Este documento trata sobre operaciones algebraicas elementales como suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas. Explica las reglas para realizar cada operación de manera correcta, incluyendo ejemplos para ilustrar los conceptos. También define conceptos como productos notables y diferentes métodos para dividir polinomios.

1. REPUIBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELE
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION
UNIVERSIDAD POLITICA TERRITORIAL “ANDRES ELOY
BLANCO”
Expresiones algebraicas
Estudiante: yeimi Giraldo
c.i: 30699356
Suma

2. Para sumar expresiones algebraicas, hay que tener en cuenta dos cosas, la suma
de dos términos semejantes se pueden reducir a un solo término, si tales términos
son diferentes ante una suma, simplemente el resultado se deja expresada tal cual
es sin cambiar los signos de los términos.
Generalmente en álgebra elemental realizamos las operaciones entre polinomios
donde se suele usar signos agrupación y es cierto que el operador
suma ++ acompañada de los signos de agrupación no afecta tanto el resultado
final por lo que el lector pensará que es una perdida de tiempo mencionar este tipo
de obviedades, pero la cosa cambia cuando tratemos con el operador diferencia –
–, pero esto lo veremos en la siguiente sección, lo anteriormente explicado solo
sirve para aclarar esta diferencia.
Suma de monomios: Son aquellas expresiones matemáticas donde solo existe
como únicos operadores a la potenciación, multiplicación entre variables (parte
literal) y coeficientes, tal que los exponentes de las variables sean números
naturales, es decir, aquellos números que sirven para contar.
Ejemplo 1
 Sumar los monomios 4z, 2s y 3p. Ya que el orden de los
sumandos no altera la suma, el resultado puede ser:
4z + 2s + 3p
2s + 4z + 3p
3p + 2s + 4z
Ejemplo 2
 Sumar los monomios 3a, 4ab y 2a. Como se puede observar es
posible agrupar 3a y 2a, no es posible agrupar 4ab ya que el
término no tiene de incógnita las mismas letras (en este caso se
tiene la letra b de más). El resultado sería:
3a + 4ab + 2a = 5a + 4ab
Ejercicios:
A) 2a + 2a = 4a
B) 5ab + 4b = 5ab + 4b
C) 3bc + 2ba + bc = 4bc + 2ba

3. suma de polinomios
Para una mejor representación de la suma de polinomios es
recomendable incluir cada polinomio dentro de paréntesis.
 Sumar los polinomios a + 3b, 2a + 3ab y 4b + 2ab.
(a + 3b) + (2a + 3b) + (4b + 2ab) = a + 3b + 2a + 3b + 4b + 2ab
Ahora se debe simplificar la anterior expresión algebraica, como
resultado será:
3a + 7b + 5ab
 Sumar los polinomios 3a + 2b y 4b – 2a
(3a + 2b) + (4b – 2a) = 3a + 2b + 4b – 2a
Simplificando la anterior expresión, el resultado será:
a + 6b
A) (5a + 4b) + (3b + 2c) = 5a + 7b + 2c
B) (4b + 2c) + (3c - 2) = 4b + 5c – 2
C) (4cd + 4c) + (5b)= 4cd + 4c + 5b
D) (3c – 4 + 2a) + (3c + 4)= 6c + 2a
RESTA
La resta, diferencia o sustracción es la operación binaria que tiene por
objetivo hallar el sumando desconocido
Otra definición dice que la resta es la operación inversa de la suma o
también que es una operación de comparación, en la que se establece la
diferencia entre dos polinomios, o bien lo que le falta a un polinomio
para llegar a ser igual al otro. Y hay quienes van a afirmar que la resta
es el resultado de sumar a un polinomio dado llamado minuendo, el
inverso aditivo de otro polinomio que en tal caso se llamará sustraendo.
RESTA DE POLINOMIOS

