8月17日に大阪大学中之島センターで開催される「行動経済学研究センターシンポジウム」における報告用スライドです。詳しくは以下のサイトをご参照ください： http://www.iser.osaka-u.ac.jp/iser-rcbe/2016symp.html

1. スポーツに潜む戦略的思考
ゲーム理論でもっと楽しくなるスポーツ
安田洋祐
大阪大学 大学院経済学研究科 准教授
Eメール: yasuda@econ.osaka-u.ac.jp
ウェブ: https://sites.google.com/site/yosukeyasuda/jp
2016年9月 1

2. 本日の講演の流れ
• ゲーム理論ってなんだろう？
• 鍵を握るのは「ナッシュ均衡」
• ゲーム理論で選手の動きを解明！
• テニスの1stサーブ
• サッカーのPK
• Eスポーツの攻防
• ゲーム理論で望ましいルール作り ← 時間があれば
2016年9月 2

3. ゲーム理論ってなんだろう？
ゲーム理論を制するものがスポーツを制す！
2016年9月 3

4. 世の中を「ゲーム」として捉える
• ゲームの「3要素」
– 【プレイヤー】
– 【戦略】（考慮すべき選択肢）
– 【利得】（得点・満足度）
• 各人が利得を高めるよう戦略を決定
– お互いに最適な戦略を取り合う安定的な状況
← 「ナッシュ均衡」
2016年9月 4

5. スポーツの場合だと…
• ゲームの「3要素」
– 【プレイヤー】 → 選手（あるいはコーチ）
– 【戦略】 → その時々でのプレーの選択肢
– 【利得】 → 戦略に応じたポイント／勝敗
• ゲーム理論で分析がしやすい！
– 3要素を定めるのが簡単な場合がある
– 多くのデータが公開されている
2016年9月 5

6. 実験場としてのプロスポーツ
• 実験経済学
– 被験者は素人（多くの場合は学生）
– 少額の報酬、心理・実験室環境の影響
– 目的が異なる、学習能力が低い
• プロスポーツ
– 被験者は玄人中の玄人
– 高い報酬、フィールド実験
– 明確な目的、学習能力も高い
2016年9月 6

7. 理論と現実のギャップ
• 実験経済学
– 理論予測から外れることもしばしば
– 目的が報酬と異なる → 行動経済学
– 最適行動をとらない → 限定合理性
• プロスポーツ
– 理論予測が実はよく当てはまる！
– 選手たちの目的が明確
– 学習能力が高い（損な戦略をとり続けない）
2016年9月 7

8. テニス
ウィンブルドンのデータが明らかにした真実！
2016年9月 8

9. テニスの「サーブゲーム」
• ゲームの「3要素」
– プレイヤー：サーバーとレシーバー
– 戦略：左（L）か右（R）
• 「センターかサイド」と考えても同じ
– 利得：ポイントを取る確率
• 各人はLとRどちらを選ぶ（べき）か？
– 利得表を使って問題を見える化
2016年9月 9

10. 利得表：サーブゲーム
• L：レシーバーのバックハンド側を狙う／備える
• R：レシーバーのフォアハンド側を狙う／備える
• 利得：サーバーがポイントを取る確率（パーセント）
2016年9月 10
S ＼ R L R
L 60 80
R 75 50
サーバーから見た利得

11. 利得表：レシーブゲーム
• L：レシーバーのバックハンド側を狙う／備える
• R：レシーバーのフォアハンド側を狙う／備える
• 利得：レシーバーがポイントを取る確率（パーセント）
2016年9月 11
S ＼ R L R
L 40 20
R 25 50
レシーバーから見た利得

12. お互いの最適戦略は？
• レシーバー：サーバーと同じサイドに備えるのが得
• サーバー：レシーバーと違うサイドを狙うのが得
• お互いに「最適な戦略を取り合う」ことは不可能！？
2016年9月 12
S ＼ R L R
L 60 80
R 75 50
（サーバーから見た利得）

