Este documento presenta un resumen de la teoría de funciones de una variable real. Introduce a los principales matemáticos fundadores del cálculo infinitesimal, Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Explica que descubrieron que el cálculo de tangentes y áreas eran aspectos de un mismo fenómeno y que se podían estudiar los cambios en fenómenos físicos con esta nueva técnica. El documento también incluye el índice de contenidos de un libro sobre funciones reales.

1. TEORÍA DE FUNCIONES
DE UNA VARIABLE REAL
I. Barrow (1630–1677), Lectiones Geometricae
Editado por
José L. Arregui, Julio Bernués,
Bienvenido Cuartero y Mario Pérez,
sobre apuntes del área de Análisis
Matemático

3. III
Isaac Newton (1643–1727) Gottfried Leibniz (1646–1716)
“Ahí intervinieron los dos verdaderos fundadores del Análisis. N y L, Newton y Leibniz, padres
enemigos que se destrozaron para que fuese reconocida su paternidad. Se les deben dos descu-
brimientos esenciales.
El primero: Descubrieron que las dos direcciones distintas en que los matemáticos habían
trabajado hasta entonces, determinación de tangentes y cálculo de áreas, constituían de hecho las
dos caras de un mismo fenómeno y se podía pasar de una a otra. Se podía, a partir de tangentes,
remontar a la curva, de la función derivada se podía remontar a la función de la que era la
derivada. ¡Una rectificación había sido llevada a una cuadratura! ¡Si los griegos levantaran la
cabeza!
Esto fue una revelación en el mundo de los matemáticos. El mismo útil era capaz de efec-
tuar acciones tan distintas como calcular la longitud de una curva, determinar el área de una
figura, calcular el volumen de un sólido, situar el centro de gravedad de una figura, localizar los
mínimos y los máximos de una curva, determinar las tangentes, expresar las velocidades y las
aceleraciones. Una especie de útil universal que entusiasmó a los que se ocupaban de física. Las
variaciones de toda clase de fenómenos podrían, en lo sucesivo, estudiarse con esta técnica. Se
abría una gran puerta al conocimiento de los fenómenos físicos. ¡La física y la mecánica habían
encontrado su herramienta! La cual era matemática.
Consecuencia: el ‘movimiento’, excluido frecuentemente de las matemáticas, hacía una en-
trada triunfal. A fines del siglo XVII, el mundo cristalizado de las figuras de la Grecia antigua se
animó. Se pasó de la fotografía al cine.
La segunda: ‘N y L’ hicieron de ese nuevo campo un ‘cálculo’, provisto de reglas, el cálculo
infinitesimal. La derivación se convirtió en una operación. Operación de nuevo género que actua-
ba no sobre números sino sobre cantidades variables relacionadas con curvas. Operación que se
podía efectuar con ayuda de un algoritmo sistemático.”
(Denis Guedj, El teorema del loro. Ed. Anagrama, Barcelona (2000), pp. 376–377.)

5. Índice general
1. Números reales 1
1.1. Sistemas numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Números naturales: principio de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Números enteros y racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3. Números reales: operaciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Ordenación de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1. Desigualdades fundamentales en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2. Valor absoluto de un número real. Desigualdades básicas . . . . . . . . . . . 6
1.2.3. Conjuntos acotados en R. El axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4. Propiedad arquimediana de R: consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.5. Números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.6. Intervalos en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Apéndice: expresión decimal de un número real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Funciones reales de una variable real. Generalidades 17
2.1. Primeros conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1. Funciones. Clases particulares de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3. Ejemplos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1. Funciones exponencial y logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2. Funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . 26
2.2.3. Funciones hiperbólicas. Funciones hiperbólicas inversas . . . . . . . . . . . 31
2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Sucesiones de números reales 37
3.1. Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.1. Definición de sucesión. Sucesiones acotadas y sucesiones convergentes. Lí-
mite de una sucesión convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2. Sucesiones monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.3. Operaciones con sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.4. Desigualdades y límites. Regla del sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.5. Subsucesiones. Teorema de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.6. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Límites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
V

6. VI ÍNDICE GENERAL
3.2.1. Sucesiones divergentes. Propiedades. Operaciones con sucesiones divergentes 50
3.2.2. La recta ampliada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.3. Límite superior y límite inferior de una sucesión. Límites de oscilación . . . 56
3.3. Límites de sucesiones y funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4. Continuidad 63
4.1. Límites de funciones reales de una variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.1. Definición de límite de una función. Unicidad del límite. Límite por sucesiones 63
4.1.2. Límites infinitos y límites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.3. Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.4. Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.5. Límites de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.6. Límites y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.7. Condición de Cauchy para funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.8. Límites de restricciones y extensiones de funciones . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.1. Definiciones de continuidad. Operaciones con funciones continuas . . . . . . 73
4.2.2. Propiedades de las funciones continuas: teoremas de Weierstrass, Bolzano y
Darboux; funciones continuas monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.3. Clasificación de discontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.4. Continuidad uniforme. Teorema de Heine. Extensión de funciones continuas 80
4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5. Derivación 85
5.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.1. Concepto de derivada. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.2. Interpretación geométrica y física de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.3. Derivabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.4. Cálculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.1.5. Derivabilidad de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2. El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.1. Extremos relativos y derivada nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.2. Teoremas de Rolle y del valor medio (o de los incrementos finitos) . . . . . . 92
5.3. Aplicaciones del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.1. Funciones con derivada acotada y con derivada nula . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.2. Signo de la derivada y monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3.3. Propiedad del valor intermedio para derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.4. Teorema del valor medio generalizado. Regla de L’Hospital . . . . . . . . . 97
5.4. Aproximación polinómica local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.4.1. Desarrollos polinómicos. Teorema de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . 100
5.4.2. Aplicación al cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4.3. Fórmula de Taylor con resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4.4. Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.4.5. Convexidad y concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4.6. Representación gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7. ÍNDICE GENERAL VII
6. La integral de Riemann 119
6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.1.1. Definición de integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.1.2. Propiedades básicas de las sumas de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.1.3. Existencia de la integral: condición de Riemann. Integrabilidad de las funcio-
nes monótonas y de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.1.4. Sumas de Riemann. Definición de integrabilidad de Riemann: comparación
con la de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2. Propiedades básicas de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.2.1. Operaciones con funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.2.2. Integración en subintervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2.3. Teoremas de la media (o del valor medio) del cálculo integral . . . . . . . . 137
6.3. Teoremas fundamentales del cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.3.1. Regla de Barrow (primer teorema fundamental del cálculo integral) . . . . . 139
6.3.2. Continuidad y derivabilidad de una integral con extremo de integración variable141
6.4. Apéndice: construcción de las funciones logarítmica y exponencial . . . . . . . . . . 146
6.5. Apéndice: cálculo de áreas, longitudes y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.6. Apéndice: cálculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.6.1. Métodos básicos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.6.2. Integrales elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.6.3. Integración de algunos tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7. Integrales impropias 161
7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.1.1. Integrales impropias: definición de integrales impropias convergentes, diver-
gentes, oscilantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.1.2. Primeras propiedades de las integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.2. Convergencia de integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.2.1. Convergencia de integrales impropias con integrando no negativo. Criterios
de comparación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.2.2. Integrales impropias de integrando cualquiera: convergencia absoluta y con-
vergencia condicional. Criterios de Abel y Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 167
7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8. Series numéricas 171
8.1. Definición y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.1.1. Series: términos y sumas parciales. Series convergentes, divergentes y oscilantes171
8.1.2. Linealidad de la convergencia de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.1.3. Series telescópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.1.4. Condición necesaria para la convergencia de una serie. Condición general de
convergencia de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.2. Series de términos no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2.1. Convergencia de una serie de términos no negativos. Criterios de comparación 175
8.2.2. Otros criterios. Convergencia de algunas series de términos no negativos . . . 177
8.3. Series de términos cualesquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.3.1. Series alternadas: criterio de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

8. VIII ÍNDICE GENERAL
8.3.2. Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.3.3. Criterios generales de Cauchy (de la raíz) y de D’Alembert (del cociente) . . 182
8.3.4. Criterios de convergencia de Abel y Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.4. Propiedad conmutativa para series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.5. Apéndice: sumación de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9. Series de potencias. Desarrollos en serie de Taylor 189
9.1. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.1.1. Convergencia de las series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.1.2. Propiedades de las funciones representadas por series de potencias . . . . . . 192
9.2. Desarrollos en serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10. Sucesiones y series de funciones 201
10.1. Sucesiones y series de funciones: convergencia puntual . . . . . . . . . . . . . . . . 201
10.2. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
10.2.1. Definición de convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
10.2.2. Convergencia uniforme y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
10.2.3. Convergencia uniforme e integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
10.2.4. Convergencia uniforme y derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10.3. Una condición suficiente para la convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11. Funciones elementales 209
11.1. Funciones elementales y series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.1.1. Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
11.1.2. Función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
11.1.3. Funciones exponencial y logarítmica de base cualquiera . . . . . . . . . . . 212
11.1.4. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11.2. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
11.3. Apéndice: el número π es irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Retratos 223
Bibliografía 233
Índice de símbolos 235
Índice alfabético 237

