Curvica IREM dėcembre 2015

CURVICA
ACTIVITÉS MATHEMATIQUES
1. Introduction - Premières applications
2. Notion de préludes des plateaux
3. Analyse du rectangle
4. Quelques exemples de plateaux
5. Activités d'anticipations (topo)logiques
6. Calculs d'anticipations sur les préludes
7. Plateaux de partitionnement
IREM – 16 décembre 2015
yves.martin@univ-reunion.fr

1.1 – LES PIÈCES (1)
Curvica (Carré à côtés incurvés) a été conçu par Jean Fromentin
pour la brochure Jeux1 de l’APMEP, vers 1982.
Les pièces sont obtenues à partir d’un carré dont on bombe
ou creuse – ou non - un des côtés comme ci-dessus.
Il s’agissait de mettre en
place un jeu dans lequel
la règle de juxtaposition
ne serait pas l’identité
mais une autre involution
(la relation « bombé -
creux »).

On trouve ainsi
24 pièces.
Les pièces sont
a priori non
retournables.
Elles sont
nommées aussi
pour cela.

Parce que les pièces sont non retournables par symétrie
axiale, on dispose de trois couples de pièces symétriques.
L'auteur a choisi de faire un puzzle à 24 pièces (6x4, 3x8, 5x5-
1, au lieu de 21 (3x7, 3x8-3).

Les 24 pièces peuvent se regrouper dans un rectangle 4x6 :

1.2 – PIÈCES ET SYMETRIES (1)
On peut les classer de nombreuses façons, par d’axes de
symétrie, par angles droits, par côtés opposés parallèles,
et en classe, essentiellement par aire, et par périmètre.
Trois pièces à 4 axes de symétrie.
Que A et Q de même périmètre
peut ne pas être évident …
Deux pièces, autre que le carré avec
deux angles droits. La réunion des
deux a deux axes de symétrie.
Trois autres pièces (que I, J, K) avec
deux côtés parallèles. Encore trois
pièce de même périmètre.

Pour réaliser les puzzles, on remarquera souvent des
symétries internes sur 2, 3 parfois 5 ou 6 pièces. Dans ce
cas, on a une nouvelle solution par ces symétries locales :
En voici trois exemples
élémentaires. Ici la figure
obtenue a deux axes de
symétries, cela donne
souvent plus de solutions,
même avec un seul axe de
symétrie.
1.2 – PIÈCES ET SYMETRIES (2)

Les symétries internes
sont l'occasion
"d'extraire une figure
simple d'une figure
complexe" dans des
situations non triviales.
Exercice : chercher un
groupement de pièces
avec un axe de symétrie
donnant une nouvelle
solution.
1.3 – SYMÉTRIES INTERNES

Les symétries internes
sont l'occasion
"d'extraire une figure
simple d'une figure
complexe" dans des
situations non triviales.
Solution : groupement
de 5 pièces avec un
axe de symétrie
donnant une nouvelle
solution.
1.3 – SYMÉTRIES INTERNES

Outre les symétries internes, on rencontre aussi des blocs de même
forme comme dans cet exemple du plateau 20
ÉCHANGE DE BLOCS

1.4 – AIRES ET PERIMETRES
• Classement selon les axes, les périmètres, les aires
• Un travail spécifique peut être fait sur les aires et périmètre,
dans un traitement type « gestion de données » :
a) Répertorier toutes les aires possibles par ordre croissant,
b) puis les périmètres différents par ordre croissant.
c) Placer alors les pièces dans un tableau à double entrée,
par aire croissante en abscisse puis par périmètre croissant en
ordonnées :
Bien entendu, le tout est abordé dans un registre relatif, en
particulier, sans aucune donnée numérique (registre absolu).
En 6°, le travail sur les périmètres n’est pas trivial du tout.

