ALGEBRA LINEAL UNIDAD 3: OPERADORES LINEALES

1. OPERADORES
LINEALES
ALGEBRA LINEAL

2. CONCEPTO
• sea V,W dos espacios lineales, entonces un operador lineal (transformación
lineal) es una función T :V →W donde cada elemento de V le corresponde
un único elemento de W y además cumple con las condiciones siguientes:
• 1. Aditivita: ∀x, y ∈V se cumple que T (x + y) = T (x) + T (y).
• 2. Homogeneidad. Sean α ∈ℜ, x ∈V , entonces se cumple que: T (α x) = α T
(x).
• El primer miembro es C.L de elemento de V .
• El segundo miembro es C.L de elemento de W .

3. ALGEBRIZACION DE LOS OPERADORES
LINEALES
• sean L (V,W ) el conjunto de todos los operadores lineales. Entonces 〈 L
(V,W ),+,•〉 es un espacio lineal teniendo en cuenta que en L (V,W ) se han
definido:
• a. La igualdad: T1 = T2 si T1 (ν ) = T2 (ν ) ∀ν ∈V .
• b. La suma (+) como una O.B.I : sean T ,T L (V,W ) 1 2 ∈ , entonces ( ) ν (ν ) (ν
) T1 + T2 = T1 + T2 .
• c. El producto de un real por un operador lineal: (α T )ν = α T(ν ).

4. PROPIEDADES DE LOS OPERADORES
LINEALES:
• ∀ν ∈V se cumple que T(−ν ) = −T(ν )
• todo operador lineal T :V →W transforma a θ V en θ W
• sean T :V →W ; B = {ν 1 ,ν 2 ,…,ν m } una base de V . Entonces si conocemos
las imágenes de los elementos de B mediante T , también podemos
conocer la imagen de cualquier elemento de V .

5. NUCLEO DE UN OPERADOR LINEAL
• Núcleo. Sea T :V →W un operador lineal. Entonces el núcleo de T son todos
los elementos de V cuya imagen es : θ W ( ) N T = {ν /ν ∈ V,T( ) ν = θ W }.
• NOTAS:
• a. N(T ) es un subespacio de V .
• b. Dim N(T ) ≤ Dim V
• c. N(T ) recibe el nombre de nulidad de T .

6. RANGO DE UN OPERADOR LINEAL
• rango. Sea T :V →W un operador lineal. Entonces el rango de T es el
conjunto de elementos de W que son imágenes de al menos un elemento
de V . R(T ) = {w/ w∈W;∃ν ∈V;T(ν ) = w}. NOTAS:
• a. R(T ) es un subespacio de W .
• b. Dim R(T ) ≤ Dim W .
• c. Si V y W son Subespacios de dimensión finita, entonces Dim R(T )+ Dim
N(T ) = Dim V .

7. CLASIFICACION DE LOS OPERADORES
LINEALES.
• Sea T :V →W un operador lineal. Entonces:
• T es inyectivo (1−1) si T(ν 1 ) = T(ν 2 ) →ν 1 =ν 2 ,∀ν 1 ,ν 2 ∈V .
• Propiedad: T es inyectivo (1−1) si N(T ) = { } (Dim N(T ) = 0) θ v .
• T es sobreyectivo si R(T ) = W , es decir, ∀w∈W ,∃ν ∈V tal que T(ν ) = w .
• T es biyectivo si es inyectivo y es sobreyectivo.
• NOTAS:
• 1. si T es biyectivo, recibe el nombre de operador regular.
• 2. si T :V →W es biyectivo (regular) entonces existe el operador inverso T W →V − : 1 .
• 3. sea T :V →W con Dim V = Dim W = n.. Entonces
• a. si T es inyectivo, entonces T es sobreyectivo.
• b. Si T es sobuyectivo, entonces T es inyectivo.

8. • isomorfismo. Sea T ∈(V,W ) un operador biyectivo (regular), entonces decimos que T es un isomorfismo o
que V es isomorfo con W (V ≅ W ).
• NOTAS: decir que T :
• V →W es un isomorfismo, implica las siguientes afirmaciones:
• a. T es biyectivo (regular).
• b. Dim V = Dim W .
• c. Dim N(T ) = 0 .
• d. Si B1 = {ν 1 ,ν 2 ,…,ν n }⊆ V es L I.. , entonces B2 = {T(ν 1 ),T(ν 2 ),…,T(ν n )}⊆ W también es L I.. .
• e. Si B1 = {ν 1 ,ν 2 ,…,ν n }⊆ V genera a V , entonces B2 = {T(ν 1 ),T(ν 2 ),…,T(ν n )}⊆ W , también genera a
W .
• f. Si B1 = {ν 1 ,ν 2 ,…,ν n }⊆ V es una base de V , entonces B2 = {T(ν 1 ),T(ν 2 ),…,T(ν n )}⊆ W , también es
base de W .

9. BIBLIOGRAFIA
• Héctor Escobar. (2007). Álgebra Lineal.
Colombia: Universidad Pontificia Bolivariana.