9. Capítulo 1
Números reales
1.1. Sistemas numéricos
1.1.1. Números naturales: principio de inducción
Los números 1, 2, 3, . . . , reciben el nombre de números naturales. Con ellos se realizan dos ope-
raciones, la suma de números naturales y el producto de números naturales, que dan como resultado
otro número natural perfectamente definido. Para dos números naturales cualesquiera m y n, su suma
suele representarse por m + n y su producto por m · n o mn (si no hay lugar a confusión). Si denotamos
con N el conjunto de todos los números naturales, podemos pensar en la suma y el producto como
aplicaciones del producto cartesiano N × N en N:
+ : N×N → N, · : N×N → N.
(m, n) → m+n (m, n) → m·n
A continuación describimos las propiedades fundamentales de estas operaciones (m, n, p repre-
sentan números naturales cualesquiera):
• Propiedad asociativa de la suma: (m + n) + p = m + (n + p).
• Propiedad conmutativa de la suma: m + n = n + m.
• Propiedad asociativa del producto: (mn)p = m(np).
• Propiedad conmutativa del producto: mn = nm.
• Elemento neutro (identidad) para el producto: hay un número natural, que denotamos por 1,
tal que 1 · n = n · 1 = n.
• Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: m(n + p) = mn + mp.
Se puede asimismo comparar el tamaño de dos números naturales cualesquiera y establecer así una
relación de orden en N. Suele escribirse m ≤ n para indicar que m es menor o igual que n (o lo que
es lo mismo, que n es mayor o igual que m, lo que también se escribe n ≥ m); y se escribe m < n (o
n > m) para expresar que m es estrictamente menor que n, es decir, que m es menor (y distinto) que n.
Esta relación cumple las siguientes propiedades (m, n, p representan números naturales cualesquiera):
• Propiedad reflexiva: m ≤ m.
1

10. 2 Capítulo 1. Números reales
• Propiedad antisimétrica: si m ≤ n y n ≤ m, entonces m = n.
• Propiedad transitiva: si m ≤ n y n ≤ p, entonces m ≤ p.
• Propiedad de orden total: siempre es m ≤ n o n ≤ m.
La ordenación de N no es independiente de la suma y el producto: para dos números naturales m,
n se tiene m > n si y solo si m = n + p para algún número natural p.
Principio de buena ordenación. Todo conjunto no vacío de números naturales posee un elemento
mínimo, es decir, dado S ⊆ N no vacío, existe un elemento m en S tal que m ≤ n para todo n ∈ S.
El principio de inducción. Esta es una de las propiedades de N que más vamos a usar durante el
curso. Se puede enunciar así:
• si un conjunto de números naturales contiene a 1 y por cada elemento n del conjunto también
n + 1 pertenece a él, entonces el conjunto es N. Es decir, dado S ⊆ N tal que 1 ∈ S y n + 1 ∈ S
siempre que n ∈ S, es S = N.
En la práctica, el principio de inducción suele aplicarse en términos de propiedades más que en térmi-
nos de conjuntos:
• supongamos que para cada número natural n se tiene una propiedad Pn que puede ser cierta o
falsa. Supongamos además que:
a) P1 es cierta;
b) si para algún n ∈ N la propiedad Pn es cierta, entonces la propiedad Pn+1 también es
cierta.
Entonces, Pn es cierta para todo n ∈ N.
La siguiente variante se llama principio de inducción completa:
• supongamos que para cada número natural n se tiene una propiedad Pn que puede ser cierta o
falsa. Supongamos además que:
a) P1 es cierta;
b) si para algún n ∈ N todas las propiedades P1 , P2 , . . . , Pn son ciertas, entonces Pn+1 también
es cierta.
Entonces, Pn es cierta para todo n ∈ N.
Es un hecho notable, señalado por el matemático italiano Peano en su obra Arithmetices principia
nova methodo exposita (Bocca, 1889) que todas las propiedades de los números naturales pueden
deducirse de las siguientes, llamadas en su honor axiomas de Peano para los números naturales:
• Para todo número natural n existe otro número natural, ns , que se llama siguiente o sucesor
de n.
• Existe un número natural, que denotamos por 1, tal que ns = 1 cualquiera que sea el número
natural n.

11. 1.1. Sistemas numéricos 3
• Para números naturales cualesquiera m y n, es ms = ns si y solo si m = n.
• Principio de inducción: si un conjunto S de números naturales contiene a 1 y por cada elemento
n ∈ S también ns ∈ S, entonces S = N.
Las operaciones de suma y producto y la relación de orden se definen entonces en términos de si-
guientes, véase por ejemplo [B IRKHOFF -M AC L ANE].
1.1.2. Números enteros y racionales
El conjunto de los números enteros . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . , que amplía el de los naturales,
se denota por Z. En él hay definidas dos operaciones, suma y producto, y una relación de orden. Las
propiedades de la suma, el producto y el orden para los números naturales también las cumplen los
números enteros. Y además:
• Elemento neutro (cero) para la suma: hay un número entero, que denotamos por 0, tal que
0 + n = n + 0 = n para cualquier entero n.
• Elemento opuesto para la suma: para cada entero n hay otro número entero (y solo uno), que
denotamos por −n, tal que (−n) + n = n + (−n) = 0.
Estas propiedades y las anteriores de la suma y el producto se resumen diciendo que Z, con estas dos
operaciones, es un anillo conmutativo. Para la relación de orden podemos añadir:
• Relación del orden con la suma: si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c.
• Relación del orden con el producto por números no negativos: si a ≤ b y c ≥ 0, entonces ac ≤ bc.
Principio de buena ordenación de los conjuntos acotados inferiormente. El principio de buena
ordenación de los números naturales no es válido para los números enteros: por ejemplo, el propio
conjunto Z no tiene elemento mínimo, pues para cada n ∈ Z es n − 1 < n. Sin embargo, hay una
propiedad análoga para cierta clase de subconjuntos: los acotados inferiormente.
Un subconjunto S ⊆ Z no vacío se dice que está acotado inferiormente si existe algún número
entero k ∈ Z tal que para todo n ∈ Z, k ≤ n. Todo conjunto no vacío S ⊆ Z acotado inferiormente
posee un elemento mínimo, es decir, existe un elemento m en S tal que para todo n ∈ S, m ≤ n.
Un principio de inducción. En Z puede hablarse del siguiente a un número entero, en el sentido
de que entre n y n + 1 no hay ningún otro número entero. No se cumple, sin embargo, el principio de
inducción, sino una propiedad similar aunque más débil:
• si un conjunto de números enteros contiene un número k y que por cada elemento n del conjunto
también n+1 pertenece a él, entonces el conjunto contiene a todos los números enteros mayores
o iguales que k. Es decir, si k ∈ S ⊆ Z y n+1 ∈ S siempre que n ∈ S, entonces S ⊇ {n ∈ Z : n ≥ k}.
Los números racionales. En Z es posible la resta, pero no la división. Esta operación es posible
(dividiendo por elementos distintos de 0) en el conjunto Q de los números racionales, que son co-
cientes de números enteros (con denominador no nulo). En este conjunto están definidas la suma y
el producto, y una relación de orden. Las propiedades de la suma, el producto y el orden para los
números enteros también las cumplen los números racionales. Y además:

12. 4 Capítulo 1. Números reales
• Elemento inverso para el producto: si a = 0, hay un número racional (y solo uno) que denota-
mos por a−1 o 1 , tal que a−1 a = aa−1 = 1.
a
Esta y las anteriores propiedades de la suma, el producto y el orden se resumen diciendo que Q es un
cuerpo conmutativo totalmente ordenado.
Señalemos que en Q no hay ninguna propiedad similar al principio de inducción. Ni siquiera
puede hablarse del siguiente a un número dado: concretamente, entre dos números racionales distintos
siempre hay otro número racional. En efecto: si a < b, es fácil comprobar que a < a+b < b.
2
Es fácil descubrir huecos en Q: por ejemplo, ningún número racional puede representar la longitud
de la diagonal de un cuadrado de lado 1. Dicho de otra forma, no existe ningún número racional a
tal que a2 = 2. En efecto: sea a ∈ Q; podemos escribirlo como a = m , con m y n enteros sin factores
n
primos comunes y n = 0. Si fuera a2 = 2 se seguiría que m2 = 2n2 , luego m2 es par, y también debe
serlo m; pero entonces m = 2p para algún entero p, y sustituyendo en m2 = 2n2 queda 4p2 = 2n2 . Es
decir, 2p2 = n2 ; luego n2 es par, y también deber serlo n. En resumen, m y n son pares; pero habíamos
supuesto que m y n no tenían factores comunes. La contradicción viene de suponer que a2 = 2.
Para poder hablar de números que representen estas cantidades se necesita una nueva ampliación
de los sistemas numéricos. Así pasamos a considerar el conjunto R de los números reales o, más
exactamente, las propiedades de R (sin entrar en su naturaleza: no decimos qué es un número real,
sino cómo se manejan los números reales).
1.1.3. Números reales: operaciones algebraicas
En R hay dos operaciones, suma y producto, respecto de las cuales es un cuerpo conmutativo.
Esto significa que si a, b, c son números reales cualesquiera, se cumple:
a) Propiedad asociativa de la suma: (a + b) + c = a + (b + c).
b) Propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a.
c) Elemento neutro (cero) para la suma: hay un número real, que denotamos por 0, tal que 0 + a =
a + 0 = a.
d) Elemento opuesto para la suma: hay un número real (y solo uno), que denotamos por −a, tal
que (−a) + a = a + (−a) = 0.
e) Propiedad asociativa del producto: (ab)c = a(bc).
f) Propiedad conmutativa del producto: ab = ba.
g) Elemento neutro (identidad) para el producto: hay un número real distinto de 0, que denotamos
por 1, tal que 1 · a = a · 1 = a.
h) Elemento inverso para el producto: si a = 0, hay un número real (y solo uno) que denotamos
por a−1 o 1/a, tal que a−1 a = aa−1 = 1.
i) Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: a(b + c) = ab + ac.
Todas las propiedades que usamos habitualmente se deducen de estas. Por ejemplo, veamos en detalle
cómo se prueba que para todo número real x es x · 0 = 0:
c) i)
x · 0 = x(0 + 0) = x · 0 + x · 0

