Chapitre2 Calcul matriciel.pdf

CHAPITRE 2
Calcul matriciel
Sommaire
2.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Matrices particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Transposition et matrices symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Déterminant, rang et trace d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Matrice inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.7 La méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.8 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 Définitions et notations
Soient n et p deux entiers naturels non nuls.
� Définition 2.1 (Matrice).
Une matrice A de taille n × p est un tableau rectangulaire constitué de n lignes et p
colonnes. Le nombre situé à l’inter de la i-ème ligne et de la j-ème colonne du tableau
est noté aij. Cet élément s’appelle un terme (ou un coefficient) de A.
Cette matrice est représentée de la manière suivante :
A =










a11 a12 . . . a1j . . . a1p
a21 a22 . . . a2j . . . a2p
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ai1 ai2 . . . aij . . . aip
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 . . . anj . . . anp










ou A =
�
aij
�
1≤i≤n
1≤j≤p
ou A =
�
ai,j
�
.
L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans R est noté Mn,p(R).
Les éléments de Mn,p(R) sont appelés matrices réelles.
13

2.2. MATRICES PARTICULIÈRES
CHAPITRE 2. CALCUL MATRICIEL
� Exemple 2.1.
Considérons les matrices suivantes :
A =
Å
2 5 −1
3 −2 0
ã
, B =
Ñ
1 7 0 −3
2 9 −1 7
4 2 3 6
é
et C =
Ñ
8 −6
2 4
1 2
é
A, B et C sont des matrices de types 2 × 3, 3 × 4 et 3 × 2 respectifs.
2.2 Matrices particulières
• Si la matrice A a le même nombre de lignes que de colonnes (n = p), elle est dite
matrice carrée d’ordre n. On note Mn(R) au lieu de Mn,n(R).
A =
á
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
an1 an2 . . . ann
ë
.
Les éléments a11, a22, . . . , ann forment la diagonale principale de la matrice A.
• Si la matrice A n’a qu’une seule ligne (n = 1), elle est dite matrice ligne ou vecteur
ligne. On la note
A =
�
a11 a12 . . . a1p
�
.
• Si A n’a qu’une seule colonne (p = 1), elle est appelée matrice colonne ou vecteur
colonne. On la note
A =
á
a11
a21
.
.
.
an1
ë
.
• La matrice de taille n×p dont tous les coefﬁcients sont des zéros est appelée la matrice
nulle et est notée 0n,p ou plus simplement 0.
• On appelle la matrice identité (ou unité) d’ordre n, et on note In, la matrice carrée
d’ordre n qui contient des 1 sur sa diagonale et des 0 partout ailleurs.
In =
á
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 . . . 1
ë
.
• On dit que A ∈ Mn(R) est triangulaire inférieure si ses éléments au-dessus de la
diagonale sont nuls, autrement dit :
i < j =⇒ aij = 0.
14 M. EL HIA

2.3. TRANSPOSITION ET MATRICES SYMÉTRIQUES
Une matrice triangulaire inférieure a la forme suivante :









a11 0 · · · · · · 0
a21 a22
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... 0
an1 an2 · · · · · · ann









.
• On dit que A ∈ Mn(R) est triangulaire supérieure si ses éléments en-dessous de la
diagonale sont nuls, autrement dit :
i > j =⇒ aij = 0.
Une matrice triangulaire supérieure a la forme suivante :











a11 a12 . . . . . . . . . a1n
0 a22 . . . . . . . . . a2n
.
.
.
... ...
.
.
.
.
.
.
... ...
.
.
.
.
.
.
...
...
.
.
.
0 . . . . . . . . . 0 ann











.
• On dit que A ∈ Mn(R) est diagonale si tous ses coefﬁcients situés en dehors de la
diagonale principale sont nuls. Elle s’écrit :
A =
à
a11 0 · · · 0
0 a22
...
.
.
.
.
.
.
...
... 0
0 . . . 0 ann
í
.
Remarquons qu’une une matrice diagonale est une matrice triangulaire inférieure et
triangulaire supérieure.
• Un vecteur v est dit non négatif, v ≥ 0, si tous ses éléments sont non négatifs.
• Un vecteur v est dit non nul, v �= 0, si au moins un de ses éléments est non nul.
2.3 Transposition et matrices symétriques
Soit A la matrice de taille n × p
A =
á
a11 a12 . . . a1p
a21 a22 . . . a2p
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 . . . anp
ë
.
15 M. EL HIA

