Desarrollo y Aplicación de la Administración por Valores
Trabajo de Estadística.
1. Reflexiones Matemáticas Trabajo de Estadística Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Medidas de Tendencia Central y de Dispersión.
Medidas de
Tendencia Central
Media Aritmética
Mediana
Moda
Medidas de
Dispersión
Rango
Desviación media
Desviación Típica
Varianza
Gráficos
Estadísticos
Media Geométrica
Media Armónica
Coeficiente
de Variación
2. Reflexiones Matemáticas Trabajo de Estadística Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Media Aritmética.
La media aritmética de una variable se define como la suma de todos los valores de la variable dividida entre el número total de datos y
se denota por .
Fórmula:
Mediana.
Es el valor central de la variable.
Para calcular la mediana en datos sueltos, debemos tener en cuenta dos aspectos fundamentales:
1.- Si n es impar, hay un término central, por lo que la mediana es el término:
𝒙 𝒏+𝟏
𝟐
2.- Si n es par hay dos datos centrales y en este caso la mediana es el término:
𝒙 𝒏
𝟐
+
𝒙 𝒏
𝟐+𝟏
𝟐
Moda.
La moda es el dato de la variable que tiene mayor frecuencia.
Media Geométrica.
La media geométrica de n observaciones es la raíz de índice n del producto de todas las observaciones.
Se representa por:
Fórmula:
Media Armónica.
La media armónica de n observaciones es la inversa de la media de las inversas de las observaciones.
Se denota por:
Varianza.
Es la sumatoria del cuadrado de las desviaciones de las observaciones con respecto a la media aritmética dividida entre el total de datos.
Se denota por:
𝑥
𝑥 =
∑ 𝒙𝒊
𝒏
𝐺𝑥
𝐆 𝐱 = √ 𝐱 𝟏. 𝐱 𝟐. 𝐱 𝟑. 𝐱 𝟒 … … 𝐱𝐢
𝐧
H =
𝐧
∑
𝟏
𝐱 𝐢
𝐧
𝐢=𝟏
S = ∑
(𝐱 𝐢− 𝒙) 𝟐
𝐧−𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
3. Reflexiones Matemáticas Trabajo de Estadística Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Desviación Típica.
Es la raíz cuadrada de la varianza.
Su fórmula es: S = √∑
( 𝐱𝐢− 𝒙)
𝟐
𝐧−𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
Rango.
Es la diferencia entre el valor mayor y el valor menor de la distribución.
Fórmula: R = 𝐗 𝐦𝐚𝐱 − 𝐗 𝐦𝐢𝐧
Desviación Media.
Es la media de los valores absolutos de las desviaciones y se denota por DM
Coeficiente de Variación.
Es una medida que nos permite decir entre dos muestras, cual es la que presenta mayor dispersión.
Su fórmula es: C.V =
𝐬
𝒙
100
Gráficos Estadísticos.
Los gráficos estadísticos nos permiten presentar los datos mediante figuras o dibujos.
.
Prof. Joel Amauris Gelabert S.
4. Reflexiones Matemáticas Trabajo de Estadística Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Prof. Joel Amauris Gelabert
Distribución Muestral.
Muestreo
Muestreo Aleatorio
Simple
Muestreo Con
Reemplazamiento
Muestreo Sin
ReemplazamientoMuestreo en una
población Distribuida
Normalmente
Muestreo en
poblaciones finitas
Muestreo en poblaciones
que no están distribuidas
normalmente
Media
Distribución de la
diferencia entre dos
medias muestrales
Tamaño de la muestra
para estimar la media
de la población
Distribución de la
suma de dos medias
muestrales Prof. Joel Amauris Gelabert S.
5. Reflexiones Matemáticas Trabajo de Estadística Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Con las edades de los participantes de la maestría, construya una tabla de distribución de frecuencias con i=5.
Edades de los participantes:
Se forman los intervalos de la clase teniendo en cuenta que i= 5, empezando por el dato menor. (24)
33
34
34
35
35
35
36
36
36
37
37
37
40
40
41
41
42
42
43
44
44 58
45
48
49
49
50
50
52
53
54 N= 41
24
26
27
29
29
30
30
31
32
32
𝐟𝐢 −1
Frecuencia absoluta acumulada
anterior a la clase donde está la
mediana.
