Dr. Luis Benites Gutiérrez

2. LOGO

3. LOGO

4. LOGO

5. LOGO

6. LOGO

7. LOGO

8. LOGO

9. LOGO
1° valor: alimentación a la sociedad
Consistencia: Proyectos alineados a la misión de desarrollo del proyecto
Unidades monetarias
Valorar el riesgo y la incertidumbre

10. LOGO

11. LOGO
Definición

13. LOGO
El dinero en el tiempo tiene un costo
Proyectamos costos y beneficios par tomar y
seleccionar la mejor fuente ahora
Concepto de economía a futuro
La matemática financiera
Costo de oportunidad
TMAR(Tasamínimaatractivaderendimiento)
interés

14. LOGO
Es el interés por devengado
o cobrado linealmente
proporcional al capital, a
la tasa de interés y al
numero de periodos de
interés

15. LOGO
Formula para calcular el interés por periodo
I = interés
P= Capital inicial
I = tasa de interés
n = periodos de interés
Cantidad disponible al final de N periodos
F= cantidad total disponible

16. LOGO
Ejemplo
Calcular el interés devengado por un préstamo de
$1000 por 3 años a una tasa de interés simple del 8%
anual
solución
P = 1000
N = 1 año
I = 20% anual
1

17. LOGO
Mide el costo o precio
del dinero,
expresada como un
porcentaje por
unidad de tiempo

18. LOGO
Ejemplo2
Una familia deposito en una cuenta de ahorros de un banco local la suma
de $ 20000 el 1 de abril y retira un total de $ 21600 exactamente un año
mas tarde. Calcule:
a. El interés obtenido b. La tasa de interés sobre su ahorro
P= 20000
S= 21600
S = $ 21600
i= 8% anual
$ 20000
I = $ 1600
0 1 año

19. LOGO
Ejemplo3
La empresa de transportes Tur Bus recibe un préstamo por $ 20000 por 1
año a una tasa de interés del 28% para adquirir una camioneta. Calcular:
a.El interés
b.El valor total del préstamo después de 1 año

20. LOGO
Cada periodo de
interés se basa en la
cantidad total que
se debe al final del
periodo anterior
El valor total acumulado
será

21. LOGO
Ejemplo4
Suponga que deposita 2000 dólares en una cuenta de ahorros que paga
interés a una tasa del 10% compuesto anual. Suponga que no retira el
interés obtenido al final de cada periodo (año), sino que se acumule
¿Cuánto tendría al finalizar el año 3?
P = $2000
N= 3 años
i = 10 % anual

22. LOGO
El interés total devengado es $662, es decir 62 dólares mas que
lo que se acumularía con interés simple
Proceso de acumulación:
Periodo Cantidad al iniciar
el periodo de interés
Interés devengado
en el periodo
Cantidad al finalizar
el periodo de interés
1 $2000 $2000*(0.10) $2200
2 $2200 $2200*(0.10) $2420
3 $2420 $2420*(0.10) $2662
1 año
S = $ 2662
i= 10% compuesto anual$ 20000
I = $ 662
0
3 años2 años

23. LOGO
Interés Simple
Interés Compuesto
Al comparar los intereses, el
interés adicional que se tiene
con el interés compuesto es:

24. LOGO
Ejemplo5
Compare el interés simple y compuesto generado al depositar 1000
dólares durante 5 años a un interés del 12%
P = $1000
N= 5 años
i = 12 %

25. LOGO
Ejemplo6
Usted piensa invertir 2000 dólares a una tasa de interés compuesto anual
del 6% durante 3 años, o invertir los 2000 dólares a un interés simple del
7% anual durante 3 años. ¿Cuál es la mejor opción?
Solución:
Esta
alternativa
genera mas
ganancias

26. LOGO
P = Stock inicial, valor actual
S(F) = Stock final, valor futuro
A = Flujo constante
N = Numero de periodos
i = tasa de interés por
periodo de interés
t = tiempo expresado en
periodos