13. 確率的に戦略を選ぶ
• レシーバー：Lに確率 p、Rに確率 1-p で備える
• サーバー：Lを確率 q、Rを確率 1-q で狙う
• お互いに最適な確率の組み合わせ (p, q) はどうなるか？
2016年9月 13
S ＼ R L (p) R (1-p)
L (q) 60 80
R (1-q) 75 50

14. レシーバーが半々の確率で備える場合
• レシーバー：Lに確率1/2、Rに確率1/2で備えると仮定
• サーバー：Lを狙うと[ ]%、Rを狙うと[ ]%でポイントが取れる
– [ ]を集中的に狙うことによって利得（勝率）を高めることができる
– レシーバーは[ ]により高い確率で備える方が良い → ナッシュ均衡にならない！
2016年9月 14
S ＼ R L (1/2) R (1/2)
L 60 80
R 75 50

15. レシーバーが半々の確率で備える場合
• レシーバー：Lに確率1/2、Rに確率1/2で備えると仮定
• サーバー：Lを狙うと70%、Rを狙うと62.5%でポイントが取れる
– Lを集中的に狙うことによって利得（勝率）を高めることができる
– レシーバーはLにより高い確率で備える方が良い → ナッシュ均衡にならない！
2016年9月 15
S ＼ R L (1/2) R (1/2)
L 60 80
R 75 50

16. レシーバーがほぼ毎回Lに備える場合
• レシーバー：Lに確率9/10、Rに確率1/10で備えると仮定
• サーバー：Lを狙うと62%、Rを狙うと72.5%でポイントが取れる
– Rを集中的に狙うことによって利得（勝率）を高めることができる
– レシーバーはRにより高い確率で備える方が良い → ナッシュ均衡にならない！
2016年9月 16
S ＼ R L (9/10) R (1/10)
L 60 80
R 75 50

17. ナッシュ均衡：お互いに最適な確率
• レシーバー：Lに確率2/3、Rに確率1/3で備える
– サーバーはどちらを選んでも[ ]%の確率でポイントを取る
• サーバー：Lを確率5/9、Rを確率4/9で狙う
– レシーバーはどちらを選んでも[ ]%の確率でポイントを失う
2016年9月 17
S ＼ R L (2/3) R (1/3)
L (5/9) 60 80
R (4/9) 75 50
お互いに確率を変えても得できない
→ ナッシュ均衡

18. ナッシュ均衡：お互いに最適な確率
• レシーバー：Lに確率2/3、Rに確率1/3で備える
– サーバーはどちらを選んでも66.6%の確率でポイントを取る
• サーバー：Lを確率5/9、Rを確率4/9で狙う
– レシーバーはどちらを選んでも66.6%の確率でポイントを失う
2016年9月 18
S ＼ R L (2/3) R (1/3)
L (5/9) 60 80
R (4/9) 75 50
お互いに確率を変えても得できない
→ ナッシュ均衡

19. サーブゲームの検証
• ゲームの「3要素」
– プレイヤー：サーバーとレシーバー
– 戦略：左（L）か右（R）
• レシーバーについては観察不可能
– 利得：ポイントを取る確率
• マス毎の得点確率を推計できない
• 予測（ナッシュ均衡）が定まらない！
2016年9月 19

20. 目からウロコの検証方法
• もし理論予測が正しければ
1. LとRどちらを選んでも得点確率は同じ
2. 一定のパターンで戦略を切り替えない
（そうでないと相手に傾向がバレる）
• サーバーについてこれらの仮説を検証
– Walker, M., & Wooders, J. (2001).
Minimax play at Wimbledon. American Economic Review, 91(5),
1521-1538.
2016年9月 20

21. Walker & Woodersの発見
• 男子トップ選手たちのデータを検証
（各対戦ごとにデュース側・アドバンテージ側に分けて分析）
– 仮説1は成立
– 仮説2は不成立
（頻繁に切り替え過ぎる傾向がある）
• 広範なデータを用いた追試で仮説2も成立
– Hsu, S. H., Huang, C. Y., & Tang, C. T. (2007).
Minimax play at Wimbledon: comment. American Economic Review,
97(1), 517-523.
2016年9月 21

