Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Nivel básico

1. ECUACIONES DIFERENCIALES - GU´ 1
IA
1. Un embudo, en cuya salida se tiene un ´ngulo de 60◦ y un ´rea de la secci´n recta
a
a
o
2 , contiene agua. En el instante t = 0 se abre la salida y el agua fluye hacia
de 0.5cm
afuera. Determinar el tiempo en que se vaciar´ el embudo. Suponiendo que el nivel
a
inicial es h(0) = 10cm.
Soluci´n. En la figura se muestra el embudo con agua, con una altura h para un
o
instante t.
h
h
60
0.5cm 2
El volumen del agua que fluye hacia afuera en un instante corto de tiempo
V = (´rea de la secci´n recta) (velocidad)
a
o
t es
t,
es decir
V = 0,5 v
t
donde v es la velocidad del agua que sale.
De la Ley de Torricelli, la velocidad a la que un l´
ıquido mana de un orificio es
v = 0,6 2gh
donde g = 980 cm/s2 es la aceleraci´n de la gravedad en la superficie de la Tierra y
o
h es la altura instant´nea del nivel del l´
a
ıquido por encima del orificio. De aqu´ que
ı
V = 0,3
1
2gh
t.
(1)

2. Por otro lado, la variaci´n del volumen del agua en el embudo
o
V ∗ = −π r2
V ∗ , est´ dada por
a
h
h
h es la disminuci´n de la altura h(t) del agua y r = h tan 30◦ = √ es el
o
3
radio del embudo a la altura h(t) de donde
donde
V ∗ = −π
h2
3
h.
(2)
El signo menos aparece porque el volumen del agua en el embudo decrece.
Como la cantidad de agua que var´ dentro del embudo V ∗ , es la misma que la
ıa
cantidad de agua que ha salido al exterior V , entonces igualando las ecuaciones 1
y 2, se obtiene
√
h2
h
0,9 2g −3/2
0,3 2gh t = −π
h
o
=−
h
.
(3)
3
t
π
Si ahora se hace tender
t hacia cero, se obtiene la ecuaci´n diferencial
o
dh
= −kh−3/2
dt
(4)
√
0,9 2g
≈ 12,7.
donde k =
π
Separando variables e integrando
h3/2 dh = −k dt
y
2 5/2
h = −kt + c
5
(5)
2
Usando la condici´n inicial en (5), esto es h(0) = 10, se obtiene c = 105/2 . Sustituo
5
yendo el valor de c en la ultima f´rmula de (5) se tiene
´
o
2 5/2
2
h = −kt + 105/2 .
5
5
(6)
Despejando t en (6) y sustituyendo el valor de k se infiere
t=
2
(105/2 − h5/2 ) ≈ 10 − 0, 0315h5/2 .
5k
De aqu´ que el embudo se vaciar´ cuando h = 0, esto acontece cuando t ≈ 10s.
ı
a
2. Hallar la soluci´n general de las siguientes ecuaciones (donde a, b, k, θ y ω son conso
tantes)
a) y − 2y + a = 0
f ) sen 2x dy = y cos 2xdy
b) (x − 1)y = 2x3 y
√
c) y = 2x−1 y − 1
g) x ln x dy − y dx = 0
h) (1 − cos θ)dr = r senθ dθ
d ) y = y cot 2x
e) y = y tanh x
i ) y + 3y sen ωx = 0.
3. Resolver los siguientes problemas con valor inicial
2

3. a) (x2 + 1)yy = 1;
y(0) = −3
b) y = y 2 sen x;
y(π) = 0,2
c) xyy = y + 2;
y(2) = 0.
4. Hallar todas las curvas en el plano que tienen la propiedad dada:
a) Las normales pasan por el origen.
b) Las tangentes pasan por el origen.
c) Las tangentes en el punto (x, y) se intersecan con el eje x en el punto (x − 1, 0).
d ) La pendiente en cada punto P es igual al rec´
ıproco de la pendiente de la recta
que pasa por P y el origen.
5. . Consid´rese un tanque esf´rico de radio R=50cm. que contiene agua y tiene en el
e
e
fondo una salida de radio r0 = 5 cm. En el instante t = 0 se abre la salida y el agua
fluye hacia afuera. Determinar el tiempo en que el tanque quedar´ vac´ suponiendo
a
ıo,
que la altura inicial del nivel del agua es h(0) = R = 50 cm.
6. Los experimentos muestran que el radio se desintegra a una rapidez proporcional a
la cantidad de radio instant´neamente presente. Su vida media, es decir, el tiempo
a
en que desaparecer´ el 50 % de una cantidad dada, es de 1590 a˜os. ¿Qu´ porcentaje
a
n
e
desaparecer´ en 1 a˜o?
a
n
7. Sup´ngase que en un cultivo de levadura, en cada instante la rapidez de cambio
o
respecto al tiempo del fen´meno activo y(t) es proporcional a la cantidad existente.
o
Si y(t) se duplica en dos horas, ¿cu´nto puede esperarse al final de 8 horas, a la
a
misma rapidez de crecimiento?
8. La ley de acci´n de masas afirma que, si la temperatura se mantiene constante, la
o
velocidad de una reacci´n qu´
o
ımica es proporcional al producto de las concentraciones
de las substancias que est´n reaccionando. En la reacci´n bimolecular
a
o
A + B → M,
se combinan a moles por litro de una substancia A y b moles por litro de una
substancia B. Si y es el n´mero de moles por litro que han reaccionado despu´s de
u
e
transcurrido el tiempo t, la rapidez de la reacci´n est´ dada por
o
a
y = k(y − a)(y − b)
Resolver la ecuaci´n suponiendo que a y b son distintos.
o
9. La ley de Lambert, afirma que la absorci´n de la luz en una capa transparente
o
muy delgada es proporcional al espesor de la capa y a la cantidad de luz incidente.
Plantear lo anterior en t´rminos de una ecuaci´n diferencial y resolverla
e
o
Chiclayo, Agosto 2011
Docente: Adelmo P´rez Herrera.
e
3