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1. Área, perímetro y volumen de figuras del plano y del espacio www.vaxasoftware.com
A = Área, P = Perímetro, V = Volumen
Figuras del plano
Cuadrado
A = a2 Ángulo interno α = 90°
P = 4a Ángulo externo β = 90°
Núm. diagonales ND = 2
Rectángulo
A = b·h
P = 2b + 2h
Paralelogramo
A = b·h
P = 2b + 2a
Rombo
d ·D
A=
2
P = 4a
4a 2 = d 2 + D 2
Trapecio
b+B
A= h
2
P = a+b+ B+c
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2. Trapecio recto
b+B
A= h
2
P = a+b+ B+h
a 2 = ( B − b) 2 + h 2
Triángulo equilátero
a·h 3 2
A= = a Ángulo interno α = 60°
2 4
P = 3a Ángulo externo β = 120°
3
h= a Núm. diagonales ND = 0
2
Triángulo isósceles
b·h a·b·sen A
A= =
2 2
P = 2a + b , h = a · sen A
4a 2 = 4h 2 + b 2
Triángulo escaleno
b·h
A=
2
a+b+c
A = s( s − a)(s − b)(s − c) s=
2
P = a+b+c h = c · sen A = a · sen C
Triángulo rectángulo
b·a
A= a = c · sen A = c · cos B
2
P = a+b+c b = c · sen B = c · cos A
c2 = a2 + b2
Pentágono regular
5a·b 5 2 5
A= = r 10 + 2 5 = r 2 ·sen 72°
2 8 2
P = 5b 4r 2 = 4a 2 + b 2 Ángulo interno α = 108°
r
b= 10 − 2 5 = 2r ·sen 36° Ángulo externo β = 72°
2
r
a= 6 + 2 5 = r ·cos 36° Núm. diagonales ND = 5
4
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3. Hexágono regular
3 3 2
A= b = 3b 2 ·sen 60° Ángulo interno α = 120°
2
P = 6b Ángulo externo β = 60°
3
a= b = b·cos 30° Núm. diagonales ND = 9
2
( ) 2b 2 2b 2
Octágono regular
A = 4·a·b = 8·a 2 ·tan 22,5° = 8 2 − 8 a 2 = =
tan 22,5° 2 −1
P = 8·b = 16·a·tan 22,5° Ángulo interno α = 135°
a = r ·cos 22,5° Ángulo externo β = 45°
b = 2r ·sen 22,5° Núm. diagonales ND = 20
Polígono regular de n lados Ángulo interno :
n·a·b 180°
A= = n·a 2 ·tan (n − 2)·180°
2 n α=
n
180° Ángulo externo :
P = n·b = 2n·a·tan
n β = 180° − α
Núm. diagonales :
180° 180°
a = r ·cos b = 2r ·sen n·(n − 3)
n n ND =
2
Círculo
A = π r2
P = 2π r
Sector circular
α
A = π r2
360°
α
L=πr
180°
P = 2r + L α en grados sexagesimales
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4. Segmento circular
⎛ π·α sen α ⎞
A = r2⎜ − ⎟
⎝ 360° 2 ⎠
⎛ α⎞ α α
h = r ⎜1 − cos ⎟ c = 2r ·sen L=πr
⎝ 2⎠ 2 180°
2
h c
P= L+c r= + α en grados sexagesimales
2 8h
Triángulo circular
sen α α
A = r2 c = 2r ·sen
2 2
P = 2r + c α en grados sexagesimales
Trapecio circular
α
(
A = π R2 − r 2 ) 360°
α
P = 2π ( R + r ) + 2( R − r )
360°
α en grados sexagesimales
A = π (R 2 − r 2 )
Corona circular
P = 2π ( R + r )
Elipse
A = π a·b
P ≅ π (a + b)
π/2
P = 4∫ a 2sen 2t + b 2 cos2 t dt
0
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5. Figuras del espacio
Cubo (hexaedro)
A = 6 a2
V = a3
Prisma recto
A = 2a·b + 2a·c + 2b·c
V = a·b·c
Esfera
A = 4 π·r 2
4π·r 3
V=
3
Cilindro
ATOTAL = 2π r (h + r )
ABASES = 2 π r 2 ALATERAL = 2π r·h
V = π·r 2 ·h
Cono
ATOTAL = π r · g + π r 2
ABASE = π r 2 ALATERAL = π r·g
π r 2 ·h
V= g 2 = h2 + r 2
3
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6. Pirámide
ATOTAL = ALAT + ABASE
Perímetro BASE ·hC
ALAT =
2
ABASE ·h
V=
3
Segmento esférico
ATOTAL = ASUP.CURVA + ABASE
ABASE =
π c2
4
ASUP.CURVA = 2 π r ·h =
4
(
π 2
c + 4h 2 )
π ⎛ 3c 2 ⎞ ⎛ h⎞ h c2
V= h⎜ + h2 ⎟ = π h2 ⎜ r − ⎟ r= +
6 ⎜ 4
⎝
⎟
⎠ ⎝ 3⎠ 2 8h
Toro
A = π 2 D·d = π 2 ( R 2 − r 2 )
π2 π2
V= D·d 2 = ( R + r )·( R − r ) 2
4 4
D = R+r, d = R−r
Tetraedro
A = 3 a2
3 2 3 6
ACARA = a hC = a h= a
4 2 3
2 3
V= a
12
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7. Octaedro
A = 2 3 a2
3 2
ACARA = a
4
2 3
V= a
3
Dodecaedro
A = 3 25 + 10 5 a 2
25 + 10 5 2
ACARA = a
4
15 + 7 5 3
V= a
4
Icosaedro
A = 5 3 a2
3 2
ACARA = a
4
V=
5
12
(3 + 5 a3 )
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