13. 1.2. Ordenación de los números reales 5
y de d) se sigue
a) d) c)
0 = −(x · 0) + x · 0 = −(x · 0) + [(x · 0 + x · 0)] = [−(x · 0) + x · 0] + x · 0 = 0 + x · 0 = x · 0.
Los números reales se pueden representar gráficamente como puntos de una recta. Esto permite
ver, sobre todo, las relaciones de orden.
√
log 2 3
π
γ 2 π π2
−2 −1 0 11 1 π2 2 e3 4 5 6 7 8 9 10
32 6
1
√
√
2
2
La recta real, con algunos números señalados
1.2. Ordenación de los números reales
1.2.1. Desigualdades fundamentales en R
En R hay una relación de orden que extiende la de los números racionales. Las propiedades básicas
son las siguientes (a, b, c representan números reales cualesquiera):
• Propiedad reflexiva: a ≤ a.
• Propiedad antisimétrica: a ≤ b y b ≤ a =⇒ a = b.
• Propiedad transitiva: a ≤ b y b ≤ c =⇒ a ≤ c.
• Propiedad de orden total: a ≤ b ó b ≤ a.
• Relación con la suma: a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c.
• Relación con el producto: c ≥ 0, a ≤ b =⇒ ac ≤ bc; en particular, c ≥ 0, b ≥ 0 =⇒ bc ≥ 0.
Dados a, b ∈ R, se escribe a < b si a ≤ b y a = b.
De estas propiedades pueden deducirse sucesivamente (es un ejercicio recomendable) las siguien-
tes desigualdades, que utilizaremos de aquí en adelante sin más comentario según las necesitemos. En
lo que sigue, a, b, c, d, a1 ,. . . , an representan números reales cualesquiera.
• a ≤ b, b < c =⇒ a < c.
• a < b, b ≤ c =⇒ a < c.
• a < b =⇒ a + c < b + c.
• Suma de desigualdades: a ≤ b, c ≤ d =⇒ a + c ≤ b + d, siendo entonces a + c = b + d si y solo
si a = b y c = d.

14. 6 Capítulo 1. Números reales
• a1 , . . . , an ≥ 0 =⇒ a1 + · · · + an ≥ 0; además, a1 + · · · + an > 0 excepto si a1 = · · · = an = 0.
• a > 0, b > 0 =⇒ ab > 0.
• a > 0, b < 0 =⇒ ab < 0.
• a < 0, b < 0 =⇒ ab > 0.
• a2 ≥ 0.
• a = 0 =⇒ a2 > 0.
• 2ab ≤ a2 + b2 .
• 1 > 0, −1 < 0.
• a < b, c > 0 =⇒ ac < bc.
• a < b, c < 0 =⇒ ac > bc.
• a ≤ b, c ≤ 0 =⇒ ac ≥ bc.
• 0 ≤ a ≤ b =⇒ a2 ≤ b2 .
• 0 ≤ a < b =⇒ a2 < b2 .
1
• a > 0 ⇐⇒ > 0.
a
1 1
• 0 < a ≤ b =⇒ ≤ .
b a
1 1
• a ≤ b < 0 =⇒ ≤ .
b a
1.2.2. Valor absoluto de un número real. Desigualdades básicas
El valor absoluto de un número real a es el número real no negativo
a, si a ≥ 0;
|a| =
−a, si a ≤ 0.
Gráficamente corresponde a la distancia de a al origen.
Definición 1.2.1 (distancia entre números reales). Dados a, b ∈ R, se llama distancia entre a y b
al número real no negativo |a − b|.
Gráficamente, |a − b| mide la distancia geométrica entre los puntos a y b.
Recogemos las propiedades del valor absoluto que son de mayor interés para el resto del curso. Si
a, b, c, d denotan números reales cualesquiera, se verifica:
• |1| = 1; | − 1| = 1.
• | − a| = |a|.

15. 1.2. Ordenación de los números reales 7
• −|a| ≤ a ≤ |a|.
• |a| ≤ b ⇐⇒ −b ≤ a ≤ b.
• |a| < b ⇐⇒ −b < a < b.
• |a| > b ⇐⇒ a > b ó a < −b.
• |a| ≥ 0.
• |a| = 0 ⇐⇒ a = 0.
• |ab| = |a| · |b|.
• |a−1 | = |a|−1 siempre que a = 0.
• a2 ≤ b2 ⇐⇒ |a| ≤ |b|.
• a2 = b2 ⇐⇒ |a| = |b|.
Desigualdad triangular. Si a y b son números reales cualesquiera,
|a + b| ≤ |a| + |b|.
Esta desigualdad es muy útil, como iremos viendo. La demostración es sencilla: según las propiedades
anteriores,
−|a| ≤ a ≤ |a|, −|b| ≤ b ≤ |b|.
Sumamos las desigualdades y resulta −|a| − |b| ≤ a + b ≤ |a| + |b|, es decir,
−(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ (|a| + |b|).
Usamos otra de las propiedades anteriores (|c| ≤ d ⇐⇒ −d ≤ c ≤ d, cambiando la notación) y
deducimos que |a + b| ≤ |a| + |b|.
Desigualdad triangular inversa. Si a y b son números reales cualesquiera,
|a| − |b| ≤ |a − b|.
Esta desigualdad es consecuencia de la desigualdad triangular. En efecto: aplicando la desigualdad
triangular a los números b y a − b, resulta
|a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b|,
es decir,
|a| − |b| ≤ |a − b|.
Cambiando el papel de a y b, tenemos |b| − |a| ≤ |b − a| = |a − b|, es decir,
−(|a| − |b|) ≤ |a − b|.
De aquí se deduce que |a| − |b| ≤ |a − b|.

16. 8 Capítulo 1. Números reales
1.2.3. Conjuntos acotados en R. El axioma del supremo
Dado un subconjunto S de R y un número real a, si a ≤ s para todo s ∈ S se dice que a es una
cota inferior de S y que S está acotado inferiormente (por a). Si b es otro número real y b ≥ s para
todo s ∈ S, se dice que b es una cota superior de S y que S está acotado superiormente (por b). Si un
conjunto S está acotado superior e inferiormente, se dice que está acotado.
Un número real m se dice que es el mínimo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una
cota inferior. Es decir, si m ∈ S y m ≤ s para todo s ∈ S. Se escribe entonces m = m´n S.
ı
Un número real M se dice que es el máximo de un conjunto S si pertenece al conjunto y es una
cota superior. Es decir, si M ∈ S y M ≥ s para todo s ∈ S. En ese caso, se escribe M = m´ x S.
a
Un número real a se dice que es el ínfimo de un conjunto S si es la mayor cota inferior del S. Es
decir, si a ≤ s para todo s ∈ S y cada a > a no es cota inferior de S; de modo que se tendrá a > s
para algún s ∈ S. En ese caso, se escribe a = ´nf S.
ı
Dicho de otra forma, el ínfimo de un conjunto es el máximo del conjunto de cotas inferiores del
primero. Nótese que si a = ´nf S, será a = m´n S si y solo si a ∈ S.
ı ı
Un número real b se dice que es el supremo de un conjunto S si es la menor cota superior del S.
Es decir, si b ≥ s para todo s ∈ S y cada b < b no es cota superior de S; de modo que se tendrá b < s
para algún s ∈ S. Se escribe b = sup S.
Dicho de otra forma, el supremo de un conjunto es el mínimo del conjunto de cotas superiores del
primero. Nótese que si b = sup S, será b = m´ x S si y solo si a ∈ S.
a
El axioma del supremo, o axioma de completitud de R, es la siguiente propiedad que caracteriza
la diferencia entre Q y R:
• Todo subconjunto no vacío de R acotado superiormente tiene supremo.
La propiedad simétrica (todo subconjunto no vacío de R acotado inferiormente tiene ínfimo) es con-
secuencia de lo anterior.
1.2.4. Propiedad arquimediana de R: consecuencias
Teorema 1.2.2 (propiedad arquimediana de R). Dados dos números reales a, b, con a > 0, existe
algún número natural n tal que na > b.
Demostración. Sean a, b ∈ R, con a > 0. Razonemos por reducción al absurdo: supongamos que la te-
sis no es cierta, es decir, na ≤ b para todo número natural n, y veamos que se llega a una contradicción.
En tal caso, el conjunto S = {na : n ∈ N}, que no es vacío, estaría acotado superiormente (por b), luego
por el axioma del supremo tendría supremo. Sea s este supremo, es decir, s = sup S = sup{na : n ∈ N}.
Puesto que a > 0, s − a < s; según la definición de supremo, s − a ya no puede ser cota superior del
conjunto S, de modo que existirá algún elemento en S estrictamente mayor que s − a. Dicho elemento
será de la forma ma con m ∈ N, y así s − a < ma. Pero esto implica que s < ma + a = (m + 1)a y
obviamente (m + 1)a ∈ S, con lo cual s no es una cota superior de S. Hemos llegado a una contradic-
ción.
Aplicada al caso particular a = 1, la propiedad arquimediana muestra que el conjunto N de los
números naturales no está acotado superiormente por ningún número real.
Como consecuencia de la propiedad arquimediana se puede probar que todo número real está
comprendido entre dos enteros consecutivos.

