Este documento explica conceptos matemáticos como números complejos y vectores, y cómo localizar las raíces características de una función de transferencia en el plano complejo. Explica que los números imaginarios permiten operar con raíces cuadradas de números negativos. Luego, describe cómo representar números complejos como vectores en un plano y muestra diagramas de cómo se mueven las raíces de sistemas de primer y segundo orden a medida que varía la ganancia. Finalmente, explica cómo usar el comando "rlocus" en MATLAB para graficar el lugar

1. SIMULACION Y CONTROL
Localización en el plano complejo de las
raíces características
Ing. Ada Patricia Barturén Quispe

2. COMPETENCIA
Competencia :
• El alumno localiza en el plano complejo de
las raíces características de una función de
transferencia encontrando la ganancia y
polos para evaluar la estabilidad del
sistema.

3. NUMEROS COMPLEJOS Y VECTORES
Una de las operaciones que pueden practicarse con la clase de números reales es
la extracción de la raíz cuadrada. Sucede que cuando se extrae la raíz cuadrada de
un numero real negativo, el resultado no puede ser un numero real, ya que no
puede existir un numero real cuyo cuadrado sea un numero negativo. Esta
dificultad se subsana mediante la introducción de la clase de números llamados
imaginarios, con los cuales se puede operar con las mismas reglas de los números
reales.
Siendo A un numero real positivo, queremos hallar :
Para ello diremos :
Aa 
AAa 1)1( 

4. NUMEROS COMPLEJOS Y VECTORES
Con lo que no queda mas que definir un “numero” j, que satisfaga
1j
O bien :
12¨
j
Y entonces se tendrá en general que si : (N real positivo)Nn 
Entonces : jnNjN 
El numero j es la unidad imaginaria, la cual nos permite operar con números
imaginarios.
Tener presente cuando convenga que j
j
j
j
j



1
1
2
Si x e y son números reales, la expresión jyxA 

5. Representación del radio vector A=x+jy
en el plano complejo
ᶿ
A=x+jy
Eje imaginario
Eje real
y
x
a

6. Diagrama de un lugar de las raíces de
Sistemas de Primer Orden
Para un proceso simple con una ley de primer orden, con un controlador
proporcional, la función de transferencia del controlador y el proceso es :
Sistema con proceso de primer orden

7. Diagrama de un lugar de las raíces de
Sistemas de Primer Orden
Hay una sola raiz (real negativa) y será solamente una linea en el plano
s. La linea se inicia en s=-1/ζ yKc=0. La raiz del lazo cerrado se mueve a
lo largo del eje real negativo a medida que Kc se incrementa.
Sistema con proceso de primer orden

8. Diagrama de un lugar de las raíces de
Sistemas de Segundo Orden
Hay una sola raiz (real negativa) y será solamente una linea en el plano
s. La linea se inicia en s=-1/ζ yKc=0. La raiz del lazo cerrado se mueve a
lo largo del eje real negativo a medida que Kc se incrementa.
Sistema con proceso de segundo orden

9. Diagrama de un lugar de las raíces de
Sistemas de Segundo Orden
Las flechas indican el desplazamiento de las raíces al incrementar K.
Sistema con proceso de segundo ordenLos polos de lazo
cerrado que
coresponden a K=0
son los mismo
polos de lazo
abierto
Al aumentar el valor de K de
0 a ¼ los polos de lazo
cerrado se desplazan hacia
el punto (-1/2,0) (sistema
sobreamortiguado).
En K=1/4 los polos reales
del lazo cerrado coinciden
(Sistema con
amortiguamiento critico).
Al aumentar Kpor
encima de ¼ , los
polos del lazo cerrado
se separan del eje real
haciendose complejos,
y como la parte real
del polo del lazo
cerrado es constante
para K>1/4, los polos
del lazo cerrado se
mueven a lo largo de
la recta s=-1/2
(Sistema
subamortiguado) :s=-
1/2+j∞

10. Lugar Geométrico de la raíz
Para representar
El lugar geométrico
La raíz.
Comando : rlocus
Programa:sistema1
rlocus (num,den,k)
num=1;
den=[1 10 20];
sistema1=tf(num,den)
rlocus(sistema1)
v=[-10 10 -10 10];
axis(v)
title('lugar geometrico de las
raices')
[ganancia,polos]=rlocfind(sistema
1)
2010
1
)( 2


ss
sG