2.3. TRANSPOSITION ET MATRICES SYMÉTRIQUES
� Déﬁnition 2.2 (Transposée d’une matrice).
On appelle la matrice transposée de A et on note AT
(ou souvent t
A), la matrice de
taille p × n obtenue à partir de A en échangeant les lignes et les colonnes.
AT
=
á
a11 a21 . . . an1
a12 a22 . . . an2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a1p a2p . . . anp
ë
.
Autrement dit, si A = (aij)1≤i≤n
1≤j≤p
alors AT
= (a�
ij)1≤i≤p
1≤j≤n
où a�
ij = aji pour tout i, j.
� Exemple 2.2.
Soit la matrice A d’ordre 2 × 3 suivante A =
Å
2 0 −3
1 −1 2
ã
, sa matrice transposée est la
matrice AT
d’ordre 3 × 2 telle que AT
=
Ñ
2 1
0 −1
−3 2
é
.
� Propriété 2.1.
L’opération de transposition obéit aux règles suivantes :
• (A + B)T
= AT
+ BT
• (αA)T
= αAT
• (AT
)T
= A
• (AB)T
= BT
AT
� Déﬁnition 2.3 (Matrice symétrique, matrice antisymétrique).
Soit A ∈ Mn(R). On dit que
• A est symétrique si AT
= A.
• A est antisymétrique si AT
= −A.
� Exemple 2.3.
Soient les matrices suivantes : A =
Ñ
1 2 0
2 3 −1
0 −1 8
é
et B =
Ñ
0 5 −9
−5 0 7
9 −7 0
é
• On a AT
= B donc A est symétrique.
• On a BT
= −B donc B est antisymétrique.
Notons que les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont toujours tous nuls.
16 M. EL HIA

2.4. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES
2.4 Opérations sur les matrices
� Définition 2.4 (Somme de deux matrices).
Soient A et B deux matrices ayant la même taille n × p. Le résultat de la somme de A
et B, est la matrice notée A + B de taille n × p composée des éléments
cij = aij + bij.
En d’autres termes, on somme coefficients par coefficients.
� Exemple 2.4.
Soient A =
Å
1 0 3
4 2 1
ã
et B =
Å
3 5 1
2 0 7
ã
.
La somme de A et B donne :
A + B =
Å
1 + 3 0 + 5 3 + 1
4 + 2 2 + 0 1 + 7
ã
=
Å
4 5 4
6 2 8
ã
� Remarque 2.1.
On ne peut additionner que des matrices de même taille.
� Définition 2.5 (Produit d’une matrice par un scalaire).
Le produit d’une matrice A =
�
aij
�
de Mn,p(R) par un scalaire λ ∈ R est la matrice
notée λA, formée en multipliant chaque coefficient de A par λ.
� Exemple 2.5.
Si A =
Ñ
2 5
3 6
1 4
é
alors le produit de A par 5 donne
5A =
Ñ
5 × 2 5 × 5
5 × 3 5 × 6
5 × 1 5 × 4
é
=
Ñ
10 25
15 30
5 20
é
� Définition 2.6 (Produit de deux matrices).
Soient A = (aij) et B = (bij) deux matrices de type n × p et p × q respectifs. On appelle
produit de A et B, et on note AB, la matrice de taille n × q dont les coefficients cij sont
définis par :
cij =
p
�
k=1
aikbkj
ou de façon plus développée
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aikbkj + · · · + ainbnj
Pour obtenir le terme cij de la matrice produit AB, on multiplie terme à terme les
éléments de la i ème
ligne de A par ceux de la j ème
colonne de B.
17 M. EL HIA

2.4. OPÉRATIONS SUR LES MATRICES








a11 a12 . . . a1p
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
ai1 ai2 . . . aip
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
am1 am2 . . . amp








á
b11 . . . b1j . . . b1n
b21 . . . b2j . . . b2n
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
bp1 . . . bpj . . . bpn
ë
=








c11 . . . c1j . . . c1n
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
ci1 . . . cij . . . cin
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
cm1 . . . cmj . . . cmn








� Remarque 2.2.
La multiplication de deux matrices n’est possible que si le nombre de colonnes de A
correspond au nombre de lignes de B.
� Exemple 2.6.
Soient les deux matrices A =
Å
2 0 −3
1 −1 2
ã
et B =
Ñ
1 2 4
0 2 3
2 1 0
é
.
• La matrice A est d’ordre 2 × 3, et la matrice B est d’ordre 3 × 3, donc le produit de A
par B est possible et il est égal à :
AB =
Å
2 0 −3
1 −1 2
ã
Ñ
1 2 4
0 2 3
2 1 0
é
=
Å
−4 1 8
5 2 1
ã
• Par contre, le produit BA est impossible.
Le produit matriciel est
• associatif :
A(BC) = (AB)C
• distributif par rapport à la somme :
A(B + C) = AB + AC et (B + C)A = BA + CA
• non commutatif : AB �= BA
18 M. EL HIA

