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1.
PROBLEMAS DE CONDUCCION
DE CALOR ESTACIONARIO, UNIDIMENSIONAL, BIDIMENCIONAL Y TRIDIMENCIONAL (método numérico)
2.
• La base
de la aleta que se muestra se mantiene a 300°C y esta expuesta al entorno convectivo indicado. Calcúlese las temperaturas en régimen estacionario de los nodos mostrados y el calor perdido si k = 1W/m°C 3 0 0 °C Datos: ∆𝑦 ∆𝑥 = 0.5 , 𝐊 = 𝟏𝐖 𝐦°𝐂 , 𝐡 = 𝟒𝟎𝐖 𝐦𝟐°𝐂 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 ∶ ∆𝑥 ∆𝑦 = 2 Nodo 1 …………(1) 1 2 3 4 8 1211109 5 6 7 8cm 𝑄300−1 + 𝑄 𝑐1−1 + 𝑄2−1+𝑄5−1 = 0 C1 C2 C3 𝐾 ∆𝑥 2∆𝑦 300 − 𝑇1 + h∆𝑥 30 − 𝑇1 + 𝐾 ∆𝑦 2∆𝑥 (𝑇2 − 𝑇1)+K ∆𝑋 ∆𝑦 𝑇5 − 𝑇1 = 0 1cm 1cm −6.6𝑇1 + 0.5𝑇2 + 4𝑇5 = −198
3.
Ecuación nodo 9 Ecuación
del nodo 2 Ecuación del nodo 10 𝑄300−9 + 𝑄 𝑐3−9 + 𝑄10−9+𝑄5−9 = 0 𝐾 ∆𝑦 2∆𝑥 300 − 𝑇9 + h∆𝑥 30 − 𝑇1 + 𝐾 ∆𝑦 2∆𝑥 (𝑇10 − 𝑇9)+K ∆𝑋 ∆𝑦 𝑇5 − 𝑇9 = 0 −6.6𝑇9 + 0.5𝑇10 + 4𝑇5 = −198 𝑄1−2 + 𝑄 𝑐1−2 + 𝑄3−2+𝑄6−2 = 0 𝐾 ∆𝑦 2∆𝑥 𝑇1 − 𝑇2 + h∆𝑥 30 − 𝑇2 + 𝐾 ∆𝑦 2∆𝑥 (𝑇3 − 𝑇2)+K ∆𝑋 ∆𝑦 𝑇6 − 𝑇2 = 0 0.5𝑇9 − 6.6𝑇10 + 0.5𝑇11 + 4𝑇6 = 0 𝑄9−10 + 𝑄6−10 + 𝑄11−10+𝑄 𝑐3−10 = 0 𝐾 ∆𝑦 2∆𝑥 𝑇9 − 𝑇10 + 𝐾 ∆𝑥 ∆𝑦 (𝑇6 − 𝑇10)+K ∆𝑋 2∆𝑦 𝑇6 − 𝑇2 + h∆𝑥 30 − 𝑇10 = 0 0.5𝑇1 − 6.6𝑇9 + 0.5𝑇3 + 4𝑇6 = −48
4.
• Ecuación del
nodo 3 Ecuación del nodo 11 Ecuación del nodo 4 𝑄2−3 + 𝑄 𝑐1−3 + 𝑄4−3+𝑄7−3 = 0 𝐾 ∆𝑦 2∆𝑥 𝑇2 − 𝑇3 + h∆𝑥 30 − 𝑇3 + 𝐾 ∆𝑦 2∆𝑥 (𝑇4 − 𝑇3)+K ∆𝑋 ∆𝑦 𝑇7 − 𝑇3 = 0 0.5𝑇2 − 6.6𝑇3 + 0.5𝑇4 + 4𝑇7 = −48 𝑄10−11 + 𝑄7−11 + 𝑄12−11+𝑄 𝑐3−10 = 0 𝐾 ∆𝑦 2∆𝑥 𝑇10 − 𝑇9 + 𝐾 ∆𝑥 ∆𝑦 (𝑇7 − 𝑇11)+K ∆𝑋 2∆𝑦 𝑇12 − 𝑇11 + h∆𝑥 30 − 𝑇11 = 0 0.5𝑇10 − 6.6𝑇11 + 0.5𝑇12 + 4𝑇7 = −48 𝑄3−4 + 𝑄 𝑐1−4 + 𝑄8−4+𝑄 𝑐2−4 = 0 𝐾 ∆𝑦 2∆𝑥 𝑇3 − 𝑇4 + ℎ ∆𝑥 2 (30−𝑇4)+K ∆𝑋 2∆𝑦 𝑇8 − 𝑇4 + ℎ ∆𝑦 2 30 − 𝑇4 = 0 0.5𝑇3 − 3.7𝑇4 + 2𝑇8 = −36
5.