27. LOGO
Ejemplo7
El señor Gutiérrez deposita en un sistema de ahorros para compra de un
automóvil la suma de $1000 y luego, cada fin de mes $200, durante 18
mese. Por su capital, el sistema le remunera con 1.2% mensual. ¿Cuánto
será el valor de su capital al final de los 18 meses?
Determine los símbolos y su valor correspondiente en este sistema de
ahorros
P = $1000
A = $ 200
i = 1.2% mensual
N = 18 mese
F = valor futuro de sus depósitos

28. LOGO
Representación gráfica de
problemas de la
ingeniería económica.
En el análisis de los
problemas , este
diagrama ilustra la
distribución de los ingresos
y salidas en el tiempo.

29. LOGO
Ejemplo8
Una decisión de inversión simple implica un desembolso de $100000 para
poder producir a futuro beneficios anuales de $30000 netos. Se espera
un valor de recuperación de la inversión inicial por el 10% ($10000) al
final de la vida del proyecto.
En esta inversión los accionistas piden una rentabilidad mínima de 15%
anual.
Represente con un diagrama de efectivo la operación de inversión de
este proyecto e identifique las variables del problema
Solución
P = inversión del proyecto en el momento de ahora “cero”
A = flujos de caja neto del proyecto (A=Ingresos – egresos)
VR =Valor de rescate del proyecto
i = Costo de oportunidad

30. LOGO
VR = $ 10000
i= 15%P = $ 100000
A A A A A
0
5 años2 años1 año
año
A = $30000
3 años 4 años
Dirección
ascende
nte de
flechas
ingresos
(entrada
s) de
dineroDirección
descende
nte de
flechas
egresos
(salidas)
de dinero

31. LOGO
Cuál sería el cambio del ingreso de efectivo al inicio del año 3.
Inversión de 20000
VR = $ 10000
i= 15%
P0 = $ 100000
A A A A A
0
5 años2 años1 año 3 años 4 años
A’ A’ A’
VR’
P1 = $ 200000

32. LOGO

33. LOGO
Calculo del valor futuro de un
pago único.
Proceso de pasar el valor actual (P)
o valor presente al valor futuro
(F).
Ecuación financiera

34. LOGO
F (futuro)
i%
P (dato)
0
N años

35. LOGO
Ejemplo9
El Sr. Romero deposita hoy día, en una cuenta a plazo fijo el importe de
$1000, cuenta que le paga una tasa de 3.25% compuesto anualmente.
¿Cuánto tendrá al final del primer año en su cuenta a plazos?
Solución
P = 1000
i = 3.25%
N = 1 año
El valor
futuro al final
del primer
año

36. LOGO
El Sr. Romero vuelve a depositar la cantidad obtenida en una cuenta de
ahorros ¿Cuánto tendrá al concluir el año 2?
Solución
P = 1032.5
i = 3.25%
N = 1 año
El valor
futuro al final
del segundo
año

37. LOGO
Diagrama de efectivo
I = 32.5 I = 33.56
P = 1000
0 1 2 años
P 1= 1032.5 P F= 1066.06

38. LOGO
Ejemplo10
Si tuviera 2000 dólares y los invirtiera al 10%, ¿Cuánto valdrían dentro de
ocho años?
Solución
P = 2000
i = 10%
N = 8 años
i= 10%
P = 2000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 años
F=?
Usando la ecuación
financiera
Usando las tablas
financieras

39. LOGO
Calculo del valor presente de
un pago único.
La inversa de la capitalización
Ecuación financiera

40. LOGO
F (dato)
i%
P (?)
0
N años

41. LOGO
Ejemplo11
La inmobiliaria Torre Grande tiene la opción de comprar una extensión de
tierra que valdrá 100000 dólares dentro de 5 años. Si el valor de la tierra
aumenta 6% cada año, ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar ahora el
inversionista por esta propiedad?
Solución
F = 100000
i = 6%
N = 5 año
Usando la ecuación
financiera
Usando las tablas
financieras

