math

1. EXERCICE 1 :
Soit la fonction nf définie sur  0; par :  
 
2
2
; 0
0 0
x
n
x e x
nf x
f

 
 
  
 
et n IN

1-etudier la continuité de la fonction nf à droite de 0
2-etudier la dérivabilité de la fonction nf à droite de 0
3-calculer  lim n
x
f x

1-etudier les branches infinies de la courbe  nC de la fonction nf
2-etudier les variations de la fonction nf sur  0;
3-donner son tableau de variation
4-construire la courbe  2C dans un repère orthonormé ; ;O i j
5-montrer que : l’équation  
2
nf x
n
 admet une solution unique  0;nu dans 
6-montrer :     1
2 2
0
1
n nx f x f x
n n
   

8-endeduire que la suite  nu est décroissante et convergente
9-on pose : lim n
n
u l

 et Vérifier que :
2
: 2 1nu
nn IN nu e
 
    
 
 
et déterminer l
EXERCICE 2 :
n un entier naturel no nul.
Soit la fonction nf définie sur  0; par :   ln
2
n
n
f x x n x  
1-etudier les variations de la fonction nf sur  0;
2-montrer que l’équation   0nf x  admet une solution unique  0;nu dans 
3-montrer que :  2 2
:1 ln 2n n nn IN u e et u u
n

     
4-ecrire  1n nf x en fonctionde u et n en déduire que  nu est croissante