Ecuación del nodo
12. Ecuación del nodo 8. • Ecuación del nodo 7. 𝑄7−8 + 𝑄4−8 + 𝑄12−8+𝑄 𝑐2−8 = 0 𝐾 ∆𝑦 ∆𝑥 𝑇7 − 𝑇8 + 𝐾 ∆𝑥 2∆𝑦 (𝑇4 − 𝑇8)+K ∆𝑋 2∆𝑦 𝑇12 − 𝑇8 + h ∆𝑦 2 30 − 𝑇8 = 0 𝑄11−12 + 𝑄 𝑐3−12 + 𝑄8−12+𝑄 𝑐2−12 = 0 𝐾 ∆𝑦 2∆𝑥 𝑇11 − 𝑇12 + ℎ ∆𝑥 2 (30−𝑇12)+K ∆𝑋 2∆𝑦 𝑇8 − 𝑇12 + ℎ ∆𝑦 2 30 − 𝑇4 = 0 0.5𝑇11 − 3.7𝑇12 + 2𝑇8 = −36 2𝑇4 − 0.5𝑇8 + 𝑇7 + 2𝑇12 = −12 𝑄6−7 + 𝑄3−7 + 𝑄8−7+𝑄11−7 = 0 𝐾 ∆𝑦 ∆𝑥 𝑇6 − 𝑇7 + 𝐾 ∆𝑥 ∆𝑦 (𝑇3 − 𝑇7)+K ∆𝑦 ∆𝑥 𝑇8 − 𝑇7 + h ∆𝑥 ∆𝑦 𝑇11 − 𝑇7 = 0 2𝑇3 + 0.5𝑇6 − 5𝑇7 + 0.5𝑇8 + 2𝑇11 = 0
6.
• Ecuación del
nodo 6 • Ecuación del nodo 5 Ordenando las 12 ecuaciones y formando la matriz de 12x12,se obtiene la distribución de temperaturas 𝑄5−6 + 𝑄2−6 + 𝑄7−6+𝑄10−6 = 0 𝐾 ∆𝑦 ∆𝑥 𝑇5 − 𝑇6 + 𝐾 ∆𝑥 ∆𝑦 (𝑇2 − 𝑇6)+K ∆𝑦 ∆𝑥 𝑇7 − 𝑇6 + h ∆𝑥 ∆𝑦 𝑇10 − 𝑇6 = 0 2𝑇2 + 0.5𝑇5 − 5𝑇6 + 0.5𝑇7 + 2𝑇10 = 0 𝑄300−5 + 𝑄1−5 + 𝑄6−5+𝑄9−5 = 0 𝐾 ∆𝑦 ∆𝑥 300 − 𝑇5 + 𝐾 ∆𝑥 ∆𝑦 (𝑇1 − 𝑇5)+K ∆𝑦 ∆𝑥 𝑇6 − 𝑇5 + h ∆𝑥 ∆𝑦 𝑇9 − 𝑇5 = 0 2𝑇1 − 5𝑇5 + 0.5𝑇6 + 2𝑇9 = −150
7.
-6.6 0.5 0
0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 - 6.6 0.5 0 0 0.5 -6.6 0.5 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 4 0 0 0.5 -6.6 0.5 0 0 0.5 -6.6 0.5 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0.5 -6.6 0.5 0 0 0.5 -3.7 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0.5 -3.7 0 0 0 2 0 0 1 -5.4 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0.5 -5 0.5 0 0 2 0 0 2 0 0 0.5 -5 0.5 0 0 2 0 0 2 0 0 0 -5 0.5 0 0 2 0 0 0 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 -198 -198 -48 0 -48 -48 -36 -36 -12 0 0 150
8.
• finalmente resolviendo
se tiene • • T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 106.907 50.286 36.2009 32.60257 120.611 53.080 37.370 33.264 106.350 50.125 35.637 32.526