2.5. DÉTERMINANT, RANG ET TRACE D’UNE MATRICE
2.5 Déterminant, rang et trace d’une matrice
A partir de maintenant, on ne travaille que sur des matrices carrées d’ordre n. Le déterminant
de la matrice A est noté det(A).
� Définition 2.7 (Déterminant d’une matrice d’ordre 2).
Si A =
Å
a11 a12
a21 a22
ã
alors le déterminant de A est le nombre
det(A) =
a11 a12
a21 a22
= a11a22 − a12a21
� Exemple 2.7.
Soit la matrice A =
Å
1 5
2 3
ã
, le déterminant de A est le nombre
det(A) =
�
�
�
�
1 5
2 3
�
�
�
� = 1 × 3 − 5 × 2 = −7
� Définition 2.8 (Mineur).
On appelle mineur de l’élément aij de la matrice A, la sous matrice Mij obtenue en
éliminant la ligne i et la colonne j de la matrice A.
� Définition 2.9 (Déterminant d’une matrice d’ordre n).
Le déterminant de la matrice A ∈ Mn(R) est calculé en fixant une ligne (ou une
colonne) comme suit :
det(A) =
j=n
�
j=1
(−1)i0+j
ai0j det (Mi0j) (on fixe la ligne i0)
ou
det(A) =
i=n
�
i=1
(−1)i+j0
aij0 det (Mij0 ) (on fixe la colonne j0)
� Exemple 2.8.
Soit la matrice B =
Ñ
1 2 3
0 −1 1
4 2 1
é
.
• En fixant la ligne 1, on obtient
det(B) = b11 det(M11) − b12 det(M12) + b13 det(M13)
= 1 ×
�
�
�
�
−1 1
2 1
�
�
�
� − 2 ×
�
�
�
�
0 1
4 1
�
�
�
� + 3 ×
�
�
�
�
0 −1
4 2
�
�
�
�
= 1 × (−3) − 2 × (−4) + 3 × 4
= 17
19 M. EL HIA

2.5. DÉTERMINANT, RANG ET TRACE D’UNE MATRICE
• En fixant la colonne 1, on obtient
det(B) = b11 det(M11) − b21 det(M21) + b31 det(M31)
= 1 ×
�
�
�
�
−1 1
2 1
�
�
�
� − 0 ×
�
�
�
�
2 3
2 1
�
�
�
� + 4 ×
�
�
�
�
2 3
−1 1
�
�
�
�
= 1 × (−3) − 0 × (−2) + 4 × 5
= 17
� Remarque 2.3.
SLmed
• Pour le calcul du déterminant, on choisit la ligne ou la colonne qui contient le plus
grand nombre de zéros.
• Les opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes (ajout à une colonne - resp.
une ligne - une combinaison linéaire des autres colonnes - resp. lignes) d’une matrice
ne modifient pas la valeur du déterminant.
• Si on permute deux lignes ou deux colonnes, le déterminant change de signe.
• Si deux lignes ou deux colonnes sont identiques, le déterminant est nul.
• Si on multiplie tous les termes d’une même ligne ou d’une même colonne par un réel
k, le déterminant est multiplié par k.
Soient A et B deux matrices de Mn(R), le déterminant satisfait aux propriétés
suivantes :
• det(AB) = det(A) × det(B).
• det(λA) = λn
× det(A) (où λ ∈ R).
• det (At
) = det(A).
� Définition 2.10 (Rang d’une matrice).
Le rang d’une matrice A ∈ Mm,n(R), noté rg(A), est la est la dimension du sous-espace
vectoriel de Rn
engendré par ses n colonnes.
Le rang d’une matrice A ∈ Mm,n(R) est la taille du plus grand déterminant non nul
que l’on peut extraire de A.
� Exemple 2.9.
On considère les matrices suivantes :
A =
Ñ
−3 5 6
−1 2 2
1 −1 −1
é
, B =
Ñ
1 0 1
0 5 −1
−1 0 −1
é
et C =
Å
−1 2 3
−1 2 1
ã
.
• On a det(A) = −1 �= 0 ⇒ rg(A) = 3;
• det(B) = 0 et
�
�
�
�
1 0
0 5
�
�
�
� = 5 �= 0 ⇒ rg(B) = 2;
• et pour C, on a
�
�
�
�
2 3
2 1
�
�
�
� = −4 �= 0 ⇒ rg(C) = 2.
20 M. EL HIA