On voit la richesse de l’activité, et les potentialités du jeu
en général, par le résultat obtenu :
1.4 – AIRES ET PERIMETRES

1.5 – DÉFIS MATHÉMATIQUES
Exemple de défis dans une liaison CM2-6° :

1.5 – DÉFIS MATHÉMATIQUES
Exemple de défis dans une liaison CM2-6° du
http://www.acamus.net/index.php?option=com_content&view=article&id=377
:curvica&catid=53:liaison-cm2-6eme&Itemid=220
collège Albert Camus de @JulienPavageau
(qui m'a fait découvrir Curvica)

CURVICA
1. Introduction - Premières applications
2. Notion de préludes des plateaux
3. Analyse du rectangle
4. Quelques exemples de plateaux
5. Activités d'anticipations (topo)logiques
6. Calculs d'anticipations sur les préludes
7. Plateaux de partitionnement

Un prélude est simplement le début d'un plateau dont on
assure l'utilisateur qu'il aboutit à des solutions.
Voici un prélude pour les plateaux 2 et 3. En général on
cherche des préludes aux configurations originales.
2.1 – NOTION DE PRELUDE

Solution de ce prélude 1 du plateau 2 au collège de
Sainte Anne, lors de la semaine des maths en 2015.
2.1 – NOTION DE PRELUDE

Voici trois préludes pour
les plateaux 4 et 5.
On voit déjà qu'en terme
de tâches complexes on
peut structurer la
recherche par groupe de
blocs, en particulier en
privilégiant certaines
pièces.
Ces trois préludes ont
beaucoup de solutions
2.2 – PRÉLUDES DE P4 ET P5

2.3 – TROIS PRÉLUDES DU PLATEAU 19
Dans notre
approche, on a
privilégié (sauf pour
le rectangle) les
préludes à 12
pièces, utilisant les
6 pièces à côtés
parallèles et les 6
pièces totalement
incurvées, sans
segment.

3.1 – LE PLATEAU RECTANGULAIRE
Avec le plateau
rectangulaire, il est
naturel de commencer
par remplir le pourtour.
On voit alors que deux
pièces à bords droits
doivent être à l’intérieur
: quelles pièces ? Et où
les placer, les six pièces
restantes étant
« incurvées ».
À noter : deux symétries
internes en IK-JD et ET-UF

3.1 – LE PLATEAU RECTANGULAIRE (2)
Il y a 9
solutions
possibles
pour placer
les 6 pièces
incurvées

Exemple de deux modifications des deux premières colonnes
pour conserver l'ensemble des 6 pièces centrales

Autres exemples de
modifications pour
conserver le même
contour des 6 pièces
centrales

3.2 – LA PLACE DU CARRÉ I
I ne peut pas être placé en (2,2)
Le carré I peut-il être en (1, 3) ?
Dans toute la
suite, par
symétries du
rectangle, la pièce
I est supposée
être dans le
premier quadran,
ie en ligne 1 ou 2,
en colonne 1 à 3.

3.3 – LE CARRÉ I EN (1, 3) ?

3.3. PRELUDES
NON CONNEXES
Ce prélude admet 3
solutions.
Existe-t-il un prélude
non connexe avec 4
solutions ?

3.4. AUTRES CONFIGURATIONS DU
RECTANGLE
Le carré I étant
toujours dans le
premier quadran du
rectangle, en pratique
en(1,1) ou (1,2), on
peut placer une des
trois pièces D, F, T en
colonne 1, les autres
étant en colonne 2.

3.4. AUTRES CONFIGURATIONS DU
RECTANGLE
Le carré I étant en
(1,1) on peut avoir
le bloc des 6
pièces sans
segment dès la
colonne 2 comme
on le voit ci-contre

3.5. QUELQUES CONFIGURATIONS
IMPOSSIBLES DU RECTANGLE
Par contre, toujours
avec le carré I en (1,1),
on ne peut avoir une
configuration non
connexe inversée
comme esquissée ci-
contre : le placement
d'une pièce verte J ou
K au dessus de T pose
problème.

Aucune des autres
configurations des 6
pièces "bleues" n'est
possible.
Ci-contre c'est
immédiat, dans les
autres configurations il
manque au moins un
angle droit.