42. LOGO
Ejemplo12
Suponga que recibirá 1000 dólares dentro de 6 años. A una tasa de interés
anual del 9%, ¿Cuál es el valor actual de esta cantidad?
Solución
F = 1000
i = 9%
N = 6 año
Usando la
ecuación
financiera
Usando las
tablas
financieras
i= 9%
P = ?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 años
F=1000

43. LOGO
Suma económica al final del
horizonte temporal
Ecuación financiera

44. LOGO
F (?)
i%
0
N años1 2 3
A A A A
A = dato

45. LOGO
Ejemplo13
Transportes Mercosur S.A. desea calcular el valor futuro (F) después de 4
años de un deposito anual de 3000 dólares ocurrido cada fin de año en
una cuenta a plazos que paga 4% de interés anual
Solución
A = 3000
i = 4%
N = 4 año
Usando la
ecuación
financiera
Usando las
tablas
financieras

46. LOGO
Ejemplo14
Suponga que hace una contribución anual de 3000 dólares a su cuenta de ahorros,
al iniciar cada año durante 10 años. Si su cuenta de ahorros produce un interés
del 9% anual. ¿Cuánto tendrá al termino de los 10 años?
Solución
A = 3000
i = 9%
N = 10 año
Saldo resultante
después de 10
años
F(?)
i=9%
0
10 años1 2 3
A A A A A = 3000
Primer deposito

47. LOGO
Permite calcular el valor de A,
para acumular una suma
futura
Ecuación financiera

48. LOGO
F (dato)
i%
0
N años1 2 3
A A A A
A (?)

49. LOGO
Ejemplo15
Supongamos que usted desea adquirir un departamento del programa MI
VIVIENDA dentro de 4 años y la inmobiliaria le pide un pago inicial de $3300
en esa fecha. Desea efectuar depósitos iguales al final de cada año en una
cuenta de ahorros que paga una tasa de interés anual de 4%. ¿Cuánto será
el valor del deposito para acumular un total de $3300?
Solución
F = 3300
i = 4%
N = 4 años
Usando la
ecuación
financiera
Usando las
tablas
financieras

50. LOGO
F=3300
i=4%
0 4 años1 2 3
A A A A

51. LOGO
Ejemplo16
Para ayudarle a alcanzar su meta de 5000 dólares dentro de 5 años, su padre se
ofrece a darle 500 dólares ahora. Usted piensa obtener un trabajo de medio
tiempo y efectuar cinco depósitos adicionales al final de cada año (el primer
deposito se hace al concluir el primer año). Si todo su dinero se deposita en
un banco que paga el 7% de interés, ¿Cuál debe ser la magnitud de sus
depósitos anuales?
Solución
P =500
F = 5000
i = 7%
N = 5 años
Analizamos la contribución del padre a futuro
i= 7%
P = 500
0 1 2 3 4 5 años
F=5000
Este total futuro es lo que el padre le
ofrece, lo cual se deberá restar a la
cantidad futura objetivo

52. LOGO
i= 7%
P = 500
0 1 2 3 4 5 años
F=5000
A A A A A

53. LOGO
Suma económica al inicio
del horizonte temporal
Ecuación financiera

54. LOGO
P (?)
i%
0
N meses1 2 3
A A A A
A (dato)

55. LOGO
Ejemplo17
La gerencia de una Pyme desea calcular el valor presente de sus ahorros
obtenido por el mejoramiento en su sistema de corte, en un periodo de 5
años los ahorros que se dan al final del año por $5000 con un rendimiento de
30%
Solución
P =?
A = 5000
i = 30%
N = 5 años
P (?)
i=30%
0
5 años1 2 3
A A A A
A =5000

