Conjuntos matemáticos

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco.
Conjuntos matemáticos
Integrantes:
Genesis Betancourt
Luisana Tua
Sección: HS0143
Profe: Larry Sugueri

2. Definición de conjuntos
Un conjunto es la agrupación o colección de diferentes elementos que comparten entre sí
características y propiedades semejantes . Estos elementos pueden ser sujetos u objetos , tales
como números, letras , ríos, entre otros. Estos objetos se llaman miembros del conjunto.
 Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B , C …
 Un conjunto no posee elementos repetidos .
Elementos de conjuntos
 N: Conjunto de los números naturales .
 Z: Conjunto de los números enteros.
 Q: Conjunto de los números racionales .
 R: Conjunto de los números reales .
 C: Conjunto de los números complejos.
Ejercicios:
1) un aula de clases hay 34 alumnos, de los cuales 21son aficionados al futbol, 18
aficionados a ambos deportes .
¿Cuántos no son aficionados a ninguno de los deportes?
R=A 5 estudiantes no les gustan ningunos de los deportes.
¿A cuántos estudiantes les gusta solo un deporte ¿
R= 19 estudiantes .
F G
11 10 8
5
2) En un aula de clases se observa que 36 estudiantes tienen libro de
matemáticas e historia, 42 tienen libro de matemáticas y 10 tienen

3. únicamente libro de historia. Si se sabe que cada estudiante tiene por lo
menos un libro .
¿ Cuántos estudiantes hay en clases ¿
R= 52 estudiantes .
¿Cuántos tienen solamente un libro ¿
R= 16 estudiantes.
M H
6 36. 70
3) De los 300 integrantes de un club deportivo 170 se inscribieron en natación y
140 se inscribieron en gimnasia. Si 30 no se inscribieron en ninguna de las
disciplinas.
¿ Cuántas personas se inscribieron en las 2 disciplinas?
R=A las dos disciplinas se inscribieron 40 personas.
¿ Cuánta se inscribieron únicamente en natación?
R= fueron 130 personas .
N G
130. 40 100
30
4) De un grupo de 130 personas A 60 no les gusta la música clásica y A 80 no les
gusta la salsa , si A 30 personas solamente les gusta la música clásica.
¿ A cuántas personas les gustan los 2 tipos de música ¿
R= A 40 personas.
¿A cuántas personas les gusta únicamente, la salsa ¿
R= A 10 personas.
C S
30 40 10
50
Operaciones con conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjunto , nos permiten
realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto.
Unión o reunión de conjuntos

4. Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que
contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir, se llama
Unión de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos de A o de B:
El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: U
Ejemplo:
Dados dos conjuntos A= { 1,2,3,4,5,6,7} y B= {8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} . Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Cuando se usa diagramas de Venn , para representar la unión de conjuntos , se sombrean los
conjuntos que se unen o se forma uno nuevo . Luego se escribe por fuera la operación de
unión.
Ejercicios:
1) A= { 1,2,3,4,5,6,7 }
B= { 2,4,6,8,10 }
A U B= {1,2,3,4,5,6,7,8,10}
2) A= {1,2,3}
B= {7,8,9}
A ∩ B= { }

5. 3) A= {x| x es múltiplo de 2, x < 14}
B= {x| x ϵ N , x ≤ 6}
C= {x| x < 15, x es múltiplo de 3}
A={0,2,4,6,8,10,12}
B={0,1,2,3,4,5,6}
C={0,3,6,9,12}
A ∩ B = {0,6}
4) A= {5,10,15,20}
B={9,10,11,12,13,14,15,16}
A ∩ B= {10,15}
Intersección de conjuntos
Está operación nos permite formar un conjunto, solo con los elementos comunes involucrados
en la operación. O sea dados dos conjuntos A y B , la intersección de estos dos conjuntos,
estará formado por los elementos de A y los de B que sean comunes y los elementos no
comunes A y B , será excluidos.
El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩ .
Ejemplos: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B= {4,5,6,7,8,9} la intersección de estos
conjuntos será A∩B = { 4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejercicios:
1) A= {1,2,3,4,5,6,7}
B= {2,4,6,8,10}
A ∩ B = {2,4,6}
2) A= {1,2,3}
B= {7,8,9}
A ∩ B= { }
3) A= {x| x es múltiplo de 2, x < 14}
B= {x| x ϵ N , x ≤ 6}
C= {x| x < 15, x es múltiplo de 3}
A={0,2,4,6,8,10,12}

6. B={0,1,2,3,4,5,6}
C={0,3,6,9,12}
A ∩ B = {0,6}
4) A= {5,10,15,20}
B={9,10,11,12,13,14,15,16}
A ∩ B= {10,15}
Diferencia de conjuntos
Operación que nos permite formar un conjunto, en dónde de dos conjuntos el conjunto
resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al
segundo. Si tenemos dos conjuntos A y B, la diferencia de estos dos conjuntos estará formado
por todos los elementos de A qué no pertenezcan a B.
El símbolo que se usa es el mismo que utilizamos para la resta , que es el siguiente:−.
Ejemplo : Dados dos conjuntos A ={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos
será A− B= {1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejercicios:
1) A= {1,2,3,4,5,6}
B= {2,4,6,8,10}
A – B= {1,3,5}
B – A= {8,10}
2) V= {a,e,i,o,u}
C= {i, u}
V–C= {a,e,o}
C–V= { }
3)P = {2,4,6,8}
I = {1,3,5,7}
P–I = {2,4,6,8}
I–P= {1,3,5,7}
4) A= {1,2,3,4,5,6}
B= {4,5,6,7,8,9}
C= {2,4,6,8,10}
A–B= {1,2,3}