2.6. MATRICE INVERSE
Si A ∈ Mm,n(R) alors rg(A) ≤ min(m, n).
� Déﬁnition 2.11 (Trace d’une matrice).
Soit A ∈ Mn(R). La trace de la matrice A est le nombre obtenu en additionnant les
éléments diagonaux de A. Autrement dit,
tr(A) = a11 + a22 + · · · + ann
� Exemple 2.10.
Si on considère la matrice A =
Ñ
−3 2 0
−1 7 2
0 −1 1
é
alors tr(A) = −3 + 7 + 1 = 5.
La trace satisfait aux propriétés suivantes :
• tr(A + B) = tr(A) + tr(B).
• tr(λA) = λ tr(A), pour tout λ ∈ R.
• tr(AT
) = tr(A).
• tr(AB) = tr(BA).
• tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB), (permutations circulaires).
2.6 Matrice inverse
� Déﬁnition 2.12 (Matrice inversible, matrice singulière).
Soit A ∈ Mn(R) . On dit que A est inversible ou régulière s’il existe une matrice carrée
B ∈ Mn(R) telle que
AB = BA = In
On appelle B la matrice inverse de A et on la note B = A−1
.
Une matrice non régulière est dite singulière.
� Remarque 2.4.
Une matrice n’est inversible que si son déterminant est non nul.
Soient A et B deux matrices inversibles de même ordre, alors :
• L’inverse de A est unique.
• A−1
est inversible et (A−1
)
−1
= A.
• AT
est inversible et
�
AT
�−1
= (A−1
)
T
.
• AB est inversible et (AB)−1
= B−1
A−1
.
21 M. EL HIA

2.7. LA MÉTHODE DU PIVOT DE GAUSS
Pour le calcul de l’inverse d’une matrice, nous commençons par une formule directe dans le
cas simple des matrices carrées d’ordre 2.
� Proposition 2.1 (Inverse d’une matrice carrée d’ordre 2).
Soit la matrice A =
Å
a b
c d
ã
. Si ad − bc �= 0, alors A est inversible et
A−1
=
1
ad − bc
Å
d −b
−c a
ã
.
� Proposition 2.2 (Inverse d’une matrice carrée d’ordre n).
Soit A ∈ Mn(R) inversible (det(A) �= 0). La matrice inverse de A est donnée par
A−1
=
1
det(A)
(Com(A))T
où Com(A) est la comatrice de A définie par
Com(A) =
�
(−1)i+j
det (Mij)
�
1≤i,j≤n
� Exemple 2.11.
Soit A la matrice définie par A =
Ñ
1 1 0
2 −1 1
1 0 −1
é
. Calculer A−1
.
2.7 La méthode du pivot de Gauss
La méthode du pivot ou le procédé d’élimination de Gauss est un algorithme qui permet de
calculer le rang d’une matrice et trouver les solutions d’un système d’équations linéaires. A
chaque étape, l’algorithme a pour but d’introduire dans la matrice, sur les éléments en dehors
de la diagonale, des valeurs nulles.
� Définition 2.13 (Opérations élémentaires sur les rangés d’une matrice).
On appelle opération élémentaire sur les lignes (respectivement colonnes) d’une
matrice l’une des trois opérations suivantes :
1. permutation de deux lignes (respectivement colonnes),
2. multiplication d’une ligne (respectivement colonne) par un scalaire non nul,
3. addition d’un multiple d’une ligne (respectivement colonne) à une autre ligne
(respectivement colonne).
Étant donnés deux entiers distincts i et j, on convient des codages suivants.
Nature de l’opération Codage
Permutation de deux lignes Li ←→ Lj
Multiplication de Li par un scalaire non nul Li ←− λLi
Addition à Li du produit de Lj par un scalaire Li ←− Li + λLj
On utilise un codage analogue pour les colonnes en remplaçant L par C.
22 M. EL HIA

