1. Analisis nilai potensial listrik di tengah plat konduktor berarus menggunakan persamaan Laplace secara numerik dan metode SOR. 2. Didapatkan nilai potensial sebesar 9,995 volt pada titik tengah plat dengan tegangan awal 10 volt di setiap sudut plat. 3. Grafik menunjukkan potensial listrik tinggi di tepi plat dan rendah di tengah plat.

1. 1
Project Analisis Numerik. Kamis 6 juli 2017
I. PENDAHULUAN
ersamaan laplace umumnya sangat
berguna dalam menentukan potensial
listrik dalam sebuah konduktor,
namun terkadang bentuk diffrensial
matematisnya sukar untuk didekati,
sehingga setiap nilainya pun terkadang
memberikan gatat (error) yang besar. Untuk
menghindari permasalahan tersebut maka
jenis persamaan diffrensial laplace dapat
didekati dengan perhitungan secara
numerik, sehingga lebih mudah untuk
dihitung. Dalam kahsus kali ini, kami akan
menghitung nilai potensial listrik di tengah
konduktor berarus, dengan tegangan
sebesar 10 volt di setiap sisi ujung
konduktor seperti tampak pada gambar 1.1
berikut.
Gambar 1.1 : Illustrasi konduktor berarus listrik
Nilai potensial yang didapatkan secara
Numerik selanjutnya akan dibandingkan
dengan nilai nya secara diffrensial untuk
menguji keakuratan data yang didapatkan.
II. METODE PERHITUNGAN
Dalam menghitung nilai potensial secara
diffrensial, maka dapat kita gunakan
persamaan :
∇2
𝑉 =
𝜕2
𝑉
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝑉
𝜕𝑦2
= 0
Bentuk persamaan tersebut kemudian kita
ubah kedalam bentuk numeriknya, dengan
menggambarkan titik-titik interpretasi.
Gambar 2.1 : titik-titik interpretasi turunan numerik
Solusi Persamaan Laplace Dua Dimensi
Untuk Metode Numerik
Rian Affandi
Program Studi Fisika Fakultas MIPA Universitas Mataram
fandi.alfa.edision@gmail.com
6 Juli 2017
Abstrak
Telah dilakukan analisispersamaan diffrensialparsialterhadap potensial listrik menggunakan metode laplace
dan metode numerik. Persamaan lapalce merupakan salah satu bentuk persamaan diffrensial parsial yang
salah satu kegunaannya adalah untuk menganalisis pergerakan muatan listrik dalam konduktor. Pendekatan
persamaan laplace dapat dilakukan menggunakan metode numerik untuk mempermudah dalam melakukan
perhitungan secara matematis.Dengan menerapkan metode SOR dalam iterasi, maka perhitungan dapat
dilakukan lebih cepat, sedemikian hingga diperoleh bahwa potensial listrik di tengah plat konduktor berkisar
pada nilai 10,68 volt hingga 9.95 volt.
Kata kunci : persamaan lapalce, potensial listrik, metode numerik.
P
(1)