7. B–A={7,8,9}
B–C= {5,7,9}
Diferencia simétrica de conjuntos
Es una operación que permite formar un conjunto, en dónde de dos el conjunto resultante es
el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Dados dos
conjuntos A y B , la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a
los conjuntos A y B . El símbolo para indicar la operación es el siguiente: ∆
Ejemplo: Dados dos conjuntos A = {1,2,3,4,5} y B = {4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos
conjuntos será A ∆ B = {1,2,3,6,7,8,9} . Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejercicios:
1) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A= {1,2,3,4,5}
B= {3,4,5,6,7,8}
A∆B= {1,2,6,7,8}
2) A= {1,2,3,4,5}
C={7,8,9}
A∆C= {1,2,3,4,5,7,8,9}
3)A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8}
B= {0,3,6,9,12}
C= {2,3,5,7,11}
A∆B= {1,2,4,5,7,8,9,12}
A∆C= {0,1,4,6,8,11}
B∆C= {0,2,5,6,7,9,11,12}
4)A= {0,1,2,34,5,6,7,8}
B= {0,3,6,9,12}
C= {2,3,5,7,11}
D= {2,4,6,8,10,12}
B∆D= {0,2,3,4,8,9,10}
C∆D= {3,4,5,6,7,8,10,11,12}
A∆D= {0,1,3,5,7,10,12}

8. Complemento de un conjunto
Con está operación podemos formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de
referencia o universal , que no están en el conjunto. Lo que quiere decir si un conjunto A es
subconjunto de otro conjunto universal U al conjunto A’ formado por todos los elementos de
U , pero no de A con respecto a U . Simbólicamente se expresa :
Ejemplo: Dado el conjunto Universal U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={ 1,2,9} el conjunto
A’ estaría formado por los siguientes elementos A’={3,4,5,6,7,8} . Usando diagramas de Venn
se tendría lo siguiente:
1) U = {1,2,3,4,5}
A={2,4}
A'= {1,3,5}
2) U = {x| x ϵ N }
A= {2,4}
A’= {x| x ϵ N, x ≠2, x ≠ 4}
3) U= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A= {2,3,5,7}
A’= {1,4,6,8,9,10}
B={2,4,6,8,10}
B’= {1,3,5,7,9}
C={1,3,5}
C’= {2,4,6,7,8,9,10}
4) U = {a,e,i,o,u}
C= {i,u}
C’={ a,e,o}

9. Números Reales
Es un conjunto de números que agrupa o incluye los números naturales (N) enteros (Z),
racionales (Q) e irracionales (I).
Los números reales también podría definirse como todos aquellos valores numéricos que se
encuentran contenidos en una recta real , desde el infinito negativo hasta el positivo. Este
conjunto de números resulta de la unión de los números racionales e irracionales que al mismo
tiempo se califican en subconjuntos como los naturales y enteros . Y se denotan con la letra
(R).
Ejercicios:
Indicar a qué conjunto numérico pertenecen cada uno de estos números
a) 57 = naturales
b) Π =3’1415 = Irracionales
C)– 327 = Entero
d) 8,3 = decimal exacto ( racional )
Desigualdades
Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son
distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

10. Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los
reales, entonces pueden ser comparados.
notación a < b significa a es menor que b;
La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b;
también puede leerse como “estrictamente menor que” o “estrictamente mayor que”
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
Este tipo de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).
La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una
diferencia de varios órdenes de magnitud.
La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el
otro, o siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que
se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está del lado del elemento
mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al
elemento menor.
La relación a no mayor que b también puede representarse con a ≯ b, con el símbolo de
«mayor que» cortado con una barra, «no». Lo mismo ocurre con a no menor que b y la
notación a ≮ b.
Propiedades de la desigualdad matemática
Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se
mantiene. Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se
mantiene. Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se
mantiene.
Ejemplo:
1)3(2x1-)>4+5(x-1) 3) 7x-2 < 19
6x-3 > 4+5x-5 7x < 19+2
6x-3 > -1+5x 7 < 21
6x-5x > -1+3 = x > 2 x < 21 = x < 3
7
2) 7x+5 < 2x-10 4) x -5 < 2x-6
7x-2x < -10-5 x - 2x < -6+5
5x < -15 -x < -1

11. X < -15 = x < -3 = x > 1
5
Valor
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor
que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también
se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es
positivo o negativo.
Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5 positivo) como
de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo y en el
número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe entre dos
barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es |5|.
Ejemplos:
1) [-3+2]= [-1]= 1
2) [-6-4 ]= [-10]= [10]
3) [-2] + [-4]- [-8]= 2+4-8 = -2
4) [5+3]-[-2+6]+[+3-1]=[8]-[4]+[2]= 8-4+2=6
Desigualdades de valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto
con una variable dentro. Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Las desigualdades con valor absoluto siguen las mismas reglas que el valor absoluto en
números; la diferencia es que en las desigualdades tenemos una variable.
Ejemplos:
1) [3x-2] < 5 3) [x-10] < 5
-5 < 3x-2< 5 7
-5+2< 3x-2+2< 5+2 -5 < x-10 < 5
-3 < 3x <7= -1<x<7 7
3 3 3 3 -5.7 < x-10 . 7 < 5.7
7
-35 < x-10 < 35
-35+10< x-10+10 < 35+10
= -25 < x < 45
2) [X+1] < 1 4) [x-2] < 4
[ X-2] 3
[X+1] < 1 = [x+1]<[x-2] x -2<-4 U x -2>4
[X-2] 3 3
(X+1)²<(x-2)² x <-4+2 U x >4+2
X²+2x+1<x²-4x+4 x<-2.3 U x >6.3
X²+2x+1-x²+4x-4<0 x<-6 U x >18
6x-3<0 = 6x<3 = x<3= x<1
6 2