� Définition 2.14 (Matrice échelonnée, échelonnée réduite).
Une matrice rectangulaire est dite sous forme échelonnée (en lignes) si elle vérifie les
trois propriétés suivantes :
• Toutes les lignes non nulles sont situées au-dessus de toutes les lignes nulles.
• Le coefficient principal de chaque ligne, c-à-d le coefficient non nul le plus à
gauche dans la ligne, se trouve dans une colonne située strictement à droite de
celle du coefficient principal de la ligne au-dessus d’elle.
• Tous les coefficients situés dans une colonne en-dessous d’un coefficient principal
sont nuls.
Elle est échelonnée réduite si en plus :
• Le coefficient principal de toute ligne est égal à 1.
• Les coefficients principaux (égaux à 1) sont les seuls élément non nuls de leur
colonne.
� Exemple 2.12.
Les matrices suivantes sont échelonnées :
Å
5 6
0 −1
ã
,
Ñ
8 1 2 6
0 2 3 −2
0 0 3 −1
é
et
Ü
1 3 7
0 1 −5
0 0 0
0 0 0
ê
.
Les matrices suivantes ne sont pas échelonnées :
Å
5 0
−1 1
ã
et
Ñ
1 2 3 −4
6 1 −2 5
0 0 2 5
é
.
La matrice suivante est échelonnée réduite :
Ñ
1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 −1
é
.
� Algorithme du pivot de Gauss : Il consiste à appliquer des opérations élémentaires sur les
lignes d’une matrice pour se ramener à une matrice échelonnée.
Soit A ∈ Mn,p(R) telle que
A =
á
a11 a12 . . . a1p
a21 a22 . . . a2p
.
.
.
.
.
.
an1 an2 . . . anp
ë
• Étape 1 : Pour appliquer la méthode du pivot de Gauss, il faut d’abord que le premier
coefficient de la première ligne soit non nul. Si ce n’est pas le cas, on peut se ramène au
cas où a11 �= 0 (le pivot) en permutant deux lignes.
• Étape 2 : Pour chaque i �= 1, on utilise l’opération élémentaire Li ← Li −
ai1
a11
L1 de façon
à avoir une matrice de la forme :
A =
á
a11 a12 . . . a1p
0
.
.
. A�
0
ë
où le bloc A�
est de format (n − 1) × (p − 1).
23 M. EL HIA

• Étape 3 : On applique au bloc A�
les deux étapes 1 et 2 que nous venons de décrire (en-
dessus). À l’intérieur du bloc A�
, on obtient un nouveau bloc A��
et on recommence...
L’algorithme s’arrête lorsque A s’est transformée en une matrice échelonnée.
� Exemple 2.13.
Soit la matrice
Ü
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
ê
.
En utilisant la méthode de Gauss, on obtient successivement :
Ü
1 1 1 1
0 1 2 3
0 2 5 9
0 3 9 19
ê
,
Ü
1 1 1 1
0 1 2 3
0 0 1 3
0 0 3 10
ê
et
Ü
1 1 1 1
0 1 2 3
0 0 1 3
0 0 0 1
ê
.
� Application pour le calcul du rang d’une matrice :
Le rang d’une matrice A est le nombre de lignes non nulles dans sa forme échelonnée
en lignes.
� Exemple 2.14.
Dans l’exemple 2.13, le rang de la matrice A est égal à 4 car sa forme échelonnée comporte
4 lignes non nulles.
� Application pour la résolution d’un système linéaire :
Considérons le système linéaire suivant :









a1,1x1 + a1,2x2 + · · · + a1,nxn = b1
a2,1x1 + a2,2x2 + · · · + a2,nxn = b2
.
.
. +
.
.
. +
.
.
. +
.
.
. =
.
.
.
am,1x1 + am,2x2 + · · · + am,nxn = bm
(2.1)
Commençons par reformuler ce système sous la forme matricielle :
AX = B (2.2)
où A =
á
a1,1 a1,2 · · · a1,n
a2,1 a2,2 · · · a2,n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am,1 am,2 · · · am,n
ë
, X =
Ö
x1
.
.
.
xn
è
et B =
Ö
b1
.
.
.
bm
è
.
Le système (2.1) est entièrement donné par sa matrice élargie (dite aussi matrice augmentée)
(A | B) =
Ö
a1,1 · · · a1,n b1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am,1 . . . am,n bm
è
(2.3)
24 M. EL HIA

Par la méthode du pivot, on transforme A en une matrice échelonnée Ã et simultanément on
fait les mêmes opérations sur B. On obtient ainsi
(Ã | B̃) =












a��
1,1 a��
1,2 · · · a��
1,r · · · a��
1,n b��
1
a��
2,2 · · · a��
2,r · · · a��
2,n b��
2
...
.
.
. · · ·
.
.
.
.
.
.
a��
r,r · · · a��
r,n b��
r
0 b��
r+1
.
.
.
.
.
.
0 b��
m












