10. Шугаман регресс.
Өгөгдсөн хос хэмжигдэхүүнүүдийн хамаарал шугаман функцээр тодорхойлогдох боломжтой
гэе.
y=ax+b; Энд a,b үл мэдэгдэх параметрүүд.
Ажиглалтын утгуудаар байгуулсан цэгүүдэд хамгийн ойр байхаар y=ax+b; шулуун байгуулах
буюу уг шулууны a,b үл мэдэгдэх параметрүүдийг олох шаардлагатай.
niyx ii ,1),( - туршилтын утга.
nibaxx ii ,1),( - онолын утга.
Туршилтын утга ба онолын утгын ялгаврыг алдаа гэж нэрлээд nii ,1; гэж тэмдэглэе.
nibaxy iii ,1);( алдаануудын квадратуудын нийлбэр хамгийн бага байхаар a, b -г
олно гэдэг нь min))((
1
2
1
2
n
i
ii
n
i
i baxyS буюу олон хувьсагчийн функцийн
экстремумын олох бодлогод шилжинэ. Yүний тулд n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
ybnxa
yxxbxa
b
S
a
S
11
111
2
0
0
систем тэгшитгэлийг бодож a,b -г олдог билээ.
12. Шилжих дундажийн аргаар засварлавал:
Их эмч
нас
баралт*
0.86 56.6666667
1.02 56.6666667
1.03 56.3333333
1.19 60
1.3 59.3333333
1.3 69.3333333
1.39 62.6666667
1.48 69.6666667
1.48 76.6666667
1.53 59.3333333
1.63 48
1.65 35
1.77 40.3333333
1.9 51.3333333
1.92 47.3333333
2.01 52.6666667
2.01 39.3333333
2.59 36.3333333
3.01 24
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0.86
1.03
1.3
1.39
1.48
1.63
1.77
1.92
2.01
3.01
a -17.9287
b 82.00235
y= -17.9287*x+82.00235.
Регрессийн тэгшитгэлийн стандарт алдаа.
Регрессийн тэгшитгэлээр гарган авч байгаа bxay ixi
онолын утгуудын найдвартай эсэх
нь регрессийн шугамын ойролцоох ажиглалтын утгуудын алдаагаар тодорхойлогдоно. Энэ
алдааны их, багыг үзүүлж буй хэмжигдэхүүнийг регрессийн тэгшитгэлийн стандарт алдаа
гэж нэрлэх бөгөөд дараахь томъѐогоор олдоно.
;
)(
1
2
kn
yy
n
i
xi
yx
i
Энд k регрессийн тэгшитгэл дэхь параметрийн тоо.
a ба b параметрүүдийн стандарт хазайлтууд ;
)(
1
1
2
n
i
i
yxa
xx
S ;
)(
1
1
2
2
n
i
i
yxb
xx
x
n
S
томъѐонуудаар олдоно.
Регрессийн шугаман загварын параметрийн итгэлтэй эсэхийг таамаглалаар шалгах.
13. Туршилтын n ширхэг хос утгыг ашиглан x,y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын
хамаарлыг ойролцоогоор y=ax+b; олсон. x,y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жинхэнэ
хамаарлыг ;21 iii xy гэвэл ;, 21 ba гэж олдсон гэсэн үг.
Регрессийн шугаман тэгшитгэлийн a,b параметрүүд нийт x,y санамсаргүй
хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд тохирох эсэхийг шалгах шаардлагатай. Yүний тулд дараахь
таамаглалуудыг шалгадаг.
a параметрийн хувьд:
0: 10H таамаглалыг шалгая. Эсрэг таамаглал нь )0:( 11H .
;
a
àæ
S
a
t утгыг олно. Стьюдентийн t тархалтын таблицаас
2,
2
n
t утгыг олж,
2,
2
n
àæ tt бол
0: 10H таамаглалыг няцаана. 0: 11H таамаглалыг хүлээж авна. Энэ нь a
параметрийн утга ач холбогдолтойг харуулна. Харин
2,
2
n
àæ tt бол 0: 10H таамаглалыг
хүлээж авах буюу a параметрийн утгыг ач холбогдолгүй гэж үзнэ.