17. 1.2. Ordenación de los números reales 9
Teorema 1.2.3 (parte entera de un número real). Dado x ∈ R, existe un número entero (y uno solo),
que suele denotarse con [x], tal que
[x] ≤ x < [x] + 1.
El número [x] se llama la parte entera de x.
Demostración. La desigualdad del enunciado equivale a decir que [x] es el mayor número entero que
es menor o igual que x. Para probar que existe, podemos utilizar uno cualquiera de los siguientes
caminos:
Primer camino. Comenzamos por observar que todo conjunto no vacío de números enteros aco-
tado superiormente tiene un elemento máximo, como se deduce del principio de buena ordenación de
los conjuntos minorados sin más que tomar opuestos. Pero el conjunto
S = {n ∈ Z : n ≤ x}
es no vacío, pues por la propiedad arquimediana existe n ∈ N tal que n > −x y así −n < x, luego
−n ∈ S; además, S está acotado superiormente (por x o por cualquier número natural superior a x, si
no queremos salirnos de Z). Por lo tanto, S tiene un elemento máximo, llamémosle m. Como m ∈ S, se
tendrá m ≤ x. Y como m es el máximo de S y m < m + 1, se deduce que m + 1 ∈ S, es decir, x < m + 1.
/
Segundo camino. Utilizamos que todos los números naturales son mayores o iguales que 1 (de-
mostrarlo por inducción) y que los números naturales son justamente los enteros positivos. Llamando
nuevamente S al conjunto de enteros menores o iguales que x, S es no vacío por el argumento anterior
y está acotado superiormente por x; aplicando el axioma del supremo, S tiene un supremo, al que
vamos a llamar s. Como s − 1 ya no es cota superior de S, por ser estrictemente menor que s, existirá
m ∈ S tal que s − 1 < m ≤ s. Pero m también es cota superior de S, dado que si algún n ∈ S verificase
n > m obtendríamos m < n ≤ s < m + 1, de donde 0 < n − m < 1, y n − m sería un entero positivo
menor que 1, imposible. Por tanto vemos que hay un elemento de S que es cota superior de S, es decir,
que es el máximo de S, y como antes deberá cumplir m ≤ x < m + 1.
La propiedad arquimediana permite también deducir cómo están distribuidos en R los números
racionales.
Teorema 1.2.4 (densidad de Q en R). Dados dos números reales a, b, con a < b, existe algún número
racional r tal que a < r < b.
Observación. Si existe tal r, podrá escribirse en la forma r = m/n con m ∈ Z y n ∈ N, de modo que
tenemos que encontrar m ∈ Z y n ∈ N tales que a < m/n < b o, lo que es lo mismo, na < m < nb. Es
intuitivamente claro, pensando en la representación gráfica de R, que entre dos números a distancia
mayor que 1 siempre se puede incluir un número entero (suponiendo los dos números positivos, por
ejemplo, superponiendo el segmento unidad consigo mismo hacia la derecha, la primera vez que
sobrepasemos el número más cercano al origen, no habremos sobrepasado el otro número). Esta es la
idea que vamos a tratar de utilizar.
Demostración. La propiedad arquimediana aplicada a b − a > 0 y a 1 nos asegura la existencia de un
n ∈ N tal que n(b − a) > 1, con lo cual nb > na + 1.
Sea ahora S = {p ∈ Z : p > na}. Este es un conjunto no vacío (¿por qué?) de números enteros
acotado inferiormente en Z (¿por qué?); por lo tanto, posee un elemento mínimo. Llamando m = m´n S,
ı
puesto que m ∈ S es m > na; y como es el mínimo de S, m − 1 no puede estar en S, lo que significa que
m − 1 ≤ na. Pero entonces m ≤ na + 1 < nb; así pues, na < m < nb y finalmente a < m/n < b.

18. 10 Capítulo 1. Números reales
1.2.5. Números irracionales
Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales. Veamos que existen
números irracionales. Ya sabemos que no hay ningún número racional cuyo cuadrado es 2, así que
vamos a probar que sí hay un número real positivo cuyo cuadrado es 2. Este número tendrá que ser
irracional.
Consideremos el conjunto S = {x ∈ R : x ≥ 0, x2 ≤ 2}. Este es un conjunto no vacío de números
reales (por ejemplo, 1 ∈ S). Y está acotado superiormente, ya que si x ∈ S,
x 2 ≤ 2 < 4 = 22 ,
de donde se deduce que x ≤ 2. Es decir, 2 es una cota superior de S. Luego el conjunto S tiene supremo.
Sea v = sup S; como 1 ∈ S, v ≥ 1 > 0. Comprobemos que no puede ser v2 > 2 ni v2 < 2.
Si v2 > 2, entonces tomando h = m´n{v, (v2 − 2)/2v} se tendría h > 0, v − h ≥ 0 y
ı
(v − h)2 = v2 − 2vh + h2 > v2 − 2vh ≥ v2 − (v2 − 2) = 2 ≥ x2 ,
para todo x ∈ S, de donde v − h ≥ x. Pero v − h no puede ser cota superior del conjunto S porque es
menor que su supremo.
Si v2 < 2, entonces tomando h = m´n{v, (2 − v2 )/3v} se tendría h > 0, v + h > 0 y
ı
(v + h)2 = v2 + 2vh + h2 ≤ v2 + 2vh + vh = v2 + 3vh ≤ v2 + (2 − v2 ) = 2,
o sea, v + h ∈ S. Pero esto no puede ser, porque v + h > v y en cambio para todo x ∈ S se tiene x ≤ v.
Queda así como única posibilidad v2 = 2. Este número positivo cuyo cuadrado es 2 se representa
√
por 2.
Teorema 1.2.5 (densidad de R Q en R). Dados dos números reales a, b, con a < b, existe algún
número irracional x tal que a < x < b.
Demostración. Sea y ∈ R Q cualquiera (ya hemos visto que existe alguno). Puesto que a − y < b − y,
según el teorema 1.2.4 existe algún r ∈ Q tal que a − y < r < b − y, de donde a < r + y < b. Por último,
r + y es un número irracional, ya que si fuera racional se tendría y = (r + y) + (−r) ∈ Q.
1.2.6. Intervalos en R
Reciben el nombre de intervalos los subconjuntos de R definidos del siguiente modo (a, b son
números reales cualesquiera):
• intervalo acotado y abierto: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b};
• intervalo acotado, cerrado por la izquierda y abierto por la derecha: [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b};
• intervalo acotado, abierto por la izquierda y cerrado por la derecha: (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b};
• intervalo acotado y cerrado: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b};
• intervalo abierto, acotado inferiormente pero no superiormente: (a, +∞) = {x ∈ R : x > a};
• intervalo cerrado, acotado inferiormente pero no superiormente: [a, +∞) = {x ∈ R : x ≥ a};
• intervalo abierto, acotado superiormente pero no inferiormente: (−∞, b) = {x ∈ R : x < b};

19. 1.3. Apéndice: expresión decimal de un número real 11
• intervalo cerrado, acotado superiormente pero no inferiormente: (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b};
• intervalo no acotado inferior ni superiormente: (−∞, +∞) = R.
Nótese que si a > b, (a, b) = 0, de modo que el conjunto vacío es un intervalo.
/
Los intervalos de R se caracterizan por la propiedad de los valores intermedios:
Proposición 1.2.6 (caracterización de los intervalos reales). Un subconjunto I de R es un intervalo
si y solo si dados x, y ∈ I, cada z ∈ R tal que x ≤ z ≤ y también pertenece a I (dicho de otro modo:
con cada dos valores están también todos los intermedios).
Demostración. Para probar la implicación directa basta un examen de todos los casos. Por ejemplo,
si I = (a, b), x, y ∈ I, y z ∈ R es tal que x ≤ z ≤ y, se tiene a < x ≤ z ≤ y < b, luego a < z < b y por
definición z ∈ I.
La implicación inversa es trivial en el caso de que I = 0. Suponemos, pues, I = 0. Pueden presen-
/ /
tarse las siguientes situaciones: a) I es acotado; b) I es acotado superiormente pero no inferiormente;
c) I es acotado inferiormente pero no superiormente; d) I no es acotado superior ni inferiormente.
Veamos cada una de ellas.
a) I es acotado. Sea a = ´nf I, b = sup I. Obviamente entonces (a, b) ⊆ I ⊆ [a, b], pues c ∈
ı
(a, b) ⇐⇒ a < c < b, y por definición de supremo e ínfimo existirán un x ∈ I con x < c y un y ∈ I
con c < y, luego c ∈ I; por otra parte, también por definición de supremo e ínfimo, de x ∈ I se sigue
a ≤ x ≤ b, o sea, x ∈ [a, b]. Ahora,
• si a, b ∈ I, [a, b] = (a, b) ∪ {a, b} ⊆ I ⊆ [a, b], luego I = [a, b];
• si a ∈ I, b ∈ I, [a, b) = (a, b) ∪ {a} ⊆ I ⊆ [a, b] {b} = [a, b), luego I = [a, b);
• si a ∈ I, b ∈ I, (a, b] = (a, b) ∪ {b} ⊆ I ⊆ [a, b] {a} = (a, b], luego I = (a, b];
• si a ∈ I, b ∈ I, (a, b) ⊆ I ⊆ [a, b] {a, b} = (a, b), luego I = (a, b).
b) I es acotado superiormente pero no inferiormente. Sea a = sup I, con lo que (−∞, a) ⊆ I ⊆
(−∞, a], pues para cada z ∈ I es z ≤ a y dado z < a, existe y ∈ I con z < y (por definición de supremo)
y existe x ∈ I con x < z (I no está acotado inferiormente), que con la hipótesis del enunciado da z ∈ I.
En consecuencia,
• si a ∈ I, (−∞, a] = (−∞, a) ∪ {a} ⊆ I ⊆ (−∞, a], luego I = (−∞, a];
• si a ∈ I, (−∞, a) ⊆ I ⊆ (−∞, a] {a} = (−∞, a), luego I = (−∞, a).
/
Los restantes casos se analizan de forma análoga: en c) se obtiene I = (a, +∞) o I = [a, +∞), donde
a = ´nf I, y en d) queda I = R.
ı
1.3. Apéndice: expresión decimal de un número real
En esta exposición seguimos esencialmente la que puede verse en [A POSTOL 2, págs. 13–15].
Los números reales de la forma
a1 a2 an
a0 + + 2 + · · · + n ,
10 10 10
donde a0 es un número entero no negativo y a1 , . . . , an son enteros que satisfacen 0 ≤ a j ≤ 9, se
expresan normalmente de la forma a0 , a1 a2 . . . an . Esta expresión se llama representación decimal
finita. Estos números son racionales, pero no todo número racional tiene una representación decimal
finita (véase [A POSTOL 2, págs. 13–14]).