56. LOGO
Ejemplo18
El 23 de agosto de 1985, un encabezado del New York Times anunciaba: “21
personas comparten el premio de l lotería de Nueva York”. El articulo reveló
que 21 trabajadores de una fabrica se habían puesto de acuerdo para
juntar 21 dólares, jugar a la lotería de Nueva York y compartir las ganancias.
El boleto ganador valía 13667667 dólares, los cuales se distribuirán en 21
pagos anuales de unos 24000 dólares después de impuestos. John Brown,
uno de los afortunados ganadores, quería renunciar a la fabrica e iniciar su
propio negocio, para lo cual te4nia que conseguir un préstamo bancario por
250000 dólares. Para asegurar tal préstamo, Brown ofreció como garantía
colateral sus ganancias futuras de la lotería. Si la tasa de interés del banco es
del 10% anual, ¿Cuánto puede pedir prestado contra sus ganancias futuras
de la lotería?
El problema tiene
mucha información, por
lo que hay datos que no
serán necesarios para la
solución del problema
Solución
i = 10% anual
A = $24000
N = 21 años

57. LOGO
El Banco le prestara como
máximo 207569 dólares
P (?)
i=10%
0
21 años1 2 3
A = 24000

58. LOGO
Calculo del valor de la serie
conociendo su valor
presente.
Pagos de fin de periodos.
Ecuación financiera

59. LOGO
P (dato)
i%
0
N1 2 3
A A A A
A (?)

60. LOGO
Ejemplo19
El gerente de una Pyme desea determinar la cantidad equitativa de los pagos
que deberá efectuar al final de cada año para amortizar por completo un
préstamo por 20000 dólares a una tasa de interés del 15% durante 5 años
Solución
i = 15% anual
P = $20000
N = 5 años
P =20000
i=15%
0
5 años1 2 3
A A A A A
4

61. LOGO
Ejemplo20
Suponga que una pequeña empresa de biotecnología ha obtenido un
préstamo de 100000 dólares para comprar equipo de laboratorio. Este
préstamo tiene una tasa de interés del 8% anual y debe reponerse con
pagos parciales iguales durante los próximos 5 años.
Calcule la cantidad de este pago parcial anual
Solución
i = 8% anual
P = $100000
N = 5 años
P =10000
i=8%
0
5 años1 2 3
A A A A A
4

62. LOGO
Para flujo de efectivo único
F (?)
P (dato)
0
N
F (dato)
P (?)
0
N

63. LOGO
Para series uniformes
F (?)
0
N1 2 3
A = dato
F (dato)
0
N1 2 3
A (?)
P (?)
0
N1 2 3
A = dato
P = dato
0
N1 2 3
A (?)

64. LOGO

65. LOGO
Ejemplo21
Si durante los próximos 5 años desea retirar las siguientes cantidades de
una cuneta de ahorros que produce un interés compuesto del 6%
anual. ¿Cuánto tiene que depositar ahora?
Solución
i = 6%
N = 5 años
P = ?
0 1 2 3 4 5 años
3000
5000
3000
2000
Si se debe aumentar, debe ir a otro banco que le ofrezca
una mayor tasa de interés invirtiendo menos dinero

66. LOGO
Ejemplo22
¿Qué cantidad invertida ahora al 5% seria apenas suficiente para
proporcionar tres retiros uno por 1000 dólares dentro de 2 años; otro por
2000 dólares dentro de 5 años; y uno mas tarde por 3000 dólares dentro
de 7 años
Solución
i = 5%
N = 5 años
Año Retiros
1° 2 $1000
2° 5 $2000
3° 7 $3000

67. LOGO
1° Forma
P = ?
0 1 2 3 4 5 6 7 años
2000
3000
1000

68. LOGO
2° Forma
P = ?
0 1 2 3 4 5 6 7 años
2000
3000
1000
CAPITALIZACIÓN Y ACTUALIZACIÓN

69. LOGO

70. LOGO
La comparación de los costos de prestamos o los rendimientos
sobre la inversión en diferentes periodos de composición se
deben distinguir entre las tasas de interés nomina y efectiva.
Tasa de interés
Efectiva (compuesta) Nominal (simple)
Incluye el interés sobre
interés ganado durante el
periodo anterior
No incluye el interés sobre
interés ganado.
Ignora el valor del dinero en
el tiempo y la frecuencia
con la cual se capitaliza el
interés

