t t    
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
(1 ) (2 2 ) (3 2 )
(1 ) (2 2 ) (3 2 )
2 2 3 2
( 2 3 ) (
/
2
{ }t t t t
t t t t
S a bt ct a bt ct
a bt ct
a bt ct
a bt
t
ct
t t t     
  




  


          
  
 
     
     
    

 2
2
2
2
2
2 1 3 3 2
2 3
2
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 0 2 0 2 1 0 2 1
0 2 1 0 2 1 0 0 0
{ / 0}
{ / }
{( ) /
) ( 2 )
}
F F F F F F
a a a
b a b a b
c c a b c
S a bt ct a b c
S a bt ct a b c
S b c bt ct b c
a
b
c
t t
  
 
 
 
   
  





     
     
      
   
 
 
 
   
     
     
     
 


 
  
   
  


R
/
2
/
//
2
2
2
2
' '
{( ) ( ) / }
{ ( 1 ) ( 1 ) / }
1 , 1
( ) 3 #
( ) 3 1
{
#
}
2 '
S S gener
S b bt c ct b c
S b t c t b c
t t
Dim P t restriccione
a a S
de vector
s
Dim P es de St
       
       
   
 
 


R
R

5. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
5.- Dado:
( )  (1,1,1)B  Base del Núcleo de f .
( )
a) Hallar la aplicación lineal f .
b)
2 2 1 1 1 1 1 3
2
2
, , (1,1,0) (1,0,0) (1,1,1)
1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
( , ,
(1,1,
)
0
(
1) 0 0
F F F F F F F F F
x y z
x x y y z
y y x y x y x
z z z z
y z
y x
z
f x y z
f
f
t t





 
     
  
       
      
              
      
      
 
 


  
3
2
2
//
2 2 2
2 2
2
1,1,0) (1,0,0) (1,1,1)
( , , ) (1 ) (2 2 ) (0 0 0 )
( , , ) ( )
: ( )
, , ( , , ) ( 2 3 ) (
(2 2 ) ( )
( , , ) ( 2 3 ) )
)
(
f f
f x y z y z t y x t z t t
f x y z y z y z t y x y x t
f x y z x y z x z
f P t
x y z f x y z x y z x z t
t
  
        
       
  

       
   
R

6. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
6.- Sea la aplicación lineal
( ) ( ) ( )
a) Calcular
1
f 
b)
 
 
2 2 1
1 13 3 1
PD: Biyectividad
Nf: ( , , ) f (x,y,z) = 0v
Nf: ( , , ) , , 2 (0,0,0)
1 1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 0 1 1 0
1
i) Inyect
1 1 0 0 0 1 0
ividad
F F F
F FF F F
x y z
x y z x y x z x y z
 
  
    
   
   
    
   
   
  
1 1 3
3
2 2 2 3
ii) Sobreyectividad
1 0 1 0 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
Nf = 0,0,0 f es inyectiva
Dim R = Dim Nf + Dim Img f
F F F
F F F F
 
 
   
   
      
   
   

3
3 = 0 + Dim Img f
3 = Dim Img f = Dim R f es Sobreyectiva
    
  
1
f es Biyectiva
Img f
Img f
f
= , , f , , = a,b,c
= , , , , 2 a,b,c
1 1 0
1 0 1
1 1 1
a b c x y z
a b c x y x z x y z
a


 
    





//
1 1 32 2 1 1 1 2
2 2 33 3 1
(a,b,c
1 1 0 1 0
) f (a,b,c) = a+b c,
1 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
b c, c a
F F FF F F F F F
F F FF F F
a b b a c
b b a b a b a
c c a c a c a    
  
       
      
              
             
   


7. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
7.- Sea
 
 
3
2
2
1
2 2
2
: ( )
( , , ) ( , , ) ( ) ( 2 ) ( )
(1,0,1)(1,1,0)(0,1,1)
1 , ,
f P t
a b c f a b c a b c a b c t a b t
B
B t t t t

        

  
R
Bases de 3
R y  2P t respectivamente.
a ) Hallar   1
2
C
C
f
b) Hallar  1
2
B
B
f Utilizando matrices de cambio de Base.
 