20. 12 Capítulo 1. Números reales
Proposición 1.3.1 (aproximaciones decimales finitas de los números reales). Dado un número real
x ≥ 0, para todo n ∈ N existe un decimal finito rn = a0 , a1 a2 . . . an tal que
1
rn ≤ x < rn + .
10n
En consecuencia,
x = sup{rn : n ∈ N}.
Demostración. Para construir los rn basta tomar a0 = [x], ak = [10k x] − 10[10k−1 x], 1 ≤ k ≤ n (ver
detalles en [A POSTOL 2, págs. 14–15]).
Por otra parte, x es cota superior de {rn : n ∈ N} por construcción, y es la menor de las cotas
1
superiores porque si y < x es posible encontrar un n ∈ N de manera que 10n > (¿por qué?) y
x−y
para este n es rn > y (¿por qué?).
Que x es el supremo del conjunto {rn : n ∈ N} suele expresarse poniendo
x = a0 , a1 a2 . . . an . . .
y se dice entonces que a0 , a1 a2 . . . an . . . es una representación decimal infinita de x. En ciertos ca-
sos, es posible obtener el mismo supremo para dos representaciones decimales infinitas distintas,
ver [A POSTOL 2, pág. 15].
Para x = 0, suele tomarse como representación decimal 0, 00 . . . 0 . . .; y para x < 0, se parte de una
representación decimal de −x y se coloca un signo − delante.
Hay una presentación más geométrica y computacional en [L AX, sec. 1.3].
Si en lugar de potencias de 10 se utilizan potencias de 2, se obtiene la representación binaria
de los números reales; la representación hexadecimal resulta al tomar potencias de 16. Ambas son
muy importantes (especialmente la primera) en relación con los ordenadores. Pueden verse detalles
en [A BELLANAS -G ALINDO, cap. 3] y [BARTLE -S HERBERT, pág. 73 y sigs.].
1.4. Ejercicios
Ejercicio 1.1. Sea x ∈ R. Demostrar que si |x| ≤ ε para todo ε > 0, entonces x = 0. ¿Qué números
reales x cumplen que x ≤ ε para todo ε > 0?
Ejercicio 1.2. Decir si cada una de las siguientes expresiones es cierta o falsa:
30 30 100
a) ∑ j4 = ∑ j4 b) ∑ 2 = 200
j=1 j=0 j=0
20 20 100 100 2
c) ∑ (2 + j2 ) = 2 + ∑ j2 d) ∑ k2 = ∑k
j=1 j=1 k=1 k=1
Ejercicio 1.3. Expresar con notación de sumatorio:
1 1 1 1
a) + + +···+ b) 1 + 40 + 900 + 16 000 + 250 000 + 3 600 000
1·2 2·3 3·4 10 · 11
c) 1 − 2x + 3x2 − 4x3 + 5x4 d) a5 + a4 b + a3 b2 + a2 b3 + ab4 + b5
e) a5 − a4 b + a3 b2 − a2 b3 + ab4 − b5 f) a0 x4 + a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4

21. 1.4. Ejercicios 13
1 1 1 n 1
Ejercicio 1.4. Sabiendo que = − , hallar la suma de ∑ .
j( j + 1) j j+1 j=1 j( j + 1)
Ejercicio 1.5. Hallar las sumas siguientes (n ∈ N):
n
a) ∑ (2 j − 1) (usar la igualdad j2 − ( j − 1)2 = 2 j − 1, j ∈ N).
j=1
n
b) ∑ j (apoyarse en a)).
j=1
Ejercicio 1.6. Probar que xn −yn = (x−y)(xn−1 +xn−2 y+· · ·+xyn−2 +yn−1 ) para cada n ∈ N, x, y ∈ R.
Escribir el segundo miembro con notación de sumatorio. Esta expresión recibe el nombre de fórmula
o ecuación ciclotómiica.
n
Ejercicio 1.7. Deducir de la ecuación ciclotómica la suma de ∑ x j , x = 1. Hacer operaciones en la
j=0
n n n
expresión (1 − x) ∑ jx j para deducir la suma de ∑ jx j , x = 1. Análogamente en (1 − x) ∑ j2 x j para
j=1 j=1 j=1
n
deducir la suma de ∑ j2 x j , x = 1.
j=1
Ejercicio 1.8. Demostrar por inducción las propiedades siguientes (n ∈ N):
n n(n + 1)(2n + 1) n k+4 n(3n + 7)
a) ∑ k2 = b) ∑ = .
k=1 6 k=1 k(k + 1)(k + 2) 2(n + 1)(n + 2)
2
n n(n + 1) n a(rn − 1)
c) ∑ k3 = . d) ∑ ar j−1 = (r = 1).
k=1 2 j=1 r−1
n 1 √ 2n 1 (−1)k+1
e) ∑ √ ≥ n. f) ∑ = ∑2n
k=1 .
k=1 k k=n+1 k k
Ejercicio 1.9. Deducir de las ecuaciones
1=1
1 − 4 = −(1 + 2)
1−4+9 = 1+2+3
1 − 4 + 9 − 16 = −(1 + 2 + 3 + 4)
una fórmula general sencilla que incluya las anteriores como casos particulares, y demostrarla me-
diante el principio de inducción.
Ejercicio 1.10. Probar la fórmula del binomio de Newton: para cada x, y ∈ R y cada n ∈ N,
n
n j n− j
(x + y)n = ∑ xy .
j=0 j
Deducir de ella que:
n n
a) 1 + n + +···+ + 1 = 2n ;
2 n−1
n n
b) 1 − n + + · · · + (−1)n−1 + (−1)n = 0.
2 n−1

22. 14 Capítulo 1. Números reales
Ejercicio 1.11. Demostrar que si un conjunto A de números naturales contiene a n0 y además cumple
n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A, entonces A contiene a {n ∈ N : n ≥ n0 }. ¿Puede asegurarse siempre la igualdad de
estos conjuntos?
Ejercicio 1.12. Demostrar que 72n+1 − 48n − 7 (n ∈ N) es divisible por 48.
Ejercicio 1.13. Demostrar que 22n + 15n − 1 (n ∈ N) es múltiplo de 9.
Ejercicio 1.14. Desigualdad de Bernoulli: probar que para todo x > −1 y todo n ∈ N se verifica
(1 + x)n ≥ 1 + nx.
Ejercicio 1.15. Probar las siguientes desigualdades para n ∈ N:
a) n! > 2n−1 (n ≥ 3) b) (2n)! < 22n (n!)2
√ √
c) n+ n−1+···+ 2+ 1 < n+1
n
Ejercicio 1.16. Sean x, y > 0 y para cada k, n ∈ N, sea αk,n = ∑ jk n
j x j yn− j .
j=0
a) Probar, mediante la fórmula del binomio de Newton, que α1,n = nx(x + y)n−1 .
n
b) Hallar α2,n . Sugerencia: calcular antes β2,n = ∑ j( j − 1) n
j x j yn− j .
j=0
c) Obtener un procedimiento para calcular αk,n para cualesquiera k, n ∈ N.
Ejercicio 1.17. Desigualdad de Cauchy-Schwartz: probar que si x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ R, entonces
2
n n n
∑ x jy j ≤ ∑ x2j ∑ y2j .
j=1 j=1 j=1
Deducir que, si a2 + b2 = c2 + d 2 = 1, entonces |ac + bd| ≤ 1.
n (2n + 1)2
Ejercicio 1.18. Sea P(n) la propiedad ∑ k = .
k=1 8
a) Probar que si P(n) es cierta, entonces P(n + 1) es cierta.
b) Discutir la afirmación: se deduce por inducción que P(n) es cierta para todo n ∈ N.
Ejercicio 1.19. Decidir para qué números naturales n es cierta la desigualdad 2n > n2 . Demostrarlo
por inducción.
Ejercicio 1.20. Comparar nn+1 y (n + 1)n para n ∈ N, y enunciar y demostrar qué desigualdad se
verifica entre ambos números.
Ejercicio 1.21. Probar por inducción que si a1 , a2 , . . . , an son números reales positivos tales que
a1 a2 . . . an = 1, entonces a1 + a2 + · · · + an ≥ n. Deducir de aquí que si x1 , x2 , . . . , xn son números
reales no negativos cualesquiera, entonces
x1 + x2 + · · · + xn √
≥ n x1 x2 . . . xn ,
n
es decir, su media aritmética es siempre mayor o igual que su media geométrica.