4. Para realizar una resta de polinomios, es necesario agrupar los monomios (las
expresiones de un único término) de acuerdo a sus características y proceder a la
simplificación de aquellos que resultan semejantes. La operación en sí se
realiza sumando el opuesto del sustraendo al minuendo.
Ejemplo de resta de polinomios
Tomemos el siguiente ejemplo: P(x) − Q(x) = (4×3 + 2x − 5) − (3×3 − 4×2 + 5x)
Según lo explicado anteriormente, tenemos que modificar los signos del
sustraendo para realizar la operación: 4×3 + 2x − 5 − 3×3 + 4×2 − 5x. Como se
puede advertir, los signos del minuendo no cambian (4×3 + 2x − 5).
Hecho esto, debemos agrupar y simplificar los monomios: 4×3 − 3×3 + 4×2 + 2x −
5x − 5.
Finalmente completamos la operación de acuerdo a los monomios que
quedaron: x3 + 4×2 − 3x − 5.
El resultado de la resta de polinomios (4×3 + 2x − 5) − (3×3 − 4×2 + 5x) es, en
definitiva, x3 + 4×2 − 3x − 5.
Ejercicio 1
(6x+8y)−(3x−2y).
(6x+8y)−(3x−2y)
=6x+8y-3x+2y=6x+8y−3x+2y
=6x-3x+8y+2y=6x−3x+8y+2y
=3x+10y=3x+10y

5. EJERCICIO 2
(6x+8y)−(3x−2y) verticalmente.
6x+8y
-3x+2y−3x+2y
______________
3x+10y3x+10y
Resta de polinomios
En la resta de monomios en realidad consiste en cambiar el signo del
sustraendo, es recomendable analizar con paréntesis ya que en la
resta de polinomios el signo de la resta afecta a todo el sustraendo,
por lo tanto, se estaría empleando el mismo método realizado.
 De 3x + 4y + 11w restar 2x + 3y + 8w.
3x + 4y + 11w – (2x + 3y + 8w) = 3x + 4y + 11w – 2x – 3y – 8w
El resultado después de agrupar los términos semejantes será:
x + y + 3w
Ejercicio 1
De 3x + 4y + 11w restar 2x + 3y + 8w.
3x + 4y + 11w – (2x + 3y + 8w) = 3x + 4y + 11w – 2x – 3y – 8w
El resultado después de agrupar los términos semejantes será:
x + y + 3w
Ejercicio 2 De 5xy2 + 6y + 8w restar 5xy2 + 3y. Ya que el signo de la
resta afecta a todo el polinomio se tendría: – (5xy2 + 3y) = – 5xy2 – 3y
5xy2 + 6y + 8w
–(5xy2 + 3y)
0 + 3y + 8w

6. Multiplicación Algebraica
La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica, en
otras palabras, es una operación matemática que consiste en obtener un resultado
llamado producto a partir de dos factores algebraicos
llamada multiplicando y multiplicador.
Otro punto a tener en cuenta es la ley de signos que usaremos usualmente en la
multiplicación algebraica, sobre todo en los ejercicios. La ley de signos nos dice
que:
 La multiplicación de signos iguales es siempre positiva.
 La multiplicación de signos diferentes es siempre negativa.
 Por ejemplo, si queremos multiplicar los números 33 y −2−2, debe
entenderse que el signo del numero 3=+33=+3 es positivo, es decir, se
sobre entiende, realizando la multiplicación:
Ejemplos
Los ejemplos que veremos en breve será una combinación entre factores
positivos y negativos, pero lo que se tomaran en cuenta son los factores
negativos ya que los positivos no afectan el resultado sin importar el
numero de factores, veamos dos ejemplos:
Multiplicación entre monomios
La multiplicación entre monomios es muy sencilla:
1. Primero multiplicamos los coeficientes de cada monomio

7. 2. Luego multiplicamos la parte literal, esto es, las variables según las leyes
de los exponentes que estudiamos anteriormente.
3. Aplicamos las ley distributiva
4. Por ultimo aplicamos finalmente la leyes de los signos.
El siguiente diagrama para −5x2z3−5x2z3 indica las partes de un monomio.
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Multiplicación entre polinomios
Para saber como resolver la multiplicación entre polinomios, tan solo debemos
tener en cuneta la propiedad distributiva, la ley se signos y las leyes de la
potenciación.
La forma mas básica o reducida de la multiplicación entre dos polinomio es de la
forma (a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd, esto es, la multiplicación

8. entre dos binomios, su prueba es muy sencilla, es tan solo aplicando la propiedad
distributiva. Veamos, la propiedad nos dice que x(y+z)=xy+xzx(y+z)=xy+xz, si
suponemos que x=a+bx=a+b, y=cy=c y z=dz=d, remplazando en la propiedad,
tenemos:
Ejercicio 1
Ejercicio 2
División Algebraica
La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas
llamadas dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por
medio de un algoritmo.
Como estamos trabajando con polinomios, debemos tener en cuenta un punto
importante: el mayor exponente de algún término del dividendo debe ser mayor o
igual al mayor exponente de algún término del divisor.
El esquema clásico (división larga de polinomios) contempla las siguiente partes:

9. Clases de división
 División exacta.
Esta división se define cuando el residuo RR es cero, entonces:
División inexacta.
Esta división se define cuando el residuo RR es diferente de cero. De la
identidad, dividiendo entre el divisor dd, tenemos:
Ejemplo
Sugerimos aplicar antes de realizar cualquier división la ley de signos
para la división:
División de polinomios
Hay 3 método para dividir dos polinomios, una de ellas es la división clásica que
es la forma generalizada de la división larga de la aritmética, luego el método de
Horner y un caso particular llamada método de Ruffini. Antes de contemplar estos

10. métodos, es necesario saber como se realiza una división entre dos monomios y
es lo que explicaremos a continuación:

11. División entre monomios
Las reglas que debemos seguir para dividir dos monomios son las siguientes:
 Primero se divide los coeficientes aplicando la ley de los signos.
 Luego dividimos las partes literales (variables) de los monomios según la ley de de
exponentes.
Una forma generalizada de la división de monomios de una sola variable es:
División entre dos polinomios
Hay tres métodos, la primera es el método clásico de la división derivada de la
división larga de la aritmética, la segunda es el método de Horner y la tercera es
el método de Ruffini, las dos primeras son generales, para cualquier polinomio, la
segunda es un caso particular.

12. Por tanto, no existe una formula mágica para hallar rápidamente el cociente y el
residuo en la división de polinomios, solo se pueden resolver por medio de
algoritmos y es un proceso de pasos a seguir.
Ten en cuenta las siguientes pautas:
1. Los polinomios el dividendo y divisor deben estar ordenados en forma
descendente.
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor
y se obtiene el primer término del cociente.
3. El primer término del cociente se multiplica por cada término del divisor y se
les cambia de signo, lo colocamos debajo del dividendo con su
correspondiente término semejante.
4. Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del
divisor y se obtiene el segundo término del cociente.
5. Se procede como el paso numero 1.
6. Se procede la operación hasta llegar a la ultima columna del dividendo.
Productos notables

13. Los productos notables son expresiones algebraicas que vienen de un
producto que conocemos porque sigue reglas fijasy cuyo resultado puede ser
escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Estas
operaciones son fáciles de recordar sin necesidad de efectuar la multiplicación
correspondiente.
1. Cuadrado de la suma de dos cantidades
Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya suma está elevada al cuadrado, lo
que realmente se pide es que se multiplique la suma por si misma:
Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:
Regla del cuadrado de la suma de dos cantidades
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de
la segunda cantidad.
Representación gráfica del cuadrado de la suma de dos cantidades
Ejemplos con solución paso a paso
1) Desarrolle (x+10)2.
 Cuadrado del primer término: x2.
 Dos veces el primero por el segundo: 2(x)(10)=20x.
 Cuadrado del segundo término: 102=100.

14. Respuesta:
2) Desarrolle (7a2+5x3)2.
 Cuadrado del primer término: 72(a2)2=49a4.
 Dos veces el primero por el segundo: 2(7a2)(5x3)= 70a2x3.
 Cuadrado del segundo término: (5)2(x3)2=25x6.
Respuesta:
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya resta está elevada al cuadrado, lo
que realmente se pide es que se multiplique la resta por si misma:
Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:
Recordemos que dos números negativos cuando se multiplican, el signo resultante
es positivo:
Ejemplos con solución paso a paso
1) Desarrolle (x-10)2.
 Cuadrado del primer término: x2.
 Menos dos veces el primero por el segundo:- 2(x.10)=-20x.
 Cuadrado del segundo término: 102=100
Respuesta:

15. 2) Desarrolle (7a2-5x3)2.
 Cuadrado del primer término: 72(a2)2=49a4.
 Menos dos veces el primero por el segundo: -2(7a2)(5x3)= -70a2x3.
 Cuadrado del segundo término: (5)2(x3)2=25x6.
Respuesta:
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios
conjugados)
En este caso, la multiplicación se realiza de la siguiente forma;
Ejemplos con solución paso a paso
1) Desarrolle (x+1)(x-1).
 Cuadrado del minuendo: x2.
 Menos el cuadrado del sustraendo: -(12)=-1
Respuesta:
2) Desarrolle (5a+3a2)(3a2-5a).
 Cuadrado del minuendo: (3a2)2=9a4
 Menos el cuadrado del sustraendo: -(52a2)=-25a2
Respuesta:
Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c)(a+b-c)
Este producto lo podemos transformar en la suma de dos cantidades multiplicada
por su diferencia:

16. Ejemplos de multiplicación de trinomios
1) Desarrolle (x+y-2)(x+y+2).
2) Desarrolle (a2-2a+3)(a2+2a+3).
Ejemplos de multiplicación de trinomios con números negativos
1) Desarrolle (x+y+z)(x-y-z).
2) Desarrolle (x3-x2-x)(x3+x2+x).
Factorización. Es el proceso algebraico por medio del cual se transforma una suma o
diferencia de términos algebraicos en un producto.
Factor común. Para obtener el factor común de un polinomio, se obtiene el máximo
común divisor de los coeficientes y la literal o literales con menor exponente que se
repitan en cada uno de los términos algebraicos del polinomio a factorizar
Ejemplos: 1.- Una expresión equivalente a 3x 2 + 6x es: a) 3(x 2 + 6x) b) 3x(x + 2) c) x(3x 2 +
6) d) 3x 2 (1 + 2x)

17. Solución: ▪ Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes 3 y 6, el cual es 3. ▪ La
literal que se repite en los términos del polinomio de menor exponente es x. ▪ El factor
común es 3x. ▪ Se divide cada uno de los elementos del polinomio por el factor común: 3x
2 3x = x; 6x 3x = 2 ▪ La factorización es: 3x 2 + 6x = 3x(x + 2)
A) 4m(6m2 + 4m) b) 4m(6m2 + 4m − 1) c) 4m(8m2 + 8m − 4) d) 4m(6m3 + 4m2 − 1)
Solución: ▪ Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes 24, 16 y 4, que
es 4. ▪ La literal que se repite en cada uno de los términos del polinomio con
menor exponente es m. ▪ El factor común es 4m. ▪ La factorización es: 24m3 +
16m2 − 4m = 4m(6m2 + 4m − 1)
Factor común por agrupación. Los términos del polinomio a factorizar se agrupan
conforme aquellos que tengan un factor en común, de modo que la nueva
expresión se pueda factorizar.
Ejemplos: 1.- Una expresión equivalente a m2 + mp + mx + px es:
a) m(m + p) + x(m + p) b) m(m + x) + x(m + x) c) m(m + p) + p(m + p) d) p(m + p) +
x(m + x)
Solución: ▪ Los términos del polinomio se agrupan:
m2 + mp + mx + px = (m2 + mp) + (mx + px)
▪ Cada una de las nuevas expresiones se factoriza por factor común: m(m + p)
+ x(m + p)
Diferencia de cuadrados. Una diferencia de cuadrados tiene la forma x 2 − y 2 y
su factorización es el producto de binomios conjugados:
x 2 − y 2 = (x + y)(x − y)
Ejemplos: 1.- La factorización de 4x 2 − 9 es:
a) (2x + 3)(2x + 3) b) (2x − 3)(2x − 3) c) (2x − 3)(2x + 3) d) (3 − 2x)(2x + 3)
Solución: ▪ Se obtiene la raíz de cada uno de los elementos del binomio:
√4x 2 = 2𝑥
√9 = 3
▪ Se agrupan en forma de binomios conjugados:
(2x − 3)(2x + 3)
Trinomio cuadrado perfecto. Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado
del desarrollo de un binomio al cuadrado.
x 2 ± 2𝑥𝑦 + y 2 = (x ± y) 2
Ejemplos: 1.- Al factorizar m2 + 12𝑚 + 36, se obtiene:

18. (m + 18) 2 b) (m + 9) 2 c) (m + 6) 2 d) (m + 3) 2
Solución: ▪ Se ordenan los términos del trinomio en forma descendente
respecto a una de las literales, de manera que en los extremos se
encuentren expresiones con raíz cuadrada exacta.
m2 + 12𝑚 + 36
Se obtiene la raíz del 1er y 3er término:
√m2 = 𝑚 𝑦 √36 = 6
Se realiza el doble producto de las raíces obtenidas:
2(𝑚)(6) = 12𝑚
Si el resultado coincide con el término central del trinomio, entonces es un
trinomio cuadrado perfecto. Por último, se agrupan las raíces en un binomio al
cuadrado y se coloca el signo del término central (+):
(m + 6) 2
Bibliografia

19.  Matematicas18.com/es/tutoriales/algebra/suma-de-
monomios-y-polinomios/
 Definición.de/resta-de-polinomios/
 Neurochispa.com/wiki/ejercicios-de-resta-de-
polinomios/
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 Ciencia-
basicas.com/matemática/elemental/operaciones-
algebraica/multiplicación
 Todamateria.com/producto-notable/