1

2
Objetivos:Objetivos:
1.1. Definir el concepto de función.Definir el concepto de función.
2.2. Representar una función en sus formasRepresentar una función en sus formas
alternas.alternas.
3.3. Determinar el dominio y el campo deDeterminar el dominio y el campo de
valores de una función dada su gráfica,valores de una función dada su gráfica,
conjunto de pares ordenados,(tabla deconjunto de pares ordenados,(tabla de
valores) o la ecuación.valores) o la ecuación.
4.4. Determinar si una ecuación representaDeterminar si una ecuación representa
unauna funciónfunción..
5.5. Identificar laIdentificar la variable independientevariable independiente y lay la
variable dependiente.variable dependiente.

3
UnaUna relaciónrelación es una regla de correspondencia que aes una regla de correspondencia que a
cada elemento de un conjunto A le asigna elementoscada elemento de un conjunto A le asigna elementos
en un conjunto B.en un conjunto B.
Definiciones:
Definición AlternaDefinición Alterna
UnaUna relaciónrelación es un conjunto de pares ordenados.es un conjunto de pares ordenados.
( ) ( ) ( ){ }1 1,3
Ejem
,
plos:
2,3 , 4, 2R = − −
( ) ( ) ( ) ( ){ }2 1, 3 , 2,3 , 4, 2 , 2,3R = − − − − −

4
El conjunto formado por los primeros
elementos de los pares ordenados de una
relación se llama el dominio.
El conjunto formado por los segundos
elementos de los pares ordenados de una
relación se llama el alcance , campo de
valores o recorrido.

5
{ }1
Dominio 2,1,4= = −RD
{ }1
Alcance = 2,3= −RA
( ) ( ) ( ){ }11. 1,3 , 2,3 , 4, 2R = − −
Ejemplos:
Encuentra el dominio y el alcance de las
relaciones.

6
( ) ( ) ( ) ( ){ }22. 1, 3 , 2,3 , 4, 2 , 2,3R = − − − − −
{ }2
Dominio 1, 2, 4,2= = − − −RD
{ }2
Alcance 3,3, 2= = − −RA

7
( ) ( ) ( ){ }33. 10,3 , 2,30 , 4, 12R = − − −
{ }3
Dominio = 10, 2, 4= − −RD
{ }3
Alcance = 12,3,30= −RA

8
Definiciones:
Sean X y Y dos conjuntos no vacíos de números reales.
Una función de X en Y es una regla de correspondencia que
a cada elemento del conjunto X le asigna un único elemento
en el conjunto Y.
PaParraa cadacada elementelementoo xx een conjunton conjunto XX,, elel elementelementoo
correspondicorrespondieenntete yy een el conjunton el conjunto YY ssee llllamaama lala
imageimagenn dede xx.. ElEl conjunto todasconjunto todas llasas imimáágegeneness dede loslos
elementelementooss deldel domindominioio ssee llllamaama elel alcalcananccee ,,
recorridorecorrido oo campo de valorescampo de valores de lade la funcifuncióón.n.
El conjuntoEl conjunto XX ssee llllamaama elel domindominioio dede lala funcifuncióónn..
Funciones:

9
DominioDominio AlcanceAlcance
X Y
f
x2
x1
x3
y1
y2
A
y3
y4
Ilustración:

10
Las funciones se pueden expresar en variasLas funciones se pueden expresar en varias
formas, entre ellas:formas, entre ellas:
1.1. DiagramasDiagramas
2.2. Conjunto de pares ordenadosConjunto de pares ordenados
o tablas de valoreso tablas de valores
3.3. GráficasGráficas
4.4. Ecuaciones oEcuaciones o fórmulas matemáticas
Aclaración: Toda función es una relación
pero no toda relación es una función .

11Las funciones en forma de diagramasLas funciones en forma de diagramas
Los diagramas son una de las formas deLos diagramas son una de las formas de
representar funciones y relaciones. Consiste derepresentar funciones y relaciones. Consiste de
un dibujo que representa los componentes de laun dibujo que representa los componentes de la
función o relación, estos son; conjunto inicial ofunción o relación, estos son; conjunto inicial o
dominio, conjunto final y la corespondenciadominio, conjunto final y la corespondencia
entre los elementos.entre los elementos.
A B
f
a
w
1x
8
4
8
k
es una función.f

12
Suponga que f es una función de A a B; las
siguientes notaciones se usan para representar
funciones.
Notaciones: BAf →: ó BA
f
→
La notación de función
La notación representa la imagen de en el
alcance de f .
Esta forma de escribir una función se conoce como la
notación de función.
)(xfy = x
Aclaración: f(x) se conoce como la imagen de x bajo
la función f. Las imagenes son los valores de las y.

13
Diagrama de la notación de función.
X Y
f
( )xfy =
( )xfx
y

14
1. Determine si el diagrama representa una
función.
A Bf
r
b
3
4
7
k
f es una función.
Ejemplos:
Las funciones como diagramas

15
A Bf
a
w
1x
8
4
8
k
( ) =af
( ) =wf
4
8
( ) =8f
( ) =1xf
k
8
=Dominio { }1, , 8,a w x
=valoresdeCampo { }k8,,4
Usando el diagrama encuentra, los valores
indicados, el dominio y el alcance de la función.
2.

16
3. Determine si el diagrama representa
una función.
A B
f
r
b
3
4
7
k
5
El diagrama no representa una función.
¿por qué?

17
4. Determine si el diagrama representa una
función.
A B
f
r
b
3
4
7
k
El diagrama no representa una función.
¿por qué?