22. サッカー
ゲーム理論が驚くほど当てはまるPK！
2016年9月 22

23. サッカーの「PKゲーム」
• ゲームの「3要素」
– プレイヤー：キッカーとキーパー
– 戦略：左（L）か右（R）
• キーパーから見た方向（真ん中はRでカウント）
– 利得：ゴールが決まる確率
• どちらのプレイヤーの戦略も観察可能！
– Palacios-Huerta, I. (2003).
Professionals play minimax. Review of Economic Studies, 70(2), 395-
415.
2016年9月 23

24. 利得表：PKゲーム
• L：キーパーから見た左（アウト）側を狙う／備える
• R：キーパーから見た右（イン）側を狙う／備える
• 利得：キッカーがゴールを決める確率（パーセント）
2016年9月 24
K ＼ G L R
L 58.30 94.97
R 92.91 69.91
Palacios-Huertaによる算出

25. Palacios-Huertaの発見
• 欧州トップリーグのデータから検証
– 30回以上キック／セーブした選手のみ注目
– テニスでの仮説1と仮説2はともに成立
• 実際の結果がナッシュ均衡とほぼ一致
（上が理論予測、下が実際の頻度）
2016年9月 25
their natural choices.V The typical penalty kick may then be described by the simple 2 x 2
model outlined in Section 2. Penalty kicks in this model have a unique Nash equilibrium and the
equilibrium requires each player to use a mixed strategy. As mentioned earlier, equilibrium theory
makes two testable predictions about the behaviour of kickers and goalkeepers: (1) winning
probabilities should be the same across strategies for both players, and (2) each player's strategic
choices must be serially independent.
Before we begin any formal test, it is worth examining the extent to which observed
behaviour is close to the Nash equilibrium predictions. For all players in the sample the empirical
scoring probabilities are
kL
1- kt.
where, as indicated above, kt. and gL denote the non-natural sides. The mixed strategy Nash
equilibrium predicted frequencies for these empirical values and the actual mixing probabilities
observed in the sample are
gL (%) 1-gL (%) kt. (%) 1 - kt. (%)
Nash predicted frequencies 41·99 58·01 38·54 61·46
Actual frequencies 42·31 57·69 39·98 60·02
10. As a referee noted, the assumption that the game is identical for the two kinds of kickers up to the renaming
of the actions is not obvious. Hence, we have tested this assumption using a regression framework. The null hypothesis

26. 真ん中を加えると？
• ゲームの「3要素」
– プレイヤー：キッカーとキーパー
– 戦略：左（L）か真ん中（M）か右（R）
– 利得：ゴールが決まる確率
• 真ん中は選ばれない（損する）場合も
– Chiappori, P. A., Levitt, S., & Groseclose, T. (2002).
Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous:
The case of penalty kicks in soccer. American Economic Review,
1138-1151.
2016年9月 26

27. 各マスの相対頻度は理論通り
level. Standarderrorsarein parentheses.For shotsinvolving
havebeenreversedso thatshootingleft correspondsto the "n
TABLE3-OBSERVED MATRIXOFSHOTSTAKEN
Kicker
Goalie Left Middle Right Total
Left 117 48 95 260
Middle 4 3 4 11
Right 85 28 75 188
Total 206 79 174 459
Notes: The sample includes all Frenchfirst-leaguepenalty
kicks from 1997-1999 and all Italian first-league kicks
(1997-2000). For shots involving left-footed kickers, the
directionshave been reversed so that shooting left corre-
spondsto the "natural"side for all kickers.
model is
play mixe
is compli
only obse
of the ki
even if t
egy, only
will actu
other han
against d
servation
different
is using a
the case.
first find
with at le
2016年9月 27

28. 真ん中を狙うのは吉！？
• 成功頻度が高いのは「集計の罠」かも
– ゴール確率の高いキッカーだけMを選ぶ
– 集計によってMの成功率の高さを過大評価
2016年9月 28
THEAMERICANECONOMICRE
TABLE4--OBSERVEDMATRIXOFOUTCOMES:
PERCENTAGEOFSHOTSINWHICHA GOALIS SCORED
Kicker
Goalie Left Middle Right Total
Left 63.2 81.2 89.5 76.2
Middle 100 0 100 72.7
Right 94.1 89.3 44.0 73.4
Total 76.7 81.0 70.1 74.9
Notes: The sample includes all Frenchfirst-leaguepenalty
kicks from 1997-1999 and all Italian first-league kicks
jointly in
crease th
sample t
kicks in t
testof th
toprow o
ing the n
level, res
of the fo
that all g
If goa
given kic
1148