Aucune des autres configurations des 6 pièces "bleues"
n'est possible, comme les trois ci-dessous.

Ce sont encore des plateaux de la forme 4x6, d'aire 24
bien entendu, ici sans segment sur le contour
4 – QUELQUES PLATEAUX
4.1. P2 ET P3

Les préludes 3 et 4 de P2 et P3
4.1. P2 ET P3
Entre
7 et 20
solutions
pour ces
préludes

Les préludes 5 de P2 et P3
4.1. P2 ET P3
Ces préludes sont plus contraints : deux solutions maximum

Ci-contre, à droite, une symétrie centrale des lignes 1 et 4
avec échange de N et B construit un nouveau prélude avec
une solution.
4.1. P2 ET P3
Ce prélude (à gauche) n'a que deux solutions

Question : le méta en bas à gauche a-t-il des solutions ?
4.1. P2 ET P3 Making off : les méta-préludes

Ce sont des
plateaux de la
forme 3x8,
toujours sans
segment sur le
contour
4.2. P4 ET P5

Exemple de solutions trouvées sur le stand
de l'IREM sur le prélude 4 du plateau 5.
4.2. P4 ET P5

Exemple de
solutions
trouvées sur
le stand de
l'IREM sur le
prélude 4 du
plateau 5.
4.2. P4 ET P5

Toujours sur le stand de l'IREM en novembre dernier,
solutions sur le nouveau prélude 5 du plateau 5.
4.2. P4 ET P5

Exemple de solutions trouvées sur le stand de l'IREM
sur le prélude 5 du plateau 5
4.2. P4 ET P5

Exemple de solutions trouvées sur le site de l'IREM
sur le prélude 5 du plateau 5
4.2. P4 ET P5

Ce sont des plateaux de la forme
5x5, privés, au centre, d'une
pièce d'aire 1.
Au delà des questions de forme,
c'est l'occasion de travailler sur
les aires :
a - le carré d'origine convient-il ?
Quelle modification minimale
faut-il lui apporter pour réaliser un
puzzle avec les pièces de
Curvica ?
4.3. P6 À P10

Essais de modifications minimales pour réaliser un puzzle
avec les pièces de Curvica.
4.3. P6 À P10
Essai 1 : on
modifie les
milieux de chaque
côté pour avoir
une aire centrale
de 1. Solution
rapide à trouver..
On voit surtout que des côtes droits sont sous utilisés, on doit pouvoir
faire mieux en terme de modification minimale.

Essais de modifications minimales pour réaliser un puzzle
avec les pièces de Curvica.
4.3. P6 À P10
Essai 2 : on ne modifie que les milieux de deux côtés, de manière
symétrique. Dans ce cas l'aire centrale est diminuée d'autant. Solution
intéressante. Pourtant on voit qu'il reste encore une marge d'optimisation.

Modification minimale pour réaliser un puzzle avec les
pièces de Curvica.
4.3. P6 À P10
Essai 3 : finalement on dispose de 18 pièces il en faut 16 pour le contour.
En optimisant on doit pouvoir réaliser le contour et deux côtés du carré !
C'est ce qui est proposé ci-dessus.

Ce sont des plateaux de la forme 5x5, privés, au centre, d'une pièce d'aire
1. C'est l'occasion de travailler sur les aires :
b - comment modifier le centre des tableaux pour que l'aire totale soit
respectée ?
Tout d'abord en conservant les angles droits aux sommets
4.3. P6 À P10

4.3. P6 À P10
Comment modifier le centre des tableaux pour que l'aire totale
soit respectée ?
Ensuite avec les sommets "pointus" ou "arrondis"

Les 5 plateaux de la figure DGPad
4.3. P6 À P10

Observer la première
ligne des deux
solutions de ce
prélude du plateau 6.
4.3. P6 À P10

Variante du
plateau 8 avec
centre d'aire 1
mais de forme
différente.
4.3. P6 À P10

Plateaux en pyramide avec un centre d'aire 1, toujours un
carré, issus d'une modification de la forme ci-dessous.
4.4. P11 À P18
4.4.a Exemple d'activité :
Quelles modifications
minimales doit-on apporter à
cette forme initiale pour être
réalisable avec les pièces de
Curvica ?

