1. El documento presenta fórmulas para convertir entre grados y radianes. Explica cómo convertir ángulos de 78°, 128°45'24" y 2.45 radianes entre las dos unidades. También incluye una tabla con valores trigonométricos en grados y radianes y gráficas de funciones trigonométricas.
1. Trigonometría
Conversión de grados a radianes y radianes a grados
1. Convertir el ángulo 78° a radianes:
Solución
Recordando que πradianes=180°
(
78°
1
) (
π rad
180°
) =
13
30
π rad.= 1.3614 rad.
Respuesta
1.3614 radianes
2. Convertir el ángulo 128°45’24” a radianes:
Solución
De 128°45’24”. Convirtiendo los minutos y segundos a grados
Recordando que 1°=60’
(
45′
1
)(
1°
60′
) = 0.75°
Recordando que 1°=3600”
(
24"
1
) (
1°
3600"
) = 0.0067°
Sumando los la conversión de los minutos con los segundos.
0.75+0.6667=0.7567 ∴ 45’24”= 0.7567 ° y ∴ 128°45’24”= 128.7567 °
Recordando que πradianes=180°
(
128.7567 °
1
)(
π rad
180°
) = 0.7153π rad.= 2.2472 rad.
Respuesta
2.2472 radianes
3. Convertir el ángulo 2.45radianes a grados sexagesimales. (Tanto en notación sexagesimal y notación decimal).
Solución
5. Graficas de funciones Trigonométricas conargumento compuesto
8. Graficar la siguiente función 𝑓( 𝑥) = 4sin (2𝑥 +
𝜋
2
) y encontrar su amplitud, periodo y desfasamiento
Solución y Respuesta:
𝑓( 𝑥) = 𝐴 sin( 𝑘𝑥 + 𝑑)
Amplitud=| 𝐴| Periodo=
2𝜋
𝑘
Desfasamiento=
𝑑
𝑘
donde +
𝑑
𝑘
la función se retrocede y −
𝑑
𝑘
la función se adelanta
Amplitud=|4| Periodo=
2𝜋
2
= 𝜋 Desfasamiento=
𝜋/2
4
=
𝜋
2∗2
=
𝜋
4
La función retrocede
9. Encontrar el periodo de la siguiente función 𝑓( 𝑥) = cos(
𝑥
3
) + 𝑥𝑐𝑜𝑠 (
𝑥
4
)
Solución y Respuesta:
Puesto que cos( 𝜃 + 2𝜋𝑚) = 𝑐𝑜𝑠𝜃 para cualquier entero m se tiene
1
3
𝑇 = 2𝜋𝑚
1
4
𝑇 = 2𝜋𝑛
Donde m y n son enteros. Por consiguiente T=6πm=8πn, cuando m=4, n=3, se tiene el valor de T sé dónde
t=24π
Periodo=24π
6. Ley de Senos y Cosenos
10. Encontrar el valor de a y el valor de los angulos B y C usando ley de senos y cosenos. Si se sabe que A=120°
Solución
Ley de senos:
𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑎
=
sin 𝐵
𝑏
=
𝑠𝑖𝑛𝐶
𝑐
Ley de cosenos:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐cos 𝐴
𝑏2 = 𝑐2 + 𝑎2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
Datos:
a=? b=15 c=12 A=120° B=? C=?
