El documento presenta los conceptos fundamentales del plano cartesiano y las ecuaciones analíticas de las principales figuras geométricas que se estudian en geometría analítica, como la circunferencia, elipse, hipérbola, parábola y línea recta. Explica los elementos geométricos de cada figura y cómo obtener su ecuación a partir de la aplicación de las leyes de Pitágoras y el Teorema de Tales.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
Barquisimeto, Estado Lara
BARQUISIMETO, MARZO 2021
Autor:
Yilbert Colmenares
CI: V-27.666.483
PNF CONTADURIA
Sección 0407

2.  Se conoce como plano cartesiano,
coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano, a dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un punto
llamado origen o punto cero.
 La finalidad del plano cartesiano es
describir la posición o ubicación de un
punto en el plano, la cual está
representada por el sistema de
coordenadas.
 El plano cartesiano también sirve para
analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la
hipérbole, la línea, la circunferencia y la
elipse, las cuales forman parte de la
geometría analítica.
Plano cartesiano
 El nombre del plano cartesiano
se debe al filósofo y matemático
francés René Descartes, quien
fue el creador de la geometría
analítica y el primero en utilizar
este sistema de coordenadas.

3. Distancia entre dos puntos.
 Distancia entre dos puntos.
Dados dos puntos
cualesquiera A(x1,y1),
B(x2,y2), definimos la
distancia entre ellos,
d(A,B), como la longitud
del segmento que los
separa.
 Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en
que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la
distancia entre ellos.
 Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una
recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto
de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1).
 Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una
recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto
de la diferencia de sus ordenadas. (y1 - y2).

4. PUNTO MEDIO..
1. El punto medio del segmento AB, que llamaremos M, es un punto del segmento
que dista lo mismo de A que de B. Esto quiere decir que: Si es un segmento
acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el
punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta
última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
2. El modo de obtener geométricamente el punto medio de un segmento, mediante
regla y compás, consiste en trazar dos arcos de circunferencia de igual radio, con
centro en los extremos, y unir sus intersecciones para obtener la recta mediatriz.
Esta «corta» al segmento en su punto medio.
3. Teorema Sea AB un segmento cuyos extremos tienen coordenadas A(xA; yA) ;
B(xB ; yB) entonces las coordenadas del punto medio M(xM ; yM) de AB son:

5. Ecuación analítica de la circunferencia: Si hacemos coincidir el centro con el
origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia
(x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema
de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno
cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r
tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla
resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos
x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0.
Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2 tendremos que:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Ejemplo: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0
Entonces tenemos que: D = 6 6 = – 2a a = – 3
E = – 8 – 8 = – 2b b = 4
El centro de la circunferencia es (– 3, 4). Hallemos el radio
F = (– 3)2 + 42 – r2 – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 r = 6
La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36
 La circunferencia es el lugar geométrico
de los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo llamado centro (recordar que
estamos hablando del Plano Cartesiano y
es respecto a éste que trabajamos).
Circunferencia.

6. Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos
llamados focos es constante.
Elementos de la elipse:
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde
un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.
6. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c, c es
el valor de la semidistancia focal.
7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse
con los ejes: A, A', B y B'.
8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a, a es el
valor del semieje mayor.
9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b, b es el
valor del semieje menor.
10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje
mayor o al eje menor.
11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la
elipse, que es el punto de intersección de los ejes de
simetría.
Elipse.

7. Ecuación analítica de la elipse: para simplificar la
explicación ubiquemos a los focos sobre el eje de
las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0). Tomemos un
punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y).
En el caso de la elipse la suma de las distancias entre PF y
PF' es igual al doble del radio sobre el eje x.
Entonces: PF + PF' = 2a.
Aplicando Pitágoras
tenemos que:
Elevamos al cuadrado ambos
miembros para sacar las
raíces y desarrollamos los
cuadrados queda
finalmente:
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería de ser:
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 + p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0
Si hacemos: A = b2
B = a2
C = – 2pb2
D = – 2qa2
E = p2b2 + q2a2 – a2b2
tendremos la ecuación: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0,
donde podemos comprobar que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no tienen porqué ser iguales.

8. Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de
distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
Hipérbola.
Ecuación analítica de la hipérbola: nuevamente
ubiquemos los focos sobre el eje x, F = (c,0) y F' = (–
c,0), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la
hipérbola. En este caso, la diferencia de las distancias
entre PF y PF' es igual al doble de la distancia que
hay entre el centro de coordenadas y la intersección
de la hipérbola con el eje x. Entonces tendremos
que: PF – PF' = 2a
Elevando al cuadrado ambos miembros y
procediendo matemáticamente podemos
llegar a esta expresión: (c2 – a2). x2 – a2y2 –
(c2 – a2) a2 = 0 (los cálculos los dejo por tu
cuenta pero puedes guiarte con el desarrollo
que hicimos para la elipse). Nuevamente a
partir del dibujo y aplicando Pitágoras
podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo
tanto la ecuación nos queda: b2x2 – a2y2 =
a2b2. Dividiendo cada término por
a2b2 obtenemos:

9.  Si la hipérbola estuviese centrada en un punto cualquiera
(p, q) la ecuación debería de ser:
 Asíntotas: Son rectas que jamás cortan a la hipérbola, aunque se acercan lo más posible a ella. Ambas
deben pasar por el "centro" (p, q)
Las ecuaciones de las asíntotas son:
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que:
b2x2 – a2y2 – 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 – q2a2 – a2b2 = 0
Si hacemos: A = b2
B = – a2
C = – 2pb2
D = 2qa2
E = p2b2 – q2a2 – a2b2
tendremos la ecuación: Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar que es
igual que la de la circunferencia, o una elipse, excepto que los términos A y B no tienen
porqué ser iguales.

10.  Una parábola queda definida por el conjunto de los
puntos del plano que equidistan de una recta fija y un
punto fijo:
Elementos de la parábola.
Foco: Es el punto fijo F.
Directriz: Es la recta fija D.
Parámetro: A la distancia entre el foco y la directriz de
una parábola se le llama parámetro p.
Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el
foco recibe el nombre de eje. Es el eje de simetría de la
parábola.
Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz.
También se puede ver como el punto de intersección del
eje con la parábola.
Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera
de la parábola con el foco.
Parábola

11. Ecuación analítica de la parábola:
Supongamos que el foco esté situado en el punto
(0,c) y la directriz es la recta y = – c, por lo tanto
el vértice está en su punto medio (0,0), si
tomamos un punto cualquiera P = (x , y) de la
parábola y un punto Q = (x, – c) de la recta debe
de cumplirse que: PF = PQ
Elevando al cuadrado ambos miembros: x2 = 4cy
Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación sería: (x– p)2 = 4c(y –
q)
desarrollando la ecuación tendremos: x2 + p2 – 2xp – 4cy + 4cq = 0
Si hacemos D = – 2p
E = – 4c
F = p2 + 4cq
obtendremos que es: x2 + Dx + Ey + F = 0, en la que podemos observar que falta el término de y2.
Observación: es de destacar que el término x y no aparece, la razón es que se ha supuesto que los
ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes de coordenadas; en caso contrario aparecería
este término, que como es lógico dependerá del ángulo de inclinación de los ejes.