29. 修正された仮説の検証
• 利得表はプレイヤーの組により異なる
– キッカーによって変わり得る、しかし
– キーパーによっては変わらないと仮定
• この仮定の下でキッカー毎に検証すると
– 仮説1は成立（仮説2は未検証）
• プレイヤーの異質性を考慮に入れるべし
2016年9月 29

30. Eスポーツ
競技性の高いゲームはもはやスポーツである！
2016年9月 30

31. 対戦型格闘ゲーム
• 「読み合い」（戦略的状況）の宝庫
• オンライン対戦
– 膨大な対戦データ
– 上達・学習効果
• プロ選手も続々と誕生
• ゲーム理論分析がハマるかも！？
2016年9月 31

32. 『ストリートファイターⅡ』と対戦ブーム
2016年9月 32
とにかく対戦がアツい！
打撃攻撃か？
投げ技か？
読み合いの要素がいっぱい！

33. 「起き（上がり）攻め」の攻防
• 打：相手の起き上がりに打撃攻撃を重ねる／備える
• 投：相手の起き上がりに投げ技を狙う／投げ返す
• 利得：攻撃側（攻）が守備側（守）に与えるダメージ
2016年9月 33
攻 ＼ 守 打 投
打 0 30
投 20 -10
攻撃側から見た利得

34. 確率的に戦略を選ぶ
• 守備側：攻に確率 p、投に確率 1-p で備える
• 攻撃側：攻を確率 q、投を確率 1-q で狙う
• お互いに最適な確率の組み合わせ (p, q) はどうなるか？
2016年9月 34
攻撃側から見た利得
攻 ＼ 守 打 投
打 0 30
投 20 -10

35. ナッシュ均衡：お互いに最適な確率
• 守備側：Aに確率2/3、Tに確率1/3で備える
• 攻撃側：Aを確率1/2、Tを確率1/2で狙う
• 起き攻めで攻撃側が与えられるダメージ（期待値）は10
2016年9月 35
攻 ＼ 守 打 (2/3) 投 (1/3)
打 (1/2) 0 30
投 (1/2) 20 -10
お互いに確率を変えても得できない
→ ナッシュ均衡

36. 状況が変わると…
• Aが成功した際のダメージが30→60へと倍増
– プレイヤーの上達、キャラクター性能の変化など
• 新たなナッシュ均衡はどう変わるだろうか？
– OがAを選ぶ確率 q’ は q よりも増えるだろうか？
2016年9月 36
攻 ＼ 守 打 (p’) 投 (1-p’)
打 (q’) 0 60
投 (1-q’) 20 -10
攻撃側から見た利得

37. 攻撃側の意外な行動変化
• 守備側：Aに確率7/9、Tに確率2/9で備える
• 攻撃側：Aを確率1/3、Tを確率2/3で狙う
• 破壊力が増したAを選ぶ確率が以前よりも下がる！
– ダメージの期待値は10→40/3へと増加！
2016年9月 37
攻 ＼ 守 打 (7/9) 投 (2/9)
打 (1/3) 0 60
投 (2/3) 20 -10
お互いに確率を変えても得できない
→ ナッシュ均衡

38. 現実のバトルはもっと複雑！
• 考慮すべき選択肢の数はもっと多い
– 多くの選択肢を持っているプレイヤーは有利
• 「利得＝ダメージ」とは限らない
– 目的はあくまで勝負に勝つこと
– 勝率はダメージに比例しないことも
• 次の試合に引き継がれる要素がある
– 各試合を別々に分析するのは問題
2016年9月 38