Procedimiento:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐cos 𝐴
𝑎2 = 152 + 122 − 2(15)(12) cos(120°)
𝑎2 = 549 𝑎 = √549 𝑎 = 23.4307
𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑎
=
sin 𝐵
𝑏
sin 𝐵 =
𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑎
𝐵 = arcsin (
𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑎
) 𝐵 = arcsin(
15𝑠𝑖𝑛120°
23.4307
) 𝐵 = 33.6706°
sin𝐵
𝑏
=
𝑠𝑖𝑛𝐶
𝑐
sin 𝐶 =
𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵
𝑎
𝐶 = arcsin (
𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵
𝑎
) 𝐶 = arcsin (
12𝑠𝑖𝑛33.6706°
15
) 𝐶 = 26.3296°
Respuesta:
a=23.4307° B=33.6706° C=26.3296°
Identidades Trigonométricas
11. 19. Encontrar el valor de x de la siguiente ecuación en el intervalo de [0°, 360°]
2 sin3 𝑥 + sin2 𝑥 − 2sin 𝑥 − 1 = 0
Solución
(sin 𝑥 − 1)(2sin2 𝑥 + 3sin 𝑥 + 1) = 0
(sin 𝑥 − 1)(2sin2 𝑥 + 2sin 𝑥 + sin 𝑥 + 1) = 0
(sin 𝑥 − 1)(2 sin 𝑥(sin 𝑥 + 1) + (sin 𝑥 + 1)) = 0
(sin 𝑥 − 1)(2 sin 𝑥 + 1) (sin 𝑥 + 1) = 0
sin 𝑥 − 1 = 0 sin 𝑥 = 1 𝑥 = arcsin(1) 𝑥 = 90°
(2 sin 𝑥 + 1) = 0 (sin 𝑥) =
−1
2
𝑥 = arcsin (
−1
2
) 𝑥 = 210,330°
(sin 𝑥 + 1) = 0 sin 𝑥 = −1 𝑥 = arcsin(−1) 𝑥 = 270°
Respuesta
x= 90°, 210°, 270°, 330°
20. Encontrar el valor de θ de la siguiente ecuación de [0°, 360°]
cos3𝜃 + cos 𝜃 − 2sin 2𝜃 = 0
Solución
2 cos2𝜃 cos 𝜃 − 4 sin 𝜃 cos 𝜃 = 0
2 cos 𝜃 (cos2𝜃 − 2 sin 𝜃) = 0
2cos 𝜃 = 0
cos 𝜃 =
0
2
cos 𝜃 = 0
𝜃 = arccos0
𝜃 = 90°,270°
(cos2𝜃 − 2 sin 𝜃) = 0
(1 − 2sin2 𝜃 − 2 sin 𝜃) = 0
(2 sin2 𝜃 + 2sin 𝜃 − 1) = 0
sin 𝜃 =
−2 ± √22 − 4(−1)(2)
2(2)
=
−2 ± √4 + 8
4
=
−1 ± √3
2
=
−1 ± 1.73206
2
sin 𝜃 = .3660 𝜃 = arcsin(.3660) 𝜃 = 21° 28′, 158° 32′
12. sin 𝜃 = −1.366 𝜃 = arcsin(−1.366) 𝜃 = 𝑖𝑛𝑑.
Respuesta
θ = 90°, 270°, 21°28’, 158°32’
21. sin 𝜃 − √3cos 𝜃 = 1
Solución
Para ecuaciones de tipo Asin θ +Bcos θ =1 (1)
Se puede resolver haciendo
A=rcosα (2) B=rsinα (3)
En donde r es positiva. La ecuación inicial se convierte en:
(rcosα)sin θ +(sinα)cos θ =1
r(rcosαsin θ +sinαcos θ)=1
rsin(θ+α)=C sin(θ+α)=(C/r)
𝜃 = arcsin(
𝐶
𝑟
) 𝜃 = arcsin (
𝐶
𝑟
) − 𝛼 (4)
De conocerce elvalor de r se puede determinar el valor de θ+α a partir de la anterior ecuación y con ello determinar θ una
vez que se haya calculado el valor de α.
Buscando el valor de r atravez de las ecuaciones (2) , (3)
A2
+B2
=r2
(cos2
θ +sin2
θ)
A2
+B2
=r2
𝑟 = √𝐴2 + 𝐵2 (5)
Hallando el valor de α:
𝐵
𝐴
=
r sinα
rcosα
𝐵
𝐴
=
sinα
cosα
𝐵
𝐴
= tan(α) α = arctan(
𝐵
𝐴
) (6)
Rosolviendo la ecuación:
sin 𝜃 − √3cos 𝜃 = 1
Donde A=1 B=−√3 C=1
1 = 𝑟 cos 𝛼 1 = 𝑟sin 𝛼
𝑟(cos 𝛼 sin 𝛼 + sin 𝛼cos 𝛼) = 1
Usando ec.(5)
𝑟 = √ 𝐴2 + 𝐵2 = √12 + (−√3)2 = √1 + 3 = 2
Usando ec. (6)