71. LOGO
En la práctica financiera es
muy frecuente la
utilización se un tipo de
interés referido al año
por lo cual la
capitalización se realiza
en partes del año

72. LOGO
 La tasa de interés es 20% nominal anual con capitalización
mensual
i=20 k=12
 La tasa de interés es 15% nominal anual con capitalización
trimestral
i = 15 k=4
 La tasa de interés es 12% compuesto mensualmente
i = 12 k=12

73. LOGO
Es la tasa de
interés que se
paga o se
gana en
realidad.
Se incluye la
frecuencia de
capitalización
de los interés.

74. LOGO
La ecuación que determina
la tasa de interés
efectiva a partir de la
tasa de interés nominal
se generaliza con la
siguiente ecuación:
Tasas periódicas

75. LOGO
Ejemplo23
Diana Rodríguez desea determinar la tasa de interés efectiva relacionada con
la tasa de interés nominal del 20%, cuando la capitalización del interés es
anual, semestral y trimestral
Solución
Para la
capitalización
anual

76. LOGO
Para la
capitalización
semestral
Para la
capitalización
trimestral

77. LOGO
Es la valoración de
series distribuidas en
el tiempo cuya
ocurrencia de pagos
no coincide con el
periodo de la tasa
de interés.

78. LOGO
PRIMER CASO
A
0 1 2 3
A’ A’ A’
Periodo de
tasa de mes
Intervalo de A: Trimestre
“Pagos trimestrales A, a la tasa de interés del 15%
anual capitalizable mensual”

79. LOGO
A’
0 1 2 3
A A A A A A
SEGUNDO CASO
“Pagos mensuales A, a la tasa de interés del 15%
anual con capitalización semestral”
Intervalo de
pago:
mes
Periodo de la tasa: trimestre

80. LOGO
PROCEDIMIENTO DE
CÁLCULO
Primer Método
Segundo Método
Transformar la tasa de interés dada en otra
tasa de interés equivalente y coincidente
con el intervalo de A
Reemplazar por artificios matemáticos, los
pagos A con otros equivalentes y
coincidentes con el periodo de
capitalización del interés

81. LOGO
Ejemplo24
Tasa de interés de 10% nominal con capitalización semestral.
F
0
20 trimestres1 2 3
A A A A =500
Se pide calcular el valor futuro de la serie

82. LOGO
Primer método
A =500
j =10%
m =2

83. LOGO
Segundo método
A’
0
1 2 20
A’
0
1 2
i =2.47%
500 500
F
0
10 semestres1 2 3
A A A A =500
i=5%

85. LOGO

86. LOGO
Inflación de la tasa de interés
Tasa de retorno
I Precio (bono)
I Precio (bono)

87. LOGO
Agentes Económicos
1° Agente
2° Agente
Excedente de dinero
FAMILIAS
Déficit de dinero
PYMES
Déficit Excedente
BROKER
Banco Inversión
venden
compran
Corporación
Gobiernos Locales
Gobiernos Nacionales
Inversionistas
privados
proveen el
dinero
Papel Financiero

88. LOGO
Función objetivo
Emisor
inversionistas
 Minimizar costo efectivo de
la deuda
 Maximizar rentabilidad
 Analizar el riesgo (mínimo)
 Analizar la liquidez
Bonos se pueden financiar en inversiones transferibles
Bonos como opción de financiamiento pero también de inversión
Operaciones de financiamiento directo

89. LOGO
∗ Títulos:
Valores emitidos del tesoro del país
∗ Hipotecario:
Hipoteca por un banco
∗ Amortizable:
Se paga el capital cada trimestre del capital
∗ Municipales:
Dirige el municipio respaldados por el gobierno
∗ Cupón cero:
No recibe nada, al final recibe todo