39. プロゲーマー vs. ゲーム理論家
• 秋のオイコノミア（Eテレ）に注目！
2016年9月 39
「ゲーム」
対決？

40. おまけ：警備ゲーム
• テロリストと警察との間のゲーム
• A：空港を狙う／備える
• C：市街地を狙う／備える
• 利得：テロによる被害
2016年9月 40
T ＼ P A C
A 0 100
C 50 10

41. 警備ゲームのナッシュ均衡
• Tが無差別 → 100(1-p) = 50p + 10(1-p)
– 90(1-p)-50p = 0 → p = 9/14
• Pが無差別 → 50(1-q) = 100q + 10(1-q)
– 40(1-q)-100q = 0 → q = 2/7
2016年9月 41
T ＼ P A (p) C (1-p)
A (q) 0 100
C (1-q) 50 10

42. ゲーム理論をテロ対策に活用
• テロリストや違反者の
最適反応を織り込んで
警備の戦略（確率）を決
定し公表
• 著者のTambe教授らは
現実の様々な警備問
題に知見を応用
• ゲーム理論と計算機科
学の学際的融合
2016年9月 42

43. 理論が外れるケースも…
• アメフト（4thダウン・ギャンブル）
– Romer, D. (2006).
Do firms maximize? Evidence from professional football. Journal of Political Economy,
114(2), 340-365.
– ギャンブルは多くの場合勝率を上げるがほとんど取られない → 勝率以外の動機？
• テニス（サーブのイン確率）
– Klaassen, F. J., & Magnus, J. R. (2009).
The efficiency of top agents: An analysis through service strategy in tennis. Journal
of Econometrics, 148(1), 72-85.
– 2本目のサーブの方が1本目よりも非効率性が高い → 最適化の失敗？
• 野球とアメフト
– Kovash, K., & Levitt, S. D. (2009).
Professionals do not play minimax: evidence from major League Baseball and the
National Football League (No. w15347). NBER
– ピッチャーはストレートを投げ過ぎ、アメフトはパスをしなさ過ぎ
2016年9月 43

44. アノマリーと行動経済学による説明
2016年9月 44

45. アメリカンフットボール
オーバータイムを公平なルールに！
＜参考記事： http://toyokeizai.net/articles/-/13205 ＞
2016年9月 45

46. 運に左右される延長戦
• 先攻の勝率は約60%（後攻の1.5倍！）
• 遥かに公平な決着方法がある
– 代案1：ケーキカット方式
• 攻撃開始のヤード数を提示 → 相手が攻守を決定
– 代案2：オークション方式
• 両チーム同時に攻撃権を（ヤード数で）競り合う
• 代案2の方が1よりもさらに公平
– Che, Y. K., & Hendershott, T. (2008).
How to Divide the Possession of a Football?. Economics Letters,
99(3), 561-565.
2016年9月 46

47. ケーキカット方式の問題点
• 両チームとも私的情報を持っている
• 先手は相手の私的情報が分からない
– 予想に基づいて最適なヤード数を決定
• 後手は提案された戦略（ヤード数）を通じて先
手の情報が間接的に分かる
– 相手の情報を踏まえて意思決定できる
• 先手よりも後手の方が有利 → 不公平
2016年9月 47

48. オークション方式のやり方
• 競り人（審判）がヤード数を競り上げていく
• どちらかのチームが競りから脱落した段階で
– 勝者：攻撃権を獲得（そのヤード数から攻める）
– 敗者：守備側に回る
• 情報取得に関する非対称性がないので公平
• 他の競技にも応用できるかもしれない
– ボードゲーム（将棋・チェス）の持ち時間など？
2016年9月 48

49. バスケットボール
ルール変更による誤算が意味する政策の落とし穴
＜参考記事： http://toyokeizai.net/articles/-/16814 ＞
2016年9月 49

50. 3点シュートのエリアを狭くしたら？
• 総得点はほとんど変化しなかった
– NBA（94-95シーズン）の変更でむしろ微減
• 選手たちのプレイスタイルが変化
• ルーカスの批判
– 「政策変更は人々の行動を変える可能性がある
ので、過去のデータに基づいて推計された行動
を不変なものと仮定して政策評価や予測を行うこ
とはできない」
– 選好から行動を導く「ミクロ的基礎付け」の大流行
2016年9月 50