       
   
2
2
2
1 1 1
2 2 2
1
2
2
1
2
//
2
2
2
1
12
2
2
1
(1,0,0) (1,0,0) 1
(0,1,0) (0,1,0) 1 2
(0,0,1)
) (1) ( ) ( )
(1) ( ) ( )
(1) ( ) ( )
1 1 1
1 2 1
1 1 0
)
(0,0,1) 1
C B
B
C
C
B
B
C
B
C
C C
a t t
t t
t t
Id Id
f t t
f t t
f t
f
Id Id
b f f
  
  
  
  
   
  
 
 
   
   
   

  
 







 
 
 
 
2 2 1 3
2
2
3 2
2
2
1
1
1
/
/
/
/
1
2
1 0 0
1 1 0
0 1 1
1 1 0
0 1 1
1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
11 0 0
1 1 0
1 1 1
F
B
C
B
C
B
C
B
B
F F F F F
Id
Id
f

   
     
     
       
       
 
 
  
  
 
 
 
 
 
 
 
  

 

  
 
 

 
//
1
2
0 0
1 1
1 2
2
0 1 1
1 1 0
1 1 0
0 11
1 1 0
1
1 0 1
B
B
f
  
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 





 


8. ESCUELA POLITECNICA NACIONAL
.8.- Sea 3 3
( )f L R R
9 3 0
3 12 3
0 3 9
A
 
 
   
  
a)Hallar valores y vectores propios
b) Hallar las imágenes de los vectores propios.
 
   
     
2
9 3 0 9 3 0 9 3 0
12 3
3 12 3 0 12 3 0 12 3 9
6 9
0 3 9 9 3 9 0 6 9
C1 C1-C3 f3 f3+f1
9 21 90
9 15 6
1 6
2 9 valores prop
A I
  

   

   
  
  



     
 
          
 
       
 
  
  

  ios
3 15
1 6
3 3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
3 6 3 0 3 6 3 0 0 3 3 0 0 3 3 0 0 1 1 0
0 3 3 0 0 3 3 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0
0 1 1 0 x-z = 0 ; y-z = 0
0 0 0 0
1 =
Para
V





             
         
                    
                    
 
 
 
 
 
  
  
  
, , y=z
1 = , ,
1 = 1, 0,1 a 1
dim 1 3 #
vector prop
=3-2= 1 = #vectoer
io
es en
x y z x z
V z z z z R
V S genera V
V restriciones

 

 


 
  
  
  
  ' '
S
Para 2= 9
0 3 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0
3 3 3 0 1 1 1 0 1 1 1 0
S es bas
0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
V 2 , , 0 x = y-z
V 2 , 0,
1, 0,1
1, 0,1 genera a V 2
vector prop
e d
o
1
i
e
x y z
V
y
z z z R
c z z R
S S





      
     
          
          
  
  
 


 
' '
S es base de V
Dim V 2 3 #
= 3-2= 1= #vect en S
Para 3=15
6 3 0 0 3 3 3 0 1 1 1
3 3 3 0 6 3 0 0 6 3 0
0 3 6 0 0 3 6 0
2
0 3 6
rest



 
        
   
           
         

  
 
  
  
 
0 1 1 1 0 1 1 1 0
0 0 3 6 0 0 3 6 0
0 0 3 6 0 0 0 0 0
1f1 f2 f1 f1 f2 f2 + 6 f1 f3 f3
vector
+ f2
3
V 3 , , 2
V 3 , 2 ,
V 3 1, 2,
pr i
1
op ox y z x z y z
z z z z R
z z



    
     
      
          
   
    
  
  
  
      
'' ''
'' ''
1, 2,1 S genera a V 3
Dim V 3 3 #
=3 - 2 = 1 = # vect en S base de V
B= 1,1,1 ; 1, 0,1 ; 1, 2,1
3S
R
S
re
es
st




 
 
 