(2.4)
avec a��
ii �= 0 pour tout i = 1, . . . , r et r = rg(A).
Le système (2.1) est maintenant sous forme échelonnée























a��
1,1x1 + a��
1,2x2 + ... + a��
1,rxr + ... + a��
1,nxn = b��
1
a��
2,2x2 + ... + a��
2,rxr + ... + a��
2,nxn = b��
2
...
.
.
. + ... +
.
.
. =
.
.
.
a��
r,rxr + ... + a��
r,nxn = b��
r
0 = b��
r+1
.
.
. =
.
.
.
0 = b��
m
(2.5)
• Les équations 0 = b��
j (r < j ≤ m) sont appelées les conditions de compatibilité du
système. (Il y a m − r conditions de compatibilité)
• Les inconnues x1, x2, ..., xr sont appelées les inconnues principales.
• Les inconnues xr+1, xr+2, ..., xn sont appelées les inconnues secondaires.
Deux cas peuvent se produire :
1. S’il existe k ∈ [r + 1, m] tel que b��
k �= 0, alors le système n’a pas de solution (on dit que le
système est incompatible).
S = {∅}
2. Si on n’a pas des conditions de compatibilité ou pour tout k ∈ [r + 1, m] tel que b��
k = 0,
alors le système est compatible (S �= ∅) : il existe au moins une solution (c’est un vecteur
de Rn
) qui dépend de n − r paramètres.
• Si r = n, cette solution est unique.
Alors la ligne Ln donne annxn = bn, c’est-à-dire xn = bn/ann. En suite en remplaçant
dans la ligne Li , on a
xi =
1
aii
(bi −
n
�
j=i+1
aijxj), ∀i = n − 1, ..., 1.
• Si r < n, on a une inﬁnité de solutions.
on exprime alors les r premières inconnues (les inconnues principales) en fonction de
n − r dernière inconnues (les inconnues secondaires), puis le résoudre comme dans
le cas r = n. On obtient alors une inﬁnité de solutions.
25 M. EL HIA

2.8. DIAGONALISATION
� Exemple 2.15.
Résoudre les systèmes suivants :
1. (S1)



x1 + 2x2 + 2x3 = 2
x1 + 3x2 − 2x3 = −1
3x1 + 5x2 + 8x3 = 8
.
2. (S2)



x1 + 2x2 − 3x3 + x4 = −3
2x1 + 5x2 − 5x3 + 5x4 = 2
−3x1 − 5x2 + 12x3 − x4 = 16
.
2.8 Diagonalisation
� Définition 2.15 (Diagonalisabilité d’une matrice).
Soit A une matrice de Mn(R). On dit que A est diagonalisable si elle est semblable à
une matrice diagonale. Autrement dit, A est diagonalisable si et seulement si il existe
une matrice diagonale D et une matrice inversible P, dite matrice de passage, tel que
D = P−1
AP
Diagonaliser A, c’est trouver D.
Cette notion nécessite quelques définitions préalables.
� Définition 2.16 (Valeurs et vecteurs propres).
Soit A une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans R.
• On appelle valeur propre de A tout scalaire λ ∈ R pour lequel il existe une
matrice-colonne X ∈ Mn,1(R) non nulle telle que
AX = λX.
• La matrice-colonne X ∈ Mn,1(R) est appelée vecteur propre de A associé à λ et
le couple (λ, X) se nomme élément propre de A.
• On appelle spectre de A le sous-ensemble de R constitué de toutes les valeurs
propres de A. On le note Sp(A).
� Définition 2.17 (Polynôme caractéristique).
Soit A une matrice carrée d’ordre n sur R.
On appelle polynôme caractéristique de A le polynôme à coefficients dans R, de degré
n , noté PA, défini par
∀X ∈ R PA(X) = det(A − XIn).
où In est la matrice identité d’ordre n.
On a le résultat suivant :
26 M. EL HIA

