Teorema menyatakan bahwa hasil kali dua translasi adalah translasi tunggal. Bukti meliputi penjelasan bahwa titik invarian hanya terjadi jika dua translasi saling membalik, serta sifat komutatif translasi. Definisi setengah putaran sebagai transformasi yang menukar dua titik, dengan titik invarian berada pada titik tengah jajargenjang. Hasil kali dua setengah putaran dapat diwakili sebagai setengah putaran

1. Teorema 4.6
Hasil kali 2 translasi A B dan B C
adalah
Translasi A C
Bukti :
Hasil kali 2 dilatasi adalah suatu dilatasi.
Andaikan hasil kali 2 translasi ini bukan
suatu
translasi, maka tentu ada titik invariannya O,
oleh translasi pertama A B, titik O dibawa
ke O’.

2. Jadi hasil kali dua translasi
mempunyai titik invarian jika yang
satu invers dari yang lain, dan hasil
kali ini berupa identitas.

3. Jadi hasil kali dua translasi adalah
suatu translasi, yaitu dilatasi yang tidak
ada
titik invariannya. Hasil kali dua translasi
ini
memenuhi sifat komutatif. Hal ini
mudah di
buktikan,

4. Misalkan kedua translasi itu tidak menurut
dua
garis sejajar. Dengan melukis jajargenjang
ABCD,
tampak bahwa A B sama dengan D C
dan
B C sama dengan A D,
A C = (A B) (B C) = (A D) (D C)
= (B C)
(A B) (terbukti)

5. Jika kedua translasi menurut garis yang
sama,
misalkan kedua translasi T dan X, misalkan
translasi Y suatu translasi yang tidak
menurut
garis yang sejajar dengan translasi-translasi
di
atas, maka X dan Y komutatif, demikian pula
X
dan TY.
• T (X Y) = T (Y X) = (T Y) X = X (T Y)

6. Definisi 4.5
Jika 2 titik berlainan, misalnya A dan B
ditukar
oleh suatu dilatasi tunggal AB BA atau A
B,
maka transformasi itu disebut setengah
putaran.
Jika C sebarang titik diluar garis AB, maka
untuk mencari bayangannya, kita
hubungkan C
dengan A dan B, maka titik potong garis
yang

7. Jika ABCD adalah suatu jajargenjang.
Setengah
putaran itu dapat dinyatakan dengan C D.
Garis-garis invarian AB dan CD, karena
diagonal
diagonal suatu jajargenjang, berpotongan di
titik
O, yang menjadi titik invarian dari setengah
putaran. Titik O adalah titik pusat
jajargenjang.
Pada setengah putaran A B, titik O adalah

8. Untuk melukis bayangan titik T pada garis
AB,
dihubungkan T dengan C (atau D) dan
kemudian
dilukis garis melalui D (atau C) yang sejajar
dengan TC (atau TD) dan terdapat T’ pada
garis
AB.
Hasil kali dua setengah putaran dapat
dinyatakan
sebagai (A B) atau (B C). Andaikan hasil
kali ini
mempunyai suatu titik

9. Jadi A B sama dengan O O’. Oleh
setengah
putaran B C maka O’ dibawa ke O, jadi B
C
sama dengan O’ O. Jadi ada titik invarian
jika
A B = B C dalam hal ini yang lain tidak
ada
titik invarian.