23. 1.4. Ejercicios 15
n
1
Ejercicio 1.22. Probar que para todo número natural n es 1 + < 3.
n
Ejercicio 1.23. Demostrar que el cardinal del conjunto de las partes de un conjunto que tiene n
elementos es 2n .
Ejercicio 1.24. Hallar las soluciones de las desigualdades siguientes:
1 x
a) 2x2 + 9x + 6 ≥ x + 2 b) x + < 1 c) <0
x x+5
3x2 − 1 2x − 1 2x2 + 9x + 6
d) >0 e) ≤1 f) ≥1
1 + x2 3x + 2 x+2
x2 − 4x + 4 x−1 3x + 2
g) >0 h) ≤
1 + x3 3x + 4 x
Ejercicio 1.25. Resolver las ecuaciones:
x−1 x−1
a) |x2 − 5x + 6| = −(x2 − 5x + 6) b) =
x+1 x+1
c) |(x2 + 4x + 9) + (2x − 3)| = |x2 + 4x + 9| + |2x − 3| d) |x − 1| |x + 1| = 0
e) |x − 1| |x + 2| = 3
Ejercicio 1.26. Resolver las siguientes desigualdades:
a) |x − 1| + |x + 1| < 1 b) |x − 5| < |x + 1| c) |3x − 5| < 3
d) |x2 − 1| < 1 e) |x2 − x + 1| > 1 f) 1 < |x − 1 | < 2
2
g) x − |x| > 2 h) |x2 − x| + x > 1 i) x + |x − 1| < 2
1 |x3 −1|
j) 1+|x−1| < |x − 2| k) −1 ≤ x−1 ≤2
Ejercicio 1.27. Estudiar para qué números reales x se cumple:
|x| + 1 −2|x| + 1
a) <1 y < 1 b) 2x − |2x − 1| = −5x
x x
Ejercicio 1.28. Calcular el supremo y el ínfimo, si existen, de los siguientes conjuntos, indicando si
son máximo o mínimo respectivamente:
a) { 1 : n ∈ N} ∪ {0}
n b) { 2n+1 : n ∈ N}
n
√
c) {n ± 1 : n ∈ N}
n d) {x ∈ Q : |x| < 2} ∪ {x ∈ Q : 1
x−5 > 7}
e) { 1 + (−1)n : n ∈ N}
n f) ∞
n=1 {x ∈ R : n2 x2 − n(3n − 1)x + (2n2 − 3n − 2) = 0}
{(−1)n n +1 : n ∈ N}
2
g) { 1 : n ∈ N}
n h) n+1
i) {x ∈ R : x2 + x − 1 < 0} j) {x ∈ R : x < 0, x2 + x − 1 < 0}
k) {x ∈ R : x2 + x + 1 ≥ 0} l) ∞
n=1 −1, 1
n n
m) ∞
n=1 −1, 1
n n n) ∞ 1 1
n=1 2n , 2n−1

24. 16 Capítulo 1. Números reales
Ejercicio 1.29. Sean A un conjunto, s = sup A y ε > 0. ¿Se puede asegurar que existe algún a ∈ A
tal que s − ε < a < s? En caso afirmativo, demostrarlo. En caso negativo, dar un contraejemplo y
modificar las desigualdades anteriores para que sea cierto.
Ejercicio 1.30. Sean A y B dos conjuntos no vacíos, acotados, de números reales.
a) Demostrar que si A ⊆ B, entonces
sup A ≤ sup B, ´nf A ≥ ´nf B.
ı ı
b) Probar que si x ≤ y para todos los x ∈ A, y ∈ B, entonces
sup A ≤ y para todo y ∈ B; x ≤ ´nf B para todo x ∈ A
ı
y por lo tanto sup A ≤ ´nf B.
ı
c) Demostrar que si sup A < ´nf B, entonces que a < b para todos los a ∈ A, b ∈ B. Justificar si es
ı
cierto el recíproco.
Ejercicio 1.31. a) Sean A y B dos conjuntos acotados de números reales. Definimos el conjunto
A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}. Demostrar que
sup(A + B) = sup A + sup B, ´nf(A + B) = ´nf A + ´nf B.
ı ı ı
b) Sean A = {x1 , x2 , . . . , xn } ⊆ R, B = {y1 , y2 , . . . , yn } ⊆ R, y consideremos el conjunto
C = {x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn }.
Demostrar que
supC ≤ sup A + sup B, ´nfC ≥ ´nf A + ´nf B.
ı ı ı
Dar algún ejemplo que muestre que las desigualdades pueden ser estrictas.

25. Capítulo 2
Funciones reales de una variable real.
Generalidades
2.1. Primeros conceptos
2.1.1. Funciones. Clases particulares de funciones
Recordemos que una aplicación f : A → B se define en términos conjuntistas como una terna
(A, B, G f ), donde A, B son conjuntos dados, llamados respectivamente el dominio y el codominio
o conjunto final de f , y G f , denominado gráfico o gráfica de f , es un subconjunto del producto
cartesiano A × B tal que para todo x ∈ A existe un elemento único y ∈ B de modo que (x, y) ∈ G f (ese
elemento y unívocamente asociado a x suele denotarse por f (x) y se llama valor de la aplicación f
en el punto x o imagen de x por f ).
Definición 2.1.1. Una función real de variable real es una aplicación f : A → B con A, B ⊆ R.
Informalmente, dar una función f supone dar:
a) su dominio de definición A = dom f ;
b) su codominio B (al que habitualmente prestaremos menor atención en este curso);
c) una regla de correspondencia o regla de definición que permita asignar inequívocamente a
cada elemento x de A, sin excepción, un elemento f (x) de B perfectamente determinado por x
y f.
Cambiar una cualquiera de estas tres cosas (el dominio, el conjunto final o la regla de definición) hace
que la función cambie. Por ejemplo, si tenemos una función f : A → B y consideramos un subconjunto
S de A, la restricción de f a S es la función f |S : S → B tal que f |S (x) = f (x) para cada x ∈ S, que
no es la misma función f (se ha cambiado el dominio), aunque venga dada por la misma regla de
correspondencia (a cada x de S, la restricción f |S hace corresponder el mismo valor que f ).
En la práctica raras veces se muestra una función como una terna, tal como requeriría su definición
formal: lo habitual es especificar su dominio y la regla que permite determinar el valor de la función
en cada elemento del dominio (ver los comentarios de [BARTLE -S HERBERT, sec. 1.2, págs. 22–25]). En
cuanto al conjunto final de una función, cuando no se mencione explícitamente se sobrentenderá que
dicho conjunto es R.
17

26. 18 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades
Suele chocar al principiante que a veces la regla de definición de una función aparece dividida
en varias subreglas parciales (expresadas habitualmente mediante fórmulas), tendiendo a interpretar
incorrectamente que se han definido tantas funciones como subreglas se enuncien. Por ejemplo, la
función f : R → R tal que
x, si x ≥ 0;
f (x) =
−x, si x < 0,
es una sola función, la función valor absoluto, y no dos funciones, aunque sus valores coincidan en
parte de su dominio (no en todo) con los que toman las dos funciones distintas g : x ∈ R → g(x) = x ∈ R
y h : x ∈ R → h(x) = −x ∈ R.
Dada una función f , emplearemos la expresión « f está definida en S» como sinónimo de que S es
un subconjunto de dom f . El dominio de f es, en este sentido, el mayor subconjunto de R en el que f
está definida.
Definición 2.1.2. Sea f una función con dominio A y sean S ⊆ A, T ⊆ R. Llamamos conjunto imagen
de S por f al conjunto
f (S) = { f (x) : x ∈ S},
y conjunto antiimagen de T por f al conjunto
f −1 (T ) = {x : f (x) ∈ T },
que será un subconjunto (eventualmente vacío) de A.
El conjunto imagen del dominio de f suele denominarse, simplemente, conjunto imagen de f o
rango de f , y se denota a veces im f o rang f ; por tanto, se tiene
im f = f (dom f ) = { f (x) : x ∈ dom f }.
Una función f se dice inyectiva si elementos distintos de su dominio tienen siempre imágenes
distintas: es decir, si dados x, y ∈ dom f , de x = y se sigue f (x) = f (y); o, equivalentemente, si dados
x, y ∈ dom f , de f (x) = f (y) se sigue x = y.
Una función f : A → B se dice suprayectiva si f (A) = B, o sea, si el conjunto final y el conjunto
imagen de f coinciden; dicho de otra forma, si cada elemento de B es imagen de algún (o algunos)
elemento(s) de A.
Una función se dice biyectiva si es simultáneamente inyectiva y suprayectiva.
Ejemplos. La función identidad id : x ∈ R → id(x) = x ∈ R es trivialmente biyectiva. La función parte
entera, que asocia a cada x ∈ R su parte entera (vista como aplicación de R en R) no es inyectiva ni
suprayectiva.
Definición 2.1.3 (función inversa). Dada una función inyectiva f : A → B, se llama función inversa
de f a la función f −1 : f (A) → A tal que f −1 (y) = x si y solo si f (x) = y.
En términos más formales, f −1 sería la función dada por la terna ( f (A), A, G f −1 ), donde G f −1 =
{(y, x) : (x, y) ∈ G f }, y G f es, por supuesto, la gráfica de f . Para ser rigurosos, deberíamos compro-
bar que tal terna define efectivamente una función; esto es una consecuencia inmediata de que f es
inyectiva.
En muchos textos aparece definida la función inversa solamente para funciones biyectivas. Sin
embargo, la práctica usual en análisis matemático recomienda ampliar la definición a todas las funcio-
nes inyectivas, como acabamos de hacerlo. Obsérvese que, en cualquier caso, lo que hemos definido

