Se ejemplifican situaciones referentes a la aplicación del método gráfico para resolver inecuaciones racionales, logarítmicas y exponenciales

1. El enfoque gráfico como alternativa para la solución de
ecuaciones e inecuaciones
Angela E. Torres R.
Junio, 2010
( )
3
9
log 3x
≤
−

2. Elementos que
sustentan el enfoque
gráfico
Traslaciones
Verticales y
Horizontales
Ampliación y
Reducción
Manejo adecuado
de operaciones
algebraicas
Efecto del Valor
Absoluto
Reflexión

3. :
Tópico: Inecuaciones con valor absoluto de funciones cuadráticas
Encuentre la solución de la siguiente inecuación
Planteamiento gráfico:
Solución:
Los puntos a y b se hallan resolviendo:
2
6 8 5− + >x x
( ) ( ), ,−∞ +∞a y b
5862
=+− xx
2 6 24 6 24
6 8 5, ,
2 2
+ −
− + = = =
14243 14243
Punto b Punto a
x x es decir x y x
2
6 8 5− + = −x x (Esta última ecuación no tiene
solución en los reales).

4. :
Tópico: Inecuaciones con valor absoluto de funciones cuadráticas
Encuentre la solución de la siguiente inecuación
Planteamiento gráfico:
Solución:
Los puntos se hallan a partir de:
2
2 10 21 8< − + <x x
( ) ( ) ( ), , ,∪ ∪a b c d e f
2
10 21 2− + =x x
2
10 21 2 (Esta ecuación arroja los puntos b y e)− + =x x
2
10 21 2 (Esta ecuación arroja los puntos c y d)− + = −x x
2
10 21 8− + =x x
2
10 21 8 (Esta ecuación arroja los puntos a y f)− + =x x
2
10 21 8 (Esta ecuación no tiene solución real)− + = −x x

5. :
Tópico: Inecuaciones con valor absoluto de funciones radicales
Encuentre la solución de la siguiente inecuación
Planteamiento gráfico:
Solución:
12 5 5− − >x
( ) ( ], ,5−∞ ∪a b
12- 5 =5 44 (Punto b)− ⇒ = −x x
12 5 5− − =x
12 5 =-5 284 (Punto a)− − ⇒ = −x x
Los puntos a y b se hallan resolviendo:

6. ( )
k
c
f x
≥ ( )f x
c R∈ k R∈
Tópico: Inecuaciones que presentan la forma , con
función radical; y constantes.
Encuentre la solución de la siguiente inecuación: 1
6
8 x
≥
−
Solución: [ ),8a
El punto a se halla a partir de:
1 1 287
6, es decir 8 , por lo que
6 368
x x
x
= = − =
−

7. Tópico: Inecuaciones que presentan la forma , con
es una función radical
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
El punto a se halla a partir de:
( )
1
c
f x
>
donde
,c R∈
)(xf
1
5
10 4 x
>
− −
( )96,a−
1
5
10 4 x
=
− −
1
5 95,2016
10 4
x
x
= ⇒ = −
− −
( )
1
5 no tiene solución
10 4 x
= −
− −

8. Tópico: Inecuaciones que presentan la forma ,con
reales y
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
Los puntos se hallan a partir de:
kydcba ,,,
( )
n
k
d c e
ax b
< − <
−
n par ó impar
( )
5
3
4 1 6
2 7x
− < − <
−
( ) ( ), ,b c−∞ ∪ +∞
( )
( )
( )
( )
5
5
3
1 4 Punto b
2 7
3
1 6 Punto c
2 7
x
x
− = −
−
− =
−

9. Tópico: Inecuaciones que presentan la forma ,con
reales y
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
Los puntos se determinan a partir de:
kydcba ,,, n par ó impar
( ) ( ), ,b c−∞ ∪ +∞
( )
n
k
c d
ax b
− <
+
( )
7
3
1 10
4 6x
− <
− +
( )
( )7
3
1 10 Punto b
4 6x
− =
− +
( )
7
3
1 10
4 6x
− =
− +
( )
( )7
3
1 10 Punto c
4 6x
− = −
− +

10. Tópico: Inecuaciones que presentan la forma ,con
reales y
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
Los puntos se determinan al resolver las ecuaciones:
kydcba ,,, n par ó impar
( )
ec
bax
k
d n
≤−
+
<
( )
52
34
7
1 6
≤−
−
<
x
( ) ( ] [ ) ( ), , , ,c d e f g h−∞ ∪ ∪ ∪ +∞
( )
6
7
2 1
4 3x
− =
− ( )
6
7
2 5
4 3x
− =
−
y