Хэрвээ 0: 10H таамаглалыг няцаасан бол a параметрийн итгэх завсарыг дараахь
байдлаар байгуулна.
[,]
2,
2
2,
2
a
n
a
n
StaSta
Ө.х. a параметрийн жинхэнэ утгыг дээрхи интервалд байна гэдэгт 1 магадлалтайгаар
итгэж болно гэсэн үг.
b параметрийг дээрхитэй адилаар үнэлнэ.
Шугаман бус регресс.
),(),,(),,( 2211 nn yxyxyx хэмжигдэхүүнүүд шугаман хамааралтай биш ямар нэгэн муруйгаар
зурагдах хамааралтай байг. Энэ үед уг хамаарал нь ямар төрлийн муруй болох ө.х. y -нь x -
ээс ойролцоогоор ямар функцээр хамаарч байгааг тогтоох нь чухал юм. Жишээ болгож
1. ;
bxa
x
y - гипербол,
2. ;a
xby - зэрэгт функц буюу логарифм муруй,
14. 3. ;x
b
eay - экспоненциал функц
4. ;2
cxbxay - парабол функцын ангиудыг авч үзье.
1. Гипербол
Хэрэв өгөгдсөн цэгүүд ;
bxa
x
y гипербол муруйтай ойролцоо оршиж байна гэж үзвэл
энэхүү гипербол муруйн а,b параметрийг ХБКАргаар олно.
;
11
; b
x
a
ybxa
x
y болно. ;
1
*;
1
*
x
x
y
y гэж орлуулбал ;** bxay болж y*,x*
хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд шугаман регрессийн бодлогод шилжинэ. Анхны өгөгдлүүдээс
),(),,(),,( ***
2
*
2
*
1
*
1 nn yxyxyx утгуудыг бодож олно.
n
k
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
k
n
k
k
ybnxa
yxxbxa
1
*
1
*
1
**
1
*
1
2*
)(
Систем тэгшитгэлийг бодож a,b -г олно.
2. Зэрэгт функц буюу логарифм муруй
lg/;a
xby
lgy=lgb+algx; болно.
;lg*;lg* xxyy гэж орлуулбал ;lg** bxay болж y*,x* хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд
шугаман регрессийн бодлогод шилжинэ. Анхны өгөгдлүүдээс ),(),,(),,( ***
2
*
2
*
1
*
1 nn yxyxyx
утгуудыг бодож олно.
15. n
k
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
k
n
k
k
ybnxa
yxxbxa
1
*
1
*
1
**
1
*
1
2*
lg
lg)(
Систем тэгшитгэлийг бодож a,lgb -г олно. lgb олдсон тул энэ
утгыг ашиглаж b-г олно.
3. Экспоненциал функц
;x
b
eay функцийн хувьд ;)(
1
bx
eay гэдгээс x
eX
1
гэж орлуулбал ;b
Xay болж
дээрхитэй ижилээр бодогдоно.
4. Парабол
Хэрэв өгөгдсөн цэгүүд ;2
cxbxay параболтой ойролцоо оршиж байна гэж үзвэл энэхүү
параболын a,b,c параметрүүдийг олоходоо мөн л ХБКАргыг хэрэглэнэ. Туршилтын утгуудад
хамгийн ойр параболыг байгуулна гэдэг нь алдааны квадратуудын нийлбэр хамгийн байхаар
a,b,c -г олно гэсэн үг.
min))((
1
22
n
i
iii cxbxayS
Олон хувьсагчийн функцын экстремум байх зайлшгүй нөхцөл ѐсоор
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
yxxcxbxa
yxxcxbxa
yxcxban
c
S
b
S
a
S
1
2
1
4
1
3
1
2
11
3
1
2
1
11
2
1
0
0
0
(1)
Систем тэгшитгэлийг бодож a,b,c -г олно.
Жишээ ¹8. Ажилласан жил ба хөдөлмөрийн бүтээмжийн хоорондын хамаарал дараахь
хүснэгтээр өгөгдөв.
x y
1 1 7
2 3 17
3 6 16
4 8 29
5 12 26
0
5
10
15
20
25
30
35
1 3 6 8 12
Дээрхи өгөгдөлийн хувьд (1) системийг бодвол:
a 0.385
b 4.02
c -0.1765