2. 2
Project Analisis Numerik. Kamis 6 juli 2017
Berdasarkan penggambaran 6.2, maka
persamaan 1 dapat dituliskan kembali
secara numerik melalui langkah berikut :
Untuk nilai 𝜕𝑉/𝜕𝑥 = Vx dapat kita peroleh
melalui metode turunan maju yaitu
𝑉(𝑖+1,𝑗) − 𝑉(𝑖,𝑗)
∆𝑥
Dimana nilai 𝜕𝑉/𝜕𝑥 = Vx dengan metode
turunan mundur diberikan oleh persamaan:
𝑉(𝑖,𝑗) − 𝑉(𝑖−1,𝑗)
∆𝑥
Kemudian dengan melakukan oprasi
pengurangan pada persamaan 2 dan 3 dan
membagina dengan jarak (∆x = 0,5 cm)
maka dapat kita tuliskan persamaan untuk
turunan kedua dari 𝜕²𝑉/𝜕𝑥² = Vxx adalah :
𝑉(𝑖+1,𝑗) − 2𝑉(𝑖,𝑗) + 𝑉(𝑖−1,𝑗)
∆𝑥2
Berdasarkan persamaan 4 maka nilai untuk
𝜕²𝑉/𝜕𝑦² = Vyy dengan ∆y = ∆x = 0,1 cm
dapat kita tuliskan dalam persamaan :
𝑉(𝑖,𝑗+1) − 2𝑉(𝑖,𝑗) + 𝑉(𝑖,𝑗−1)
∆𝑦2
Jika kita substitusikan persamaan 4 dan 5
kedalam persamaan 1 maka kita dapatkan
bentuk ∇²V dalam bentuk numeriknya :
Vxx + Vyy = 0
Dengan mengoprasikan setiap elemen pada
persamaan 6 maka diperoleh solusi
persamaan laplace (Vij) untuk metode
numeriknya adalah :
𝑉(𝑖,𝑗+1) + 𝑉(𝑖,𝑗−1) + 𝑉(𝑖−1,𝑗) + 𝑉(𝑖+1,𝑗)
4
Untuk mempercepat konvergensi menuju
nol digunakan metode relaksasi berlebih
yang lebih dikenal sebagai metode SOR
(Successive Over Relaxation), sehingga
bentuk persamaan 7 dapat ditulis ulang
menjadi bentuk persamaan iterasi yang baru
seperti berikut:
𝑉(𝑖,𝑗) = 𝑉(𝑖,𝑗) + 𝜔𝑟(𝑖,𝑗)
dengan 𝑟(𝑖,𝑗) adalah suku sisa (residual) yang
mempunyai bentuk persamaan :
𝑉(𝑖+1,𝑗) + 𝑉(𝑖−1,𝑗) + 𝑉(𝑖,𝑗+1) + 𝑉(𝑖,𝑗−1) − 4𝑉(𝑖,𝑗)
4
Dan 𝜔 merupakan parameter konvergensi
yang nilainya berkisar pada rentang 1 ≤ 𝜔 <
2 yang persamaanya adalah:
4
2 + √4 − [cos (
𝜋
𝑛 − 1
) + cos (
𝜋
𝑚 − 1
)]
2
Dalam khasus ini untuk mempermudah
perhitungan, maka kita berikan 𝜔 = 1.
Untuk menguji persamaan 8 maka dilakukan
perhitungan menggunakan Ms.excel dengan
memberikan iterasi sebanyak 18 titik
interpretasi sesuai dengan skema berikut :
Gambar 2.2 : Illustrasi Solusi Persamaan Laplace
Dalam Numerik
III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkan illustrasi pada gambar 2.2
maka nilai dari potensial listrik untuk setiap
pergeseran x dan y menuju ke titik tengah
plat konduktor dapat ditampilkan dalam
tabel berikut :
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(9)
(10)
(8)

3. 3
Project Analisis Numerik. Kamis 6 juli 2017
Gambar 3.1 : Niliai Potensial listrik dalam
konduktor
Dengan algoritma untuk nilai V(i,j) pada
kolom C4 dapat kita tuliskan sebagai “=
C4+((B4+D4+C3+C5-4*C4)/4)”, dengan
syarat batas B3 , J3, B11, dan J11 diberikan
10 volt dan V(i,j) dari i = 2 hingga i =8
adalah 0 volt, sedangkan untuk V(i,j) dari j =
2 hingga j =8 diberikan 20 volt, seperti
tampak pada gambar 3.1.
Dengan menggunakan bantuan excel maka
grafiknya dapat kita tampilkan sebagai :
Gambar 3.2 : Grafik potensial (tegangan listrik)
pada plat konduktor
Untuk pencitraan grafik dalam dua
dimensi dilihat dari bagian atas maka
dapat ditampilkan sebagai :
Gambar 3.3 : Tampak atas grafik potensial pada
plat konduktor
Dengan menggunakan bantuan gnuplot,
maka gambar 3.2 dan gambar 3.3 dapat
digabungkan dalam satu grafik menjadi :
Gambar 3.4 : Grafik tegangan listrik pada plat
konduktor dengan gnuplot
Berdasarkan Grafik tersebut, tampak bahwa
potensial listrik cukup tinggi berada di
sekitar sisi plat konduktor, sedangkan pada
bagian pusat plat, potensial atau tegangan
listriknya cukup rendah.
IV. PENUTUP
a. Kesimpulan
i. Dengan menggunakan persamaan
laplace secara numerik, maka diperoleh
nila potensial di pusat plat sebesar 9,995
volt, dengan syarat awal nilai tegangan
di setiap sudut plat konduktor sebesar
10 volt.

4. 4
Project Analisis Numerik. Kamis 6 juli 2017
ii. Untuk mempercepat iterasi dalam
perhitungan maka digunakan metode
SOR (Successive Over Relaxation).
b. Saran
Cobalah untuk menggunakan lebih dari
satu aplikasi dalam pembuatan grafik,
guna mengetahui serta membandingkan
keakuratan data yang diperoleh. Dalam
hal ini cobalah gunakan sofware standar
seperti matlab atau oktav.
REFERENSI
Mathews,Jhon. 2000. Numerical Methods
For Mathematic Science and Engginer. New
York : Mc Grow Hill.