4.4. P11 À P18
Quelles modifications minimales - sur le
contour extérieur - pour être réalisable avec
les pièces de Curvica ?
Essai 1 : on arrondit les extrémités
cardinales, on garde 4 angles droits
et en modifie 4 autres, le tout pour
conserver une aire 1 au centre.
Il y a de la marge pour conserver au moins 4
segments de plus (aire centrale différente si
on garde les symétries).

4.4. P11 À P18
Quelles modifications minimales pour être
réalisable avec les pièces de Curvica ?
Essai 2 : proche de l'optimisation
Il y a encore une possibilité pour conserver
2 segments de plus, mais en perdant bien
entendu la symétrie de la figure.

4.4. P11 À P18
Quelles modifications minimales pour être
réalisable avec les pièces de Curvica ?
Essai 3 : il n'est pas possible d'aller
plus loin.
Dans cette optimisation la pièce centrale
n'est plus d'aire 1.
Finalement les plateaux P11 à P18 sont bien plus contraints
que dans cette recherche, plus facile comme activité.

4.4. P11 À P18
4.4.b. P11 à P14
P11 est le plateau
original de J. F.
Il est très contraint
et n'a que 8
solutions (aux
isométries près)

P11 n'a que 4 index cardinaux opérationnels : LCVN, LCRN, VLRN,
VLRC. Le 5° VCRN ne produit pas de contour fiable.
4.4.C INDEX CARDINAUX

Deux premières solutions de l'index LCVN
4.4.D QUATRE DES HUIT SOL. DE P11

Deux autres solutions de l'index LCVN
4.4. QUATRE DES HUIT SOL. DE P11

P14 a 9 index cardinaux. Bien plus de solutions que P11
4.4.E UNE BELLE SYM. INTERNE DE P14

4.4. P11 À P18
4.4.f. P15 à P18
Variantes avec
des segments et
exemples (p17 et
p18) de plateaux
non symétriques.
Le centre est la
pièce À (voir
pourquoi).

4.4.G 4 SOL AVEC SYM DE P16

Deux autres formes très riches, faciles à explorer.
4.5. P19 ET P20
On peut par exemple
- repérer la forme initiale et chercher des modifications minimales
- décrire comment on passe du 19 (g) au 20 (d)

4.5. SOLUTION DES 3 PRÉLUDES DE P19

Jusqu'à maintenant on
a vu de nombreux
préludes de différents
plateaux. On se
propose ici de
détecter les préludes
impossibles, c'est-à-
dire, apprendre à voir
le plateau du point de
vue de ses
contraintes.
On peut commencer par
des niveaux élémentaires
d'appropriation des
configurations ou des
pièces comme ceux-ci :
5 – ANTICIPATIONS (TOPO)LOGIQUE

Toujours dans un contexte d'appropriation, mais un peu plus subtil :
Pourquoi ce prélude ne peut pas se poursuivre ?
Solution dans l'article huit.re/IREMcurvica1
(article 802 du site de l'IREM de la Réunion)

On reprend un prélude
élémentairement
simple pour aller vers
une complexification.
On ne verra qu'une
étape.
Sur le site de l'IREM, il y a
4 étapes différentes sur
ce prélude initial

On a enlevé deux pièces, K
en haut et D en bas pour que
la poursuite du prélude ne soit
pas bloqué dès le départ.
Mais clairement ce prélude
reste très contraint.
Beaucoup d'emplacements
n'ont qu'une seule possibilité.
Voyons cela.

Ordre de justification (par exemple)
V H - B J - K P - U W

Exemple de préparation
de préludes pour P11 et
P20. Version facile.
Pourquoi ces
configurations ne sont
pas des préludes (ie
n'aboutissent pas de
solutions).

Autre exemple de préparation de préludes pour P11.
Version moins élémentaire.
Pourquoi cette configuration est impossible à compléter ?