� Proposition 2.3.
λ est valeur propre de A si et seulement si λ est racine de PA(X).
� Exemple 2.16.
Soit A la matrice donnée par
A =
Ñ
−1 1 1
1 −1 1
1 1 −1
é
Déterminer Sp(A).
Quand on a déterminé les valeurs propres d’une matrice A, on cherche pour chaque valeur
propre λ les vecteurs propres associés en résolvant l’équation
(A − λIn)X = 0.
Il s’agit donc de déterminer le sous-espace propre associé à chaque valeur propre λ.
� Définition 2.18 (Noyau d’une matrice).
Soit A ∈ Mn(R). On appelle noyau de A :
Ker A = {X ∈ Rn
/ AX = 0}
� Définition 2.19 (Sous-espace propre).
On appelle sous-espace propre de A associé à λ, et on note Eλ, le sous-espace de
Mn,1(R) défini par
Eλ = {X ∈ Mn,1(R) | AX = λX} = Ker(A − λIn)
La dimension du sous espace propre Eλ s’obtient à partir de la relation
dim Eλ = n − rg(A − λIn)
En particulier, si λ est une valeur propre simple de A alors dim Eλ = 1.
� Exemple 2.17.
Soit A la matrice définie par
A =
Å
2 1
1 2
ã
3 est valeur propre de A.
1. Déterminer dim E3.
2. Déterminer E3.
27 M. EL HIA

Les questions qui se posent maintenant sont essentiellement les deux questions suivantes :
1. Dans quels cas une matrice est diagonalisable?
2. Lorsque c’est le cas, comment déterminer la matrice diagonale D et la matrice de passage
P ?
Pour répondre à la première question nous admettrons sans démonstration les résultats ci-
après, qui donnent des conditions pour qu’une matrice soit diagonalisable.
� Proposition 2.4 (Condition sufﬁsante de diagonalisation).
Soit A une matrice de Mn(R). Si le polynôme caractéristique de A admet n racines
distinctes deux à deux, alors A est diagonalisable.
� Remarque 2.5.
Toute matrice symétrique est diagonalisable.
� Proposition 2.5 (Condition nécessaire et sufﬁsante de diagonalisation).
Soit A une matrice de Mn(R). Notons λ1, . . . , λk les valeurs propres de A, et Eλ1 , . . . , Eλk
les sous espaces propres associés. Pour tout i, notons di la dimension de Eλi
. Alors on
a
k
�
i=1
di ≤ n, et :
A est diagonaisable ⇐⇒
k
�
i=1
di = n
� Exemple 2.18.
La matrice A est-elle diagonalisable dans les cas suivants?
1. A =
Ñ
−2 3 −3
0 1 −1
0 1 3
é
.
2. A =
Ñ
3 −1 −1
1 1 −1
1 −1 1
é
.
Finalement, lorsque A est diagonalisable, on forme D matrice diagonale contenant sur sa
diagonale, dans cet ordre, d1 fois la valeur propre λ1, puis di fois la valeur λi, . . ., et dk fois la
valeur λk. La matrice inversible P se construit elle à partir des vecteurs colonnes constituant
les vecteurs des bases des Eλi
.
� Exemple 2.19.
Soit A la matrice donnée par
A =
Ñ
3 −1 −1
1 1 −1
1 −1 1
é
Diagonaliser A en précisant la matrice D et la matrice de passage P.
28 M. EL HIA

2.9. EXERCICES
2.9 Exercices
� Exercice 2.1.
Une entreprise commercialise 3 produits P1, P2, et P3. A la ﬁn d’une période de 3 semaines,
les quantités vendues par semaines sont données par la matrice Q suivante :
Q =
P1 P2 P3
� �
45 120 10
50 90 15
40 98 9
Durant la période de 3 semaines, le prix unitaire hors taxe du produit P1 est 2 DH, pour le
produit P2 de 1 DH et pour le produit P3 de 3 DH.
1. Écrire la matrice colonne P des prix unitaires puis déterminer la matrice V des prix de
vente hors taxe pour ces trois semaines.
2. Calculer le montant TTC que l’entreprise a encaissé pour la vente du produit P2 durant la
période étudiée avec un taux de TVA de 19, 6% sur ces produits.
� Exercice 2.2.
Trois entreprises E1, E2 et E3 ont estimé leurs besoins en matériels informatiques comme
suit :
Ordinateurs Imprimantes Scanners
Entreprise E1 15 10 3
Les prix HT par unité, en DH, proposés par deux fournisseurs F1 et F2 sont les suivants :
Prix de F1 Prix de F2
Ordinateur 1524 1372
Imprimante 750 720
Scanner 500 550
Pour chaque question, on nommera par une lettre chaque matrice intervenant, en précisant
ce qu’elle représente.
1. a– Donner la matrice représentant les dépenses HT respectives de E1, E2 et E3, suivant
qu’ils achètent chez F1 ou F2.
b– Les deux fournisseurs proposent une remise de 10% sur tous les produits. La TVA sur
ces produits étant de 20% déterminer la matrice des dépenses TTC respectives de E1,
E2 et E3 suivant qu’ils achètent chez F1 ou F2.
2. Finalement les entreprises E1, E2 et E3, se sont équipées chez un autre fournisseur F3 et
ont dépensé respectivement 30 888Dh, 36 972Dh et 17 820Dh.
a– Établir le système à résoudre pour trouver le prix unitaire TTC de chaque type d’articles.
b– Résoudre le système en utilisant l’inverse d’une matrice et conclure.
29 M. EL HIA