𝐟𝐢: Frecuencia absoluta simple de la
clase donde está la mediana.
I: intervalo o amplitud de clase
Clases 𝐟𝐢 𝐱𝐢 𝐟𝐫 𝐅𝐢 A 𝐅 𝐑 A % % A
24-29 3 26.5 0.073 3 0.073 7.3 7.3
29-34 8 31.5 0.195 11 0.268 19.5 26.8
34-39 11 36.5 0.268 22 0.536 26.8 53.6
39-44 7 41.5 0.170 29 0.707 17.0 70.7
44-49 4 46.5 0.097 33 0.803 9.7 80.3
49-54 6 51.5 0.146 39 0.949 14.6 94.9
54-59 2 56.5 0.048 41 0.997 4.8 99.7
TOTAL 41 0.997 99.7
6. Reflexiones Matemáticas Trabajo de Estadística Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Se calculan los valores del punto medio
𝐱𝐢 =
𝐋 𝐒𝐮𝐩𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫+𝐋𝐈𝐧𝐟𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫
𝟐
𝐱𝐢 =
𝟐𝟒+𝟐𝟗
𝟐
= 26.5 𝐱𝐢 =
𝟐𝟗+𝟑𝟒
𝟐
= 46.5
𝐱𝐢 =
𝟑𝟒+𝟑𝟗
𝟐
= 31.5 𝐱𝐢 =
𝟑𝟗+𝟒𝟒
𝟐
= 51.5
𝐱𝐢 =
𝟐𝟒+𝟐𝟗
𝟐
= 36.5 𝐱𝐢 =
𝟐𝟒+𝟐𝟗
𝟐
= 56.5
𝐱𝐢 =
𝟐𝟒+𝟐𝟗
𝟐
= 41.5
Se calculan los valores de la frecuencia relativa simple
𝐟𝐫 =
𝐟𝐢
𝐍
𝐟𝐫 =
𝟑
𝟒𝟏
= 0.073 𝐟𝐫 =
𝟒
𝟒𝟏
= 0.097
𝐟𝐫 =
𝟖
𝟒𝟏
= 0.195 𝐟𝐫 =
𝟔
𝟒𝟏
= 0.146
𝐟𝐫 =
𝟏𝟏
𝟒𝟏
= 0.268 𝐟𝐫 =
𝟐
𝟒𝟏
= 0.048
𝐟𝐫 =
𝟕
𝟒𝟏
= 0.170
8. Reflexiones Matemáticas Trabajo de Estadística Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Uso de los gráficos estadísticos.
Los gráficos estadísticos suelen utilizarse con frecuencia para representar el comportamiento de un determinada variable.
Ejemplo.
En un centro educativo se realizó una investigación para determinar el rango de años en servicios de los docentes.
En tal sentido los resultados obtenidos fueron:
Años en
servicios
Frecuencia %
De 0 a 5 3 10 %
De 6 a 10 8 27 %
De 11 a 15 7 23 %
De 16 a 20 10 33 %
21 o más 2 7 %
Total 30 100 %
Fuente: Cuestionario aplicado a los/as docentes
Moda.
𝐌 𝐎 = 𝐋𝐢𝐧𝐟𝐞𝐫𝐢𝐨𝐫 + (
𝐟𝐢 −[𝐟𝐢−𝟏]
(𝐟𝐢−𝐟𝐢−𝟏)+(𝐟𝐢−𝐟𝐢+𝟏)
) 𝐈
𝐌 𝐎 = 34 + (
𝟏𝟏−𝟖
(𝟏𝟏−𝟖)+(𝟏𝟏−𝟕)
) 𝟓 = 34 + (
𝟑
𝟑+𝟒
) 𝟓 = 34 +
𝟏𝟓
𝟕
= 34 +2.14
𝐌 𝐎 = 36.14
9. Reflexiones Matemáticas Trabajo de Estadística Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Estos resultados muestran que el 10 % de los docentes tiene menos de 5 años de servicio, el 23 % tiene entre 11 y 15 años, el 27 % tiene
entre 6 y 10 años, que el 33 % tiene de 16 a 20 años y que el 7 % tiene 21 años o más en el sistema educativo.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
De 0 5 años De 6 a 10
años
De 11 a 15
años
De 16 a 20
años
21 años o
más
De 0 5 años
De 6 a 10 años
De 11 a 15 años
De 16 a 20 años
21 años o más
10. Reflexiones Matemáticas Trabajo de Estadística Prof. Joel Amauris Gelabert S.
FÓRMULA PARA CALCULAR LA MUESTRA.