27. 2.1. Primeros conceptos 19
sería la función inversa de la función biyectiva f˜ : A → f (A) tal que f˜(x) = f (x), que, recordémoslo,
salvo cuando f es además suprayectiva, es otra función —la biyección asociada a f — pues cambia el
conjunto final.
Observación. Dada una función inyectiva f : A → B, una función g es la inversa de f si y solo si
g : f (A) → A y
g( f (x)) = x para todo x ∈ A, f (g(y)) = y para todo y ∈ f (A).
Representación gráfica de una función. Dada una función f , para cada x ∈ dom f el par ordenado
de números reales (x, f (x)) puede interpretarse como coordenadas de un punto del plano respecto de
un sistema de coordenadas cartesianas, de modo que la gráfica de f , es decir, {(x, f (x)) : x ∈ dom f },
vendrá representada por un subconjunto del plano, que da la representación gráfica de la función f .
Observar esta representación puede proporcionar a veces información interesante sobre f , por lo que
más adelante nos ocuparemos con detalle de la representación gráfica de funciones.
El lector puede examinar cómo se refleja en su representación gráfica que una función es inyectiva
o suprayectiva, y qué relación hay entre las representaciones gráficas de una función inyectiva y la de
su inversa.
Tabulación de funciones. Cuando el dominio de una función es finito (y con un número no dema-
siado elevado de elementos) es a menudo útil describir la función escribiendo en forma de tabla los
valores del dominio y a su lado, correlativamente, los valores de la función en cada uno de ellos. Así,
por ejemplo, suele procederse en la recogida de datos experimentales, cuando se estudian dos magni-
tudes de las cuales una depende de la otra y, de hecho, las tablas de correspondencias entre números
o magnitudes son históricamente muy anteriores a la idea misma de función.
También se procede a la tabulación de funciones aunque el dominio no sea finito, reflejando en
tal caso, por descontado, tan solo una parte finita del mismo. Cabe señalar que en la mayoría de
las tablas de funciones que se usan en las ciencias, los valores de la función que aparecen en las
tablas no son, por razones obvias, valores exactos, sino valores aproximados con un error que es
necesario controlar para poder utilizarlas adecuadamente. Existe una extensa bibliografía de libros de
tablas de funciones, sustituidos casi totalmente en la actualidad por los ordenadores e incluso por las
calculadoras científicas de bolsillo. Sin embargo, es muy conveniente conocer al menos uno de ellos,
como [S PIEGEL -A BELLANAS].
Veamos ahora algunas clases particulares de funciones que aparecerán frecuentemente a lo largo
de todo el curso.
Definición 2.1.4. Una función f se dice monótona no creciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f
con x < y, es f (x) ≥ f (y).
Una función f se dice monótona no decreciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f con x < y,
es f (x) ≤ f (y).
Una función f se dice monótona estrictamente creciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f con
x < y, es f (x) < f (y).
Una función f se dice monótona estrictamente decreciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f
con x < y, es f (x) > f (y).
Una función monótona es una función de uno cualquiera de los tipos anteriores. Por brevedad, si
S ⊆ dom f , se dice que f es monótona en S si la restricción f |S es monótona.

28. 20 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades
Función monótona no creciente Función estrictamente creciente
Esta nomenclatura puede variar de unos textos a otros: por ejemplo, algunos autores llaman fun-
ciones crecientes a las que nosotros denominamos monótonas no decrecientes, mientras que otros
utilizan el nombre de funciones crecientes para las que hemos definido como monótonas estrictamen-
te crecientes. Hemos elegido por ello los nombres que nos parecen menos ambiguos para cada uno de
los tipos considerados.
Observación. La monotonía no es una propiedad puntual de la función, sino que es una propiedad
global. Esto significa que solo tiene sentido decir que una función es monótona en un determinado
conjunto, no que es monótona en un punto del conjunto. La expresión función monótona en un punto
carece de significado.
Ejemplo. Probar que la función f : R {0} → R definida mediante f (x) = 1/x es estrictamente
decreciente en (−∞, 0) y en (0, +∞). Pero no es estrictamente decreciente en R {0}, porque −1 < 1
y sin embargo f (−1) < f (1).
En general, dados dos conjuntos A, B ⊆ R y una función f : A ∪ B → R, si f es estrictamente
decreciente en A∪B, puede asegurarse que f es estrictamente decreciente en A y que f es estrictamente
decreciente en B. Pero si f es estrictamente decreciente tanto en A como en B, no puede asegurarse que
f sea estrictamente decreciente en A ∪ B. Lo mismo puede decirse con los demás tipos de monotonía.
Definición 2.1.5. Se dice que una función f está acotada superiormente si su conjunto imagen está
acotado superiormente. En otras palabras, si existe un número fijo M ∈ R tal que, simultáneamente
para todos los x ∈ dom f , se tiene f (x) ≤ M (por comodidad, suele decirse entonces que f está
acotada superiormente por M o que M es una cota superior de f , en lugar de decir que el conjunto
imagen de f está acotado superiormente por M o que M es una cota superior de dicho conjunto).
Enteramente análoga es la definición de función acotada inferiormente.
Por último, una función acotada es aquella que está acotada superior e inferiormente, es decir,
aquella cuyo conjunto imagen está acotado, de manera que existen constantes m, M ∈ R tales que
para cada x ∈ dom f se tiene m ≤ f (x) ≤ M; equivalentemente, f está acotada si y solo si existe un
K ∈ R tal que | f (x)| ≤ K para todo x ∈ dom f .
El estudio de una función se simplifica cuando posee algún tipo de repetición. Concretamos esta
idea en las siguientes definiciones.

29. 2.1. Primeros conceptos 21
Definición 2.1.6. Sea f una función definida en R. Se dice que f es
a) par si para cada x ∈ R se cumple f (−x) = f (x) (su gráfica es entonces simétrica respecto del
eje de ordenadas);
b) impar si para cada x ∈ R se cumple f (−x) = − f (x) (su gráfica es entonces simétrica respecto
del origen de coordenadas);
c) periódica de periodo T (T ∈ R {0}) si para cada x ∈ R se cumple f (x + T ) = f (x) (su
gráfica puede obtenerse entonces por traslación reiterada de la gráfica en cualquier intervalo
de longitud |T |).
Función par Función impar
Observación. Toda función f : R → R puede escribirse, además de manera única, como suma de una
función par (su componente par) y una función impar (su componente impar). Concretamente, las
componentes par e impar son
f (x) + f (−x)
fP (x) = ,
2
f (x) − f (−x)
fI (x) = .
2
Es inmediato comprobar que fP es par, fI es impar y f = fP + fI . Para ver que la descomposición es
única, supongamos que f = g + h, con g par h impar. Entonces,
f (x) + f (−x) [g(x) + h(x)] + [g(−x) + h(−x)] g(x) + h(x) + g(x) − h(x)
fP (x) = = = = g(x)
2 2 2
y de la misma manera se comprueba que fI = h.
Nótese que la definición de función par y de función impar puede ampliarse de manera obvia a
funciones f cuyo dominio sea simétrico (respecto al origen de coordenadas), es decir, tal que −x ∈
dom f siempre que x ∈ dom f .
Función periódica

30. 22 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades
2.1.2. Operaciones con funciones
Dadas dos funciones f y g, podemos construir a partir de ellas nuevas funciones de diferentes
maneras. Para nosotros, las más útiles son las que a continuación exponemos.
Definición 2.1.7. La composición de f y g, denotada g ◦ f , es la función con dominio
dom(g ◦ f ) = f −1 (dom g)
dada por
(g ◦ f )(x) = g ( f (x))
para cada x ∈ dom(g ◦ f ) (obsérvese que tales x son justamente aquellos para los que g ( f (x)) tiene
sentido).
Definición 2.1.8. La suma de f y g, denotada f + g, es la función con dominio
dom( f + g) = dom f ∩ dom g
dada por
( f + g)(x) = f (x) + g(x)
para cada x ∈ dom( f + g) (obsérvese que tales x son justamente aquellos para los que f (x) + g(x)
tiene sentido).
Totalmente similar es la definición de la diferencia f − g y del producto f g de f y g.
Definición 2.1.9. El cociente de f y g, es la función f /g con dominio
dom( f /g) = (dom f ∩ dom g) g−1 (0)
dada por
f (x)
( f /g)(x) =
g(x)
para cada x ∈ dom( f /g) (obsérvese una vez más que tales x son exactamente aquellos para los que
f (x)/g(x) tiene sentido).
En algunos textos, se da el nombre de dominios naturales a los dominios anteriormente definidos.
Ejemplo. Consideremos las funciones f , g : R → R dadas por f (x) = x2 − 1, g(x) = x + 1. Su cociente
es la función
f (x) x2 − 1
h(x) = = ,
g(x) x+1
definida para x ∈ R −1. Observemos que h(x) = x − 1 en todo su dominio. Sin embargo, h no es
exactamente la función x − 1, porque el dominio de esta función es R y el dominio de h es R −1.
2.1.3. Ejemplos de funciones
Sucesiones
Son funciones cuyo dominio es el conjunto N de los números naturales. Desempeñan un destacado
papel en la elaboración de nuestra teoría, y a ellas dedicaremos específicamente el capítulo siguiente.

