2020年度秋学期 画像情報処理 第11回 Radon変換と投影定理 (2020. 12. 4)
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関西大学総合情報学部・画像情報処理（担当・浅野晃） http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2020a/IPPR/
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- 10. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない
- 11. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy
- 12. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
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- 17. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない
- 18. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くすことはできない →補間を行う
- 19. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フーリエ変換法による再構成の問題点 5 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 周波数空間の誤差は，画像全体にひろがる アーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は正方座標 コンピュータの能力が低かった時代は 精密な計算が難しかった →さてどうした？
- 21. 逆投影法💡💡
- 23. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
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- 25. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
- 26. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y)
- 27. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて合計してみれば？
- 28. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影（線積分）が わかれば求められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて合計してみれば？ どの線積分にも f(x, y) は含まれているのだから， 合計したら f(x, y) が強調される？
- 31. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では
- 32. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0
- 33. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり
- 34. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は
- 35. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ)
- 36. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ)
- 37. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
- 38. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
- 39. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 復元できているのか？ f(x, y) とどれほど違うのだろうか？
- 40. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ逆投影
- 41. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
- 42. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
- 43. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
- 44. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
- 45. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
- 46. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
- 47. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
- 48. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
- 49. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
- 50. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
- 51. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
- 52. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk]
- 53. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 三角関数を合成
- 54. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
- 55. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ[h(θ)] = k 1 |h (θk)| δ[θ − θk] (x − x) cos θ + (y − y) sin θ = (x − x)2 + (y − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y −y√ (x −x)2+(y −y)2 = sin−1 x −x√ (x −x)2+(y −y)2 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
- 56. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
- 57. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy
- 58. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 59. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 60. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α))
- 61. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) よって
- 62. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元できているといえなくもないが… 11 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x , y )δ(x cos θ + y sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx dy dθ = ∞ −∞ f(x , y ) π 0 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ))dθ dx dy b(x, y) = ∞ −∞ f(x , y ) 1 (x − x)2 + (y − y)2 dx dy = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 δ((x − x) cos θ + (y − y) sin θ)) = 1 (x − x)2 + (y − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) よって コンヴォリューションになっている
- 63. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2
- 64. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2
- 65. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2
- 66. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y なので
- 67. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y なので
- 68. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)]
- 69. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0
- 70. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 周波数0の成分は
- 71. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は
- 72. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は
- 73. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 全体の平均が0
- 74. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 全体の平均が0
- 75. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 全体の平均が0
- 76. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 全体の平均が0
- 77. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる 全体の平均が0
- 78. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 全体の平均が0
- 79. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 全体の平均が0
- 80. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 全体の平均が0
- 81. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず 全体の平均が0
- 82. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
- 83. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
- 84. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の平均が0
- 85. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y fx = fy = 0 FT[f(x, y)] = 0 周波数0の成分は 0 こうなっていることになる おかしい。 吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも fx = fy = 0 で発散している 全体の平均が0
- 86. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影定理 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
- 87. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影定理 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 復元
- 88. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影定理 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 復元 ２次元逆フーリエ変換
- 89. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 14 再び投影定理 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy 復元 ２次元逆フーリエ変換
- 90. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
- 91. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
- 92. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ
- 93. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ
- 94. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
- 95. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
- 96. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
- 97. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 投影定理より
- 98. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 投影定理より
- 99. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 投影定理より
- 100. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
- 101. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
- 102. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ
- 103. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ
- 104. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ
- 105. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ s = x cos θ + y sin θ
- 106. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
- 107. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
- 108. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
- 109. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ)
- 110. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ)
- 111. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ) ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
- 112. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ) ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ とおくと，
- 113. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ) ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ とおくと，
- 114. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ) ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ とおくと， 投影を，「周波数空間で |ξ| 倍するフィルタ」を適用してから，逆投影
- 115. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
- 116. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
- 117. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍
- 118. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
- 119. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
- 120. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション 最初からこれを定義しておけば，フーリエ変換の必要はない
- 121. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 コンヴォリューション逆投影法 18 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション 最初からこれを定義しておけば，フーリエ変換の必要はない 極座標→直交座標の変換は実空間で行うので， 誤差が画面全体に拡散することはない
- 122. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a) (b) (c)
- 123. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a) (b) (c) |ξ|
- 124. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax
- 125. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax
- 126. 172020年度秋学期 画像情報処理 ／ 関西大学総合情報学部 浅野 晃 フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax 高い周波数成分を増幅すると ノイズを強調してしまうので，抑える