2.9. EXERCICES
c– En déduire la matrice colonne donnant les prix unitaires HT de chaque article chez F3
et conclure.
� Exercice 2.3.
Déterminer le rang des matrices suivantes :
1. A =
Ü
−3 9 −2 3 5 4
1 −3 1 −1 −2 0
8 −24 4 −12 −4 −8
−1 3 0 −2 710
ê
2. B =
Ñ
1 1 1 − m
1 + m −1 2
2 −m 3
é
3. C =
Ñ
1 −m m2
m −m2
m
m 1 −m3
é
4. D =
Ü
1 1 1 m
1 1 m 1
1 m 1 1
m 1 1 1
ê
� Exercice 2.4.
Résoudre par la méthode du pivot de Gauss les systèmes suivants :
1.



x − 3y + z = 1
2x + y − z = −1
x + 11y − 5z = 5
2.



x − 3y + z = 0
2x + y − z = 0
x + 11y − 5z = 0
3.







x + y + z = 3
x + 2y − z = 2
x + 3z = 4
2x + y + 4z = 7
4.



x + y + 3z + 2t = −2
2x + 3y + 4z + t = −1
3x + 7y + z − 6t = 6
� Exercice 2.5.
Le service informatique de gestion d’une entreprise occupe un grand bureau au troisième
étage. Sa masse salariale est de 41 400Dh par mois et ce service utilise 9 ordinateurs pour la
gestion totale.
On restructure ce service en trois bureaux b1, b2 et b3 de x, y et z personnes respectivement.
30 M. EL HIA

2.9. EXERCICES
• Chaque personne du bureau b1 reçoit en moyenne 5 100Dh par mois, travaille avec un
ordinateur et s’occupe de 10% de la gestion totale.
• Chaque personne du bureau b2 reçoit en moyenne 4 200Dh, travaille avec un ordinateur
et s’occupe de 5% de la gestion totale.
• Chaque personne du bureau b3 reçoit, en moyenne 4 800Dh, travaille avec un ordinateur
et s’occupe de 20% de la gestion totale.
1. Traduire les informations ci-dessus en un système (S) de trois équations à trois inconnues
x, y et z.
2. Résoudre le système (S) de trois façons différentes, et en déduire le nombre de personnes
dans chaque bureau.
� Exercice 2.6.
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables?
A =
Å
3 −2
2 −2
ã
, B =
Å
1 0 1
0 3 1
ã
et C =
Ñ
−7 9 0
−6 8 0
−6 0 2
é
.
� Exercice 2.7.
Soit la matrice A =
Å
−1 2
1 0
ã
.
1. Calculer les valeurs propres de A. En déduire que A est diagonalisable.
2. Déterminer les sous-espaces propres de A.
3. Diagonaliser A en précisant la matrice de passage P.
4. Soient les suites (un) et (vn) déﬁnies par u0 = 1, v0 = 1 et pour tout entier n
un+1 = −un + 2vn
vn+1 = un
Calculer un pour tout entier n.
� Exercice 2.8.
On considère la matrice
A =
Ö
3
4
1
10
1
4
9
10
è
1. Montrer que An
=
1
7
Ü
2 + 5
Å
13
20
ãn
2 − 2
Å
13
20
ãn
5 − 5
Å
13
20
ãn
5 + 2
Å
13
20
ãn
ê
2. Application.
Le directeur d’un magazine souhaite connaître les parts du marché qui seront prises par
31 M. EL HIA

2.9. EXERCICES
sa revue. Par expérience il sait que 90% des abonnés renouvellent chaque année leur
souscription, par ailleurs, 25% de la population des non abonnés une année prennent
une nouvelle souscription l’année suivante. On note un et vn les proportions respectives
des non abonnés et abonnés de l’année courante.
Si 20% du marché possède cette année un abonnement au magazine, quel sera le taux des
souscripteurs dans un an, dans 10 ans, à très long terme.
32 M. EL HIA

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