31. 2.1. Primeros conceptos 23
Funciones constantes
Son las que asignan a todos los valores de su dominio un mismo valor fijo, es decir, aquellas
funciones f para las que existe un a ∈ R tal que f (x) = a para todos los x ∈ dom f .
¿Puede una función constante ser inyectiva, suprayectiva o biyectiva? ¿Cómo es su representación
gráfica? ¿Es monótona? ¿De qué tipo? ¿Es acotada? ¿Es par, impar, periódica?
Función identidad
Dado un conjunto A ⊆ R, la identidad en A es la función tal que f (x) = x para cada x ∈ A.
¿Es la identidad siempre inyectiva, suprayectiva o biyectiva? ¿Es monótona? ¿Es acotada? ¿Cómo
es su representación gráfica? ¿Cuál es su inversa?
Potencias de exponente entero
Dado un número natural n, la función f : x ∈ R → xn ∈ R (producto de n funciones iguales a la
identidad) tiene distinto comportamiento según n sea par o impar. Para n = 2k − 1, k ∈ N, la función
g : x ∈ R → x2k−1 ∈ R es estrictamente creciente y, por tanto, inyectiva. También es suprayectiva,
aunque ahora no estamos todavía en condiciones de demostrarlo fácilmente.
Sin embargo, la función h : x ∈ R → x2k ∈ R no es inyectiva (es una función par), aunque la
restricción de h a [0, +∞) es estrictamente creciente (luego inyectiva), y tiene por imagen el conjunto
[0, +∞), como justificaremos más adelante.
La potencia de exponente 0 es la función constante con valor siempre igual a 1. Para exponente
negativo, n = −m con m ∈ N, se define
1 1
x ∈ R {0} → xn = = ∈ R.
xm x−n
Raíces
Dado k ∈ N, se puede probar que la función g : x ∈ R → x2k−1 ∈ R es biyectiva. Por tanto, posee
una función inversa f : R → R, denominada raíz (2k − 1)-ésima; su valor en un punto x ∈ R se denota
√ √
por 2k−1 x o x1/(2k−1) . De acuerdo con su definición, se tiene y = 2k−1 x si y solo si y2k−1 = x.
Sin embargo, puesto que la función h : x ∈ R → x2k ∈ R no es inyectiva, no puede hablarse de
raíz 2k-ésima en todo R. No obstante, la restricción de h a [0, +∞) es estrictamente creciente (luego
inyectiva), y tiene por imagen el conjunto [0, +∞): su inversa es la que llamamos función raíz 2k-
ésima, de modo que dicha función tendrá ahora por dominio [0, +∞). Es decir, solo está definida en
√
un número real x si x ≥ 0: su valor en dicho punto se representa por 2k x o x1/(2k) excepto para el caso
√ √
k = 1 (raíz cuadrada), que se usa abreviadamente x. Nótese que siempre es x ≥ 0 y, en general,
√
2k
x ≥ 0.
Funciones polinómicas y funciones racionales
Las funciones que pueden obtenerse mediante sumas y productos de funciones constantes y de la
identidad en R reciben el nombre de funciones polinómicas. Por tanto, f es una función polinómica
(o polinomio) si y solo si existen a0 , a1 , . . . , an ∈ R tales que
f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn

32. 24 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades
para cada x ∈ R (también suelen denominarse funciones polinómicas las restricciones de las anteriores
a cualquier subconjunto de R.)
Las funciones racionales son aquellas que pueden expresarse como cociente de dos funciones
polinómicas. Su dominio es todo R salvo un conjunto finito (quizás vacío): el conjunto de los ceros o
raíces del denominador. Es habitual utilizar el mismo nombre para las restricciones de estas funciones
a subconjuntos cualesquiera.
Funciones algebraicas
Reciben este nombre las funciones tales que se pueden encontrar polinomios p0 , p1 , . . . , pn de
manera que para todo x ∈ dom f se verifica
p0 (x) + p1 (x) f (x) + · · · + pn (x) f (x)n = 0.
Obsérvese que las raíces anteriormente definidas quedan dentro de esta clase.
2.2. Funciones trascendentes
Las funciones que vamos a describir ahora, aunque quedan como las anteriores dentro de las que
suelen denominarse genéricamente funciones elementales, y en buena parte son conocidas por el
lector, requieren para su construcción técnicas de las que no disponemos todavía. No podemos, pues,
definirlas, pero vamos a emplearlas admitiendo de momento que existen y tienen las propiedades que
enunciamos.
2.2.1. Funciones exponencial y logarítmica
Función exponencial
La función exponencial,
exp : R → R,
que construiremos más adelante, aparece en la descripción de los fenómenos en los que la variación
de una magnitud es proporcional al valor de dicha magnitud.
El número exp(1) se denota por e. Es irracional; más todavía, es trascendente, lo que significa que
no existe ningún polinomio con coeficientes enteros que se anule en e. Sus primeras cifras decimales
son
2, 7182818284590452353602874713526624977572 . . .
(sobre su historia, ver [M AOR]).
En lugar de exp(x) suele escribirse ex .
Proposición 2.2.1 (propiedades de la exponencial). a) e0 = 1.
b) Para cada x ∈ R,
1
= e−x ,
ex
y, en particular, ex = 0.
c) Dados x, y ∈ R,
ex+y = ex · ey .

33. 2.2. Funciones trascendentes 25
d) Dados n ∈ N y x ∈ R,
n
enx = ex · · ·ex .
e) Para cada x ∈ R,
ex > 0.
f) La función exponencial es estrictamente creciente. En particular, es inyectiva.
g) El conjunto imagen de la función exponencial es (0, +∞).
Función logarítmica
La función logarítmica
log : (0, +∞) → R
es la inversa de la función exponencial, de modo que log x = y si y solo si ey = x.
Por tanto, está caracterizada por cumplir
log(ex ) = x cualquiera que sea x ∈ R
y
elog x = x cualquiera que sea x ∈ (0, +∞).
Sus propiedades son consecuencia de las de la función exponencial.
Proposición 2.2.2 (propiedades del logaritmo). a) log 1 = 0; log e = 1.
b) Para cada x ∈ (0, +∞),
1
log = − log x.
x
c) Dados x, y ∈ (0, +∞),
log(xy) = log x + log y.
d) Dados n ∈ N y x ∈ (0, +∞),
log(xn ) = n log x.
e) El conjunto imagen de la función logarítmica es R.
f) La función logarítmica es estrictamente creciente. En particular, es inyectiva.
Funciones exponencial y logarítmica de base cualquiera
Definición 2.2.3. Dado un número real a > 0, la función exponencial de base a se define mediante
la igualdad
ax = ex log a .
Cuando a > 1, esta función tiene propiedades similares a la función exponencial anteriormente
estudiada; si a = 1, es una función constantemente igual a 1, y si a < 1, la diferencia esencial con la
función exponencial de base e estriba en que la función exponencial de base a es entonces estricta-
mente decreciente.
Propiedades interesantes que se obtienen directamente de la definición y de lo que hemos visto
para las funciones ex y log x son las siguientes:

34. 26 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades
10
8
exp
6
4
log
2
1
1 2 4 6 8 10
Las funciones exponencial y logaritmo
Proposición 2.2.4 (propiedades de las potencias). Dados a, b, x, y ∈ R con a > 0, b > 0,
a) (ab)x = ax bx .
b) (ax )y = axy .
Definición 2.2.5. Dado a > 0, a = 1, la función logarítmica de base a se define en (0, +∞) mediante
la fórmula
log x
loga x = .
log a
Es inmediato comprobar que esta función es la inversa de la función exponencial de base a. Como
propiedad adicional interesante se tiene: dados a, b, x ∈ R con 0 < a = 1 y b > 0,
loga (bx ) = x loga b.
2.2.2. Funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas inversas
Funciones trigonométricas
Reciben este nombre una serie de funciones de origen geométrico, ligadas con las medidas de
ángulos y la descripción de fenómenos periódicos.
La función seno
sen : R → R
y la función coseno
cos : R → R
serán definidas más adelante. De momento, admitimos sin demostración que satisfacen las propieda-
des que pasamos a enunciar.

35. 2.2. Funciones trascendentes 27
Proposición 2.2.6 (propiedades del seno). a) El seno es una función impar, mientras que el co-
seno es una función par: cualquiera que sea x ∈ R se tiene
sen(−x) = − sen x, cos(−x) = cos x.
b) Para cada x ∈ R es
sen2 x + cos2 x = 1.
c) Existe un número real positivo, denotado por π, tal que sen π = 0 y sen x = 0 si 0 < x < π.
Este número π es irracional (y trascendente) y sus primeras cifras decimales son
3, 14159265358979 . . .
El número π, «área del círculo de radio 1, es de lejos la constante más célebre de las mate-
máticas. Aparecida inicialmente en Geometría, interviene hoy en los dominios más variados:
análisis, teoría de números, probabilidades y estadística, combinatoria, etc. Los más grandes
matemáticos se han interesado desde hace más de 2000 años por los problemas planteados por
este número» ([L E L IONNAIS, pág. 50]).
d) cos π = −1.
e) Las funciones sen y cos tienen por conjunto imagen el intervalo [−1, 1].
f) Dados x, y ∈ R tales que x2 + y2 = 1, existe un α ∈ R de modo que
cos α = x, sen α = y
(gráficamente, esto significa que las funciones seno y coseno que hemos definido se correspon-
den con las utilizadas en trigonometría).
g) Fórmulas de adición: dados x, y ∈ R,
sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y
cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y
h) Las funciones sen y cos son periódicas de periodo 2π.
i) La función sen es estrictamente creciente en [0, π/2] y estrictamente decreciente en [π/2, π].
j) La función cos es estrictamente decreciente en [0, π/2] y estrictamente creciente en [π/2, π].
Damos ahora una tabla de algunos valores particulares de estas funciones.
grados x sen x cos x
0 0 √ 0 √ √ 1 √
15 π/12 4 ( 6 − 2)
1
4 ( √ + 2)
1
6
30 π/6 √ 1/2 √3/2
45 π/4 √2/2 2/2
60 π/3 3/2 1/2
90 π/2 1 0

36. 28 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades
1
−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
−1
La función seno
1
−2π −3π/2 −π −π/2 π/2 π 3π/2 2π
−1
La función coseno
Definición 2.2.7. La función tangente tg, la función cotangente ctg, la función secante sec y la
función cosecante cosec se definen a partir de las funciones seno y coseno mediante las fórmulas
sen cos 1 1
tg = , ctg = , sec = , cosec = .
cos sen cos sen
¿Cuáles son los dominios de estas funciones?
3π π π 3π
− −
2π 2 −π 2 0 2 π 2 2π
−2π 3π −π π 0 π π 3π −2π
− −
2 2 2 2
La función tangente La función cotangente
Funciones trigonométricas inversas
Se conocen con el nombre de funciones trigonométricas inversas las de una colección de fun-
ciones que son casi, pero no totalmente, inversas de las funciones tigonométricas que acabamos de
considerar. Precisemos su definición.