90. LOGO
Terminología de bonos
Código de calificación
de riesgo
Fecha de emisión
Valor nominal
Tasa de interés de
cupón
Fecha de redención
del bono
AAA  Probabilidad 100% de pago
Punto de partida
Cada papel tiene valor de $1000
valor a la par
valor sobre las par
valor bajo las par
Compra igual al valor nominal
Pagan porcentaje mas del 100
Análisis / compra bono
Se debe especificar los periodos de
capitalización
Fecha de vencimiento

91. LOGO
Valoración del bono
 Los bonos pueden comprarse o venderse como acciones en
el mercado.
 Se pueden conservar hasta su vencimiento.
 Pueden comprarse o venderse a precios distintos de su valor
nominal, dependiendo del ambiente económico.
 Los precios de los bonos varían con el paso del tiempo, por el
riesgo de incumplimiento de pago del interés o el valor a la
par, la oferta y la demanda, o el pronostico de las
condiciones económicas.
 Estos factores afectan el rendimiento de inversión.

92. LOGO
La expectativa del
inversionista depende del
entorno
Lo que no varia es la tasa
de interés, lo que la
vuelve constante

93. LOGO
P
(precio bono)
r
(rendimiento)
0
21 años1 2 3
I I I VN
Interés de cupón

94. LOGO
Ecuación financiera
Las variables
que se mueven
es el precio y el
r%
BAJO LA PAR
A LA PAR
SOBRE LA PAR

95. LOGO
Operaciones a realizar
3. Calcular el precio de bono entre fecha de cupón
P entre periodos
0
21 años1 2 3

96. LOGO
5. Calcular el rendimiento del bono en la fecha de cupón
P P’ r (?)
0
21 años1 2 3
I VN

97. LOGO
Ejemplo25
Jimmy Corporation emitió una serie de bonos el 1° de enero de 1981.
estos bonos se vendieron a la par (en 1000 dólares), tienen un cupón
del 12% y vencen dentro de 30 años, el 31 de diciembre de 2010. Los
pagos de interés de cupón se realizan semestralmente (el junio y el 31
de diciembre).
Calcular:
(a)¿Cuál fue el rendimiento al vencimiento del bono el 1° de enero de
1981?
(b)¿Cuál fue el precio del bono el 1° de enero de 1989, 8 años mas
tarde, suponiendo que la tasa de interés disminuyo al 9%
(c)El 1° de julio de 1989 los bonos se vendían a 922.38 dólares. ¿Cuál
era el rendimiento al vencimiento en dicha fecha y cual el rendimiento
actual también en esa fecha?

98. LOGO
¿Cuál fue el rendimiento al vencimiento del bono el 1° de enero de 1981?
P
(1000)
r
(?)
0
60 semestres1 2 3
I I I VN=1000
I = 60
N = 30 años 60 semestres
ic =12%

99. LOGO

100. LOGO
¿Cuál fue el precio del bono el 1° de enero de 1989, 8 años mas tarde,
suponiendo que la tasa de interés disminuyo al 9%
P
(?)
r
(4.5% semestral)
0
44 semestres1 2 3
I I I VN=1000
I = 60

101. LOGO
Si el rendimiento del bono es menor a la tasa de
cupón ( r < i ) entonces el precio es mayor al valor
nominal (P > VN)

102. LOGO
El 1° de julio de 1989 los bonos se vendían a 922.38 dólares. ¿Cuál era el
rendimiento al vencimiento en dicha fecha y cual el rendimiento
actual también en esa fecha?
P=922.38
r (?)
0
43 semestres1 2 3
I I I VN=1000
I = 60

103.  Benites Gutiérrez, Luis y Ruff Escobar, Claudio.
(2011) Ingeniería económica aplicada a las decisiones
de inversión y financiación de la empresa
 Park, Chan. Ingeniería Económica contemporánea