Observer que, dans
cette configuration,
on ne peut placer la
pièce B.

Pour jouer avec le plateau P19.
Version "appropriation des pièces"
Ce qui incite à chercher des vrais
préludes originaux pour ce plateau à
proposer pour le stand de l'IREM.

Cette partie traite à nouveau du rectangle 4x6
6 – ANTICIPATION PAR LE CALCUL
Phase de découverte :-)
L'un de ces deux départs de prélude construit sur deux
colonnes ne peut aboutir. Lequel et pourquoi ?

Poids de contour des pièces
Pour chaque pièce posée sur le contour (côté droit) on compte le nombre de
côtes bombé (+1) ou creux (-1) perpendiculaire au contour (côté droit). Pour
les pièces marrons, la forme en face du segment n'intervient pas. Pour les
pièces jaunes, à angle droit, les sommes affichées ici sont celles des pièces
posées dans un coin du rectangle.
Poids des pièces pour le contour du rectangle

Poids des pièces pour le contour du rectangle
La somme de toutes les pièces marrons est nulle.
Prélude de gauche : la somme des pièces jaunes restantes, de -2, compense
le +2 de J et T : il y a (des possibilités) des solutions.
Prélude de droite : la somme des pièces jaunes (et des 8 marrons) est nulle
et ne compense pas le +2 de J et T. Il ne peut pas y avoir de solution.

Confirmation de la méthode : lequel des deux préludes
peut se poursuivre ?

Mise en œuvre 1
Il y a 6 façons (3!)
possibilités de placer les
pièces H, E et U.
Quelles sont les
positions des pièces H,
E, U qui autorisent à
poursuivre le prélude D ?

Sur les 6 possibilités de placement des
pièces H, E, U, quatre autorisent à
poursuivre le prélude D.
On comprend bien que
les pièces à angle droit
jaunes) ont un point de
contour qui dépend de
leur position.
Seules les configurations avec E à côté du
carré I (0) n'aboutissent pas.

Exemples de trois solutions complètes du prélude D
parmi de nombreuses autres possibles

Mise en œuvre 2 : pour le
début de prélude ci-dessous,
lesquelles parmi les 3
propositions ci-contre,
permettent de poursuivre.

Proposition 1 - UH : placer U et H en colonne 1 aboutit bien à un
prélude complet pour le tour du rectangle. En effet E de somme -2
compense le 1 de J et le 1 de T.

Proposition 2 - GH : placer
G et H en colonne 1 oblige à
utiliser la pièce N (ou B), de
somme 2 : la somme de
toutes les autres pièces
marron est alors de -2 et
donc compense le 2 de J et
F, les deux pièces U et E
s'annulant. Il y a donc des
solutions
En haut : attention
aux fausses 'non
solutions' : en
glissant V et en
plaçant P on
aboutit à une
solution.
En bas : autre
solution

Proposition 3 - EH : placer E et H en colonne 1 nécessité d'utiliser
la pièce N (ou B) de somme 2. Les autres pièces marron sont de
somme -2, ce qui annule le 2 de la pièce U et donc ne peux
compenser le +2 de J et F.

Un dernier exemple :
Dans ce début de
prélude, il y a encore 6
façons de placer les trois
pièces G, U, et H.
Contrairement aux cas
précédents, une pièce de
somme 2 est déjà
utilisée (B).
Diapo suivante : les 6
propositions possibles.

Une dernière mise en
œuvre :
Les 6 organisations
possibles.
Lesquelles permettent
de poursuivre ?