11. Tópico: Inecuaciones que presentan la forma ,con
función logarítmica y
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
Los puntos se determinan al resolver la ecuación:
)(xf
cxf ≥)(
c∈R
( )log 3 2 2x − ≥
( ] [ ), ,a b−∞ ∪ +∞
( )log 3 2 2x − =

12. Tópico: Inecuaciones que presentan la forma ,con
función logarítmica y
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
Los puntos se determinan al resolver la ecuación:
)(xf
cxf <)(
c∈R
( ) 223log
5
1 <−x
( ) ( ), ,a b−∞ ∪ +∞
( )1
5
log 3 2 2x − =

13. Tópico: Inecuaciones que involucren funciones logarítmicas
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
Los puntos se determinan al resolver la ecuación:
( )2
4log 3 18 5x x− − <
( ) ( ), 3 6,a b− ∪
2 5 2
3 18 4 , es decir, 3 1042 0x x x x− − = − − =

14. Tópico: Inecuaciones que involucren la raíz cuadrada de funciones logarítmicas
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
El punto
( )1 10log 5 3x− ≥
( )1 10log 5 3x− =a se determina a partir de:
9
1
5
10
x
 
= − ÷
 
Por lo que:
[ ),5a

15. ( ) ( )1 10log 5f x x= −
a
( ) ( )1log loga ax x= −
Con el propósito de verificar el correcto trazado de la gráfica de
,así como la validez del valor del punto
, conviene introducir la relación siguiente:

16. Tópico: Inecuaciones con valor absoluto de funciones logarítmicas
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
Los puntos se determinan al resolver la ecuación:
( )2
log 6 4x − <
( ) ( ), ,a b c d∪
( )2
log 6 4x − =

17. Tópico: Inecuaciones que presentan la forma ,con
reales
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
eydcba ,,,
ax b c dx e+ − ≤ +
1
4 2 1
3
x x− − ≤ +
[ ],a b
Punto a
:
( )
{Brazo Izquierdo
Recta dada
1
4 2 1
3
3
4
x x
x
− − − = +
=
14243
Punto b
:
( )
{Brazo Derecho
Recta dada
1
4 2 1
3
21
2
x x
x
− − = +
=
14243

18. Tópico: Inecuaciones que presentan la forma
donde todas las funciones son lineales
Encuentre la solución de la siguiente inecuación:
Solución:
Punto a
:
Punto b
( ) ( ) ( )a f x b g x h x+ ≤
3 1 2 5 14x x x− + + ≤ +
}2Recta Recta dada
11 14
2 3
3 2
y
x x
x
x
− + = +
− =
= −
678 } }32Recta Recta dada
5 9 14
4 5
5 4
y
x x
x
x
+ = +
=
=
[ ]ba,

19. Ventajas de la aplicación del Enfoque Gráfico
 Permite afianzar conceptos básicos y fortalecer el
desarrollo de operaciones algebraicas.
 Ofrece mecanismos alternativos para determinar la
veracidad de los resultados.

20. Ventajas de la aplicación del Enfoque Gráfico
 Fortalece el hallazgo de los puntos característicos de una
función, como lo son los puntos de corte con los ejes
)()( xfyxf −−
 Permite diferenciar el efecto del signo “menos” y del
valor absoluto, en los casos:
Así como:
)()( xfyxf

21. Ventajas de la aplicación del Enfoque Gráfico
 Permite efectuar un traslado fluido entre los registros gráfico y
algebraico, afianzando conceptos como los de Dominio y
Rango.
 Brinda la oportunidad de contrastar el comportamiento
de dos rectas, analizando su pendiente.

22. Ventajas de la aplicación del Enfoque Gráfico
 Permite introducir la noción de límite lateral y continuidad,
así como las definiciones de asíntota vertical y horizontal.
 Ofrece un mecanismo alternativo para evaluar las
propiedades de las funciones, muy particularmente en el
caso de la función logarítmica y la función exponencial.

23. El enfoque gráfico como alternativa para la solución de
ecuaciones e inecuaciones
Angela E. Torres R.
Junio, 2010
( )
3
9
log 3x
≤
−