maths

1. 1
ô
à
Exercice 1 : 3 pts
1-resoudre dans l’équation :   2
4 2 4 0z z z   
2-le plan complexe rapporte au repère  ; ;O u v orthonormé direct. On considère
les points A, B et C d’affixes respectifs 4; 1 3 1 3A B Cz z i et z i    
a-calculer C A
B A
z z
z z


et donner son écriture exponentielle
b-en déduire la nature du triangle ABC
3-determeiner Dz l’affixe du point D l’image du point B par la rotation r de
centre O et de mesure d’angle
2
3

.
4-en déduire la nature du quadrilatère ABDC.
5- montrer que 1
: 2 cos
3
n n n
n IN z
  
    
 
tel que : n n n
B Cz z z 
Exercice 2 : 8pts
I-Soit   2 lng x x x   pour tout  0;x 
1-calculer    0
lim lim
xx
g x et g x

2-calculer  'g x et donner le tableau de variation de g
3-en déduire le signe de g(x) sur  0;
II-soit  
 2
ln1
2
x
f x x e
x
 
    
 
 
pour tout x IR

1-calculer    f x f x pourtout x IR
   et interpréter ce résultat
2-calculer les limites aux bornes de IR

2. 2
3-montrer que  
 2
2
: '
2
g x
x IR f x
x


  
4-donner le tableau de variation de f
5-montrer que la droite  
1
:
2 2
e
y x

   est une asymptote oblique à la courbe
 fC au voisinage de 
6-etudier la position de  fC par rapport à  
7-montrer que :  fC admet deux tangentes de coefficient directeur
1
2

et
déterminer leurs équations.
8-montrer que  fC coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisses
:2 2,1 0,5 0,4et telque et    
9-construire les tangentes, la droite   et la courbe  fC dans un repère
orthonormé  ; ;O i j tel que 1i j cm  .
10-resoudre graphiquement l’équation :    2
2 lnx e m x  tel que m un paramètre
réel.
11-montrer que l’aire du domaine plan limite par la courbe  fC et les droites
d’équations respectives ; 1 2x x et x y e    est :    2 21
ln
2
cm  
Exercice 3 : 3pts
On pose :  2 2
01 1
: ln
e en
nn IN I x x et I x dx
    
1-calculer : 0I
2-avec intégration par partie calculer 1I
3-montrer que : : 0nn IN I
  
4- montrer que la suite nI est décroissante et qu’elle est convergente
5-montrerque :   3
1:3 1n nn IN I n I e     avec (intégration par partie) en
déduire 2I

3. 3
6-montrer que :
3
:
1
n
e
n IN I
n
  

7-en déduire lim n
n
I

Exercice 4 : 3pts
L’espace rapporte à un repère orthonormé direct ; ; ;O i j k . On considère les
points      1;0;3 ; 3;0;0 7;1; 3A B et C  .
1-montrer que l’ensemble  S des points  ; ;M x y z de l’espace tel que :
2 2 2
6 2 15 0x y z x y      est une sphère de centre  3;1;0 et de rayon 5
2-verifie que 3 4AB AC i k  
3-en déduire que l’équation du plan (ABC) est : 3x+4z-9=0
4-montrer que la représentation paramétrique de la droite (D) qui passe par
 3;1;0 et perpendiculaire au plan (ABC) est   
3 3
: 1 ;
4
x t
D y t IR
z t
 

 
 
5-montrer que la droite (D) coupe la sphère (S) en deux points
   6;1;4 0;1; 4E et F 
Exercice 5 : 3pts
On considère une urne contenant 10 boules dont : 4 rouges et 6 vertes. Ces
boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard deux boules de cette
urne.
1-Soit A l évènements suivant : les deux boules tirées sont rouges
Montrer que  
2
15
p A 
2-Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le nombre de boules
rouges restantes dans l’urne après tirage des deux boules.
a-montrer que l’ensemble des valeurs de X est : 2;3;4
b-montrer que  
8
3
15
p X  
b- donner la loi de probabilité
c-calculer l’Esperance mathématique E(X)