Les propositions 1, 2, 5 et 6 ne peuvent aboutir, car il faut que la somme
des poids jaunes fasse 3 pour compenser le -2 des pièces marron.
Illustration de ces impossibilités

Seules les propositions 3 et 4 aboutissent.
Illustration avec deux solutions complètes

7.1 – AVANT LE PARTITIONEMENT
Activités préliminaires d'appropriation des pièces
Ils s'agit de proposer des plateaux utilisant 18 des 24 pièces, à choisir
Le plus simple
R6 B6 I6
pour
Rectangulaire
Bombé
Incurvé
Chacun de
6 pièces

Quelques solutions de R6 B6 I6

Quelques solutions de R6 B6 I6
Plusieurs centaines de solutions (non encore exhaustif)

Autres regroupements possibles de 18 pièces : B9 I9 (encore facile)
Dans une série de tweets de juillet 2014 sur le compte @Curvica974, on a
montré qu'il y a 84 solutions (hors isométries) de type B9 qui réalisent une
solution du puzzle en (I9, B9) avec la seule composante I9 ci-dessus.
Là encore, plusieurs centaines de solutions en tout.

Deux autres regroupements de 18 pièces : R9 I9 et R9 B9
(moins facile que R6 I6 B6)

Deux autres regroupements de 18 pièces : R9 I9 et R9 B9
Ci-contre un exemple de R9 qui admet :
Une solution en I9 ET
Une solution en B9

7.2 - LA TRANSFORMATION INVERSE
Par transformation inverse on entend la modification d'une pièce en celle
qui échange "bombé" et "incurvés"
Quatre pièces sont
invariantes par la
transformation
inverse (ligne 1).
Les 20 autres pièces
regroupées avec son
inverse (ci-contre).
Notation i(P)=X
Alors i(R6)=R6,
i(I6)=B6, i(B6)=I6.

7.3 - EXEMPLE DE R6 I6 B6 ET SON INVERSE
Dans ces solutions d'élèves, on voit que
l'inverse du B6 de gauche est (presque -
échange A et C) est le I6 de droite.

7.3 - EXEMPLE DE R6 I6 B6 ET SON INVERSE
A gauche une solution R6 B6 I6
Ci-dessous son inverse

7.4 - CINQ PLATEAUX PARTIONNANT
On peut envisager de nombreuses façons de partitionner les 24 pièces en
deux ou plusieurs groupes. On retiendra ces 5 partitions :
R12 B6 I6
R6 B9 I9
R8 I8 B8 chaque groupe étant de la forme rectangulaire 2x4
R8 I8 B8 T chaque groupe étant de la forme carré privé du centre 3x3-1
avec une pièce manquante au centre d'aire 1
Ensuite on peut assouplir la contrainte du centre à ce que la somme des
trois pièces centrales soit d'aire 3 ce qui invite à beaucoup de variantes
possibles.
I12 B12 : partionnement en deux blocs, situation la plus riche

7.5 - R12 B6 I6 - UN EXEMPLE
On commence par prolonger
R6 B6 I6, en R12 B6 I6.

7.6 - R6 B9 I9 - UN EXEMPLE
Solutions, composantes, et permutations internes
Chaque solution est un triplet
de blocs de pièces, appelé
composantes. Ici elles sont
de type R6, B9, et I9.
Ces composantes forment
une partition des 24 pièces ,
et, on va s'intéresser aux
permutations internes à
chaque composante de la
solution.

7.7 - R8 I8 B8 - DEUX EXEMPLES
Comme l'inverse de K est J
on s'intéressera à K en (1,1),
les solutions avec J en (1,1)
seront leurs inverses.

7.8 - R8 I8 B8 - PERMUTATIONS INTERNES
Dans ce contexte de
blocs 4x2, les
composantes peuvent
avoir de nombreuses
permutations, voyons le
sur le premier exemple :
Deux variantes de R6
Et 4 variantes sur I8 : RQ / QR
et WX-VS / VS-XW

7.8 - R8 I8 B8 - PERMUTATIONS INTERNES
Toujours sur le même exemple, les
variantes de B8 :
Finalement cette solution
initiale aboutit à 3x4x6 soit
72 solutions par
permutations internes et
donc 144 solutions avec
leurs inverses.
Composante stable par inversion : la composante R8 est
stable par inversion. Comme la pièce I est invariante, aucun
inverse de permutation n'est un isométrique de la composante.