18
Ejemplo 1:
Suponga que f (x) es una función de A a B cuyas
imágenes son;
( ) 7f r = ( ) 7f b = ( )3 4f =
Encuentra el dominio y el alcance o campo
de valores de f.
=Dominio { }, , 3r b
Alcance = { }4, 7
, ,
Las funciones en forma de conjuntos de
pares ordenados y tablas de valores

19Ejemplo 2:
Determine si el conjunto de pares ordenadosDetermine si el conjunto de pares ordenados
representa una función. De ser así determine elrepresenta una función. De ser así determine el
dominio y el campo de valoresdominio y el campo de valores.
( ) ( ) ( ) ( ){ }0 1 1 2 2 0 3 2) , , , , , , ,a −
Sí, representa una función
?¿ quépor
=Dominio { }3,2,1,0
=valoresdeCampo { }2,1,0,2−

20
( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2 3 2) , , , , , , ,b a c c b−
funciónunarepresentaNo
( ) ( ) ( ){ }1 1 3) , , , , ,c b c d
Sí, representa una función
=Dominio { }, ,b c d
=valoresdeCampo { }3,1

21
Determine si cada tabla de valores representa unaDetermine si cada tabla de valores representa una
función. En caso afirmativo, indique el dominio yfunción. En caso afirmativo, indique el dominio y
el campo de valoresel campo de valores.
x -2 -1 0 1 2
y -8 -1 0 1 8
funciónunarepresentaSí
=Dominio { }2, 1, 0,1,2− −
=valoresdeCampo { }8, 1,0,1,8− −
Ejempolo 3:

22
x 10 7 4 7
y 3 6 9 12
funciónunarepresentaNo
?¿ quépor
El 7, que es un elemento del dominio, se
repite en dos pares ordenados diferentes.
Ejempolo 4:
Determine si la tabla de valores representa
una función.

23
Teorema: Prueba de la Línea Vertical
Un conjunto de puntos en el plano xy es la gráfica de
una función si y solo si cualquier línea recta vertical
interseca la gráfica a lo más en un punto.
Aclaración: Para ser una función la recta vertical no
puede tocar más de un punto de la gráfica. Dos
puntos en una misma línea vertical tienen los mismos
valores de la absisa.
Las funciones en forma gráfica

24Ejemplo 1:
Determina si las siguientes gráficas representan
funciones.
:f R R→
Es una función.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y

25
Es una
función.
Ejemplo 2:
:f R R→
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y

26
No es una función.
Ejemplo 3:
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
:f R R→
Todas la líneas rectas son funciones excepto
las rectas verticales.

27
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
:f X Y→
No es una función.
Ejemplo 4:
Ninguna elipse es una función.
¿¿ Hay alguna de las
figuras cónicas
que sea una función?

28
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
:f R R→
5. Determine si la gráfica representa una
función.
La gráfica representa una función.

29
¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa a¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa a yy comocomo
función defunción de xx??
1) 2y x= ± +
qué?¿porNo.
¿Es una función de ?y x
Hay valores de x que tienen dos valores de y.
Por ejemplo, si x = 2 entonces y = 2 ó y = -2.
Ejemplos:Ejemplos:
Las funciones como ecuaciones
Una de las formas más comunes y útiles es la
representación de las funciones como ecuaciones.
Veremos aquí algunas técnicas para diferenciar entre
funciones y relaciones escritas como ecuaciones.

30
2) 5 4x y+ =
45 +−= xy
¿Es una función de ?y x
qué?¿porSí.
Aclaración: Haga un análisis usando las propiedades
de los números reales o usando la gráfica de la
ecuación.

31
En el ejemplo anterior podemos identificar los
siguientes conceptos:
45 +−= xy
nteindependievariable
edependientvariable
Representa los valores del dominio.
Representa los valores del alcance.

32
5)3 2
=+ yx
xy −= 52
xy −±= 5
qué?¿porNo.
¿Es una función de ?y x
Hay valores de x que tienen dos valores de y.

33
Aclaración: Si el exponente de la y es par la
ecuación no representa a y como función de x.
2 2
4) 3 2 9x y− =
2 2
2 9 3y x− = −
2
2 9 3
2
x
y
−
=
−
2
2 9 3
2
x
y
−
=
−
2
9 3
2
x
y ±
−
=
−
y no es función de x.

34
2
2 3 6x y+ =
2
3 6 2y x= −
22
2
3
y x= − nteindependie
edependient
( ) 22
2
3
f x x= −
¿Es una función de ?y x
5. Determine si la ecuación representa
a y como una función de x.

356. Determine si la ecuación representa a y como
una función de x.
0242 22
=−+− yxyx
y no es una función de x
7. Determine si la ecuación representa a x como una
función de y.
2
2 3 4 0x y y− − =
2
3 4
2
y y
x
+
=
x es una función de y.

368. Despeja la variable y. Demuestra que en la ecuación
y no es función de x.
2
2 3 4 0x y y− − =
2
2 3 4x y y= +
2
2
3 3
3
3
4x y y
= +
22
3 3
4x y
y= +

37
( ) ( )
2
2 2
2 44
33
4
3 232
x y
y
   
+ + ÷  ÷ ÷ 
 
+ ÷
 
=
22 4
3 3
4 4
9 9
x y
y= ++ +
2
6 4 2
9 3
x
y
+  
= + ÷
 

38
6 4 2
9 3
x
y
+
± = +
2 6 4
3 9
x
y
+
− ± =
2 6 4
3 9
x
y
+
= − ±
y no es una función de x.
2
6 4 2
9 3
x
y
+  
= + ÷
 
2 6 4
3 3
x
y
+
= − ±