𝐍 𝐩=
𝐤 𝟐 𝐍 𝐩 𝐪
𝐞 𝟐(𝐍−𝟏)+𝐤 𝟐 𝐩𝐪
o
Donde:
P: proporción de individuos que poseen en la población la característica de estudio. Este dato es generalmente desconocido y se suele
suponer que p=q=0.5 que es la opción más segura.
N: población de donde se tomara la muestra
q: proporción de individuos que no poseen esa característica, es decir, es 1−p.
n: tamaño de la muestra (número de encuestas que vamos a hacer).
Altos niveles de confianza y bajo margen de error no significan que la encuesta sea de mayor confianza o esté más libre de error
necesariamente; antes es preciso minimizar la principal fuente de error que tiene lugar en la recogida de datos.
e: Límite aceptable de error muestral que, generalmente cuando no se tiene su valor, suele utilizarse un valor que varía entre el 1 %
(0.01) y 9 % (0.09).
k: Es una constante que depende del nivel de confianza que asignemos.
El nivel de confianza indica la probabilidad de que los resultados de nuestra investigación sean ciertos: un 95,5 % de confianza es lo
mismo que decir que nos podemos equivocar con una probabilidad del 4,5%. Los valores de k se obtienen de la tabla de la distribución
normal estándar N (0,1).
e (%) 1 % 2 % 3 4 5 6 7 8 9
Valor 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
En donde 𝝈 es el límite
aceptable de error y Z= p.q
Siendo p=q=0.5
11. Reflexiones Matemáticas Trabajo de Estadística Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Los valores de k más utilizados y sus niveles de confianza son:
Valor de k 1,15 1,28 1,44 1,65 1,96 2,24 2,58
Nivel de confianza 75 % 80 % 85 % 90 % 95 % 97,5 % 99 %
Ejemplo.
Calcular el tamaño de la muestra de una población de 500 elementos con un nivel de confianza del 95%.
Solución:
Se tiene N=500, para el 95% de confianza Z = 1,96 y como no se tiene los demás valores se tomará 𝜎=0.05 y e = 0,05.
Reemplazando valores de la fórmula se tiene:
Z= p.q
P=0.5 y q=1−q
q=1−0.5
q=0.5
Como p=q
Entonces p.q= Z2
Como estamos trabajando con
un 95 % de confiabilidad nos
queda un 5 % de límite
aceptable de error, por lo que
e= 5 % o 0.05
12. Reflexiones Matemáticas Trabajo de Estadística Prof. Joel Amauris Gelabert S.
Otra forma.
𝐍 𝐩=
𝐤 𝟐 𝐍 𝐩 𝐪
𝐞 𝟐(𝐍−𝟏)+𝐤 𝟐 𝐩𝐪
P=0.5
q=0.5
e=0.05 (Límite aceptable de error)
N=500 (población)
K=0.5 (Nivel de confianza).
𝐍 𝐩=
(𝟏.𝟗𝟔) 𝟐 (𝟓𝟎𝟎)(𝟎.𝟓)(𝟎.𝟓)
(𝟎.𝟎𝟓) 𝟐(𝟓𝟎𝟎−𝟏)+(𝟏.𝟗𝟔) 𝟐(𝟎.𝟓)(𝟎.𝟓)
𝐍 𝐩=
𝟒𝟖𝟎.𝟐
𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟓+𝟎.𝟗𝟔𝟎𝟒
=
𝟒𝟖𝟎.𝟐
𝟐.𝟐𝟎𝟕𝟗
𝐍 𝐩= 217.