7.8 - R8 I8 B8 - VARIANTE I EN (2,2)
Une solution avec I en (2,2) avec la même composante B8
Seconde solution sans la même B8.
Pas encore de solution de R8, avec I
en (2,2), stable par inversion.

7.9 - R8 B8 I8 T - EXEMPLE 1
Un exemple de solution avec les pièces centrales d'aire 1.
A droite son inverse. R8 n'est pas stable par inversion.

7.9 - R8 B8 I8 T - EXEMPLES 2 ET 3
On parlera des index des composantes, soit en nommant les
parties centrales par la pièce représentée, soit numériquement par
son indice de bombage. Ainsi à gauche (3,-3, 0), à droite, (2, 1, -3).

7.10 - I12 B12 - LE PLATEAU IREM

7.10.1 - I12 B12 DEUX EXEMPLES
Deux solutions particulières où les pièces IJK sont
dans chacune des deux composantes.
Piste de recherche
- préludes originaux
- étude des
permutations
internes (ci-après)
- extension des
index

7.10.2 - I12 B12 - PERMUTATIONS
Permutations internes de I12 de la solution 2 (10 premières possibilités)
4 solutions
(dont sol. Initiale)
3 solutions
3 solutions

7.10.2 - I12 B12 - PERMUTATIONS
Permutations internes de I12 de la solution 2 (12 nouvelles possibilités)
3 solutions
4 solutions
5 solutions

7.10.2 - I12 B12
Permutations internes de B12 de la solution 2 (8 possibilités)
Soit au total 22x9 = 198
solutions à partir d'une
solution initiale.

7.10.3 - I12 B12 - TYPOLOGIE
On s'intéresse désormais à une nomenclature des composantes de
solutions. Pour cela, on utilise, comme index, les noms des deux pièces
centrales des composantes. On s'intéresse aussi à l'indice de bombage de
chaque composante. Ci-après centré sur I12.
Composante
I12 de type JI
d'indice +1
Ici le centre est
formé de pièces
ne pouvant être
sur le contour. B12 ici est de type DN d'indice
-1. D'autres permutations
seraient d'un autre index.

7.10.3 - I12 B12 - INDICE 2 SUR I12
2 composantes I12
d'indice +2, une de type
IT, l'aitre de type FT.
Les pièces centrales ne
pourraient pas aller sur le
contour.

7.10.3 - I12 B12 - INDICE 2 SUR I12
Autre composante I12 d'indice +2, cette fois de type JN.
Piste d'investigation : pour un type donné quels sont
tous les contours possibles ?

7.10.3 - I12 B12 - INDICE 3 SUR I12
L'indice +3 est le
plus grand possible
pour réaliser une
solution finale.
Non encore résolu :
Peut-on construire un
plateau I12 d'indice 4
qui permet une
solution en (I12, B12) ?

7.10.3 - I12 B12 - INDICE 3 SUR I12
L'inverse d'une
composante I12
d'indice 3 est une
composante B12
d'indice -3.
Ci-contre une
composante B12
d'indice -3 qui n'est
pas l'inverse de la
précédente.
Voir pourquoi.

7.10.4. PERMUTATIONS SUR INDEX
Deux exemples de permutations
de I12 d'index JI

7.10.5. PISTES POUR I12 B12
1. Distinction entre configuration et composante I12 (ou B12) : peut-on
caractériser les configurations qui ne peuvent être composantes ?
2. Une composante donnée, de combien de types (max) ses permutations
peuvent-elles relever ?
3. Réciproquement, pour une composante d'un type donné, peut-elle avoir
des permutations de même type, en particulier en rapport à l'indice de la
composante donnée.
4. ...

CURVICA
IREM – 16 décembre 2015
yves.martin@univ-reunion.fr
Jouer en ligne : http://huit.re/curvica
(Ordinateurs ou tablettes)
Approfondir : http://huit.re/IREMcurvica1
Avec 23 Mo de fiches à télécharger, ainsi qu'un PDF
de 90 pages (sans la partie 7)
Actualité sur le puzzle : @Curvica974
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Curvica IREM dėcembre 2015

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